第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
z )( z
1
4
)]
z
1
4
( 1 )n1 4 1 1 4n , n 1
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
n
Z变换与Laplace 变换的关系
抽样序列 x(n) x(nT ) 的 z 变换
X (z)
x(n) z n
n
X (z) zesT X (esT ) X a (s)
z esT ，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。
Z变换与Laplace 变换的关系
双边Z变换的主要性质
12.Parseval定理
x1(n) X1(z) Rx1 < z < Rx1
x2 (n) X 2 (z) Rx2 < z < Rx2
且 Rx1Rx2 < 1, Rx1 Rx2 1
n
x1 (n) x2 (n)
1
2
j
c
X1(v)
X
2
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质 建立起 s (域) 平面与 z (域)平面之间的的一一对应关系！
z esT
s 1 ln z T
s j z re j
r eT
T
r与σ 的对应关系 (r eT )
σ =0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)； σ <0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r<1)； σ >0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r>1) 。
X
(z)
B(z) A(z)
X1(z)
X2(z)
Xk (z)
x(n) Z 1[X1(z)] Z 1[X2(z)] Z 1[Xk (z)]
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)
B(z) A( z )
bi zi
i0 N
1 ai zi
i1
M N n0
(2) 右边序列
X (z) x(n)zn
nn1
若n1 0 : z R
若n1 < 0 : R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X (z)
x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
A2
(z
2)
X (z) z
z2
2 3
例：已知
X (z)
z2
(z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
X (z) 1 z 2 z 3 z 1 3 z 2
(1)收敛域为|z|>2时,x(n)为因果序列，
n
在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。
具体过程自学！
双边Z变换的主要性质
x1(n) X1(z) x2 (n) X2 (z)
ROC Rx1 {Rx1 < z < Rx1} ROC Rx2 {Rx2 < z < Rx2 }
1.线性特性
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
2
1
,
z
0
组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵 消，收敛域扩大。
双边Z变换的主要性质
3.指数加权特性
anx(n) Z X (z / a) ROC a Rx
4. 线性加权(Z域微分特性)
nx(n) z dX (z) dz
ROC Rx
双边Z变换的主要性质
5.共轭序列
或
x(n) z X (z)
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为
X (z)
x(n)zn
n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域
(ROC) 充要条件:
x(n)zn M < 绝对可和
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
双边Z变换的主要性质
9.有限项累加特性
因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
X (z) Z[x(n)] z Rx
n
Z[ x(m)]
z
X (z)
m0
z 1
z max[Rx,1]
双边Z变换的主要性质
10. 序列卷积和
x(n) X (z)
ROC Rx
6.时间翻转(time reversal)
x(n) Z X (1/ z)
1
1
<z<
Rx
Rx
双边Z变换的主要性质
7.初值定理
因果序列x(n)=0,n<0,有 lim X (z) x(0)
z
8. 终值定理
X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内 (单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4 )]z 4
(4)n1
4
1 4
1 15
4n2 ,
n
2
因此，
x(n)
1
15
1
15
4n , 4n2
,
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想
将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
k
1, 2,
,N r
Ck
1 (zi )rk
1 d rk
(r
k
)!
