绵阳市人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题(含答案)

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人教版九年级数学中考专题讲义：最值问题

第5讲最值问题（一）知识目标：目标一掌握线段条件产生的隐圆问题的解题思路目标二掌握角度与线段条件的隐圆问题的解题思路模块一线段条件产生的隐圆题型一以等长线段构造隐圆例1如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，E 是CB 中点，AE =EC ，∠BAC =3∠DBC ，BD = AB 的长度 .E DB A练已知四边形ABCD 中，AB ∥ CD ，BC =6，AB =AC =AD =5，则BD =D CBA题型二以定长线段构造隐圆例2在坐标系中，点A坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是坐标系中一点，且AC=2，则∠BOC 度数取值范围.练在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°<θ<180°），得到△MNC，P，Q分别是AC、MN的中点，AC=2t，连接PQ，则旋转时PQ长度的最大值是A.B.C. D. 3tQPNMBCA模块二角度与线段条件中的隐图题型一定边对定角例31.在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A、B两点，点P在y轴左边，且∠APB=90，则点P的横坐标a的取值范围是.2.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 .H GF EDCB A3.如图，线段AB 上有一动点M ，分别是以AM 、BM 为边作正方形AMFE 、MBCD ，正方形AMFE 、MBCD 的外接圆⊙O 、 ⊙O ′交于M ，N 两点，则直线MN 的情况是（）A .定直线B .经过定点C .一定不过定点D .以上都有可能例41.如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的面积的最大值是.2.如图，△ABC 中，BC =4，∠BAC =45°，以B 、C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值为 .练1.如图，P 为正方形ABCD 的边CD 上任意一点，E 为AP 上一点，BE =AB ，∠CBE 的平分线交AP 延长线于点Q ，若正方形的边长为a ，当点P 在CD 边上由C 移动到D 时，则点Q 到CD 的最大距离为 .QP ED CB A2.如图，已知在等边△ABC 中，AB =AC =BC =8，点D 、E 分别是边AC 、AB 上两点，且AE =CD ，BD 交CE 于F ，连接AF ，则AF 的最小值为 .FEDCBA例51.如图，在弓形BAC 中，∠BAC =60°，BC=A 在优弧BAC 上由点B 向点C 移动，记△ABC 的内心为I ，则△ABC 内切圆半径的最大值为.2.如图在扇形AOB中，OA⊥OB，D是AB上一动点，DE⊥OA于E，若OA=△DEO的内心为I，则△DEO内切圆半径的最大值为.B3.如图，已知△ABC，外心为O，BC=10，∠BAC=60°，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是.题型二定边对动角例61.已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为.2.如图，在展览大厅中，墙壁上的展品最高处点P距离地面2.5米，最低处点Q距地面2米，观赏者的眼睛（在E点）距离地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在这个位置的观赏效果最理想，求此时E到墙壁的距离为米.3.如图，P 为的⊙O 内的一个定点，A 为⊙O 上的一个动点，射线AP 、AO 分别与⊙O 交于B 、C 两点，若⊙O 的半径长为3，OP，则弦BC 的最大值为（）A .B .3 CD .POCBA第5讲【课后作业】最值问题（一）1.如图，已知矩形ABCG （AB <BC ）和矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一直线上，∠APE 的顶点在折线段B -D -E 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是 .G F EDCBA2.如图，∠XOY =45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB =10，那么点O 到AB 的距离的最大值为 .YO X CB A3.如图，正方形ABCD 的边长为4，∠AED =45°，P 为AB 的中点，当点E 运动时，求PE 的最值.PED CBA4.如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE与点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为.5.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=45°，AC=D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC、于E、F，连接EF，则线段EF的最小值为.。

九年级数学竞赛题：代数最值

九年级数学竞赛题：代数最值数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值．在生产实践中，我们经常面对带有“最”字的问题，如投入最少、利益最高、时间最短、效益最大、耗材最少等．我们把这类问题称为“最值问题”．最值问题也是数学竞赛中的热点问题，它内容丰富，涉及面广，解法灵活，解最值问题的常见方法有：1．利用配方法求最值；2．运用不等式或不等分析法求最值；3．建立二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4．构造二次函数模型求最值；5．构造图形求最值．例1 某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k （k ≥3）个乒乓球．已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元．现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（接原价的90％付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球．若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？（2）当k =12时，请设计最省钱的购买方案．例2 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y 元，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；、（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．例3已知实数a 、b 、c 满足.4,2==++abc c b a（1）求a 、b 、c 中最大者的最小值；（2）求||||||c b a ++的最小值．例4 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月售出600个．调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． ’（1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种书包的售价应定为多少元？（2）10000元的利润是否为最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元？（3）请分析并回答售价在什么范围内商家就可获得利润．例5如图1，已知直线x y 21-=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A 、B 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A 、B 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．1．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一枚十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为23321212++-=s s h ．如图，已知球网AB 距原点5米．乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失误，则m 的取值范围是__________．2．已知x ，y ，z 为实数，若zx yz xy x z z y y x ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为__________．3．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：（1）假设甲种饮料需配制x 千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集；（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y 元，请写出y 与x 的函数表达式．并根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少？4．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利一年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值；（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？5．某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润y A （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y A =kx ，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：y B =ax 2+bx ，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少．6．已知实数a 、b 、c 满足6,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值为_____________．7．若正数x 、y 、z 满足))((,4)(z y y x yz x xyz ++=+则的最小可能值为____________．8．函数4)4(1)(22+-++=x x x f 的最小值是____________．9．a 、b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是____________．10．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150m ，为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________．11．已知x 、y 、z 为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，试求x 的最大值与最小值．12．有一种产品的质量可分成6种不同的档次．若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件；如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．（1）若最低档次的产品每件利润16元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（2）若最低档次的产品每件利润22元时，生产哪一种档次的产品的利润最大？（3）由于市场价格浮动，生产最低档次产品每件利润可以从8元到24元不等，那么，生产哪种档次的产品所得利润最大？13．如图，在直角坐标系中，以点A （3，0），以23为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E ．（1）若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小；（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．。

九年级数学竞赛试题及答案

九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。

全国各地初中数学竞赛专题大全《代数式》真题强化训练(附解析)

