高中数学专题讲义-最值问题 代数式的最值
高考数学二轮复习微专题13利用基本不等式求代数式的最值问题(含解析)
微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级(熟例题：(2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，求a24－2a ＋b2－1b 的最小值．变式1若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则x 1－x2＋y1－y2的最小值是________________．变式2(2018·苏州调研三)设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋9yy －x，则y 的最小值是________________．串讲1已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y ＝10，则xy 的取值范围为________________．串讲2已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为________________．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________________．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，求4a －1＋16b －1的最小值．答案：16.解析：因为a>0，b>0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，2分则4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1） （b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×b a ＋4a b ≥20＋4×2× b a ·4ab＝36，6分 微专题13例题答案：7.解法1a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1，下面只要求a 2＋4b 2的最小值即可．因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，所以ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号；又a 2＋4b 2≥2(a·2b)≥32，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，则a 2＋4b24－1≥7.解法2a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 24－1＝（a ＋2b ）2－4ab 4－1＝a 2b 2－4ab 4－1＝（ab －2）2－44－1；因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，得ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，所以（ab －2）2－44－1≥7.解法3因为ab －a －2b ＝0，所以a ＝2b b －1.那么a 2＋4b 2＝4b 2＋4b 2（b －1）24⎣⎢⎡⎦⎥⎤（c ＋1）2＋（c ＋1）2c 2＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c≥4(22a 2＋4b24－1≥7.解法4因为ab －a －2b ＝0，有2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2≥4ab·⎝ ⎛⎭⎪⎫22ab 2＝32.，则a 2＋4b24－1≥7.解法5因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 2＝a 2b 2＋16b 2a 2＋4a b ＋16b a a 2＋4b24－1≥7.解法6因为ab －a －2b ＝0，令a ＝m ＋n ，2b ＝m －n ，有m 2－n 2＝4m ，n 2＝m 22＋4b 2＝2(m 2＋n 2)＝2(2m 2－4m)＝4(m －1)2－4≥4(4－1)2a 2＋4b 24－1≥7.解法7因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ；那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4·sin 4θ＋cos 4θsin 4θcos 4θ＝ 4·1－2sin 2θcos 2θsin 4θcos 4θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t ，其中t ＝ sin 2θcos 2θ＝sin 22θ4≤14，则4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2－2t a 2＋4b 24－1≥7. 解法8因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ，那么a 2＋4b 2＝4cos 4θ＋4sin 4θ＝4⎣⎢⎡（sin 2θ＋cos 2θ）2sin 4θ＋ ⎦⎥⎤（sin 2θ＋cos 2θ）2cos 4θ＝4 ⎣⎢⎡sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θsin 4θ＋⎦⎥⎤sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θcos 4θ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋t 4＋2t 2＋2t 2＋1t 4＋1a 2＋4b 24－1≥7. 说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果：4cos 4θ＋4sin 4θ＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤13（sin 2θ）2＋13（cos 2θ）2≥4（1＋1）3（sin 2θ＋cos 2θ）2＝32. 