d
(
z
1)r
k
[(1 zi z1)r X (z)] z z i
k 1, 2, , r
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
例：已知
X (z)
z2
(z 1)( z 2)
z变换的定义及符号表示
z变换
X (z)
x(n)zn
n
z反变换
x(n) 1
X (z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合
符号表示
正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)}
x1[n] x2[n] X1(z) X 2 (z) ROC 包含Rx1∩Rx2
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系 11. 序列相乘(Z域复卷积定理)
Z变换及Z传递函数
上式中符号 G1G2 ( z) 是 ZG1 (s) G2 (s) 的 缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与 G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。
另一种是两个环节之间有同步采样开关 存在，如图所示。
G ( z) U ( s) T U ( z) G 1 ( s) T Y 1 ( z) G 2 ( s) Y ( z)
制性能越好。
3．对象的纯滞后时间对控制性能的影响
设扰动通道的纯滞后时间 n 、控制通道的纯 滞后时间 。 设扰动通道纯滞后时间 n 对控制性能无影 响，只是使输出量yn (t)沿时间轴平移了 n ，如 图所示。
yn(t) yn(t),τn＝0
yn(t),τn≠0 τn
t
n
被控对象的传递函数与性能指标
计算机控制系统的被控对象是指所要 控制的装置或设备，如工业锅炉、水泥立 窑、啤酒发酵罐等。
被控对象用传递函数来表征时，其 特性可以用放大系数K、惯性时间常 数 Tm ，积分时间常数 Ti 和纯滞后时 间 来描述。被控对象的传递函数可以归 纳为如下几类。
1．放大环节 放大环节的传递函数
由Z变换定义得： F ( z) f (0) f (T ) z 1 f (kT ) z k 比较两式得： 则：
*
f (0) c0 , f (T ) c1 ,, f (kT ) ck ,
f (t ) c0 c1 (t T ) c2 (t 2T ) ck (t kT )
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
5．正弦信号
f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
第二章2 Z变换与Z反变换(复习)
第二章2 Z 变换与Z反变换
•引言
•定义
•收敛域（ROC）
•z 变换的性质
•有理系统对应的z 变换及其ROC
•举例
第二章1 离散时间信号与系统（复习）
第二章2 Z变换与Z反变换（复习）参考教材: 1.《数字信号处理》（修订版）
王世一北京理工大学出版社，1997
2. Discrete Time Signal Processing
Alan V.Oppenheim& Ronald W.Schafer 2nd Edition, Prentice-Hall，2001
))
n n
a=1.1
，
有理系统函数的ROC
¾ROC 总是环状的（Rx-<|Z|<Rx+)；
¾极点不在ROC中（在极点处Z变换不存在，收敛域中不含极点，收敛域总是由极点限定其边界的）；
¾右边序列：ROC趋于∞（收敛域Rx-<|z|≤∞）；
¾左边序列：ROC趋于0（收敛域0<|Z|<Rx+）；
¾双边序列：ROC带状（收敛域Rx-<|Z|<Rx+)；
¾因果序列：右边序列+z的非正指数项，其ROC趋于且包含∞；¾非因果序列：左边序列+z的非负指数项，其ROC趋于且包含0。
逆z 变换•观察法
•部分分式展开法
•指数展开法
•留数法
注:
•存在一般性公式
•对有理函数，有更容易的方法。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
2.3 z变换与z反变换
f (t) f *(t) F *(s) F (z)
f *(t) f (kT ) (t kT )
时域
k 0
F (z) f (kT )zk
z域
k 0
1、长除法
F(z)
K (zm b1zm1 bm1z bm ) zn a1zn1 an1z an
F (z) A1 A2 An
z z z1 z z2
z zn
Ai
(z
zi )
F(z) z
z zi
F (z) A1z A2 z An z n Ai z
z z1 z z2
z zn i1 z zi
各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列 ：
k 0
k 0
例2.8
求
F
(z)
(z
z 2)( z
1)2
的z反变换。
解：F (z) 中有一个单极点和两个重极点 ：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 2
（1）对于 z1 2 ，有
Res[F (z)zk1]zz1
( z
2)
(z
z 2)( z
(z
5z 2)( z
1)
z
k
1
z1
51k
5
于是有：
2
f (kT ) Res[F (z)zk1]zzi 5 2k 5 5(2k 1) i 1
f *(t) f (kT ) (t kT ) 5(2k 1) (t kT )
实验一 序列的产生、运算和Z反变换
实验一序列的产生、运算和z反变换（2课时）一、实验目的1、学习用MA TLAB进行数字信号处理的基本方法；2、掌握用MA TLAB生成常用序列的方法；3、掌握用MA TLAB进行序列的运算和z反变换的方法。
二、实验设备计算机一台，安装了MA TLAB软件三、实验原理和基本操作1、常用序列的生成（1）、单位脉冲序列δ(n)及迟延的单位脉冲序列δ(n-np)用MA TLAB编写的用来生成单位脉冲序列及其移位序列的函数为impseq.m，其输入参数为序号起始值ns，序号终止值nf及脉冲位置np。
