求以下序列的z变换
山东大学 DSP数字信号处理PPT 第二章z变换 习题讲解
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
解：对X z的分子和分母进行因式分解，得
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1 1 z1
2
1
1 2
jz
1
1
1 2
2-13 研究一个输入为x(n)和输出为 y(n)的 时域线性离散移不变系统，已知它满足
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样 响应。
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
解：对差分方程两边取z变换
z1Y (z) 10 Y (z) zY (z) X (z) 3
在围线c外有单阶极点 z 1/ 4，
且分母阶次高于分子阶次二阶以上
x(n)
Re
s
F
(
z) z 1 /
4
z
1/
4
(
z 2)zn1 z 1/4
z 1 /
4
7 4
1 4
n 1
7
4n
x(n) 8 (n) 7 4n u(n 1)
j Im[z]
C
1/ 4
0
Re[z]
③部分分式法
X (z) z
jz
数字信号处理课后答案西电
1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。
解:2. 给定信号:(1)画出序列的波形，标上各序列的值;(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列;(3)令，试画出波形;(4)令，试画出波形;(5)令，试画出波形。
解:(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。
(2)(3)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(二)所示。
(4)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图(三)所示。
(5)画时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，波形如题2解图(四)所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
(1)，A是常数;(2)。
解:(1)，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14;(2)，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
(1);(3)，为整常数;(5);(7)。
解:(1)令:输入为，输出为故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
(3)这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为，输出为，因为故延时器是一个时不变系统。
又因为故延时器是线性系统。
(5)令:输入为，输出为，因为故系统是时不变系统。
又因为因此系统是非线性系统。
(7)令:输入为，输出为，因为故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
(1);(3);(5)。
解:(1)只要，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果，则，因此系统是稳定系统。
(3)如果，，因此系统是稳定的。
系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.(5)系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果，则，因此系统是稳定的。
7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求画出输出输出的波形。
求以下序列的z变换
求以下序列的z 变换习题五 Z 变换1． 求以下序列的z 变换,并画出零极点图和收敛域.分析：Z 变换定义∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是满足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a a n x n求以下序列的z 变换解:（1） 由Z 变换的定义可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2) 由z 变换的定义可知:nn n z n u z X -∞-∞=∑=)()21()(∑∞=-=0)21(n n n z12111--=z211121 ><⋅z z 即：收敛域：0 21==z z 零点为：极点为：nn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn nz a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n求以下序列的z 变换解:（3)nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--=12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为：解： （4) ∑-⋅∞==11)(n nz nz X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ,1||>z 。
序列Z变换与反变换
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm
[数字信号处理]序列的z变换
![[数字信号处理]序列的z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/938513233868011ca300a6c30c2259010202f394.png)
[数字信号处理]序列的z 变换序列的z 变换z 变换的定义z 变换的定义如下X (z )=∞∑n =−∞x (n )z −n其中z =e j ω,是⼀个复数.在复平⾯上,z 相当于单位圆上的⼀点.典型序列的z 变换单位脉冲序列的z 变换求序列δ(n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞δ(n )z −n =δ(0)z 0=1,0<|z |<∞最后的⼀句话是收敛域阶越序列的z 变换求序列u (n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞u (n )z −n =n =∞∑n =0z −n =11−z −1,|z |>1矩形序列的z 变换求序列R 4(n )的z 变换X (n )=∞∑n =∞R 4(n )z −n =3∑n =0z −n =1+z −1+z −2+z −3=1−z −41−z −1,0<|z |<∞收敛域z 变换的性质线性设x 1(n )的z 变换是X 1(z )x 2(n )的z 变换是X 2(z )如果x 3(n )=ax 1(n )+bx 2(n )那么X 3(z )=aX 1(z )+bX 2(z )X 3(z )的收敛域为X 1(z )的收敛域和X 2(z )的收敛域的交集移位性质双边序列x (n )为双边序列时设x (n )的z 变换是X (z )则x (n +n 0)的z 变换是z n 0X (z )序列移位不会改变z 变换的收敛域右边序列右移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n −1)的z 变换是z −1X (z )+x (−1)x (n −2)的z 变换是z −2X (z )+z −1x (−1)+x (−2)如此类推右边序列左移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n +1)的z 变换是z 1X (z )−x (1)x (n +2)的z 变换是z 2X (z )−z 1x (1)−x (2)如此类推序列乘实指数序列设x (n )的z 变换是X (z )y (n )=a n x (n )的z 变换Y (z )=X (a −1z )复共轭序列的z 变换设x (n )的z 变换是X (z )则x ∗(n )的z 变换是X ∗(z ∗)初值定理设x (n )的z 变换是X (z )则x (0)=lim终值定理设x(n)的z 变换是X(z) \\则x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z)序列类型收敛域有限长序列$0<右边序列$左边序列$双边序列$R_{x-}<Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js帕斯维尔定理(能量定理)时域总能量等于z域总能量(能量守恒)E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega。