全国九年级数学竞赛《代数式》专题大全（竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）3535+- ）． A 10B 2C 5D ．22．（2021·全国·九年级竞赛）已知12,12m n ==22(714)(367)8m m a n n -+⋅--=，则a 的值等于（）． A ．5-B ．5C ．9-D ．93．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（）． A ．M P =B ．M P >C ．M P <D ．不能确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设644686681088101009898100S =+++++S =（）A ．15B 52C 72D 72-二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算2222004200312004200220042004+=+______．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算321.3450.345 2.69 1.345 1.3450.345⨯⨯--⨯=____．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数,x y 满足21,2540x y x xy x y ≥≥--++=，则x y +=_______． 8．（2021·全国·九年级竞赛）已知32323232x y -+=+-，那么22y x x y +=_______．9．（2021·全国·九年级竞赛）92939899929398a a aa a a a a a aa a+=++++__，其中0a >．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,,x y z 满足371,4102005x y z x y z ++=++=，则分式3200420042004x yx y z+++值为__________．11．（2021·全国·九年级竞赛）已知3131a -=+4325654a a a a -+-+=________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）计算1111068178288961028++++=⨯+⨯+⨯+⨯+___________．13．（2021·全国·九年级竞赛） 1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算2222244()244x x x x x x x --+÷+--其中“2006x =，时把“2006x =错抄成“2006x ，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么?15．（2021·全国·九年级竞赛）计算3331999100099919991000999--⨯⨯．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知1111111112581120411101640+++++++=，求111111112581120411101640---+--++的值． 17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22223273x xy y xz yz z ---+-． 18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222()(3)2a b x c a b x c -++-． 19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：33(1)(3)4(35)x x x +++-+． 20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：42199619951996x x x +++． 21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4224x x y y ++．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++． 23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----． 24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---． 26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数20082009491491A +=+与20092010491491B +=+的大小29．（2021·全国·九年级竞赛）若,,a b c 为整数且99991a bc a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．30．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab ------++的值． 31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，设a b c x b cc aa b=+++++，试求代数式19992000x x -+的值． 32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：199719992001(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)(20011997)(20011999)------．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：999998998999998999999998⨯-⨯． 34．（2021·全国·九年级竞赛）若56789012345678901235,67890123456789012347A B ==，试比较A 与B 的大小．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：(252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式31519972ax by ++=，当2x =时，4y =-；当14,2x y =-=-时，求代数式33244986ax by -+的值． 38．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）2222123n +++⋯+；（2）3333123n +++⋯+．39．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++；（2）()123234345()12n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++． 40．（2021·全国·九年级竞赛）如果2|2|(2)0a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算22222222123991100500022005000330050009999005000++++=-+-+-+-+_________．42．（2021·全国·九年级竞赛）若21321n n a a a a a a d --=-==-=，则称12,,,n a a a …是等差数列，d 叫的公差．证明：（1）()11n a a n d +-=；① （2）1121()1(1)22n n n a a a a a na n n d ++++==+-．② 43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32222()()()3a b c a a c b a b c abc +-+-++-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32()2772f x x x x =-+-． 45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2231032x xy y x y --++-．46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：()()()()11359x x x x -+++-． 47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+． 50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．竞赛专题2 代数式解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）3535+- ）． A 10B 2C 5D ．2【答案】B 【解析】【分析】【详解】解法一设3535x =+-2(35)2(35)(35)(35)6222x =-+-=-⨯=．解法二原式62562522+-=222(5)251(5)25122++-+=22(51)(51)22+-=5151222+-=故选：B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）已知12,12m n ==22(714)(367)8m m a n n -+⋅--=，则a 的值等于（）． A ．5- B ．5C ．9-D ．9【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：()2212,21m m m -=∴-=．又22(1)2,21n n n -=-=，所以()()7378a +-=，即9a =-．故选：C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 的平均数是M ，a ，b 的平均数是N ，N 与c 的平均数是P ．若a b c >>，则M 与P 的大小关系是（）． A ．M P = B ．M P >C ．M P <D ．不能确定【答案】B 【解析】【分析】【详解】解依题意2,,3224a b c a b N c a b c M N P ++++++====，2()()1212a b c a c b c M P +--+--==．因a b c >>，故0M P ->，即M P >．故应选B 4．（2021·全国·九年级竞赛）设644686681088101009898100S =+++++S =（）A ．15B 52C 72D 72-【答案】A 【解析】【分析】【详解】 (2)2n n n n +++(2)(2)n n n n +++22(2)n nn n+-=+1(),4,6,8,,10022n n n ==⋯+，所以112466881098100S ⎡⎤⎛=++++⎢⎥ ⎝⎣⎦124100=1111()22105=-=．故选：A ．二、填空题5．（2021·全国·九年级竞赛）计算2222004200312004200220042004+=+______．【答案】12 【解析】【分析】【详解】解：令20042003a =，则原式22222111(1)(1)2(1)2a a a a a ++===-+++．故答案为：12．6．（2021·全国·九年级竞赛）计算321.3450.345 2.69 1.345 1.3450.345⨯⨯--⨯=____．【答案】 1.345- 【解析】【分析】【详解】解：令 1.345,0.345a b ==，则1a b -=．于是，原式32222(2)a b a a ab a a ab b =⨯⨯--=--+ 2() 1.345a a b a =--=-=-．故答案为： 1.345-．7．（2021·全国·九年级竞赛）实数,x y 满足21,2540x y x xy x y ≥≥--++=，则x y +=_______．【答案】4 【解析】【分析】【详解】解：因1x y ≥≥，由题意得222254(1)(1)440(2)0x x y x x x x x x -+=-≤-⇒-+≤⇒-≤．又2(2)0x -≥，从而2x =．代入2254(1)x x y x -+=-得2y =，所以4x y +=．故答案为：4．8．（2021·全国·九年级竞赛）已知32323232x y -+=+-，那么22y x x y +=_______．【答案】970 【解析】【详解】解：因为221,(32)(32)10xy x y =+=+=，所以 332222y x y x x y x y ++= 222()()()x y x xy y xy +-+=22()()3()x y x y xy xy ⎡⎤++-⎣⎦=221010311⎡⎤-⨯⎣⎦=970=．故答案为：970．9．（2021·全国·九年级竞赛）92939899929398a a aa a a a a a aa a+=++++__，其中0a >．【答案】4 【解析】【分析】【详解】解：令18a x 则原式24616294969169x x x x x x x x x x x x =++++++++ 357753357111111111111x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++++ 753775533111111111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11114=+++=．故答案为：4．10．（2021·全国·九年级竞赛）若实数,,x y z 满足371,4102005x y z x y z ++=++=，则分式3200420042004x yx y z +++值为__________．【答案】14007- 【解析】【分析】解：由题意得方程组2(3)()1,3(3)()2005,x y x y z x y x y z ++++=⎧⎨++++=⎩解出32004,4007,x y x y z +=⎧⎨++=-⎩所以3312004200420042004()4007x y x y x y z x y z ++==-++++．故答案为：14007-． 11．（2021·全国·九年级竞赛）已知3131a -=+4325654a a a a -+-+=________．【答案】3 【解析】【分析】【详解】解：因231(31)2331a --===+22(2)(3)a -=，即2410a a -+=，于是，应用带余除法得432225654(41)(1)33a a a a a a a a -+-+=-+-++=．故答案为：3．12．（2021·全国·九年级竞赛）计算1111068178288961028++++=⨯+⨯+⨯+⨯+___________．【答案】805119800【解析】【分析】【详解】解:因为[]2(4)(2)1111(6)868(2)(4)2(2)(4)a a a a a a a a a a +-+===⋅=++++++++111()(0,1,2,,96)224a a a -=++，所以原式111111111111111()()()()()2242352462969829799=-+-+-++-+-11111111149328051()()()2981002239910021009919800+-=+--=+=．故答案为：805119800． 13．（2021·全国·九年级竞赛） 1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_______．【答案】9110【解析】【详解】解:原式111111111(1)(3)(3)(5)(5)(7)(7)(9)(9)2612203042567290=+--++--++--++--++11111111112612203042567290=+++++++++11111111111223344556677889910=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111111111(1)()()()()()()()()223344556677889910=+-+-+-+-+-+-+-+-+-191111010=+-=．故答案为：9110．三、解答题14．（2021·全国·九年级竞赛）某同学计算2222244()244x x x x x x x --+÷+--其中“2006x =，时把“2006x =错抄成“2006x ，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么? 