函数主要语句如下：function [x,n] = impseq (np,ns,nf)if ((np < ns) | (np > nf) | (ns > nf)) % 检查输入参数正确性error('参数必须满足ns <= np <= nf')endn = [ns:nf]; % 生成位置向量x = [(n-np) == 0];stem(n,x,’r’)例1 》[x,n]=impseq(2,-1,5)运行结果：（2）、单位阶跃序列及迟延的单位阶跃序列u(n- np)用MA TLAB编写一个函数stepseq.m，用来生成迟延的单位阶跃序列。
其输入参数为序号起始值ns，序号终止值nf 及阶跃位置np 。
函数主要语句如下：function [x,n] = stepseq (np,ns,nf)if ((np < ns) | (ns > nf) | (np > nf)) % 检查输入参数正确性error('参数必须满足ns <= np <= nf')endn = [ns:nf]; % 生成位置向量x = [(n-np) >= 0]; % 生成阶跃脉冲序列stem(n,x,’r’)例2》[x,n]=stepseq(0,-2,4)运行结果：（3）、矩形序列用MA TLAB编写的生成矩形序列的程序如下：其中N是矩形序列的长度.function [x,n] = rn(N)%n = [0:N]; % 生成位置向量%x = [n>= 0];n=[-N:2*N-1];x=[n>=0 & n<=N-1];stem(n,x,’r’)例3：[x,n]=rn(4);结果：2、序列的运算（1）、序列的移位y(n)=x(n-k).完全地表示序列x(n)要用x和n两个向量，n是位置向量（序号向量）。
Z变换
z
−n
收敛域的充分条件为
x n=− ∞
∞
n z−n < ∞
∑ 判定正项级数 an 是否收敛？
正项级数
n=−∞
⎧< 1 收敛
①比值判别法：lim an+1 = ρ = ⎪⎨= 1
a n→∞ n
⎪⎩> 1
不一定 发散
⎧< 1
②根式判别法：lim n n→∞
an
= ρ = ⎪⎨= 1 ⎩⎪> 1
① n1 ≥ 0 时，序列的收敛域为：z > 0，包括 z = ∞ 点； ②n2 ≤ 0时，序列的收敛域为：z < ∞，不包括 z = ∞点；
③n1 < 0, n2 > 0时，序列的收敛域为：0 < z < ∞
§8.1 Z变换
6. 右边序列的Z变换收敛域至少为：∞ > z > Rx1
x(n)定义在 n ≥ n1 上。根据 n1值不同，可分为以下两种情况：
§8.1 Z变换
7①．x(左nn)2边定≤序义0n列时在2 ，的n 序Z≤变n列2换上为的。反收+根因∞ 敛据果域n序2至值列少不，为同收：，敛0可域< 分的z <为形R以式x2 下为两：种z <情R况x2： Z ⎡⎣x (n)⎤⎦ = ∑ x (n) z−n = ∑ x (−n) z，n 根据级数收敛的判别方法，
=
z2
zβ sinω0 − 2βz cosω0
+
β2
(z
>
β
)
§8.1 Z变换
[例1]：求下列各序列的Z变换
①δ (n − m)(m > 0)
n=+∞
Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断
燕山大学课程设计说明书题目：Z变换-反变换求系统响应及稳定性判断学院（系）：电气工程学院年级专业：学号：学生姓名：指导教师：教师职称：燕山大学课程设计（论文）任务书院（系）：电气工程学院基层教学单位：自动化仪表系说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。
年月日目录第1章摘要 (1)1引言 (1)第2章基本原理 (2)2.1 MATLAB及数字信号处理 (2)2.2 Z变换与Z反变换的概念与原理 (2)2.3系统的稳定性 (8)第3章程序实现及结果分析 (9)学习心得 (13)第1章摘要1.引言介绍了Z变换及其逆变换的基本概念，论述了利用极点判断方法判定系统稳定性的原理和系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，并用MATLAB具体实现了的程序。
任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态,开始产生偏差.所谓稳定性,是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能.系统的稳定性是系统设计与运行的首要条件,只有稳定的系统才值得分析与研究,才有必要分析研究该系统的其他自动控制问题.在经典控制理论中,线性系统稳定的充分必要条件。
利用极点判断系统的稳定性，该方法最有效，其计算相对复杂，而matlab又能利用其工具箱快速计算出一个系统的零极点坐标并能绘制出系统的零极点分布图，用户可以直观地判定一个系统是否稳定，简便快捷。
利用matlab分析控制系统的稳定性及系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应，具有运算简单、操作方便、处理速度快、分析结果准确可靠等优点。
由此可见，MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。
［关键词］MATLAB;控制系统;Z变换及反变换；稳定性;极点；单位脉冲响应；单位阶跃响应第2章 基本原理2.1 MATLAB 及数字信号处理MATLAB 是矩阵实验室之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
第3章离散时间序列及其Z变换
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
信号与系统§8.3Z反变换
jIm( z)
0
X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1
xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0
xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2
br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn
1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C， 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列
X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n