【优化方案】2014届高考数学7.3 简单的线性规划 课时闯关(含答案解析)

一、选择题
1．(2011·高考湖北卷)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20表示的平面区域
的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．
∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)． 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0y ≥a
0≤x ≤2，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a <5
B ．a ≥7
C ．5≤a ＜7
D ．a <5或a ≥7
解析：选C.由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋5≥0
0≤x ≤2作出平面区域(图略)，要使平面区域为三角形，须使y ＝a
界于y ＝5与y ＝7之间，但y ≠7，故5≤a <7.
3．(2012·高考江西卷)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54
植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50
解析：选B.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .
线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，
x ≥0，
y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤50，
4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0，
画出可行域，如图所示．
作出直线l 0：x ＋0.9y ＝0，向上平移至过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，
求
得B (30,20)，故选B.
4．(2011·高考福建卷)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥2x ≤1y ≤2
上的一个动点，则O A → ·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[0,2]
D ．[－1,2]
解析：选C.作出可行域，如图所示，O A →·OM →
＝－x ＋y .
设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴O A →·OM →
的取值范围是[0,2]．
5．(2011·高考湖北卷)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )
A.[]－2，2
B.[]－2，3
C.[]－3，2
D.[]－3，3 解析：选D.∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ， ∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0.
又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，
∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3， 当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z max ＝3. ∴z ∈[]－3，3. 二、填空题
6．(2011·高考课标全国卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
3≤2x ＋y ≤9，
6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最
小值为__________．
解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．
易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝92x ＋y ＝3，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，y ＝－5. 所以z min ＝4＋2×(－5)＝－6. 答案：－6 7．(2012·高考上海卷)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________．
解析：作出可行域如图所示：
由图可知，当目标函数经过点(2,0)时，目标函数z ＝y －x 取得最小值， z min ＝0－2＝－2. 答案：－2
8．(2013·湖南十二校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
|x |－2≤0y －3≤0
3x －2y ≤2所表示的平面区域为S ，若A 、B
为S 内的任意两点，则|AB |的最大值为________．
解析：原不等式组可以化为⎩⎪⎨
⎪⎧
－2≤x ≤2
y ≤3
y ≥32x －1
，
则其表示的平面区域如图所示．
当A 、B 位于图中所示的位置时|AB |取得最大值， 即|AB |＝65.
答案：65 三、解答题
9．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －2y ≥0，
x ＋3y ≥0.
所确定的平面区域，试求圆x 2＋y 2＝4在区域D
内的弧长．
解：如图阴影部分表示⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ≥0，
x ＋3y ≥0.
确定的平面区域，所以劣弧的弧长即为所求．
∵k OB ＝－13，k OA ＝1
2
，
∴tan ∠BOA ＝12－(－13)1＋12×(－13
)
＝1，∴∠BOA ＝π
4.
∴劣弧的长度为2×π4＝π
2
.
10．某公司仓库A 存有货物12吨，仓库B 存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
解：
设仓库A 则仓库A 运给丙商店的货物为(12－x －y )吨，
从而仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x )吨、(8－y )吨、[5－(12－x －y )]＝(x ＋y －7)吨，
于是总运费为z ＝8x ＋6y ＋9(12－x －y )＋3(7－x )＋4(8－y )＋5(x ＋y －7)＝x －2y ＋126.
∴线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
12－x －y ≥0，
7－x ≥0，
8－y ≥0，
x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤12，
0≤x ≤7，
0≤y ≤8，x ＋y ≥7.
目标函数为z ＝x －2y ＋126.
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示
作出直线l ：x －2y ＝0，把直线l 平行移动，显然当直线l 移动到过点(0,8)时，在可行域内z ＝x －2y ＋126取得最小值z min ＝0－2×8＋126＝110，
则x ＝0，y ＝8时总运费最少．
安排的调运方案如下：仓库A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．
11．(探究选做)若关于x 的实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,3)内，记点(a ，b )对应的区域为S ，设z ＝2a －b ，求z 的取值范围．
解：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,3)内，
由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧ f (0)>0
f (1)<0f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
b >0a ＋b ＋1<03a ＋b ＋9>0
.
则在坐标平面aOb 内，点(a ，b )对应的区域S 如图阴影部分所示，易得图中A 、B 、C 三点的坐标分别为(－4，3)，(－3，0)，(－1，0)．
∵z ＝2a －b ，则直线b ＝2a －z .经过点A 时z 取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值．而z min ＝－11，z max ＝－2，
又A 、B 、C 三点的值没有取到， 所以－11<z <－2.。