【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】解：令2,2a x b x =+=-，则2222,4,44a b x x ab x x b +=-=-=-，于是原式222224()441()()()b b a b ab a ab ab ab a b a b x -+=+÷=⨯==++．故把“2006x =错写成“2006x =了，计算结果仍然是正确的．15．（2021·全国·九年级竞赛）计算3331999100099919991000999--⨯⨯．【答案】3．【解析】【分析】【详解】解：设1999,1000a b ==，则原式222333()()()()33()()a b a ab b a b a b a b ab ab a b ab a b ab⎡⎤-++-----⎣⎦====--．16．（2021·全国·九年级竞赛）已知1111111112581120411101640+++++++=，求111111112581120411101640---+--++的值．【答案】131164-．【解析】【分析】【详解】解：记111111112581120411101640a =---+--++，则11111111111111111()()25811204111016402581120411101640a +=---+--++++++++++222221111101640110820=++=+ 211653310820820164=+==， 331311164164a ∴=-=-．故所求原式的值为131164-． 17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22223273x xy y xz yz z ---+-．【答案】()()232x y z x y z +--+ 【解析】【分析】【详解】解因为所以，原式()()232x y z x y z =+--+．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222()(3)2a b x c a b x c -++-．【答案】[]2222()(3)2()2[()]a b x c a b x c a b x c a b x c -++-=-++-【解析】【分析】【详解】解因为()2a b c-()()2()()(3)a b ca b c c a b c a b +-+⋅+-⋅-=+所以[]2222()(3)2()2[()]a b x c a b x c a b x c a b x c -++-=-++-．19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：33(1)(3)4(35)x x x +++-+．【答案】22(4)(1)x x ++ 【解析】【分析】【详解】解令(1)(3)22x x y x +++==+，则原式[]33(1)(1)43(2)5y y y =-++--+3264(31)y y y =+-- 32(32)y y =-+332[(2)3(2)]y y =+-+22[(2)(24)3(2)]y y y y =+-+-+ 22(2)(21)y y y =+-+ 22(2)(1)y y =+- 22(4)(1)x x =++．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：42199619951996x x x +++．【答案】22(1)(1996)x x x x ++-+ 【解析】【分析】【详解】解设1996a =，则19951a =-，于是原式4242(1)(1)x ax a x a x x a x x =++-+=-+++ 22(1)(1)(1)x x x x a x x =-+++++2(1)[(1)]x x x x a =++-+22(1)(1996)x x x x =++-+．21．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4224x x y y ++．【答案】2222()()x xy y x xy y ++-+ 【解析】【分析】【详解】解为了能使用公式2222()aab b a b ++=+，我们将中间项22x y 拆成22222x y x y -，于是原式22222222()2()x x y y x y =++- 2222()()x y xy =+-2222()()x xy y x xy y =++-+．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．【答案】222()x ax a ++ 【解析】【分析】【详解】解法一原式222222[()()]x x a a x a a x =++++ 22222()()x a x a a x ++=+ 222222()(2)x a x ax a a x =++++ 222222()2()()x a ax x a ax =++++ 222()x a ax =++ 222()x ax a =++．解法二原式22222[()]()x x a a a x a =++++ 22222(22)()x x ax a a x a =++++ 2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅ 22[()]x a x a =++ 222()x ax a =++．23．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----．【答案】2(2)a c b +- 【解析】【分析】【详解】解法一原式222(2)4()c ca a ab b ac bc =-+---+ 222(2)(44)4c ca a ab bc b =++-++ 22()4()(2)a c b a c b =+-++ 2(2)a c b =+-．解法二原式2[()()]4()()c b a b c b a b =---+-- 22()2()()()4()()c b c b a b a b c b a b =----+-+--22()2()()()c b c b a b a b =-+--+- 2[()()]c b a b =-+- 2(2)a c b =+-．24．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．【答案】22()(1)x xy y x y ++-- 【解析】【分析】【详解】解原式3322()()x y x xy y =--++ 2222()()()x y x xy y x xy y =-++-++ 22()(1)x xy y x y =++--．25．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---．【答案】()()xy z ax xz y -+- 【解析】【分析】【详解】解法一原式2222()()()axyz az x yz xz yz xy =-+-+-()()()az xy z xz xy z y xy z =-+---()()xy z ax xz y =-+-．解法二原式2222()()x yz axyz xy yz xz az =+-+--()()xy xz az y z xz az y =+--+- ()()xy z xz az y =-+-．26．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．【答案】42(31)(1)x x x -+-【解析】【分析】【详解】解法一原式5432(3)(3)(31)x x x x x =-+--- 4(31)(31)(31)x x x x x =-+---- 42(31)(1)x x x =-+-．解法二原式5342(333)(1)x x x x x =+-+--+ 42423(1)(1)x x x x x =+--+- 42(31)(1)x x x =-+-．27．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．【答案】()()()32421xy a b m n ax bx my ny +++--+ 【解析】【分析】【详解】解原式()()()()32221xy a b m n x a b y m n =+++-++⎡⎤⎣⎦()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+．28．（2021·全国·九年级竞赛）比较两数20082009491491A +=+与20092010491491B +=+的大小【答案】A B > 【解析】【分析】【详解】解设200849n =，则2009201024949,4949n n ==，于是()2222224949111491(1)(491)491491(491)49981n n A n n n n B n n n n n +++++++=÷==>1+++++，所以A B >．29．（2021·全国·九年级竞赛）若,,a b c 为整数且99991a b c a-+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【答案】2，见解析．【解析】【分析】【详解】解：因,,a b c 均为整数，故,a b c a --均为非负整数，由99991a b c a-+-=，只能得0,1a b c a -=-=或者1,0a b c a -=-=．当0,1a b c a -=-=时，,1a b b c a c =-=-=，这时1012c a a b b c -+-+-=++=．当1,0a b c a -=-=时，,1c a b c b a =-=-=，这时0112c a a b b c -+-+-=++=．故总有2c a a b b c -+-+-=．30．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab ------++的值．【答案】4．【解析】【分析】【详解】解：原式111b c c a a bbc ca ab bc c b ca a c ab b a=--++--++--+ 11()()()c b c c a a b ab bc ca bc ca ab a b c+++=++-+++++．由0a b c abc ++=≠得1111,1,1,1b c c a a bbc ca ab bc ca ab a b c+++++==-=-=-，代入上式得原式()()()()11114bc ca ab ab bc ca ⎡⎤⎣=--+-+-+++=⎦．31．（2021·全国·九年级竞赛）已知有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，设a b c x b cc aa b=+++++，试求代数式19992000x x -+的值．【答案】1902．【解析】【分析】【详解】解：因,,a b c 均不为0，且0a b c ++=，故,,a b c 中或两正一负，或两负一正，且,,a b c b c a c a b +=-+=-+=-，所以1a b c x abc=++=---．于是1999200019920001902x x -+=-+=． 32．（2021·全国·九年级竞赛）计算：199719992001(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)(20011997)(20011999)------．【答案】0．【分析】【详解】解：令1997,1999,2001a b c === 原式()()()()()()a b ca b a c b c b a c a c b =++------()()()()()()a b c b a c c a b a b a c b c ---+-=---0()()()ab ac ab bc ac bca b a c b c --++-==---．33．（2021·全国·九年级竞赛）计算：999998998999998999999998⨯-⨯．【答案】1997 【解析】【分析】【详解】解：设999,998a b ==，则1997,1a b a b +=-=，于是原式()()636310101010a b b a b a a b =⨯+⨯+-⨯+⨯+22a b =-()()199711997a b a b =+-=⨯=．34．（2021·全国·九年级竞赛）若56789012345678901235,67890123456789012347A B ==，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >，见解析．【解析】【分析】【详解】解：设5678901234,6789012345x y ==，则1(2)(1)202(2)(2)x x x y y x x yA B y y y y y y ++-+--=-==>+++．所以A B >．35．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】120201【解析】【分析】解：注意到4422222111()()442a a a a a a +=++-=+- 221111()()(1)[(1)]2222a a a a a a a a ⎡⎤=-+++=-+++⎢⎥⎣⎦，于是原式111111011223349899991002222221111111223344599100100101222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101121202011001012⨯+==⨯+． 36．（2021·全国·九年级竞赛）计算下列分式的值：(252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+．【答案】998．【解析】【分析】【详解】解：注意到()()()3212a a a a ++=++，所以原式(34)(56)(78)(910)(1112)(19951996)199699811)(19941995)2⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知代数式31519972ax by ++=，当2x =时，4y =-；当14,2x y =-=-时，求代数式33244986ax by -+的值．【答案】1998．【解析】【分析】【详解】解：当2x =时，4y =-，代入31519972ax by ++=，得821992a b -=，即4996a b -=．所以当14,2x y =-=-时，有3324498612349863(4)4986399649861998ax by a b a b -+=-++=--+=-⨯+=．故所求代数式的值为1998． 38．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）2222123n +++⋯+；（2）3333123n +++⋯+．【答案】（1）1(1)(21)6n n n ++；（2）2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】【详解】解:（1）因为2[(1)1](1)(1,2,),k k k k k k k n =+-=+-=⋯，于是由公式⑦和③得2222123n +++⋯+()()()()1212323431n n n =⨯-+⨯-+⨯-+⋯++-⎡⎤⎣⎦ ()()1223341123n n n ⎡⎤⎣⎦=⨯+⨯+⨯+⋯++-+++⋯+ 11(1)(2)(1)32n n n n n =++-+ []1(1)2(2)36n n n =++- 1(1)(21)6n n n =++，故22221123(1)(21)6n n n n ++++=++． ⑧（2）因为3[(1)(2)32]k k k k k =++-- ()()()12311k k k k =++-++⎡⎤⎣⎦()()()1231k k k k k k =++-++，于是由公式③和⑦得 3333123n +++⋯+()()()123312123432323453343=⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯++⋯()()()1231n n n n n n +++-++⎡⎤⎣⎦[123234345(1)(2)]3[122334(1)](123)n n n n n n =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++++-⨯+⨯+⨯++++++++111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)432n n n n n n n n n =+++-⨯++++ []1(1)(2)(3)4(2)24n n n n n =+++-++ 2221(1)(1)42n n n n +⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，或因32[(1)(2)32](1)(2)32k k k k k k k k k k =++--=++--，于是由公式⑦，⑧和③得 33312n +++()()22212331212343222[(1)(2)22]n n n n n =⨯⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯-⨯++++-- ()222[123234(1)(2)]3122(12)n n n n n =⨯⨯+⨯⨯++++-+++-+++111(1)(2)(3)3(1)(21)2(1)462n n n n n n n n n =+++-⨯++-⨯+ [](1)(2)(3)2(21)44n n n n n +=⨯++-+- 222(1)(1)42n n n n ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦． ⑨ 39．