序列的Z变换(数字信号处理)
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
时域离散序列z变换公式
时域离散序列z变换公式时域离散序列z变换是数字信号处理领域中的重要概念，用于将离散时间序列转换为复频率域序列。
通过z变换，我们可以更好地分析和处理数字信号，从而在通信、控制、滤波等领域中发挥重要作用。
在进行时域离散序列z变换时，我们需要首先了解什么是离散时间序列。
离散时间序列是在离散时间点上取样得到的信号，通常用一个序列来表示。
这些时间点是离散的，而不是连续的，因此我们需要利用数学工具来对这些序列进行处理和分析。
z变换是一种广泛应用的数学工具，可以将离散时间序列转换为z 域中的复频率域序列。
通过z变换，我们可以将差分方程表示的离散系统转换为代数方程表示，从而更容易进行系统分析和设计。
在进行z变换时，我们需要考虑信号的采样频率、序列的长度以及信号的幅度和相位信息。
通过对这些信息进行变换，我们可以得到z域中的频谱信息，从而更好地理解信号的频率特性和频率响应。
通过z变换，我们可以实现数字滤波器的设计和分析。
数字滤波器在数字信号处理中起着至关重要的作用，可以帮助我们去除噪声、滤波信号以及实现频率域变换等功能。
通过z变换，我们可以将滤波器的传递函数表示为z域中的函数，从而更好地理解滤波器的频率响应特性。
除了滤波器设计，z变换还可以用于系统建模和控制器设计。
通过将系统的状态方程进行z变换，我们可以得到系统在z域中的状态空间表示，从而可以进行系统的稳定性分析和控制器的设计。
这对于控制工程师来说是非常重要的工具，可以帮助他们设计出稳定且性能优良的控制系统。
总的来说，时域离散序列z变换是数字信号处理中的重要工具，可以帮助我们更好地理解和处理离散时间序列。
通过z变换，我们可以实现滤波器设计、系统建模和控制器设计等功能，为数字信号处理领域的研究和应用提供了重要支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解时域离散序列z变换的基本概念和应用。
数字信号处理z变换公式表
数字信号处理z变换公式表序号变换名称公式。
1双边Z变换定义X(z)=∑_n = -∞^∞x(n)z^-n，收敛域为R_x -<| z|2单边Z变换定义（因果序列）X(z)=∑_n = 0^∞x(n)z^-n，收敛域为| z| > R_x -3Z变换的线性性质若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则ax_1(n)+bx_2(n)↔ aX_1(z)+bX_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)4序列的移位（双边Z变换）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(n - m)↔ z^-mX(z)，收敛域为R_x -<| z|（m为整数）5序列的移位（单边Z变换）若x(n)↔ X(z)，则x(n - m)u(n)↔ z^-mX(z)+∑_k =0^m - 1x(k - m)z^-k（m>0），收敛域为| z| > R_x -6Z域尺度变换（乘以指数序列）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则a^nx(n)↔X((z)/(a))，收敛域为| a| R_x -<| z|<| a| R_x +（a≠0）7序列的线性加权（Z域求导）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则nx(n)↔ -z(dX(z))/(dz)，收敛域为R_x -<| z|8序列的反褶若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(-n)↔ X((1)/(z))，收敛域为(1)/(R_x +)<| z|<(1)/(R_x -)9卷积定理（双边Z变换）若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)10卷积定理（单边Z变换）设x_1(n)和x_2(n)为因果序列，x_1(n)↔ X_1(z)，x_2(n)↔ X_2(z)，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为| z| >max(R_1 -,R_2 -)11初值定理（因果序列）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则x(0)=lim_z→∞X(z)12终值定理（因果序列，X(z)的极点在单位圆内，最多在z = 1处有一阶极点）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则lim_n→∞x(n)=lim_z→1(z - 1)X(z)。
数字信号处理基础-Z变换
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z−n + ∑δ (n +1)z−n
n=−∞ n=0
> 0 z ≠ 0 > 0 z = 0, ) < 0 < 0, z z≠ ≠ )∞ −1 0
∞
= z1 + 0 = z (0 ≤ z < ∞)
光机电一体化技术研究所
ZT [u ( n )] = ∑ u ( n ) z
k k k →∞ −1
< 1或 z < 2
z < lim 2 = 2
k k k →∞
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数 1 −k lim k ( z ) < 1或 z > lim k k →∞ k →∞ 3
k
∴ F ( z )的绝对收敛域为 2 > z >
光机电一体化技术研究所
1 3
光机电一体化技术研究所
×
1 Rx1 = 3
1
Re[z ]
3
1 (2) x(n) = − u (−n − 1) 3
1 −1 X ( z) = − ∑ z n = −∞ 3
−1 n n=− m ∞ −m
n
左边序列
1 −1 = − ∑ z m =1 3 ∞ 1 z m j Im[z ] = 1 − ∑ (3 z ) = 1 − = −1 1 1 − 3z m=0 z− Rx2 3 Re[z ] lim n (3 z ) n < 1 • ×
1
2
3
4
n
光机电一体化技术研究所
Z变换定义，典型序列的Z变换 变换定义，典型序列的 变换 变换定义
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
数字信号处理 6-Z变换
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n
1
xn z n
n n
n
1
b n z n
n0
b n z n
z 1 b
X 2 z
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为
X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n
xn z n
0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
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1 1 az1
