数学竞赛中代数式最值问题的解题策略
数学竞赛中的解题策略与技巧
数学竞赛中的解题策略与技巧教案：数学竞赛中的解题策略与技巧引言：数学竞赛作为一项智力竞赛活动，对学生的逻辑思维和问题解决能力提出了很高的要求。
为了取得好成绩，学生需要掌握一些解题策略和技巧。
本教案将介绍数学竞赛中的解题策略与技巧，并且通过具体的例子来说明。
一、寻找数学问题的关键点在解决数学问题时，首先要确定问题的关键点。
关键点是指问题中起决定作用的因素或条件。
通过找出关键点，可以将问题简化，从而更容易找到解题思路。
例如，对于一个几何问题，关键点可以是“等边三角形”、“垂直平分线”等。
通过找出这些关键点，可以更好地理解问题，进而解决问题。
二、运用归纳和演绎法归纳和演绎法是数学思维中重要的方法。
归纳法是通过观察已知的特例或模式，得出一般性规律。
演绎法则是根据已知的一般规律，得出特定情况的结论。
例如，在数列问题中，可以通过观察前几项的差值或比值，猜测数列的通项公式。
然后再通过演绎法验证所猜测的公式是否正确。
三、灵活运用数学定理与公式数学定理与公式是解决问题的有力工具。
学生应该熟练掌握一些常用的数学定理与公式，并能够灵活运用。
例如，在解决三角函数问题时，学生需要熟悉三角函数的性质和基本公式，运用它们来求解问题。
四、锻炼逻辑推理能力逻辑推理是解决数学问题的重要方法之一。
通过锻炼逻辑推理能力，学生可以更好地理解问题，找到解决问题的方法和策略。
例如，在解决逻辑推理问题时，学生需要注意提取问题中的信息，运用已有的知识和条件进行推理。
通过不断练习和思考，可以提高逻辑推理能力。
五、学会分析问题的多种解法对于同一个问题，可能存在多种解法。
学生需要学会分析不同的解法，并选用最合适的解法。
通过多种解法的比较和分析，可以提高问题解决的效率和质量。
例如，在解决方程问题时，可以采用因式分解法、配方法、二次根式法等多种方法。
学生可以根据具体情况选择不同的方法。
六、注重反思与总结在完成一道题目后，学生应该进行反思和总结。
通过反思和总结，可以发现解题过程中的不足和问题，进一步提升解题能力。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第11讲-代数最值
第11讲 代数最值知识纵横在生活实践中，人们经常面对带有“最’字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点;1.运用配方法求最值2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值3.建立函数模型求最值4.利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例1】实数x 、y 满足06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（江苏省竞赛题）思路点拨 解题的关键是由02≥y 可得x 取值的隐含制约。
【例2】分式222211651305yxy x y xy x ++++的最小值为（ ） A 、-5 B 、-3 C 、5 D 、3（太原市竞赛题）思路点拨 原式=22211645y xy x y ++-。
【例3】（1）设a 、b 为实数，求代数式b a b ab a 222--++的最小值。
（全国初中数学联赛题）（2）实数x 、y 、z 满足5=++z y x ，3=++xz yz xy ，求z 的最大值。
（全国初中数学联赛题）思路点拨 对于（1），引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用判别式求最小值，对于（2），z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ，运用韦达定理构造方程。
【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值为b ，则22b a +的值。
（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）（2）求使16)8(422+-++x x 取得最小值的实数x 的值。
（全国初中数学竞赛题）思路点拨 解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。
求代数式的最值的解题策略
求代数式的最值的解题策略田素伟(上海市泥城中学ꎬ上海２０１３００)摘㊀要:求最值与恒成立问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ常用的是二元变量的权方和不等式.关键词:权方和不等式ꎻ最值ꎻ等号成立中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００５２－０４收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:田素伟ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀求代数式的最值问题是高中数学中的一类非常重要的问题ꎬ在求某些代数式的最值时ꎬ特别是对于知和求和型 求最值ꎬ对于解决这类问题的关键是合理选择恰当的方法.在这类问题中如果能正确利用权方和不等式会起到事半功倍的效果ꎬ下面通过具体例题说明权方和不等式在求最值问题上的解题策略[１].