（2021·全国·九年级竞赛）计算：（1）()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++；（2）()123234345()12n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++．【答案】（1）1(2)(1)3n n n ++；（2）1(3)(2)(1)4n n n n +++．【解析】【分析】【详解】解:（1）因为11(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)](1,2,,)33k k k k k k k k k k k k k n +=+--+=++--+=，所以()1223341n n ⨯+⨯+⨯+⋯++[]1111(321210)(432321)(543432)(2)(1)(1)(1)3333n n n n n n =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++++-+-1(2)(1)3n n n =++．（2）因为()()12k k k ++[]1(3)(1)(1)(2)4k k k k k =+--++ 1[(3)(2)(1)(2)(1)(1)](1,2,,)4k k k k k k k k k n =+++-++-=…，所以 ()()12323434512n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+++ 111(43213210)(54324321)(65435432)444=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+[]1(3)(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n n ++++-++-1(3)(2)(1)4n n n n =+++．注：用类似方法可以证明： 123(1)234(1)345(1)k k k k k ⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯1(2)(1)(2)(1)()(1)211k n n n n k n k n k k ++++++-=⋅+⨯+-⨯⨯⨯+．⑦40．（2021·全国·九年级竞赛）如果2|2|(2)0a ab -+-=，求1111(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】20072008【解析】【分析】【详解】解: 由()220,20a ab ≥-≥-，且2|2|(2)0a ab -+-=，得2|2|(2)0a ab -=-=，解得2,1a b ==．又1(2)(1)11((1,2,,2006)()()(2)(1)12k k k k k b k k k k k +-+==-=++++++，所以原式1111111112007()()()()11223342007200820082008=-+-+-++-=-=． 41．（2021·全国·九年级竞赛）计算22222222123991100500022005000330050009999005000++++=-+-+-+-+_________．【答案】99 【解析】【分析】【详解】解：因为2222(100)1005000(100)100(100)5000k k k k k k -+-+---+ 2222222222(100)2100100(100)(100)2100(100)100k k k k k k k k -=+⎡⎤⎡⎤+-⨯+-+--⨯-+⎣⎦⎣⎦ []22222222(100)2(100)(100)(100)100k k k k k k -=+=+--+--．（*）记22222222129899110050002200500098980050009999005000S =++++-+-+-+-+，则将S 中求和顺序反过来写有22222222999821999900500098980050002200500011005000S =++++-+-+-+-+，将两式对应项相加，并利用等式（*）得22222221992982110050009999005000220050009898005000S ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭22222222982991299989800500022005000999900500011005000⎛⎫⎛⎫+++=⨯ ⎪ ⎪-+-+-+-+⎝⎭⎝⎭，所以99S =．故答案为：9942．（2021·全国·九年级竞赛）若21321n n a a a a a a d --=-==-=，则称12,,,n a a a …是等差数列，d 叫的公差．证明：（1）()11n a a n d +-=；①（2）1121()1(1)22n n n a a a a a na n n d ++++==+-．② 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】【详解】证明：（1）()()()112132111(1)n n n n a a a a a a a a a d d d a n d --=+-+-++-=++++=+-个．（2）因为111(1),()k n k a a k d a a n k d +-=+-=+-，故1111(1)()2(1)(1,2,3,,)k n k a a a k d a n k d a n d k n +-+=+-++-=+-=．令121n n n S a a a a -=++++，又将和式中顺序反过来写有121n n n S a a a a -=++++．两式对应项相加，并利用121321n n n n a a a a a a a a --+=+=+==+得()()()()()12132112n n n n n n S a a a a a a a a n a a --=++++++++=+，所以[]1111()11(1)(1)222n n n a a S n a a n d na n n d +==++-=+-．注：在②中令k a k =或()211,2,,k a k k n =-=⋯，我们分别得到(1)1232n n n +++++=③ 2135(21)n n ++++-=④公式②、③、④在许多求和问题中要用到，应当记住这些公式．43．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32222()()()3a b c a a c b a b c abc +-+-++-．【答案】()()()a b a c a b c +-+-【解析】【分析】【详解】解将题中多项式看成a 的多项式，记为()f a ，并按a 的降幂整理为：322222()2()(3)f a a b c a b bc c a b c bc =+-+-+-+．因为322222()2()(3)0f b b b c b b bc c b b c bc -=-+---+-+=，故()f a 有因式a b +．由综合除法： 2222222212()32120b c b bc c b c bc b bb bc b c bc b c bc c --+-+---+---+ 所以2()()(2)()()()()f a a b a b c a c b c a b a c a b c ⎡⎤=++---=+-+-⎣⎦．1c -1()2b cc b c b c--+-=-44．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：32()2772f x x x x =-+-．【答案】(1)(21)(2)x x x ---【解析】【分析】【详解】解若()0q f p =，则()f x 有因式q x p-，且p 只可能为3x 系数2的因数：1,2,q ±±只能是常数项2-的因数：1,2±±，故q p 只可能为11,2,2±±±．又()127720f =-+-=，于是1是()f x 的一个根，从而1x -是()f x 的一个因式．由综合除法：277212522520---- 故2()(1)(252)(1)(21)(2)f x x x x x x x =--+=---．21-121(1)(2)25-⨯-+-⨯=-45．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2231032x xy y x y --++-．【答案】()()5221x y x y --+-【解析】【分析】【详解】解先用十字相乘法对22310x xy y --分解因式：因为（Ⅰ）15-1(5)23121⨯-+⨯=-所以22310(5)(2)x xy y x y x y --=-+，于是原式()()5232x y x y x y =-+-++．又因为（Ⅱ）52x y --21(2)(2)(1)(5)3x y x y x y x y +--++--=-+（上式中x 与y 不能省略．）所以，原式()()5221x y x y =--+-．注：（1）例20中我们连续两次用了十字相乘法，故这种分解二元二次多项式的因式的方法又叫做双十字相乘法．（2）例20中若令0x =（或0y =），可得2102(52)(21)y y y y -++=---[或232(2)(1)x x x x -+=--]．此式可用十字相乘法求出：（Ⅲ）52--222(2)(1)(5)1-⨯-+-⨯-=()12111(2)1(1)3⎛ - - ⨯-+⨯-=-⎝或Ⅲ＇故也可由（Ⅰ）、（Ⅲ）（或（Ⅰ）、（Ⅲ′））得出原式的因式分解，且（Ⅰ）、（Ⅲ）[或（Ⅰ）、（Ⅲ′）]可合并写成一个算式：46．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：()()()()11359x x x x -+++-．【答案】2(2)(210)(210)x x x +++【解析】【分析】【详解】解原式()()()()15139x x x x =-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣-⎦22(45)(43)9x x x x =+-++-．设222(45)(43)412x x x x y x x +-+++==+-，则原式()()449y y =-+-2216925y y =--=-()()55y y =+-22(44)(46)x x x x =+++-22(2)(2)10x x ⎡⎤=++-⎣⎦2(2)(210)(210)x x x =+++．47．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．【答案】()()()()a b c b c a c a b a b c +++-+-+-【解析】【分析】【详解】解法一以a 为主元降幂排列，再配方得：原式422244222()(2)a b c a b c b c -++-+=-4222222222222[2()()]()()a b c a b c b c b c =--+++++--222222222222[()][()()][()()]a b c b c b c b c b c =--++++-+--22222(2)()bc a b c =---222222[2()][2()]bc a b c bc a b c =---+--2222[()][()]b c a a b c =+---()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-．解法二原式42244222(2)2()a a b b c a b c =--+-++222222222222[()2()]2()2()a b a b c c a b c a b c '=--+-++-++222222()4a b c a c =--++222222(2)(2)ac a b c ac a b c =+-+-+-2222[()][()]a c b b a c =+---()()()()a c b a c b b a c b c a =+++-+-+-．解法三注意到下列公式：2222444222222()222a b c a b c a b a c b c +-=+++--，为了完成整个式子的直接配方，应将222a b 拆成222242a b a b -．原式224442222224(222)a b a b c a b a c b c =-+++--22222(2)()ab a b c =-+-22222(2)(2)ab a b c ab a b c =++---+2222[()][()]a b c c a b =+---()()()()a b c a b c c a b c a b =++-+--+＋()()()()a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．【答案】()()()()1111x x xy x y xy x y +--++---【解析】【分析】【详解】解法一添加22(1)(1)y x y +-，再减去同一项得：原式2242222[(1)2(1)(1)(1)]2(1)(1)2(1)y y x y x y y x y x y =+++-+--+--+22222[(1)(1)]2[(1)(1)]y x y x y y =++---++2222(1)(2)x x y y x =-++-2222(12)(12)x x y y x x x y y x =-+++-++-2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =+-----()()()()()111111x x y x x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=++-----+⎣⎦()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--+--()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--++．解法二以y 为主元降幂排列．原式422442(21)2(1)(21)x x y x y x x =-+--+-+222222(1)2(1)(1)(1)x y x x y x =---++-22222(1)[(1)2(1)1]x x y x y x =---++-222(1)(1)[(21)(21)]x x x y y y y =+--+-++222(1)(1)[(1)(1)]x x x y y =+---+()()()()()111111x x x y y x y y ⎡=+--++--⎤⎦+⎡⎤⎣⎣⎦ ()()()()1111x x xy x y xy x y =+--++---．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+．【答案】()()3221x y x --【解析】【分析】【详解】解因为()()22,3632y x x y x y x y -=---+=--，所以原式()()()()()23222332x y x y x y y x x y =-+-----()()()232233x y x y y x =-+---⎡⎤⎣⎦()()263x y x =--()()3221x y x =--．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．【答案】4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【解析】【分析】【详解】解设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ．由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，k=，故所以124444444++-+-+-++++=++．a b c a b b c c a a b c abc a b c()()()()12()。

