新北师大版九年级下册2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 对称轴是_y轴 __,顶点是 (0,0) ;
向下 ,
5.关于二次函数y＝2x2，下列说法正确的是( B ) A．它的开口方向是向下 B．当x<0时，y随x的增大而减小 C．它的对称轴是x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是0
典例精析
例1 若点(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y= -3x2图象上
2
4
要点归纳
y＝ax2
图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性
a>0 y
O x
a<0 y O
x
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
课堂小结
二次函数y=ax2+c（a≠0)的图象和性质 图 象 1.开口方向由a的 符号决定； 性 质 增减性结合 开口方向和
与y=ax2 的 关 系
平移规律：
c正向上；
2.c决定顶点位置； 对称轴才能 3.对称轴是y轴. 确定.
c负向下.
－4
－2
y 2 x2
8 6 4 2
2
4
问题3 图象的顶点坐标是什么？ 原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？ 最小值是什么？ x=0时，ymin=0.
y 2 x2
8 6 4 2 －2
问题5 当x<0时，随着x值的增大， y值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. －4
要点归纳
二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+c 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞ 0 向上 直线x=0 a＜ 0
向下
直线x=0 （0,c） 当x=0时，y最大值=c
（0,c）
当x=0时，y最小值=c
增减性
当x＜0时，y随x的增 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＞0时， 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
（2）函数y= -x2+1，当x
而减小；当x
>0
时， y随x的增大
=0
时，函数y有最大值，最大
值y是 1
，其图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x
轴的交点坐标是 (-1,0),(1,0) . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐 标. 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的 图象与性质
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象.（难点）
2.掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
（重点）
3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.
4
二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
合作探究 做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x · · · －2 －1.5
9 5.5 3.5
－1
3 1
0
1 －1
1
3 1
1.5
5.5 3.5
2
9 7
· · · · · · · · ·
· · y =2 x2＋1 ·
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开
口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
2+m m 8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向
上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
· · 7 y = 2x2－1 ·
再描点，连线
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与 抛物线y=2x2 有什么关系？
10
8Байду номын сангаас
y = 2x2 ＋ 1 y = 2x2－ 1
6
4 2 －4 －2 －2
2
4
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长
度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平 移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
8
6 4 2 －4 －2 2
y
4
1 2 x 2
问题 在同一直角坐标系中，画出函数
y x2
1 y x 2 , y 2 x 2， 2
的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值 当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
－4 －2 －2 －4 －6
y 2 x2 yx
2
有什么关系？
练一练 1.函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点 是 (0,0) ;
2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 , (0,0) 顶点是抛物线的最____ 高 点 顶点是_____
3.函数y= 3 x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点 低 点. 是(0,0) ;顶点是抛物线的最____
k 2 k 4 2 因此， k 2＞0
解得 k=2
合作探究 1 2 2 y x , y x , 问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
2
y 2x2 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有
什么关系？ 当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
y x2 y 2 x2
的两点，且x1＞x2＞0，那么y1与y2的大小关系是 y2＞y1 _____________.
例2 已知 y (k 2) x
k 2 k 4
是二次函数，且当x＞0时，
y随x增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)x
k 2 k 4
是二次函数，即二次
项的系数不为0，x的指数等于2. 又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项 的系数大于0.
列表.
x · · · －1.5 －1 －0.5 0
· · ·
0.5 0.5
1 2
1.5 4.5
· · ·
· · ·
4.5
2
0.5
0
y x2
y 2 x2
描点，连线.
8
6
4
2
－4 －2 2
4
观察思考 问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？ y轴就是它的对称轴.
当堂练习
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物
线 y = 2x2－４ ． 2.填表：
函数 y = ３ x2 y = 3 x 2＋ 1 y = -4x2－5 开口方向 顶点 对称轴
有最高（低）点
向上 向上 向下
（0,0） (0,1) (0,-5)
y轴 y轴 y轴
有最低点 有最低点 有最高点
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过
点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，
0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是__________. y 1＞ y 2
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次 函数y＝ax2＋c的图象大致为( D )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
合作探究
10 y = 2x2＋ 1 y = 2 x2－ 1
问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开 口方向、对称轴和顶点各是什么？
8 6 4
二次函数 开口 顶点 对称 方向 坐标 轴 y =2 x2 向上 (0,0) y轴 y =2 x2＋1 向上 (0,1) y轴
要点归纳 二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移
得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
练一练 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D ) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图 象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. 2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的 对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标. 对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).