变式联想变式1答案：2 2.解析：x 1－x 2＋y 1－y 2＝x y 2＋yx 2≥21xy ＝2xy≥2x 2＋y 22＝ 2 2. 变式2答案：3＋10.解析：由题意可知y －x ＝1y ＋9x ，即y －1y ＝x ＋9x ≥6，当且仅当x ＝3时，取等号；由y>0，y －1y ≥6可知y 2－6y －1≥0，解得y≥3＋10. 串讲激活串讲1答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，83.解析：设xy ＝k ，代入整理得10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k x ＋3k ＋2x ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k （3k ＋2），解得1≤k≤83.串讲2 答案：22. 解法1令a ＝1－x ，b ＝x ＋3，则a 2＋b 2＝4.又由－1≤x≤3可知a ，b ∈[0，2]．由（a ＋b ）24＝a 2＋2ab ＋b 2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2，当ab ＝0时，a ＋b ＝2；当ab≠0，（a ＋b ）24＝1＋2aba 2＋b 2＝1＋2b a ＋a b，由b a ＋a b ≥2得1<（a ＋b ）24≤2，即2<a ＋b≤2 2.综上可知，a ＋b∈[2，22]，m M ＝22.解法2y 2＝4＋24－（x ＋1）2∈[4，8]，∵y ≥0，∴y ∈[2，22]∴m＝α，M ＝22，∴m M ＝22. 解法3设1－x ＝2cos α，3＋x ＝2sin α，α∈[0，π2]，∴y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴y ∈[2，22]，下面同解法2. 新题在线答案：14.解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ，因为对于任意x ，2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得2a＋2－3b≥2×2a ×2－3b＝2×2－6＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b，a －3b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，时等号成立．综上可得2a ＋18b 的最小值为14.。
关于代数式最值
关于代数式的最值求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。
一、 配方法例1. 设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值是___________。
解：a ab b a b 222++--=+-+-a b a b b 2212()=+-+--()()a b b 12341122 因为()a b +-≥1202，34102()b -≥ 所以当a b +-=120且b -=10即a =0且b =1时，式子a ab b a b 222++--的值最小，最小值为－1。
二、 计算法例2. 已知：a b 221+=，b c 222+=，c a 222+=，则ab bc ca ++的最小值为（）A. 312- B. 123- C. --123 D. 123+解：由a b b c c a 222222122+=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪解得a b c =±=±=±⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪222262因为ab bc ca a b c a b c ++=++-++()()22222 =++-()a b c 2522所以只要||a b c ++最小，ab bc ca ++就最小，通过计算当a b ==2222，，c =-62；或a b c =-=-=222262，，时||a b c ++最小，最小值为262- 所以ab bc ca ++的最小值为()262522212645221232--=-+-=- 故选B注：也可把a 、b 、c 的值直接代入ab bc ca ++通过计算并比较，从而求出其最小值。
三、 消元法例3. 已知：x y 2221+=，则252x y +的最大值是___________，最小值是_________。
解：由x y 2221+=得y x 2212=- 所以1202-≥x 所以-≤≤11x所以25251222x y x x +=+⨯- =-++522522x x =--+522529102()x 所以当x =25时，252x y +的最大值为2910；当x =-1时，252x y +的最小值为－2。
代数最值问题的常用解法
代数最值问题的常用解法
代数最值问题在数学中是一个常见的问题，它涉及到寻找代数表达式的最大值或最小值。
解决这类问题通常需要一些技巧和策略，下面是一些常用的方法：
1.配方法：对于形如 ax^2 + bx + c 的二次函数，如果
a > 0，则函数有最小值，该最小值为 (4ac - b^2) / 4a；如
果 a < 0，则函数有最大值，该最大值为 (4ac - b^2) /
4a。
这种方法的关键是将原式转化为完全平方的形式。
2.不等式法：利用基本不等式（如AM-GM不等式）来找
到代数表达式的上界或下界。
这种方法适用于处理含有平方和或平方差的不等式。
3.换元法：通过引入新的变量来简化代数表达式。
这通
常用于处理复杂的代数表达式或无理函数的最值问题。
4.导数法：对于一些难以直接分析的函数，求导后可以
通过分析导数的正负来判断函数的单调性，从而找到极值点。
5.参数方程法：对于含有参数的代数表达式，可以通过
参数的变化来找到最值。
这种方法常用于处理三角函数的最值问题。
6.数形结合法：将代数问题转化为几何问题，通过分析
图形来找到最值。
这种方法在处理一些涉及距离、面积或体积的最值问题时非常有效。