初中数学竞赛：最值问题求法应用举例[附答案]

最值问题求法例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2+ c2= 9，则代数式（a － b）2 + （b —c）2 +（c － a）2的最大值是（）A．27 B、 18 C、15 D、 12例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是（）A、 1B、 2C、 3D、 4例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是————————。

例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S= 2a－3∣b∣的最大值为-------------------，最小值为--------------------。

（二）、直接运用a 2＋b 2≥ 2ab ( a ＋b ≥ 2ab )性质求最值。

例题（6）、若X > 0，则函数Y =3X ＋31X＋21++XX 的最小值。

例题（7）、已知 a 、b 、c 、d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d = 4 ，a 2＋b 2＋c 2＋d 2 =316，求a 的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2－4ac （结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a 、b 、c 中最大者的最小值；○2求∣a ∣＋∣b ∣＋∣c ∣的最小值。

例题（9）、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。

例题（10）、a b c d e是一个五位自然数，其中a ，b ，c ，d ，e 为阿拉伯数字，且a<b<c<d ,则│a-b │＋│b-c │＋│c －d │＋│d －e │的最大值是 ———。

初三代数竞赛试题及答案

初三代数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c为实数，且满足a+b+c=0，下列哪个选项是正确的？A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ac = 0C. a^2 + b^2 = c^2D. a^3 + b^3 + c^3 = 3abc答案：B2. 已知x、y、z是实数，且x+y+z=1，下列哪个选项是正确的？A. x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1/3B. x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1/3C. x^2 + y^2 + z^2 = 1/3D. x^2 + y^2 + z^2 < 1/3答案：A3. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=6，下列哪个选项是正确的？A. 2b = a + cB. 3b = a + cC. 2b = 3D. b = 2答案：D4. 已知方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为x1和x2，下列哪个选项是正确的？A. x1 + x2 = 5B. x1x2 = 6C. x1 + x2 = 6D. x1x2 = 5答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=14，b=4，则a和c的值分别为______和______。

