第二章 线性离散系统的Z变换分析法

可知，F(z)对应幂级数中的z-k 项系数f(kT)，就是与F(z)唯一对应的时间 序列值f(kT)。

F(z) f (kT )zk f (0) f (1T )z1 f (2T )z2 f (kT )zk k 0
因为z-k 代表时序变量，所以由上式直接求得f*(t)为
f (t) f (0) f (1T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
1. 幂级数展开法（长除法）
例z 1 z2
，用长除法求其对应的时间序列f(kT)。
解：用F(z)的分子除以分母
第二章 线性离散系统的Z变换分析法
黑龙江科技大学
本章内容
Part one
采样信号变换 原理
Part four
线性离散系统 的稳定性
Part two
Z变换与Z反变换
Part three
脉冲传递函数
Part one
2.1 采样信号变换原理
计算机控制系统及信号形式
采样：利用采样开关，将模拟信号按照一定的时
2.2.1 Z变换定义
连续函数f(t)是可以进行拉氏变换的，它的拉式变换定义为
F(s) L{ f (t)} f (t)estdt 0
连续信号f(t)经采样后得到采样函数f*(t)

f (t) f (kT) (t kT) k 0
2.2.1 Z变换定义
F (s) L{ f *(t)} f (kT) (t kT) estdt 0 k 0
1、采样过程
理想脉冲采样过程的数学表达

y*(t) y(t) (t kT ) k 0

y* (t) y(kT ) (t kT ) k 0
2、采样定理
T (t)
0
t
e(t )
e* (t )
调制器
e(t )
e* (t )
0
t
0
t
2、采样定理
在计算机控制系统中，一个连续信号经过采样开关得到的采样信号， 能否反映出原连续信号的特性，能否精确地复现出原来的连续信号，就是 采样定理要解决的问题。
F (Z ) Z 1F (Z ) 1
F(Z)

1 1 Z 1

Z Z 1
2. 部分分式法
n
G(s)
ai ,
i1 s pi
ai s pi
aie pit

ai z z e- piT
则相应地：
G(z)
Z[ f
(t)]
n i 1
ai z z e piT
解：F(z)在z1=z2=1时为二重极点，在z3=2处为单极点。
F1 ( z )

F(z) z

(z
A1 1)2

A2 (z 1)

A3 (z 2)
式中 A1 (z 1)2 F1(z) z1 1,
z
3、滞后定理 Z[ f (t nT )] znF(z)
4、超前定理
n1
Z[ f (t nT )] zn[F(z) f ( jT)z j ] j0
5、终值定理
2.2.3 Z变换的基
本性质和定理 lim f t lim f (kT) lim (1 z1)F(z) lim z 1 F(z)
2. 部分分式法
由于经常遇到的z变换式F(z)大都是z的有理分式，因此可将F(z)展 开成部分分式之和。再通过查z变换表来获得各个简单部分分式所对 应的时间序列，进而获得F(z)的z逆变换表达式。
（1）所有极点是互不相同的单极点
F(z) n Ai
z
i1 z pi
F(z) Ai (z pi ) z z pi
F(z) z

(z
A1 p1)2

z
A2 p1

z
A3 p3

z
An pn
n
f (kT ) Z 1[F (z)] A1kp1k1 A2 p1k Ai pik , k 0 i3
2. 部分分式法
例：求 F ( z)

z3
-
z 4z2
5z
，
2
的z反变换。
e3T ) )(z e3T
)
3. 留数法
例：求 F (s) (s 的2s)Z2 (3变s 换1) 。
解：F ( z)

(2
1 1)!
d [(s ds

2)2
(s

s3 2)2 (s
1)

z
z esT
]s2
[(s
1)
(s

s3 2)2 (s
1)

z
z esT
X (z) (1 z 1 ) 2
1. 级数求和法（亦称定义法）
例：求单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的Z变换。
解： F (Z ) f (kT )Z k 1Z 0 1Z 1 1Z 2 k 0
F (Z )Z 1 Z 1 Z 2 Z k
间间隔T重复开闭得到采样信号的过程。
量化：用一组二进制代码来逼近采样信号的幅值 G G G
并将其转换成数字信号，即把采样信号转变成数 O
字序列的过程。
O
O
保持：它是离散信号转换成模拟信号的过程，是 采样过程的逆过程，又称信号重构。实现保持作 用的电路称为保持器。
计算机控制系统结构
2.1.1 信号采样与采样定理
外推
2.1.2 采样信号复现与保持器 2、零阶保持器
gh0 (t) 1(t) 1(t T )
Gh0 (s)

L[gh0 (t)]

1 s

1 s
eTs

1 eTs s
Gh
0
(
j
)

2 s
sin (
/ s)
j (
e s
)
( / s )
2、零阶保持器
3、一阶保持器
通常无重极点的可分解为
n
F(s)
Ai ,
i1 s ai
Ai (s ai )F (s) sai
2. 部分分式法
例：求 F(s) 的Za变换。
s(s a)
解： F (s) a 1 1
s(s a) s s a
查表2-2可知
F(z)

1 1 z 1

1
F ( j ) f (t)e jtdt
f ( j ) 1

F ( j )d
2
f (t) F( j )
2、采样定理
F*( j )
F( j ) T ( j )

1 T

F( j

jk s )
2、采样定理
频率混叠
2、采样定理
F(z) (3) (5)z1 (7)z2 (9)z3 (11)z4
因此，F(z)对应的时间序列为 { f (k)} {3,5,7,9,}
若给定F(z)对应的采样周期T，则F(z)对应的采样信号为
f (t) (-3) (kT ) (5) (kT T ) (7) (kT 2T ) (9) (kT 3T )

e
1
aT
z
1

(1 eaT )z 1 (1 z 1)(1 eaT z 1)
3. 留数法（柯西留数定理）
已知连续时间函数f(t) F(S),及全部极点Si (i 1,2,, m),则
m
m
F(z)
Res[F(Si
)
Z
Z e SiT
]

Ri
i 1
i 1
fi
(kT
)

z 1[
z
Ai
z pi
]

Ai
pik
,
k

0, i

1,2,,
n
2. 部分分式法
例：求 F (z) 0.5z1 ，的z反变换。
(z 1)(z 0.5)
解：
F(z) z

1 z 1
z
1 0.5
,
A1
1,
A2

1,
p1
1,
p2

0.5
f (kT ) f1(kT ) f2 (kT ) A1 p1k A2 p2k 1 0.5k
2.2.1 Z变换定义
引入 z eTs

z{ f *(t)} F (z) f (kT)zk k 0
上述两个公式均表示为采样信号f*(t)的L变换，不同之处就在于 定义域s和z；
将z变换公式和L变换公式比较可知，二者一致，说明z变换在采 样系统中的作用等价与L变换在连续系统中的作用.
t
k
z1
z1 z
2.2.4 Z反变换
由Z变换F(z)求出相应的采样函数f*(t)，称为Z反变换，表示为
Z 1[F (z)] f (t) Z 1[F (z)] f (t)
1. 幂级数展开法（长除法）

由z变换的定义式 F (z) f (kT)zk k 0
解：两个单极点 s 1, s 3
F(z)

(s
1)
(s
1 1)( s

3)

z
z esT
s1

(s

3)
(s
1 1)( s