7.构造法：通过构造新的函数或表达式来找到最值。
这
需要一定的创造性思维和对数学知识的深入理解。
以上方法并非互斥，有时需要结合使用。
解决代数最值问题时，关键是理解问题的本质，选择合适的方法，并灵活运用数学知识。
学而思高中数学4-最值问题之代数式的最值
目川怔典例分析4【例1】若x 0 ,则2 3x 一的最小值是______________xR，则a b 3，则2a 2b的最小值是【例2】若a、b R，且a b 1,则ab的最大值是【例3】-> 9对任意正实数x , y恒成立，则正实数a的最小值y为( )A. 8B. 6C. 4D. 2【例6】正数a、b满足a 9，则a -的最小值是b b【例5】当x时，函数y x2(2 x2)有最___________ 值，其值是【例7】若x、y R* 且x 4y 1，则x y的最大值是【例4】1 已知不等式x y -x2x21，则x 1 y2的最大值为y【例9】已知x 0 , y 0 ,-的最小值为__________【例10】设a b 0 ,那么a2 1的最小值为( )b(a b)A. 2B. 3C. 4D. 5【例11】设x 2 y 2 1，贝U 1 xy 1 xy 的最大值是 _______________________________ 最小值是 ______________ .【例12】已知？ 22 x 0, y 0，则xy 的最小值是x yb,其中x,y,m,n 0,且a b ，求mx ny 的最大值.21 【例 14】a 0, b 0, a b 4,求 a —a【例13】已知x 2 y 2 a,m 2 n 2 2b - 的最小值.b【例15】设x , y , z 为正实数，满足x 2y 3z【例16】已知x 、y R ，且2x 5y 20，当x为 ______ .【例17】若a 、b R ，且a b 1，则ab 的最大值是 ___________________ ，此时a ________b _____ .2o ,则r 的最小值是xz_____ ， y ______ 时，xy 有最大值【例18】求函数y【例19】将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块【例21】求函数y x 1 的最小值.U x 3【例22】求函数f(x) x 2 x 1 1 2的最小值.x x是梯形，记s梯形的周长 梯形的面积则s 的最小值是【例20】设实数x , y 满足3 < xy 2 < 8 ,x24 w w 9 ,y3则二的最大值是y【例23】已知x > 3，求y x -的最小值.x【例26】⑴求函数y X 2二4 的最小值，并求出取得最小值时的 x 值.X 1⑵求y 写 1的最大值.X 2 4【例25】函数f(x) 9x9 x 2(3x 3 x )的最小值为( A. 1B. 2C. 3)D.2【例24】求函数y2 彳【例27】⑴求函数y ax一J ( X X 11且a 0 )的最小值.⑵求函数y 1 2X3的取值范围.X【例28】⑴求函数y X2(2 X2)的最大值.X2 4⑵求y —I的最小值.⑶求函数y x ；219的最值•【例29】⑴已知X 5，求函数y 1 4x 的最小值.45 4x⑵求函数y 1 2X 3的取值范围.X⑶求函数y X 2(2 x 2)的最大值.2 2 2a b , x , y (0, )，求证：—b > (a b)，指出x y x yf(x) - 9 ( x (0，丄))的最小值，指出取最小值时x 1 2x 2x 的值.【例30】⑴已知a ,b 是正常数 等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数【例 31】分别求 g (x) x 2 3x ^2 - 2(x 0)和 f(x)x x值.4 2【例32】求函数y —3^—3的最小值.x 1【例33】函数f xx的最大值为（x 1)A 2r 1D. 1A.-B .丄c.522【例34】设函数f（x ）1 2x1(x x0)，则 f (x) ( )A.有最大值B . 有最小值C.是增函数D.是减函数21 3x 3x 2 2(x0)的最小x xy 2 2(x y)，其中x , y 满足log 2 x log 2 y 1 ,则S 的最小值【例36】设a 0,b 0,若,3是3a 与3b 的等比中项，贝V 丄1的最小值为（ a b【例37】已知：x 0，求4x 2 -的最小值.x【例38】已知：x,y,z 0,x y z 1，求丄上 x y 【例35】设S x 2 A. 8B . 4C . 1 D9的最小值.z【例39】已知a 、b 、c R 且a b c 1，求..4a 1 .4b 1 4c 1的最大值.【例42】已知a 0,b 0 , a b 1,求证:【例40】求y 1 —— sin a —的最小值cosa【例41】若a 0,b0，且 a b 2，求 a 2 b 2的最小值.【例43】已知给定正数a , b和未知数x , y，且x 0 , y 0 ,满足a b 10, - - 1 ,x yx y的最小值为18，求a, b的值.【例44】若a ,b R，且ab 1 a b，分别求a b和ab的最小值.I例45】若a是1 2b与1 2b的等比中项，则,a2a：b的最大值为（A 口B.2 C逅D.返15452精品资料。
求代数式的最值的解题策略
求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型 求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１ ２ｍ－１ ２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于 知和求和型 求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为 １ 的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。
2022年高考数学二轮复习重难突破微专题(四) 求代数式的最值
【典例 2】(1)已知 x，y 满足约束条件xy≥≥00
，则 z＝(x＋3)2＋y2 的最小值为( )
x＋y≥1
A．10
B．9
C．8
D． 10
y≤x－1 (2)已知实数 x，y 满足x≤3
x＋5y≥4
，则xy
的最小值是________.