答案：2，86. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,3)和(2,0)，且对称轴为直线x=2，则a的值为______。

答案：-17. 若x、y、z是实数，且x+y+z=3，xy+yz+zx=3，则x^2+y^2+z^2的值为______。

答案：38. 已知方程x^2-6x+5=0的两个根为x1和x2，则(x1-3)(x2-3)的值为______。

答案：-4三、解答题（每题15分，共40分）9. 已知a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5，求a、b、c的值。

解答：由题意可知，a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5。

由于a、b、c是等差数列，所以2b=a+c，即2*5=a+c=10。

【初中数学竞赛】专题02 代数式竞赛综合-50题真题专项训练(全国竞赛专用)解析版

【初中数学竞赛】专题02代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）已知3a b -=，则339a b ab --的值是（）．A ．3B ．9C ．27D ．81【答案】C 【详解】3322229()()93()9a b ab a b a ab b ab a ab b ab --=-++-=++-22223(2)3()3327a ab b a b =-⨯+=-==．故选C ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如果21x x --是31ax bx ++的一个因式，则b 的值是（）．A ．2-B ．1-C ．0D ．23．（2021·全国·九年级竞赛）若223894613M x xy y x y =-+-++（,x y 是实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数【答案】A 【详解】因为22222222(44)(44)(69)2(2)(2)(3)0M x xy y x x y y x y x y =-++-++++=--++≥+，并且2,2,3x y x y --+不能同时等于零，所以0M >．故选A ．4．（2021·全国·）．A ．无理数B ．真分数C ．奇数D ．偶数14=-5．（2021·全国·九年级竞赛）满足等式2003=的正整数对(),x y 的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b c ⨯-⨯-⨯-=-==-⨯+⨯+⨯+，则abc 的值等于（）．A ．1-B ．3C ．3-D ．1故选：D ．二、填空题7．（2021·全国·九年级竞赛）若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，则k =_______．【答案】-5【详解】解法一依题意，原多项式当=1x -时，其值等于0，即32(1)3(1)3(1)0k -+---+=，从而5k =-．解法二依题意1x +也是多项式332(1)(33)6(1)x x x x k x k +-+-+=+-的因式，故16k -=，即5k =-．解法三依题意可设()3223233(1)()(1)x x x k x x ax b x a x a b x b+-+=+++=+++++比较同次幂系数得13,2,3,5,, 5.a a a b b k b k +==⎧⎧⎪⎪+=-∴=-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩故5k =-．注：虽然解法三计算量较大，但它的好处是同时求出了原多项式的另一个因式为225x x +-．若题目还要求对原多项式进行因式分解，则解法三是可取的好方法之一．8．（2021·全国·九年级竞赛）设x =，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________．9．（2021·全国·九年级竞赛）已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22x y +=__________.【答案】40【分析】根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.【详解】∵22x y xy 96+=，∴xy(x+y)=96，∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=2⨯2⨯2⨯2⨯2⨯3=6⨯16=8⨯12=4⨯24当xy(x+y)=4⨯24时，无解，当xy(x+y)=6⨯16时，无解，当xy(x+y)=8⨯12时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x 2+y 2=22+62=40.故答案为40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.10．（2021·全国·九年级竞赛）已知对任意正整数n 都有312n a a a n +++= ，则11111111a a a a ++++=---- ___________．三、解答题11．（2021·全国·九年级竞赛）分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：4662248365427a a b a b b -+-．12．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()22223()(2)6()(2)3()2x y a b m n xy a b m n xy a b m n ++-++++⋅+．【答案】()()()32421xy a b m n ax bx my ny +++--+【详解】解原式()()()()32221xy a b m n x a b y m n =+++-++⎡⎤⎣⎦()()()32421xy a b m n ax bx my ny =+++--+．13．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：54323331x x x x x -+---+．【答案】42(31)(1)x x x -+-【详解】解法一原式5432(3)(3)(31)x x x x x =-+---4(31)(31)(31)x x x x x =-+----42(31)(1)x x x =-+-．解法二原式5342(333)(1)x x x x x =+-+--+42423(1)(1)x x x x x =+--+-42(31)(1)x x x =-+-．14．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2222x yz axyz yz xy xz az ++---．【答案】()()xy z ax xz y -+-【详解】解法一原式2222()()()axyz az x yz xz yz xy =-+-+-()()()az xy z xz xy z y xy z =-+---()()xy z ax xz y =-+-．解法二原式2222()()x yz axyz xy yz xz az =+-+--()()xy xz az y z xz az y =+--+-()()xy z xz az y =-+-．15．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3223x x xy y y ----．【答案】22()(1)x xy y x y ++--【详解】解原式3322()()x y x xy y =--++2222()()()x y x xy y x xy y =-++-++22()(1)x xy y x y =++--．16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()4()()c a b c a b ----．【答案】2(2)a c b +-【详解】解法一原式222(2)4()c ca a ab b ac bc =-+---+222(2)(44)4c ca a ab bc b =++-++22()4()(2)a c b a c b =+-++2(2)a c b =+-．解法二原式2[()()]4()()c b a b c b a b =---+--22()2()()()4()()c b c b a b a b c b a b =----+-+--22()2()()()c b c b a b a b =-+--+-2[()()]c b a b =-+-2(2)a c b =+-．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．【答案】222()x ax a ++【详解】解法一原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333a b c abc ++-．【答案】222()()a b c a b c ab ac bc ++++---【详解】解原式33()3()3a b ab a b c abc=+-++-33()3()a b c ab a b c =++-++3[()]3()()3()a b c a b c a b c ab a b c =++-+++-++2()[()3()3]a b c a b c a b c ab =++++-+-222()(222333)a b c a b c ab ac bc ac bc ab =+++++++---222()()a b c a b c ab ac bc =++++---．19．（2021·全国·九年级竞赛）若238x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，求a b +的值．所以21a b +=．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式333(2)()()a b c a b b c ++-+-+．【答案】3()()(2)++++a b b c a b c 【详解】设,A a b B b c =+=+，则原式33333()()[()3()]3()3()()(2)A B A B A B A B AB A B AB A B a b b c a b c =+--=+-+-+=+=++++．21．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：423344x x x x +---．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----．【答案】2()+++abcd a b c d 【详解】原式是关于a b c d ,,,的对称多项式．若视a 为主元，并以0a =代入得原式0=，故原式有因式a ，由对称性知原式有因式abcd ．又原式是六次齐次多项式，而abcd 是四次齐次多项式，故还有一个关于a b c d ,,,的二次齐次对称多项式因式，所以可设2()()()()abc bcd cda dab ab cd bc ad ca bd +++----2222[()()]abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd =+++++++++．令1,1a b c d ====-，得44A -=-；令1a b c d ====，得4616A B +=．所以1,2A B ==．原式2222[()2()]abcd a b c d ab bc cd da ac bd =+++++++++22[()()2()()]abcd a b c d a b c d =++++++2()abcd a b c d =+++23．（2021·全国·九年级竞赛）若122122(1025)(1025)10n +--=，求n 的值．【答案】14【详解】()()()()()()22121212121212102510251025102510251025⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦12142105010=⨯⨯=，所以41010n =，故14n =．24．（2021·全国·九年级竞赛）设a b c d ,,,是四个整数，且使得2222221()()4m ab cd a b c d =+-+--是一个非零整数，求证：||m 一定是合数．25．（2021·全国·九年级竞赛）若2221995199519961996a ⨯=++，证明：a 是一个完全平方数（即a 等于另一个整数b 的平方）．【答案】见解析【详解】设1995x =，则222222(1)(1)(1)2(1)2(1)a x x x x x x x x x x ⎡⎤=++++=+-+++++⎣⎦2222222(1)[(1)]2(1)(1)12(1)[(1)][1(1)]x x x x x x x x x x x x x x +=+-++++=++++=++=22(119951996)3982021+⨯=，故a 是一个完全平方数．26．（2021·全国·九年级竞赛）设,a b 是实数且422223a b a b =，求22222010a b a b -的值．27．（2021·全国·九年级竞赛）已知a 是正整数，且3221215a a a +-+表示质数，求这个质数．【答案】7【详解】解3221215a a a +-+3225315315a a a a a =+--++2(5)3(5)3(5)a a a a a =+-+++2(5)(33)a a a =+-+．要使2(5)(33)a a a +-+为质数，必须2331a a -+=，即()()210a a --=，故1a =或2．但1a =时，56a +=是合数．只有2a =时，57a +=才是质数．故所求的质数是7．28．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(25)(9)(27)91a a a +---．29．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任何整数x 和54322345,3515412y x x y x y x y xy y +--++的值都不等于33．【答案】见解析【详解】解法一原式54322345(3)(515)(412)x x y x y x y xy y =+-+++4224(3)5(3)4(3)x x y x y x y y x y =+-+++4224(3)(54)x y x x y y =+-+2222(3)()(4)x y x y x y =+--()()()()()322x y x y x y x y x y =+-+-+．当0y =时，原式533x =≠；当0y ≠时，3,,,2,2x y x y x y x y x y +-+-+互不相等，而33不可能分解为4个以上不同因数之积，所以0,y x ≠为整数时，原式33≠，所以对,x y 取任何整数值，原式的值都不等于33．解法二将原式看成x 的多项式，y 当成常数，用综合除法有所以，原式()()()()()223x y x y x y x y x y =-+-++．下同解法一．30．（2021·全国·九年级竞赛）设,,a b c 互不相等，且0a b c ++=，化简222222222a b c a bc b ca c ab++．31．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：222222444222a b b c c a a b c ++---．【答案】()()()()a b c b c a c a b a b c+++-+-+-【详解】解法一以a 为主元降幂排列，再配方得：原式422244222()(2)a b c a b c b c -++-+=-4222222222222[2()()]()()a b c a b c b c b c =--+++++--222222222222[()][()()][()()]a b c b c b c b c b c =--++++-+--22222(2)()bc a b c =---222222[2()][2()]bc a b c bc a b c =---+--2222[()][()]b c a a b c =+---()()()()b c a b c a c a b a b c =+++-+-+-．解法二原式42244222(2)2()a a b b c a b c =--+-++222222222222[()2()]2()2()a b a b c c a b c a b c '=--+-++-++222222()4a b c a c =--++222222(2)(2)ac a b c ac a b c =+-+-+-2222[()][()]a cb b ac =+---()()()()a c b a c b b a c b c a =+++-+-+-．解法三注意到下列公式：2222444222222()222a b c a b c a b a c b c +-=+++--，为了完成整个式子的直接配方，应将222a b 拆成222242a b a b -．