自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图

互相关函数，自相关函数计算和作图

1.自相关和互相关的概念。

●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。

●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。

互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。

-----------------------------------------------------------------------------------事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示：

自相关函数：

dt=.1;

t=[0:dt:100];x=cos(t);

[a,b]=xcorr(x,'unbiased');

plot(b*dt,a)

互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

3.实现过程：

在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即

R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码：

dt=.1;

t=[0:dt:100];

x=3*sin(t);

y=cos(3*t);

subplot(3,1,1);

plot(t,x);

subplot(3,1,2);

plot(t,y);

[a,b]=xcorr(x,y);

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,a);

yy=cos(3*fliplr(t));%or use:yy=fliplr(y);

z=conv(x,yy);

pause;

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,z,'r');

即在xcorr中不使用scaling。

4.其他相关问题：

1)相关程度与相关函数的取值有什么联系？

相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。

相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。

对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致，但通常按下是这样认为的：

相关系数相关程度

0.00-±0.30微相关

±0.30-±0.50实相关

±0.50-±0.80显著相关

±0.80-±1.00高度相关

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3)与matlab中相关函数xcorr（）与相关度函数corrcoef（）的关系：

相关度函数：对于一般的矩阵X，执行A=corrcoef(X)后，A中每个值的所在行a和列b，反应的是原矩阵X中相应的第a个列向量和第b个列向量的相似程度（即相关系数）。计算公式是：C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2))，其中C表示矩阵[f,g]的协方差矩阵，假设f和g都是列向量（这两个序列的长度必须一样才能参与运算），则得到的（我们感兴趣的部分）是一个数。以默认的A=corrcoef(f,g)为例，输出A是一个二维矩阵（对角元恒为1），我们感兴趣的f和g的相关系数就存放在A(1,2)=A(2,1)上，其值在[-1,1]之间，1表示最大的正相关，-1表示绝对值最大的负相关

●相关函数xcorr函数是通过不反折的卷积来衡量这两个信号在不同位置的相似程度——

假设两个序列的长度分别是m和n，则得到的是一个长度为2*max(m,n)-1的序列，也就是说，当m和n不相等的时候，在执行xcorr的时候会先对短的那个序列进行0扩充，使得m与n相等；

●相关度corrcoef函数是通过协方差矩阵来衡量这两个信号在不同局部的相似程度，计

算公式是：C(1,2)/SQRT(C(1,1)*C(2,2))，其中C表示矩阵[f,g]的协方差矩阵，假设f 和g都是列向量（这两个序列的长度必须一样才能参与运算），则得到的（我们感兴趣的部分）是一个数。以默认的A=corrcoef(f,g)为例，输出A是一个二维矩阵（对角元

恒为1），我们感兴趣的f和g的相关系数就存放在A(1,2)=A(2,1)上，其值在[-1,1]

之间，1表示最大的正相关（例如x=[1;2;3],y=[5;7;9]），-1表示绝对值最大的负相关（例如x=[1;2;3],y=[12;7;2]）。对于一般的矩阵X，执行A=corrcoef(X)后，A中每个值的所在行a和列b，反应的是原矩阵X中相应的第a个列向量和第b个列向量的

相似程度（即相关系数）。

4）互相关函数图像的横坐标问题

以下例子，主要求两个信号的相位差，按照某篇参考资料的说法，t_max对应的值就应该是它们的相位差，但是这个程序中做出的互相关函数的横坐标不是-40到+40，而是0到1200，请问这个横坐标表示的是什么意思呢？

n=99;%设定每周期数据采集点数

T=6;%采样周期数

t=0:2*pi/(n-1):2*T*pi;%采样数

y1=4*sin(t);%信号1

y2=8*sin(t+pi/6);%信号2，相位差取pi/6

Cc=xcorr(y1,y2);%求互相关函数