,
z a
14
第三章 序列的Z变换
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列
之和， 其Z变换表示为
X (z)
x(n)zn X1(z) X2(z)
n
X1(z)
x(n) z n ,
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域
13
第三章 序列的Z变换
例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。
1
X (z)
anu(n 1)zn
n
n
anzn
n1
anzn
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
X
(z)
a 1 z 1 a1z
1
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含∞点，则x(n) 是因果序列
X (z) x(n)zn
nn1
设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则 收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括
z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
第三章 序列的Z变换
3 序列的Z变换
3.1 Z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(3.1)
n
式中z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。 注 意在定义中， 对n求和是在±∞之间求和， 可以称为双 边Z变换。 还有一种称为单边Z变换的定义， 如下式
X (z) x(n)zn
n0
(3.2)
1
第三章 序列的Z变换
这种单边Z变换的求和限是从零到无限大， 因此对于因 果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z变换对信号进行分 析和变换。
(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要 求级数绝对可和， 即
x(n)zn
(3.3)
11
第三章 序列的Z变换
例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 因此收敛域为|z|>|a|。
3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为
对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT 之间的关系， 用下式表示：
X (e j ) X (z) ze j
(3.4)
4
第三章 序列的Z变换
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(3.4)式， 很方便的求出 序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
n2
X (z) x(n)zn
n
12
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
பைடு நூலகம்
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
9
第三章 序列的Z变换
2. 右序列
右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而其它n<n1，序 列值全为零。
X (Z) x(n)Z n nn1
ROC： 分析：
Z Rx
当 n1 ≥0时
X (Z) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
nn1
nn1
nn1
10
第三章 序列的Z变换
例 3.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。
解：
X (z)
u(n)zn zn
n
n0
X(z)存在的条件是|z-1|<1， 因此收敛域为|z|>1，
X
(
z)
1
1 z
1
|z|>1
5
第三章 序列的Z变换
由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变 换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里 叶变换不存在， 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不 存在， 但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以 表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅里 叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。
6
第三章 序列的Z变换
3.2 序列特性对收敛域的影响
序列的特性决定其Z变换收敛域。
1. 有限长序列
如序列x(n)满足下式：
x(n) x(n)=
n1≤n≤n2
0
其它
7
第三章 序列的Z变换
即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之 外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
n2
n
使(3.3)式成立， Z变量取值的域称为收敛域。 一
般收敛域用环状域表示
Rx z Rx
2
第三章 序列的Z变换
图 3.1 Z变换的收敛域
3
第三章 序列的Z变换
常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示
X (z) P(z) Q(z)
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点， 分母多项式 Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在， 因 此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
8
第三章 序列的Z变换
n1<0， n2≤0时， 0≤z＜∞
n1<0， n2>0时， 0<z＜∞
n1≥0， n2>0时， 0<z≤∞
例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
N 1
RN (n)zn
n0
zn
1 zN 1 z1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极零点 对消， X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可 将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题2.2.1中的结果 (2.3.5)公式是相同的。