原式224442222224(222)a b a b c a b a c b c =-+++--22222(2)()ab a b c =-+-22222(2)(2)ab a b c ab a b c =++---+2222[()][()]a b c c a b =+---()()()()a b c a b c c a b c a b =++-+--+＋()()()()a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-．32．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：22242(1)2(1)(1)y x y x y +-++-．【答案】()()()()1111x x xy x y xy x y +--++---【详解】解法一添加22(1)(1)y x y +-，再减去同一项得：原式2242222[(1)2(1)(1)(1)]2(1)(1)2(1)y y x y x y y x y x y =+++-+--+--+22222[(1)(1)]2[(1)(1)]y x y x y y =++---++2222(1)(2)x x y y x =-++-2222(12)(12)x x y y x x x y y x =-+++-++-2222[(1)(1)][(1)(1)]x y x x y x =+-----()()()()()111111x x y x x x y x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦=++-----+⎣⎦()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--+--()()()()1111x x x y xy x y xy =+-++--++．解法二以y 为主元降幂排列．原式422442(21)2(1)(21)x x y x y x x =-+--+-+222222(1)2(1)(1)(1)x y x x y x =---++-22222(1)[(1)2(1)1]x x y x y x =---++-222(1)(1)[(21)(21)]x x x y y y y =+--+-++222(1)(1)[(1)(1)]x x x y y =+---+()()()()()111111x x x y y x y y ⎡=+--++--⎤⎦+⎡⎤⎣⎣⎦()()()()1111x x xy x y xy x y =+--++---．33．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．【答案】4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【详解】解设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ．由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，所以12k =，故4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++．34．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：444()()()a b c b c a c a b -+-+-．【答案】444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．【详解】解设444(,,)()()()f a b c a b c b c a c a b =-+-+-．因为()(),,,,f a b c f b c a =，所以(),,f a b c 是轮换对称多项式．又a b =时，444(,,)()()()0f b b c b b c b c b c b b =-+-+-=，所以(),,f a b c 有因式a b -．又(),,f a b c 是轮换对称多项式，故(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a ---．因(),,f a b c 与()()()a b b c c a ---分别是齐五次与齐三次轮换对称多项式，所以(),,f a b c 的另一个因式应是齐二次轮换对称多项式：222()()A a b c B ab bc ca +++++，即444222()()()()()()[()()]a b c b c a c a b a b b c c a A a b c B ab bc ca -+-+-=---+++++．令2,1,0a b c ===及1,0,1a b c ===-，分别得到16202(52),1012(2),A B A B -+=-+⎧⎨++=--⎩即527,21,A B A B +=-⎧⎨-=-⎩解得1A B ==-，故444()()()a b c b c a c a b -+-+-222()()()()a b b c c a a b c ab bc ca =----+++++．35．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()()()23222336x y x y y x y x x y -++---+．【答案】()()3221x y x --【详解】解因为()()22,3632y x x y x y x y -=---+=--，所以原式()()()()()23222332x y x y x y y x x y =-+-----()()()232233x y x y y x =-+---⎡⎤⎣⎦()()263x y x =--()()3221x y x =--．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a-+=，求m 的值．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知322210a a a +++=，求200920102011a a a ++的值．【答案】-1【详解】()()()32322222112(1)12(1)(1)(a a a a a a a a a a a a a a +++=+++=+-+++=+-+212)(1)(1)0a a a a +=+++=，38．（2021·全国·九年级竞赛）计算444444444411111135989944444111112469910044444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅++ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．39．（2021·全国·九年级竞赛）若0a b c abc ++=≠，计算222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)b c c a a b bc ca ab------++的值．40．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：555()()()x y y z z x -+-+-．【答案】2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---【详解】因x y =时，原式0=，故原式有因式x y -．又原式是关于,,x y z 的五次齐次轮换对称多项式，故原式有因式()()()x y y z z x ---，并可设()555222()()()()()()()x y y z z x x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤-+-+-=---+++++⎣⎦．令0,1,1x y z ===-，得()3022A B =-，即215A B -=，再令0,1,2x y z ===，得()30252A B =+，即5215A B +=，解出5,5A B ==-．所以，原式2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx =---++---．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()222220012007200220082003200920042010(199920035)(199820045)(200120055)(200020065)----⨯-⨯+⨯-⨯+．42．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()444444444476415642364316439643641164196427643564++++++++++⨯43．（2021·全国·九年级竞赛）计算+44．（2021·全国·九年级竞赛）计算：()()()()()()()()()()44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324++++++++++．45．（2021·全国·九年级竞赛）把()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd ++++--+--+--+分解因式．【答案】()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------【详解】解法一原式2222[()()][()()]16b c a d a d b c abcd=++---+-22222222(22)(22)16b c a d bc ad a d b c ad bc abcd=+--+-+---++22222222[2()()][2()()]16bc ad b c a d bc ad b c a d abcd =-++----+--+2222224()()16bc ad b c a d abcd=--+--+2222224()()bc ad b c a d =+-+--2222222[2()()][2()()]z bc ad b c a d bc ad b c a d =+++--+-+--2222[()()][()()]b c a d a d b c =+--+--()()()()b c a d b c a d a d b c a d b c =++-+-+++-+-+．解法二把原式看成a 的多项式，当a b c d =++时，原式()()()()()2222160b c d d c b b c d bcd =++-+++=，所以原式有因式a b c d ---．又原式是a b c d ,,,的对称多项式，由对称性知原式有因式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c ------------．又此式和原式都是四次齐次多项式，故()()()()16a b c d b c a d c a b d a b c d abcd++++--+--+--+()()()()k a b c d b c d a c d b a d a b c =------------，其中k 是常数．上式中令1,0a b c d ====得1k -=-，即1k =，所以原式()()()()a b c d b c d a c d a b d a b c =------------．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知,b c 是整数，二次三项式2x bx c ++既是42625x x ++的一个因式，也是4234285x x x +++的一个因式，求1x =时2x bx c ++的值．【答案】4【详解】解依题意，2x bx c ++应是424223(625)(34285)14(25)x x x x x x x ++-+++=-+的一个因式，所以2225x bx c x x ++=-+，故当1x =时，22251254x bx c x x ++=-+=-+=．47．（2021·全国·九年级竞赛）把多项式322222422x x x x y xyz xy y z --++-分解因式．【答案】2(2)()x z x y --【详解】解法一原式32222(2)(42)(2)x x z x y xyz xy y z =---+-22(2)2(2)(2)x x z xy x z y x z =---+-22(2)(2)x z x xy y =--+2(2)()x z x y =--．解法二原式32222(242)(2)x x y xy x z xyz y z =-+--+22222(2)(2)x x xy y z x xy y =-+--+222()()x x y z x y =---2(2)()x z x y =--．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【答案】22(1)(1)x y --【详解】解法一原式是关于,x y 的对称多项式．可设,x y u xy v +==，则原式2(1)(2)(2)v u u v =-+--2221242v v u u v uv=-++-+-2222()1u uv v u v =-+--+22()2()1(1)u v u v u v =---+=--222(1)(1)(1)x y xy x y =+--=--．解法二当1x =时，原式2(1)(1)(1)0y y y =-+--=，故原式有因式1x -．又原式是关于,x y 的对称多项式，故原式又有因式1y -，且可设222(1)(2)(2)(1)(1)[()()]xy x y x y xy x y A x y Bxy C x y D -++-+-=--+++++，令0x y ==，得210D +=，得1D =．令0,2x y ==，得210(42)A C D +=-++，即4212A C D +=--=-．令0,3x y ==，得21132(93)A C D +=-++⨯，即9323A C D +=--=-．令2x y ==，得232(4)844A B C D +-=+++⨯，即84410A B C D ++=-=．从上面式子可解出0,1,1,1A B C D ===-=，于是原式()()()111x y xy x y =---++⎡⎤⎣⎦22(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y x y x y =----=--．49．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：3333()x y z x y z ++---．【答案】3()()()x y y z z x +++【详解】解法一由公式333()3()a b a b ab a b ±=±± ，得原式3333[()]()x y z z x y =++--+33()3()()[()3()]x y z z x y z z x y z z x y xy x y =++-+++++--+-+()()()33x y x y z z xy x y =+++++()()3x y x y z z xy =++++⎡⎤⎣⎦23()[()]x y z x y z xy =++++()()()3x y z x z y =+++．解法二设3333(,,)()f x y z x y z x y x =++---．将(),,f x y z 看成x 的多项式，令x y =-得3333(,,)()()0f y y z y y z y y z -=-++----=，所以(),,f x y z 有因式x y +．而(),,f x y z 是关于,,x y z 的三次齐次对称多项式，故(),,f x y z 有因式()()()x y y z z x +++，故可设3333(,,)()()()()f x y z x y z x y z k x y y z z x =++---=+++．令1,0x y z ===，得3338110211k ---=⋅⋅⋅，故3k =，所以3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++．50．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：()()ab bc ca a b c abc ++++-．【答案】()()()()()ab bc ca a b c abc a bb c c a ++++-=+++【详解】解设()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc =++++-，当a b =-时，有22(,,)()()0f b b c b bc bc b b c b c -=-+--+++=，所以(),,f a b c 有因式a b +．又因为(),,f a b c 关于,,a b c 对称，故(),,f a b c 还有因式,b c c a ++，即(),,f a b c 有因式()()()a b b c c a +++，并且(),,f a b c 与()()()a b b c c a +++都是齐三次式（各项都是3次的多项式），所以()()()()()(),,f a b c ab bc ca a b c abc k a b b c c a=++++-=+++，其中k 为常数．上式中令1a b ==得3318k ⨯-=，即1k =，所以()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++．。