信号与系统参考习题解答
收敛域为|2z|<1，即|z|< ；极点为z= ；零点为z=0。
23．用长除法、留数定理、部分分式法求以下X(z)的z反变换：
(1) (2)
(3)
解：(1)①长除法求解
可知极点为 而收敛域为 。因而x(n)为因果序列，所以分子、分母要按降幂排列。
即
所以
②留数定理法求解
，设c为 内的逆时针方向闭合曲线。
y'(n)＝3x(n-n0)+2
因为
y(n-n0)＝2x(n-n0)+2=y'(n)
故该系统是时不变的。再讨论线性。由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=3ax1(n)+3bx2(n)+2
而
T[ax1(n)]=3ax1(n)+2
T[bx2(n)]=3bx2(n)+2
所以得
T[ax1(n)+bx2(n)]≠aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
（2）根据脉冲定理，脉冲频率fs≥2f，取=fs=2f=200Hz。脉冲时间间隔应为
T=1/f=1/200=0.005s
（3）设采样周期为T=1/f=0.005s采样信号xa(t)，则
=
=0
所以，以T=1/f=0.005s为采样周期，采样信号xa(t)，所得采样序列 无法恢复信号xa(t)。为能恢复xa(t)，应减小采样周期T(采样频率由T确定)。设新采样周期为原采样周期的一半，即T=0.0025s，则采样信号 为
(3)y(n)＝x(n-1) (4)y(n)＝x(-n)
要点提示：
利用系统线性定义和时不变定义来证明。满足可加性和比例性的系统是线性系统，即
z变换公式表范文
z变换公式表范文1.基本变换：-原始序列：$x[n]$- Z变换：$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$2.常数乘法：- $ax[n]$ 的Z变换是 $aX(z)$3.基本序列变换：- 单位冲激序列：$\delta[n]$- $Z\{\delta[n]\} = 1$-单位步序列：$u[n]$- $Z\{u[n]\} = \frac{1}{1 - z^{-1}}$-递增指数序列：$n$- $Z\{n\} = \frac{z^{-1}}{(1 - z^{-1})^2}$-幂指数序列：$z^n$- 当 $，z， < 1$ 时，$Z\{z^n\} = \frac{1}{1- z^{-1}}$-当$，z，>1$时，$Z\{z^n\}$不收敛- 正弦序列：$\sin(\omega_0 n)$- $Z\{\sin(\omega_0 n)\} = \frac{\sin(\omega_0)}{1 - 2z^{-1}\cos(\omega_0) + z^{-2}}$- 余弦序列：$\cos(\omega_0 n)$- $Z\{\cos(\omega_0 n)\} = \frac{1 - z^{-1}\cos(\omega_0)}{1 - 2z^{-1}\cos(\omega_0) + z^{-2}}$4.线性运算：-前移：- $Z\{x[n-1]\} = z^{-1} \cdot X(z)$-后移：- $Z\{x[n+1]\} = z \cdot (X(z) - x[0])$-缩放：- $Z\{x[a \cdot n]\} = X(z^a)$-线性组合：- $Z\{a \cdot x[n] + b \cdot y[n]\} = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)$5.典型序列变换：-原始序列：$x[n]=a^nu[n]$- 当 $，a， < 1$ 时，$Z\{a^n u[n]\} = \frac{1}{1 - az^{-1}}$ - 当 $，a， > 1$ 时，$Z\{a^n u[n]\} = \frac{az^{-1}}{1 -az^{-1}}$-原始序列：$x[n]=n^mu[n]$- $Z\{n^m u[n]\} = \frac{b_m}{(1 - z^{-1})^{m+1}}$其中，$b_m$为常数，受初始条件影响。
数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列()nδ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：2.给定信号：25,41 ()6,040,n nx n n+-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n序列；（3）令1()2(2)x n x n=-，试画出1()x n波形；（4）令2()2(2)x n x n=+，试画出2()x n波形；（5）令3()2(2)x n x n=-，试画出3()x n波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）（3）1()x n的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14；（2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5.设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()nm y n x m ==∑。
解：（1）令：输入为0()x n n -，输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。
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习题五 Z 变换1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。
nnn n nn n z a z a -==∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎫⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n n x )5()6()1||()()1(<=a an x n∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2) 由z 变换的定义可知：n n-∞1(∑∞=-=12n n n z zz212--=12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：(0 21==z z 零点为：极点为：解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz nz X∞--∙∙11)(n z dX 11n ∞--解：因此，收敛域为 ：1>z∞==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω解：(6))1(,1)()4(≥=n nn x 10),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω1,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )(]sin )sin(cos )[(cos( )()cos()( 20101201012010100000>+---=+-⋅-+--⋅=∴⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=⋅+=---------z zz z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设[则而的收敛域为则 )()( 1 )( X n y Ar n x z z Y n ∴⋅=>2 . 解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(211(2111111----+-+-=Z jZ jZ Z)431)(211)(411()211)(211()(11211-----++++-=Z Z Z Z Z Z XX(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 :(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二>(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>X z z z X z z z X z z X )3( 41z ,41121)( )2( 21z ,411211)( )1( )(,,.31121<--=>--=----反变换的部分分式法求以下留数定理用长除法z x （（21（11221114112)(--+=-=z z z X ,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x∙∙∙-+---2141211z z112111211--++z z211412121------z z z241-z--∙∙∙2111（1 221⎥⎦⎢⎣-=z，是因果序列由于 )( n x0)( 0 =<n x n 时，故)(21)( n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=所以（1）(iii)部分分式法：212111411211)(121+=+=--=---z z z z z z X 因为 21>z所以 )(21)(n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=（2）-∞=⋅⋅+=478 n z 所以 )1(417)(8)(--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅=n u n n x nδ（2）(ii)留数定理法:41)( 21)(1，为设<=⎰-z c dz z z X jn x c n π 内的逆时针方向闭合曲线时：当 0 <n1)(-n z z X 在c 外有一个单极点41=z)0( ,)41(7 ])([Re )(411<⋅=-=∴=-n z z X s n x n z n时：当 0 =nX 当 (x(3)(i). 