数字信号处理 6-Z变换.
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
数字信号处理z变换公式表
数字信号处理z变换公式表序号变换名称公式。
1双边Z变换定义X(z)=∑_n = -∞^∞x(n)z^-n，收敛域为R_x -<| z|2单边Z变换定义（因果序列）X(z)=∑_n = 0^∞x(n)z^-n，收敛域为| z| > R_x -3Z变换的线性性质若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则ax_1(n)+bx_2(n)↔ aX_1(z)+bX_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)4序列的移位（双边Z变换）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(n - m)↔ z^-mX(z)，收敛域为R_x -<| z|（m为整数）5序列的移位（单边Z变换）若x(n)↔ X(z)，则x(n - m)u(n)↔ z^-mX(z)+∑_k =0^m - 1x(k - m)z^-k（m>0），收敛域为| z| > R_x -6Z域尺度变换（乘以指数序列）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则a^nx(n)↔X((z)/(a))，收敛域为| a| R_x -<| z|<| a| R_x +（a≠0）7序列的线性加权（Z域求导）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则nx(n)↔ -z(dX(z))/(dz)，收敛域为R_x -<| z|8序列的反褶若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(-n)↔ X((1)/(z))，收敛域为(1)/(R_x +)<| z|<(1)/(R_x -)9卷积定理（双边Z变换）若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)10卷积定理（单边Z变换）设x_1(n)和x_2(n)为因果序列，x_1(n)↔ X_1(z)，x_2(n)↔ X_2(z)，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为| z| >max(R_1 -,R_2 -)11初值定理（因果序列）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则x(0)=lim_z→∞X(z)12终值定理（因果序列，X(z)的极点在单位圆内，最多在z = 1处有一阶极点）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则lim_n→∞x(n)=lim_z→1(z - 1)X(z)。
数字信号处理基础-Z变换
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z−n + ∑δ (n +1)z−n
n=−∞ n=0
> 0 z ≠ 0 > 0 z = 0, ) < 0 < 0, z z≠ ≠ )∞ −1 0
∞
= z1 + 0 = z (0 ≤ z < ∞)
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ZT [u ( n )] = ∑ u ( n ) z
k k k →∞ −1
< 1或 z < 2
z < lim 2 = 2
k k k →∞
第二项仅含有Z的负幂的无穷级数 1 −k lim k ( z ) < 1或 z > lim k k →∞ k →∞ 3
k
∴ F ( z )的绝对收敛域为 2 > z >
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1 3
光机电一体化技术研究所
×
1 Rx1 = 3
1
Re[z ]
3
1 (2) x(n) = − u (−n − 1) 3
1 −1 X ( z) = − ∑ z n = −∞ 3
−1 n n=− m ∞ −m
n
左边序列
1 −1 = − ∑ z m =1 3 ∞ 1 z m j Im[z ] = 1 − ∑ (3 z ) = 1 − = −1 1 1 − 3z m=0 z− Rx2 3 Re[z ] lim n (3 z ) n < 1 • ×
1
2
3
4
n
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Z变换定义，典型序列的Z变换 变换定义，典型序列的 变换 变换定义
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
数字信号处理 6-Z变换
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n
1
xn z n
n n
n
1
b n z n
n0
b n z n
z 1 b
X 2 z
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为
X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n
xn z n
0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
z变换在数字信号处理中的应用
z变换在数字信号处理中的应用z变换是一种重要的数学工具，广泛应用于数字信号处理领域。
它为信号的分析、滤波、系统建模和控制提供了强大的数学工具和方法。
本文将介绍z变换在数字信号处理中的应用，并从时域分析、频域分析、系统建模和控制四个方面进行讨论。
一、时域分析：1.系统响应：z变换能够用于描述系统对输入信号的响应。
通过将输入信号和系统的冲激响应进行z变换，可以得到系统的传递函数，从而分析系统的频率响应和稳定性。
2.信号处理：通过对输入信号进行z变换，可以将时域信号转换为z域信号，从而实现对信号的处理。
例如，通过z变换可以实现数字滤波器的设计和实现，对信号进行降噪、去除干扰等。
3.离散系统：在离散系统的分析中，z变换可以用来建立系统的差分方程，从而分析系统的动态响应和稳定性。
二、频域分析：1.频谱分析：通过z变换，可以将时域信号转换为频域信号，从而实现对信号频谱的分析。
对于周期信号，可以通过z变换的周期性特性进行频谱分析，对信号的频率成分进行提取和变换。
2.频率响应：通过z变换，可以将系统的传递函数表示为复频率的函数，可以分析系统对不同频率成分的响应。
例如，可以使用z变换来设计数字滤波器，分析其在不同频段上的滤波特性。
3.频域滤波：通过z变换，可以将时域上的卷积运算转换为z域上的乘法运算，从而实现频域滤波。
通过将输入信号和滤波器的频率响应进行z变换，可以得到输出信号的z域表达式，从而实现对信号的滤波。
三、系统建模：1.系统识别：z变换可以用来对信号和系统进行建模和识别。
通过观察输入输出信号对及其z变换的关系，可以得到系统的传递函数和差分方程，从而实现对系统的建模和识别。
2.参数估计：通过z变换，可以将自相关函数和互相关函数转换为z域上的自相关函数和互相关函数，从而实现对信号的参数估计。
例如，可以使用z变换来对信号的自相关函数进行拟合，从而得到信号的自相关函数的模型参数。
四、控制系统：1.离散控制系统：在离散控制系统中，z变换被广泛应用于系统的建模和控制。