数学培优竞赛新方法(九年级)-第6讲-代数最值

A、B，且使得 SOAB OA OB 3 . （1）用 b 表示 k ；（2）求 OAB 面积的最小值。
（浙江竞赛题）
10.设 x1 ，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 (x1 2x2 )(x2 x1) 的最大值
为
11.若抛物线 y x2 (k 1)x k 1与 x 轴的交点为 A、B，顶点为 C，则 ABC 的面积最小值为 .
x2
4y2 6xy 11y2
。
）
（太原市竞赛题）
D.3
例 3.（1）设 a、b 为实数，求代数式 a2 ab b2 a 2b 的最小值。（全国初中数学联赛题）
(2)实数 x、y、z 满足 x y z 5 ， xy yz xz 3 ，求 z 的最大值。（全国初中数学联赛题）
思路点拨对于（1），引入参数设 a2 ab b2 a 2b t ，将等式整理成关于 a 的二次方程 a2 (b 1)a (b2 2b t) 0 ，利用判别式求最小值，对于（2）， x y 5 z ， xy 3 z(x y) 3 z(5 z) z2 5z 3 ，运用韦达定理构造方程。
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 6 讲代数最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;
1.运用配方法求最值 2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值 3.建立函数模型求最值 4.利用基本不等式或不等式分析法求最值【例题求解】
A、B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值。

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人教版九年级数学竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∵f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时∵EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∵am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故c的最小值为6.A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则212>>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB C (2125,24k k k -++-），ABC S =V k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b cx a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a=0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤523为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1．故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。