代数式最值
代数式求值的常用方法
代数式求值的常用方法一、代入法代入法是最常见和最简单的一种代数式求值方法。
它的基本思想是将代数式中的未知数换成给定的具体数值，然后计算出结果。
代入法的具体步骤如下：1.将未知数换成给定的具体数值，常用的数值有整数、分数、小数等；2.将代入后的具体数值代入代数式中，计算代数式的值。
举例来说，假设给定的代数式是4x+3，要求当x取2时的值。
那么按照代入法，我们将代数式中的x换成2，并进行计算：4×2+3=8+3=11、所以，当x取2时，代数式4x+3的值为11除了求给定的代数式的值外，代入法还可以用来验证代数等式的真假。
比如，已知等式2x+3=11，我们可以将等式中的x换成具体的数值，然后计算出等式的右边和左边的值，如果两边的值相等，就说明该等式成立。
二、化简法化简法是将复杂的代数式通过一系列的化简步骤，简化成更简洁的形式。
在实际问题中，常常遇到一些复杂的代数式，如果直接代入数值计算，会非常繁琐。
此时，我们可以利用化简法将代数式化简成更简单的形式，从而便于计算。
化简法的基本思想是运用代数式的基本运算法则，比如合并同类项、分配律、移项等，将代数式中的项进行合并和简化。
举例来说，假设给定的代数式是(x+2)(3x-4)，我们可以运用分配律将其展开，并结合同类项进行简化：x×3x+x×(-4)+2×3x+2×(-4)=3x^2-4x+6x-8=3x^2+2x-8通过化简，原来的复杂代数式被简化成了一个二次多项式。
这样，在给定具体数值后，就可以直接计算出其值。
三、分解法分解法是将代数式中的复杂项分解成多个简单项的乘积，并进一步进行计算的方法。
具体而言，分解法包括提取公因式、配方法、平方差公式等。
1.提取公因式：通过将代数式中的公共因子提取出来，将代数式分解成多个因子的乘积。
比如，对于代数式3x+6，可以提取公因式3，得到3(x+2)。
2.配方法：通过运用二次项的平方公式，将代数式分解成两个平方项的差、和的形式。
用绝对值的几何意义解题
三、求字母的取值范
例3.1若|x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．
例3.2对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．
四、解不等式
例4不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．
【
前节知识回顾：|x-2|+|3x+6|
例1：在公路AD段有四个车站，依次为A、B、C、D。现准备在公路AD段建一个加油站M，要求使A、B、C、D各站到加油站M的总路程最短。加油站M应该建在何处？
1．如图1，如果四个车站中，每两个车站之间的距离都是5千米，加油站M应建在何处？各车站到加油站的最小的总路程是多少？
2．如图2，如果四个车站不是均匀分布的，只知道A、D距离为a千米，B、C距离为b千米，加油站M应建在何处？
各车站到加油站的最小的总路程是多少？
3．原题中，各车站到加油站的最小的总路程（用线段的和表示）是多少？
与A、B、C、D每相邻两点之间的距离有关系吗？
4．如图3，如果有A、B、C、D、E
五个车站，加油站M应建在何处？
4、|3x+6|+|2x-4|
5、|x+4|+|3x-3|+|3x+6|+|2x-4|
【课后过手训练一】
| x+4|+|3x-3|+| x+6|+|2x-4|
【课后过手训练
1．若方程 的解分别是 、 ，则 =______．（希望杯邀请赛试题）
2．方程 的解是______． （希望杯邀请赛试题）
求代数式的最值的解题策略
求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型 求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１ ２ｍ－１ ２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于 知和求和型 求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为 １ 的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。
初中数学最小值问题
初中数学最小值问题在初中数学中，最小值问题是一个常见的问题，涵盖了多个方面，包括代数式求最值、一次函数或二次函数的最值、几何图形中的最值问题、方程式的最值以及数据分析中的最小值问题。
下面我们将逐一介绍这些方面。
1. 代数式求最值代数式求最值是初中数学中的一个重要问题。
通常，我们需要通过配方、平方和、平方法等技巧，将代数式转化为能够求最值的表达式。
例如，对于一个二次函数y=ax²+bx+c，当a>0时，函数存在最小值，这个最小值可以通过公式求得。
2. 一次函数或二次函数的最值一次函数或二次函数的最值也是初中数学中常见的问题。
对于一次函数，可以通过观察图像或者利用一次函数的性质来求最值。
对于二次函数，可以通过配方或者利用二次函数的顶点坐标来求最值。
3. 几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题通常涉及到长度、角度、面积等方面。
这类问题需要结合几何知识，运用相关的定理和公式来求解。
例如，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F在BC上，且∠FBE=∠ABE。
求证：EF最短。
4. 方程式的最值方程式的最值问题通常涉及到求解方程的最小或最大值。
这类问题需要运用相关的代数知识，通过对方程进行变形或者利用判别式等方法来求解。
例如，对于方程x²+2x+1=0，我们可以利用配方法将其转化为(x+1)²=0，从而求解。
5. 数据分析中的最小值问题在数据分析中，最小值问题通常涉及到在一组数据中找到最小值。
这类问题需要运用相关的统计知识，通过观察数据分布或者利用计算最小值的方法来求解。
例如，在一组数据中，我们可以观察到数据分布的情况，从而找到最小值。
总之，初中数学最小值问题是一个涵盖多个方面的问题。
在求解最小值时，我们需要根据不同的情况运用不同的方法来求解。
通过掌握这些方法，我们可以更好地解决最小值问题。
提优专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧(原卷版)
专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版） 专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。
恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。
通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（ ） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ． 变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1． 这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式． （1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。
代数式求最值的方法
代数式求最值的方法
嘿，朋友！今天咱就来好好唠唠“代数式求最值的方法”。
先来说说配方法吧！就好比把一堆杂乱的积木整理好搭成一个漂亮的建筑。
比如x²+6x+5，咱就可以把它配成(x+3)²-4，这样不就能轻松找到最值啦！
然后呢，是利用不等式求最值，这就好像是给代数式装上了一个约束的框框。
比如说 2x+3y，咱知道x≥0，y≥0，x+y=4，那就能根据这些条件找出最值咯！
还有换元法哦！就像是玩一个变身游戏。
例如，看到根号下x²+1，可以令 t=根号下x²+1，哇，是不是顿时感觉不一样啦！
另外，判别式法也很厉害呀！就如同侦探在找线索一样。
例如对于二次函数y=ax²+bx+c，通过判别式来判断有没有最值，是不是超有趣的！
总之，这些方法各有各的奇妙之处，就看你怎么去运用啦！赶紧去试试吧，朋友！你一定会发现其中的乐趣和奥秘的！。
高一数学代数式的最值练习题