【解析】(1)选 A.由题意，作出不等式组xy≥≥00
所表示的平面区域，如图所示：
常数代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为 1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
五、消元法：利用基本不等式求最值 【典例 5】已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________. 【解析】方法一：(换元消元法)由已知得 x＋3y＝9－xy，
x＋3y 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy ，所以 3xy≤( 2 )2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3， y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
9－3y
x＋y≥1
又由 （x＋3）2＋y2 表示可行域内一点(x，y)与定点 P(－3，0)间的距离， 结合图象可得，当可行域内取点 A 时，此时距离最短，
x＝0
由
，解得 A(0，1)，所以|PA| ＝ （－3）2＋12 ＝ 10 ，
x＋y＝1
所以目标函数 z＝(x＋3)2＋y2 的最小值为 zmin＝( 10 )2＝10.
高二数学课件：专题六 第三讲 定点、定值、最值问题
上,设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程.
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且 ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0.求证:
1 1 1 为定值.
(2)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_(_0_，__0_)_. (3)直线A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数)过直线 A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点. 提醒：直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线 A2x+B2y+C2=0.
(4)函数y=ax2+bx+c(a>0)，当 x b 时，取得最大值为
4ac b2
2a
_____4_a_____.
(5)函数 y ax b (a 0,b 0, x 0) 当且仅当 x b 时有
x
a
最小值__2__a_b__.
热点考向 一 圆锥曲线中的定值问题
【典例】(2013·北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点
1 2
s1 t1
.
以下同方法一.
【拓展提升】 求解定值问题的方法 1.由特例求出定值，再证明，然后得结论. 2.直接求出代数式的值，一般是设法消去代数式中的参数，说 明与参数无关. 提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.圆锥 曲线中的最值问题
求函数最值问题及代数式最值问题
求函数最值问题及代数式最值问题（1）陕西省西乡二中 王仕林一、高中数学求最值问题分类：1、一次函数求最值；2、二次函数求最值；3、指、对数函数求最值；4、幂函数求最值；5、分式函数求最值；6、分段函数求最值；7、双沟函数求最值； 8、线性规划求最值； 9、；三角函数求最值；10、数列函数求最值； 11、含绝对值函数求最值； 12、超越性函数求最值；13、抽象函数求最值；二、求最值问题常用方法：1、单调性法；2、图象法；3、配方法；4、换元法；5、公式法；6、几何意义法；7、判别式法；8、线性规划法；三、求最值问题基本题型：1、求不含参的函数的最值问题；2、求含参数的函数的最值问题；3、已知含参函数的最值，求参数的值或范围；4、已知关于某两个变量的不等式恒成立问题，求另一个变量的值或范围； 下面将按照基本题型进行讲练：(一)求不含参函数的最值问题：例1、（一次函数求最值）①求函数()36(13)f x x x =-+-≤≤的最值。
方法1： 方法2：（二次函数求最值）②求函数()3)f x x =≤≤的最值。
方法：例2、（分式类函数求最值）①求函数12()(13)2x f x x x -=-≤≤+的最值。
方法1： 方法2：变式：ⅰ、求函数2()(13)2x f x x x =--≤≤+的最大和最小值。
方法1：图像法 方法2：斜率的几何意义ⅱ、求数列函数())f n n N *=∈的最大和最小值。
方法：图像法： ⅲ、求函数2cos 1cos +-=x x y 的最大和最小值。
ⅳ、求xx y cos 2sin 2--=的最大值和最小值．②求函数2()(0)2x f x x x =>+的最大值。
方法1：图像法； 方法2：斜率的几何意义变式：ⅰ、求函数22()(0)x f x x x+=>的最小值。
ⅱ、求函数1()(2)1f x x x x =+≥-的最小值。
ⅲ、求函数()f x = ⅳ、求函数2()f x =例3、（分式类函数求最值）设x 0,y 0,>>且21x y +=， ①求11x y +的最小值。
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【例1】 若0x >，则4
23x x
++的最小值是_________．
【例2】 设a 、b ∈R ，则3a b +=，则22a b +的最小值是_________．
【例3】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ．
典例分析
代数式的最值
【例4】 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意正实数x y ，恒成立，则正实数a 的最小值
