求欧拉回路的Fleury算法
Fleury（佛罗莱）算法
Fleury（佛罗莱）算法FleuryFleury算法⽤于解决欧拉回路的具体输出路径问题，在算法开始之前，我们先⽤⼀个dfsdfs来判断这个图是否是⼀个联通块，然后再判断这个图中有奇数出度的点是否只有00个或者22个，如果是00个，则存在欧拉回路，如果是两个，则存在欧拉路径，对于欧拉回路，我们任意选择⼀个点作为dfsdfs的第⼀个点，对于欧拉路径，我们选取两个奇数出度的点中之⼀来作为dfsdfs的第⼀个点我们在求取的时候，⽤栈这种数据结构举个例⼦⽐如说这个图，显然奇数出度的点为11和22，于是我们选择⼀个点，⽐如说选择11，那么我们在dfs的过程中，按照dfs的顺序把点的编号放进栈中，⽐如我们的访问次序是12432，则把12432放⼊栈中，每经过⼀条边，就把这条边的正向边反向边打上标记表⽰这条路已经⾛过了，由于之前我们已经判过欧拉回路存在的充要条件了，所以请对这张图保持信⼼，⼀定是可以找到欧拉回路的，于是我们的算法流程就是：先把1放到栈中，然后把1-2的边的正向边反向边打上标记，表⽰已经⾛过了，然后再把2放到栈中，然后⾛2-4，打标记，4⼊栈，⾛4-3，打标记，3⼊栈，⾛3-2，打标机，2⼊栈，然后我们去⾛2的时候发现2已经⽆路可⾛了，她能⾛的所有边已经被打上了标记，也就是说这个点已经没有办法出去了，那么什么样的点进去了出不来呢？显然就是我们的奇数出度的点，于是我们在这⾥把栈顶输出，然后pop出去，然后回溯，每回溯到⼀个点都判断这个点是否还能⾛其他边，如果不能⾛的话，我们就输出这个点，然后再回溯，⼀直到⼀个点有其他边可以⾛，我们就把这个pop，但是不输出，然后再重新从这个点开始dfs⽐如说这幅图中，我们在dfs了2及右边之后，左边的1由于还有边可以⾛，于是不输出，从1再开始dfs，最后输出的序列就是2 , 4 , 3，2，1，5 , 6 , 1#include<iostream>#include<stack>const int MAXN=111;using namespace std;stack<int>S;int edge[MAXN][MAXN];int n,m;void dfs(int x){S.push(x);for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[x][i]>0){edge[i][x]=edge[x][i]=0;//删除此边dfs(i);break;}}}//Fleury算法的实现void Fleury(int x){S.push(x);while(!S.empty()){int b=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[S.top()][i]>0){b=1;break;}}if(b==0){printf("%d",S.top());S.pop();}else {int y=S.top();S.pop();dfs(y);//如果有，就dfs}}printf("\n");}int main(){scanf("%d%d",&n,&m); //读⼊顶点数以及边数memset(edge,0,sizeof(edge));int x,y;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);edge[x][y]=edge[y][x]=1;}//如果存在奇数顶点，则从奇数顶点出发，否则从顶点0出发int num=0,start=1;for(int i=1;i<=n;i++){ //判断是否存在欧拉回路int degree=0;for(int j=1;j<=n;j++){degree+=edge[i][j];}if(degree&1){start=i,num++;}}if(num==0||num==2){Fleury(start);}elseprintf("No Euler Path\n");return0;}。
欧拉回路的算法演示
欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。
1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。
例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。
某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。
当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。
此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。
注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
算法可以用于欧拉回路问题
算法可以用于解决欧拉回路问题。
在图论中，一个欧拉回路是指一条从某个节点开始并经过每条边恰好一次，最后回到起点的路径。
要找到一个给定图中的欧拉回路（如果存在的话），可以使用以下几种方法：
1. 深度优先搜索（DFS）：通过递归遍历图的所有可能路径来寻找欧拉回路。
2. 广度优先搜索（BFS）：利用队列进行层次遍历，检查每个顶点是否能够构成欧拉回路。
3. Hierholzer算法：这是一个专门针对欧拉回路问题的算法，它基于逐步插入回路的思想，首先找到一个环，并不断将新的边加入这个环直到形成完整的欧拉回路。
4. Fleury算法：该算法试图构建欧拉路径，同时保留与起始节点相连的桥梁，最终通过反向遍历来获得欧拉回路。
5. Ford-Fulkerson算法：虽然主要是用于求解最大流问题，但当所有边的容量为1时，此算法实际上是在寻找欧拉回路。
这些算法可以帮助你确定给定图中是否存在欧拉回路以及找到这样的回路。
请注意，不是所有的图都有欧拉回路。
要使一个图有欧拉回路，必须满足以下条件之一：
- 所有的顶点都是偶数度。
- 除两个奇数度的顶点外，其他所有顶点都是偶数度。
809 弗勒里算法
弗勒里算法Fleury's Algorithm
弗勒里（Fleury）于1883年提出，在存在欧拉道路/回路的无向图中构造该道路/回路的算法：
I E I=0? Y
选不是桥的与v关联的边
(除非无可选择) e，γ(e)= {v, u}
π←π◦e◦u , v ←u
删除边e 及孤立顶点（如果存在）N
|E| 自减1
选择图中一个奇数
度顶点v或任选一个顶点v
π← v
输出序列π
弗勒里算法Fleury (G)
输入：至多有两个奇数度顶点的图G=(V, E , γ )