高一数学代数式的最值练习题【例1】 若0x >，则423x x++的最小值是_________．【例2】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．【例3】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．典例分析【例4】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【例5】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．【例6】 正数a 、b 满足9a b =，则1a b+的最小值是 ．【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．【例8】 设0,0x y ≥≥，2212y x +=，则的最大值为 ．【例9】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为【例10】 设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【例11】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值是 ．【例12】 已知()23200x y x y+=>>，，则xy 的最小值是 ．【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．【例14】 0,0,4,a b a b >>+=求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【例15】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．【例16】 已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值为 ．【例17】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ，此时a = ，b = ．【例18】 求函数2y =的最小值．【例19】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是 ．【例20】 设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是 ．【例21】 求函数y =的最小值．【例22】 求函数2211()1f x x x x x =++++的最小值．【例23】 已知3x ≥，求4y x x =+的最小值．【例24】 求函数2y =A ．1B ．2C ．3-D ．2-【例26】 ⑴求函数2241y x x =++的最小值，并求出取得最小值时的x 值．⑵求y =的最大值．【例27】 ⑴求函数211ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值． ⑵求函数312y x x=--的取值范围．【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值． ⑵求2y = ⑶求函数2y =的最值．【例29】 ⑴已知54x <，求函数11454y x x=-+-的最小值． ⑵求函数312y x x=--的取值范围． ⑶求函数22(2)y x x =-的最大值．【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222()≥a b a b x y x y+++，指出等号成立的条件； ⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0)2，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．【例31】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-++->和2213()32(0)f x x x x x x=+++->的最小值．【例32】 求函数422331x x y x ++=+的最小值．【例33】 函数()f x =的最大值为（ ）A ．25B ．12CD ．1【例34】 设函数1()21(0)f x x x x =+-<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数【例35】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值为 ．【例36】设00，a b>>3a与3b的等比中项，则11a b+的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．1 4【例37】已知：0x>，求234xx+的最小值．【例38】已知：,,0,1x y z x y z>++=，求149x y z++的最小值．【例39】已知a、b、c+∈R且1a b c++=【例40】 求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．【例41】 若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值．【例42】 已知0,0a b >>，1a b +=2．【例43】 已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b x y+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值．【例44】 若，a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．【例45】 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b +的最大值为（ ）A ．1552 B ．42 C D。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
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所以
所以 的最小值为 。
六、换元法
例6.求 的最大值。
解：因为 ，所以
则可设
所以
所以当 ，即 时， 有最大值1。
七、利用基本不等式法
例7.若 ，那么代数式 的最小值是_____________。
解：当 时
因为
所以
即
因为
所以
所以 的最小值为1。
关于代数式的最值
求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。
一、配方法
例1.设a、：
因为 ，
所以当 且
即 且 时，式子 的值最小，最小值为－1。
二、计算法
所以当 时即 时y取最大值 。
五、坐标法
例5.已知： ，求： 的最小值。
解：如图2，建立直角坐标系， 的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。
图2
设P（x，y）是直线 上的一动点，由勾股定理知 表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当 时， 最小。
作 ，垂足为C。
例2.已知： ， ， ，则 的最小值为（）
A. B.
C. D.
解：由
解得
因为
所以只要 最小， 就最小，通过计算当 ， ；或 时 最小，最小值为
所以 的最小值为
故选B
注：也可把a、b、c的值直接代入 通过计算并比较，从而求出其最小值。
三、消元法
例3.已知： ，则 的最大值是___________，最小值是_________。
解：由 得
所以
所以
所以
所以当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最小值为－2。
四、构造法
例4.求 的最大值。
解：原式可变形为
其中 可以看成是以 ， 为直角边的直角三角形的斜边长， 可以看成是以 ， 为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。
图1
当C点与D点不重合时，即 时，在 中有
即
当C点与D点重合时，即 时