为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【例5】 当___x =时，函数22(2)y x x =-有最 值，其值是 ．
【例6】 正数a 、b 满足9a b =，则1
a b
+的最小值是 ．
【例7】 若x 、*y ∈R 且41x y +=，则x y ⋅的最大值是_____________．
【例8】 设0,0x y ≥≥，2
2
12
y x +=，则的最大值为 ．
【例9】 已知0x >，0y >，1x y +=，则1111x y ⎛
⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的最小值为
【例10】 设0a b >>，那么21
()a b a b +
-的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【例11】 设221x y +=，则()()11xy xy -+的最大值是 最小值
是 ．
【例12】 已知
()23
200x y x y
+=>>，，则xy 的最小值是 ．
【例13】 已知2222,,x y a m n b +=+=其中,,,0x y m n >，且a b ≠，求mx ny +的最大值．
【例14】 0,0,4,a b a b >>+=求2
2
11a b a b ⎛
⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的最小值．
【例15】 设x ，y ，z 为正实数，满足230x y z -+=，则2
y xz
的最小值是 ．
【例16】 已知x 、y +∈R ，且2520x y +=，当x = ，y = 时，xy 有最大值
为 ．
【例17】 若a 、b +∈R ，且1a b +=，则ab 的最大值是 ，此时a = ，
b = ．
【例18】 求函数2
y =
的最小值．
【例19】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块
是梯形，记()2
s =
梯形的周长梯形的面积
，则s 的最小值是 ．
【例20】 设实数x ，y 满足2
38xy ≤≤，249x y ≤≤，则3
4x y
的最大值是 ．
【例21】 求函数
y =的最小值．
【例22】 求函数2211
()1f x x x x x
=++++的最小值．
【例23】 已知3x ≥，求4
y x x
=+的最小值．
【例24】 求函数2
y =
【例25】 函数()992(33)x x x x f x --=+-+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3-
D ．2-
【例26】 ⑴求函数22
4
1
y x x =+
+的最小值，并求出取得最小值时的x 值．
⑵求y =的最大值．
【例27】 ⑴求函数21
1
ax x y x ++=+（1x >-且0a >）的最小值．
⑵求函数3
12y x x
=--的取值范围．
【例28】 ⑴求函数22(2)y x x =-的最大值．
⑵求2
y =
⑶求函数2
y =的最值．
【例29】 ⑴已知54x <
，求函数1
1454y x x
=-+-的最小值． ⑵求函数3
12y x x =--的取值范围．
⑶求函数22
(2)y x x =-的最大值．
【例30】 ⑴已知，a b 是正常数，a b ≠，(0)，，x y ∈+∞，求证：222
()≥
a b a b x y x y
+++，指出等号成立的条件；
⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =
+
-（1
(0)2
，x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．
【例31】 分别求2213()32(0)g x x x x x x =-+
+->和2
213()32(0)f x x x x x x
=+++->的最小
值．
【例32】 求函数42233
1
x x y x ++=+的最小值．
【例33】 函数()f x =
的最大值为（ ）
A ．
25
B ．1
2
C D ．1
【例34】 设函数1
()21(0)f x x x x
=+
-<，则()f x （ ） A ．有最大值
B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
【例35】 设222()S x y x y =+-+，其中x ，y 满足22log log 1x y +=，则S 的最小值
为 ．
【例36】 设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则
11a b +的最小值为（ ） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14
【例37】 已知：0x >，求234x x +的最小值．
【例38】 已知：,,0,1x y z x y z >++=，求149x y z ++的最小值．
【例39】 已知a 、b 、c +∈R 且1a b c ++=
【例40】 求1111sin cos y a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值π02a ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭．
【例41】 若0,0a b >>，且2a b +=，求22a b +的最小值．
【例42】 已知0,0a b >>，1a b +=2．
【例43】 已知给定正数a ，b 和未知数x ，y ，且0x >，0y >，满足10a b +=，1a b x y
+=，x y +的最小值为18，求a ，b 的值．
【例44】 若，a b +∈R ，且1ab a b =++，分别求a b +和ab 的最小值．
【例45】 若a 是12b +与12b -的等比中项，则22ab a b
+的最大值为（ ）
A ．155
2 B ．42
C D。