输出：以序列形式呈现的欧拉回路/道路π
1.选择图中一个奇数度顶点v∈V，如果图中不存在奇数度顶点则任意选取一个顶点v，道路序列π←v
2.如果|E|≠0，则
2.1如果与v关联的边多于一条，则任选其中不是桥的一条边e；否则选择桥e
2.2假设e的两个端点是v和u，π←π◦e◦u，v ←u
2.3删除边e及孤立顶点（如果存在）
2.4返回步骤2
3.输出序列π
E nd。
弗罗莱(Fleury)算法求欧拉Euler通路回路
{ int a[200],x,i,k=0; LinkQueue Q; InitQueue(Q); EnQueue(Q,0); for(i=0;i<v;i++) a[i]=0; a[0]=1; while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,x); for(i=0;i<v;i++) if(G[x][i]>0) if(a[i]!=1) { a[i]=1; EnQueue(Q,i); }//if }//while for(i=0;i<v;i++) if(a[i]==0) { k=1; break; } if(k==1) return 0;
离散数学-16树(课件模板)
求基本回路的算法
设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径(u,v)，再并上弦e
，即得对应e的基本回路。
举例
求下图中的基本回路系统。
对应生成树的弦分别为 e6,e7,e8,e10,e11。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
S1＝{e1,e7,e8} S2＝{e2,e7,e8,e10,e11} S3＝{e3,e10,e11}
S4＝{e4,e6}
S5＝{e5,e6,e10,e11}
S6＝{e9,e8,e11}
此图的割集秩为6，基本割集系统为{S1,S2,S3,S4,S5,S6}。
说 无向连通图G的割集秩与生成树的选取无关，但不同生成 明 树对应的基本割集系统可能不同。
例16.3
例16.3 求下图所示两个图中的最小生成树。
W(T1)＝6
W(T2)＝12
例题
例如 求所示图的一棵最小生成树。 解答
最小生成树 W(T)=38
小节结束
16.3 根树及其应用
设D是有向图，若D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在所有的有向树中，根树最重要， 所以我们只讨论根树。
二叉树的应用
欧拉回路构造算法
欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。
欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。
欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。
Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。
2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。
3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。
4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。
Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。
Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。
具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。
2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。
3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。
欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。
通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。
欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。
不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。
通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。
希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。
第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。
欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。
在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。
欧拉回路
fleury算法:aco上提供的算法:# circuit is a global arrayfind_euler_circuitcircuitpos = 0find_circuit(node 1)# nextnode and visited is a local array# the path will be found in reverse orderfind_circuit(node i)if node i has no neighbors thencircuit(circuitpos) = node icircuitpos = circuitpos + 1elsewhile (node i has neighbors)pick a random neighbor node j of node idelete_edges (node j, node i)find_circuit (node j)circuit(circuitpos) = node icircuitpos = circuitpos + 1总结: 这种算法的时间复杂度是o(e)的,空间复杂度也是o(e)的,这种算法的特点是最后倒序输出,这个地方需要特别重视一下,在图有欧拉通路或者有欧拉回路的时候,我们总可以从一个合适的点出发,找到一条欧拉路.