长除法： 因为极点为az 1=，由a z 1>可知,)(n x 为因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ∙∙∙+-+-+---221)1(1)1(11z a a az a a a aaz a z az 11--+-1)1(1)1()1(--+----zaa a a a aa-111x n x ([]1111 )(Re )( 1)( 0 11111⎫⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅---===>---==x x z z a z a z a z z X s n x az c z z X n nn n n az az 一个单极点内有在时：当 (a a n x ⎪⎭ ⎝ )1(1)1()(1-⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⋅-=n u a a a n a nδ4. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为)1)(211(1)(11----=z z z X(a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。
(b)将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 )(n x ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。
注意：不管哪种表示法最后求出x （n ）应该是相同的。
解：且 (b) (X)()212( n u n⎪⎭⎫⎝⎛-=5．对因果序列,初值定理是)(lim )0(z X x z ∞→=,如果序列为 0>n 时0)(=n x ,问相应的定理是什么?)( n x 讨论一个序列,其z 变换为：值。
试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X分析：这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， [解： (∴X 31)0()0()0(31213lim )(lim )0(024lim)(lim )0( )( 212201012=+=∴=-===-==∞→∞→→→x x x z z z X x z zz X x n x z z z z ）（）（为因果序列：则6. 有一信号)(n y ,它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的2112512419127)(---+--=z z z z X关系是: )1()3()(21+-*+=n x n x n y其中 )(21)(1n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，)(31)(2n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=已知 111)]([--=az n u a Z n ，a z >。
变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z分析：而所以 [][])1()3()(21+-⋅+=n x Z n x Z z Yz z z z 311211113-⋅-=--)21)(3(33---=z z z7. 求以下序列)(n x 的频谱)(ωj e X 。
(1) )(0n n -δ (2) )(n u e an - (3) )()(0n u e n j ωα+- (4) )cos()(0n n u e an ω-解：)1( 111)2(---=∙z e a ωωωj a e z j e e z X e X j --=-==∴11 |)()([]1)()(0011 )()()3(-+-+--==∙∙∙z e n u e Z z X j n j ωαωα)(011|)()(ωωαωω+--=⋅-==∴j e z j e e z X e X j[])cos()()()4(0n n u e Z z X an ω-=∙∙∙aa a e z e z e z 220101cos 21cos 1------+--=ωω∴8.⎰-∴⋅=∴⋅=ππωωωωωωωπd e e X eXe X e X e Y z X z X z Y n j j j j j j )()(21)()()( )()()( 212121)()()()(2121n x n x n y d e e Y nj j *===⎰-ππωωωπ)0()0( )()( |)()( )()(21 21002102121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*=∴===-∑⎰ππωωωπ⎰-==∙∙∙πωωππωωωωπd e e X n x d e e X n x n j j n j j )(1)( )(21)(2211∴=9解 ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛--πωπωωωωk N k k N e N j 2 ,,2 ,2s i n 2s i n 21为整数()()2s in 2s in )( 2 ωωπωωN e X k j =≠∴，时当。
和即可得到所需的时，当 )(arg )( 5ωωj j e X e X N =()()[]2s i n 2s i n a r g 21)(a r g ωωωωN N e X j +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=(()(c 由帕塞瓦尔公式可得：∑⎰∞--∞==n n x d eX j 22)(2)(πωππωπ28=)(d ∵∑∞--∞==n nj j e n x e X ωω)()(∴∑∞--∞=-=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()( ()1N2 N2 , 21+<≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n N πωππω即[]ωωd e dX n x jn DTFT j )()()(=-由帕塞瓦尔公式可得：πππωωππω)490256491019(2)(2|)()(|2)(2222=++++++++==-=∑∑⎰∞∞--∞=-∞=n n n x n n x jn d d e dX j11 解：)(a [])()(ωj e X n x DTFT -=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT --=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT -=--ωωωωc o s)(2 ]()]([1j j j eX e e X n x DTFT --=+=)()]([ )(ωj e X n x DTFT b **=-)](Re[ 2)()()([*2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=因而： (c) ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(则∑∞-∞=--=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()(而 ==12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 )1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应；(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。