2
4
1 y x2 2
－8
要点归纳
在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
针对训练 把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号） （1）y=3x2的图象是_______ ③ ； 1 2 （2）y= x 的图象是_______ ① ； 3 （3）y=-x2的图象是_______ ④ ； 3 2 （4）y=- x 的图象是_______ ． ②
北师大版数学九年级下册 二次函数y=ax2的图象与性质教案与反思
第1课时二次函数y=ax2的图象与性质知人者智，自知者明。
《老子》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a0时，拋物线y=ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y=ax2的开口向下顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
北师大版九年级数学下册二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质同步练习题
2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形; (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求:(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米?(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形;(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
第2课时 确定二次函数y=ax2+bx+c的表达式 数学北师大版九年级下册教案
第二章二次函数3 确定二次函数的表达式第2课时确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式教学目标教学反思1.经历确定二次函数表达式y＝ax2＋bx＋c的过程，体会求二次函数表达式的方法.2.已知二次函数图象上三个点的坐标，运用待定系数法确定二次函数表达式.3.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养学生数学应用意识.教学重难点重点：利用二次函数图象上三个点的坐标确定二次函数表达式.难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式确定二次函数的表达式．教学过程导入新课1.一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，所以我们把________________________叫做二次函数的一般式.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c，用配方法可化为y＝a(x－h)2＋k，顶点是(h，k).配方:y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a(x＋)2＋.对称轴是直线x＝，顶点坐标是,其中h＝，k＝，所以，我们把___________叫做二次函数的顶点式.思考问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(－3,0),(1,2),(－1,－4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?让学生独立分析题目中的已知条件,回忆上节课利用待定系数法求二次函数表达式的方法,互相交流.设计意图：通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.探究新知一、预习新知教师提出问题已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上的三个点可以确定这个二次函数的表达式吗？多媒体展示题目已知一个二次函数的图象经过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求这个二次函数的表达式.让学生回忆上节课的知识独立解答，找学生代表展示解题过程.利用上节课的知识，学生都能很容易地得到函数表达式.师：知道了函数图象上的三个点的坐标，除了用上节课的解法，我们还能不能直接用待定系数法设成y ＝ax 2＋bx ＋c 进行解答呢？给学生留出足够的思考时间，与同伴交流想法，再小组内讨论，最后由组长展示解答过程，师生共同订正.解：设所求的二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点坐标分别代入表达式,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++,4,424,1c c b a c b a 解这个方程组,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.4,6,1c b a ∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－6x ＋4.教师点评：通过上面的探究可知，如果已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上三个点的坐标，那么就可以确定这个二次函数的表达式.设计意图：利用上节课所学的知识进行引入，既复习了旧知，又引出了新知，进而学习本节课的解题方法，同时也为下面的学习做好了铺垫.二、合作探究前面我们已经探究了利用两个点或三个点的坐标确定二次函数表达式的方法，你能利用所学知识解决下面的问题吗？多媒体展示课本议一议.一个二次函数的图象经过点 A （0，1），B （1，2），C （2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流．教师要求学生仔细观察给出的三个点的特征，根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答，教师巡视发现学生不同的解法，并找解法不同的学生说明思路.生1：因为二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c ＝1，所以我们可以设表达式为y ＝ax 2＋bx ＋1，然后代入B ，C 两点的坐标求解.生2：由A ，C 两点的纵坐标相等得到点B 是顶点，可以设成顶点式y ＝a (x －1)2＋2，然后代入点A 或C 的坐标求解.生3：由图象经过三个点，可以设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，然后代入三个点的坐标求解.教师对三位学生的解题思路给予肯定，让学生用三种不同的方法解答本题，最后根据这两节课的探究，总结确定二次函数表达式的方法.典型例题【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【问题探索】已知二次函数的图象经过三点，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 将(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点的坐标分别代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2243⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋318，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛83143，.