可以做一下usaco的3.1的题目.2.fleury算法:(1).任取v0属于v(G),令P0=v0;(2) 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍,按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…..ei}中任取ei+1 ;(a) : ei+1与vi相关联:(b): 除非无别的边可供行遍,否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,….ei}中的桥.(3): 当(2)不能再进行时,算法停止.可以证明,当算法停止时所得的简单回路Pm=v0e1v1e2….emvm(vm=vo)为G中的一条欧莱回路.总结:这种算法的复杂度是o(e*e),相队于前面那种算法在时间上没有什么优势,但是由于他是顺序找的,所以用这个来求解题目有时候会收到奇效,比如说题目要求欧拉回路字典序最小,先前的哪一种算法扎这个时候可能无能为力,但是用这个算法仍旧能够漂亮的解决这个问题大家可以参考一下pku的2337,一道很好的用fleury算法求解的题目。
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一、实验内容：
判断图G是否存在欧拉回路，若存在，输出其中一条欧拉回路。
否则，显示无回路。
二、实验过程与结果
1.问题简介：通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图
2.算法思想（框图）：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1：
（a）ei+1与vi相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,…,ei}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2…emvm(vm=v0)为G中一条欧拉回路。
3.数据输入：
边数5，点数6
相关联的点1 2
1 3
2 5
4 2
3 2
4 5
4.运行结果：
存在欧拉回路1，3，2，4，5，2，1
5.分析总结：
Fleury算法是求欧拉图的十分有效的算法，在执行过程中需要用到类似于图的深度优先遍历，因为该算法就是需要将已找到的路径不断的扩展下去，直到将所有边扩展进路径。
三、完整源程序
#include <>
#include <>
#include <>
struct stack
{
int top , node[81];
} T,F,A; //顶点的堆栈
int M[81][81]; //图的邻接矩阵int n;
int degree[81];
bool brigde(int i,int j)
{
int flag[81],t,s;
for(s=1;s<=n;s++)
flag[s]=0;
if(degree[i]==1)
return false;
else
{
M[i][j]=0;M[j][i]=0;
=1;
[1]=i;
flag[i]=1;
t=i;
while>0)
{
for(s=1;s<=n;s++)
{
if(degree[s]>0){
if(M[t][s]==1)
if(flag[s]==0)
{
++;
[]=s;
flag[s]=1;
t=s;
break;
}
}
}
if(s>n){
;
t=[];
}
}
for(s=1;s<=n;s++)
{
if(degree[s]>0)
if(flag[s]==0)
{
M[i][j]=M[i][j]=1;
return true;
break;
}
}
if(s>n)
return false;
}
}
void Fleury(int x) //Fleury算法{
int i,b=0;
if<=n+1){
++;[]=x;
for(i=1;i<=n;i++)
if(M[x][i]==1)
if(brigde(x,i)==false)
{
b=1;
break;
}
if(b==1)
{
M[x][i]=M[i][x]=0;
degree[x]--;
degree[i]--;
Fleury(i);
}
}
}
void main()
{
int m , s , t , num , i , j,flag[81];
//input
cout<<"\n\t输入顶点数和边数:";
cin>>n>>m; //n顶点数m边数
memset(M , 0 , sizeof(M));
for (i = 1; i <=n; i ++)
degree[i]=0;
for (i = 0; i < m; i ++)
{
cout<<"\n\t\t输入第"<<i+1<<"边的顶点:";
cin>>s>>t;
M[s][t] = 1; M[t][s] = 1;
degree[s]=degree[s]+1;
degree[t]=degree[t]+1;
}
//判断是否存在欧拉回路
for(i=1;i<=n;i++)
flag[i]=0;
s = 0; //判断是否连通=1;
[1]=1;
flag[1]=1;
t=1;
for(j=2;j<=n;j++)
{
if(M[t][j]==1)
{
++;
[]=j;
flag[j]=1;
t=j;
break;
}
}
if(j>n)
s=1;
else{
while<=n&&>=1)
{
for(j=2;j<=n;j++)
{
if(M[t][j]==1)
if(flag[j]==0)
{
++;
[]=j;
flag[j]=1;
t=j;
break;
}
}
if(j>n){
;
t=[];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(flag[i]==0)
{
s=1;
break;
}
}
if(s==0) //判断有无奇度点
{
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
num = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
num += M[i][j];
if (num % 2 == 1)
{
s ++;
break;
}
}
}
if (s == 0) {
=0;
Fleury(1);
cout<<"\n\t该图的一条欧拉回路：";
for(i=1;i<=m+1;i++){
cout<<[i]<<" ";
}
}
else
cout<<"\n\t该图不存在欧拉回路!\n"; }。