教学反思【总结】用待定系数法求二次函数表达式，当已知抛物线经过的三点坐标时，通常设二次函数的一般式，即设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的表达式．【问题探索】已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数表达式较为简便？【解】设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)． 将点(3，－4)的坐标代入，得－4＝－8a ，解得a ＝12.则该抛物线的表达式为y ＝12(x ＋1)(x －5)，即y ＝12x 2－2x －52.【总结】用待定系数法求二次函数表达式时，若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2,0)，可选择设其表达式为交点式，即y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．课堂练习1.已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为( )A.y ＝2x 2＋x ＋2B.y ＝x 2＋3x ＋2C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2－3x ＋22.已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝－5；当x ＝－1时，y ＝－4；当x ＝－2时，y ＝5.则这个二次函数的表达式是( )A.y ＝4x 2＋3x －5B.y ＝2x 2＋x ＋5C.y ＝2x 2－x ＋5D.y ＝2x 2＋x －53.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x 轴的一个公共点A 的横坐标为－3，则这个函数的表达式为.4.已知抛物线的顶点坐标是(3，5)，且经过点A (1，3)． (1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是点B ，且抛物线与y 轴的交点是点C ，求△ABC 的面积．参考答案1.D2.A3.y ＝2x 2＋4x －64.解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将点A (1，3)的坐标代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－12.即抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5.(2)∵A (1，3)，且抛物线对称轴为直线x ＝3， ∴B (5，3)．令x ＝0，得y ＝－12(0－3)2＋5＝12，教学反思∴C ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴S △ABC ＝12×(5－1)×⎪⎭⎫ ⎝⎛-213＝5.课堂小结(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；（已知抛物线上三点坐标或三对x 、y 的值，用一般式） (2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．（已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1，x 2，用交点式）板书设计第二章 二次函数 3 确定二次函数的表达式第2课时 确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ; 顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ; 交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2). 教学反思。
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
北师大版九年级下册数学教案：2.2二次函数的图像和性质
3.培养学生通过探索二次函数图像的规律，培养数据分析观念和推理能力，增强问题解决策略。
4.培养学生在研究二次函数过程中，形成合作交流、勇于探究的学习态度，提高数学学习兴趣和信心。
5.通过对二次函数图像和性质的深入学习，培养学生数学建模素养，为解决实际生活中的问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数图像的绘制：重点讲解如何根据二次函数的一般形式准确绘制出函数图像，包括确定顶点、开口方向等。
-二次函数的性质：强调二次函数图像的对称性、开口方向、最值、增减性等核心性质。
-图像与性质的相互关系：通过实例分析图像特征与函数性质之间的关系，如顶点坐标与最值的关系，a的符号与开口方向的关系。
-理解a对图像的影响：学生需要理解a的值不仅影响图像的开口方向，还决定了图像的“胖瘦”，即函数的增长速率。
举例：
-难点1：对于图像y = ax^2 + bx + c，学生可能难以理解为何顶点坐标可以通过方程的系数直接计算得出。教学中需要通过图示和具体例子来解释这一关系。
-难点2：在理解二次函数的对称性时，学生可能难以将对称轴的概念与实际图像联系起来。可以通过绘制具体的图像，并引导学生观察对称轴与图像的关系来突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像的绘制和性质分析。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象 限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函 数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛 物线的函数表达式为 y＝x2＋4
2.2二次函数的图象和性质第二课时二次函数y=ax2与y=ax2+c
④
1).
图象为
①.
③
2).
3).
y 4x
2
③
图象为
图象为
①
o
2 2 y x 3
②.
.
x
②
④ 2 +5 的图象可由抛物线 y = -2x 2 经过 2. y = -2x 4). 图象为 .
沿y轴向上平移5个单位 得到的. 它的对称轴是 y轴 , 顶点坐标是（0，5） ,在x<0时.y值随x的增大而 增大 ； 与x轴有 2个 交点。
7.对于抛物线 y=x2和 y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说 法错误的是（ ） A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点 8.已知抛物线 y=mx2＋ n向下平移 2个单位后得到的函数图像
9.如图，直线 l 经过 A（ 3 ， 0）， B（ 0 ， 3）两点，且与二次 函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
y y 2 x 1
2
y 2 x 2
位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象 与二次函数y=3x² 的图象. 二次函数y=3x² 一l的图象与二次函数y=3x² 的图 象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
想一想
你知道函数y=3x2-1的 大致图象和位置吗?
y 1.