１直接利用权方和不等式求最值例１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ满足２ａ＋ｂ＝４ꎬ则２ａ＋２＋２ｂ的最小值是.分析㊀为了使２ａ＋２＋２ｂ中分母的和为定值ꎬ对所求代数式进行变形使它出现２ａ＋ｂ＝４ꎬ所以变形为４２ａ＋４＋２ｂ就可以使用权方和不等式了.解析㊀由权方和不等式ꎬ得４２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋４＋ｂ＝６＋４２８＝３＋２２４ꎬ当且仅当２ａ＋ｂ＝４ꎬ２２ａ＋４＝２ｂꎬìîíïïï即ａ＝６－４２ｂ＝８２－８{时等号成立.所以２ａ＋２＋２ｂ的最小值为３＋２２４.评析㊀权方和不等式作为柯西不等式的分式形式ꎬ在求二元变量最值时有非常广泛的应用ꎬ权方和不等式:设ａꎬｂꎬｘꎬｙ>０ꎬ则ａ２ｘ＋ｂ２ｙȡ(ａ＋ｂ)２ｘ＋ｙꎬ当且仅当ａｘ＝ｂｙ时等号成立.利用权方和不等式求最值时的一般步骤:第一步:先看分式的分母之和是不是定值ꎬ分子之和是不是定值ꎬ若不是定值ꎬ能否通过变形后使之变成定值ꎻ第二步:使用权方和不等式公式ꎬ让分子的指数比分母大１即可ꎻ第三步:检验等号成立的条件.变式１㊀已知ａ>０ꎬｂ>０且满足ａ＋ｂ＝３ꎬ则２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值是.解析㊀因为已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０ȡ(２０２２＋２０２２)２ａ＋２０２１＋ｂ＋２０２０＝４ˑ２０２２４０４４＝２ꎬ当且仅当２０２２ａ＋２０２１＝２０２２ｂ＋２０２０ａ＋ｂ＝３ꎬìîíïïïꎬ即ａ＝１ꎬｂ＝２{时等号成立.所以２０２２ａ＋２０２１＋２０２２ｂ＋２０２０的最小值为２.变式２㊀已知ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ则２ａ＋ｂ的最小值为.解析㊀因为ａ>０ꎬｂ>０ꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２２ａ＋４＋２ｂȡ(２＋２)２２ａ＋ｂ＋４＝８２ａ＋ｂ＋４ꎬ又因为１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬ所以２３ȡ８２ａ＋ｂ＋４.所以２ａ＋ｂ＋４ȡ１２.即２ａ＋ｂȡ８ꎬ当且仅当２２ａ＋４＝２ｂꎬ１ａ＋２＋２ｂ＝２３ꎬìîíïïïï即ａ＝１ꎬｂ＝６{时等号成立.所以２ａ＋ｂ的最小值为８.变式３㊀已知ｘ>０ꎬｙ>０满足１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ则３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１的最小值为.分析㊀通过变形再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为３ｘｘ－１＋４ｙｙ－１＝３１－１/ｘ＋４１－１/ｙȡ３＋２()２１－１/ｘ＋１－１/ｙ＝７＋４３１＝７＋４３ꎬ当且仅当１ｘ＋１ｙ＝１ꎬ３１－１/ｘ＝２１－１/ｙꎬ{即ｘ＝２＋３２ꎬｙ＝２３＋３３{时等号成立.变式４㊀已知正实数ａꎬｂꎬ且ａ＋２ｂ＝２ꎬ求１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值.解析㊀由ａ＋２ｂ＝２可得ａ＝２－２ｂ.因为１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋２－２ｂ＋１２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４－(２ｂ＋１)２ｂ＋１＝１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ꎬ因为１ａ＋１＋４２ｂ＋１ȡ(１＋２)２ａ＋１＋２ｂ＋１＝９４ꎬ所以１ａ＋１＋４２ｂ＋１－１ȡ９４－１＝５４ꎬ当且仅当１ａ＋１＝２２ｂ＋１ꎬａ＋２ｂ＝２ꎬ{即ａ＝１３ꎬｂ＝５６ìîíïïïï时等号成立.㊀所以１ａ＋１＋ａ＋１２ｂ＋１的最小值是５４.变式５㊀已知ａ>０ꎬｂ>０满足２ａ＋ｂ＝３ꎬ则２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是.解析㊀因为２ａ＋ｂ＝３ꎬ所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋(ｂ２－４)＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ２－４ｂ＋２＋２ｂ＋２＝２ａ＋１ａ＋ｂ－２＋２ｂ＋２＝２ａ＋ｂ－２＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋１ａ＋２ｂ＋２＝１＋２２ａ＋２ｂ＋２ȡ１＋２＋２()２２ａ＋ｂ＋２＝１３５ꎬ当且仅当２２ａ＝２ｂ＋２ꎬ２ａ＋ｂ＝３ꎬ{即ａ＝５４ꎬｂ＝１２{时等号成立.所以２ａ２＋１ａ＋ｂ２－２ｂ＋２的最小值是１３５２通过权方和不等式再利用换元和重要不等式求最值㊀㊀例２㊀已知ｘ>１ꎬｙ>１ꎬ则ｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１的最小值是.解析㊀设ｘ＋ｙ－２＝ｔ(ｔ>０)ꎬｘ２ｙ－１＋ｙ２ｘ－１ȡｘ＋ｙ()２ｘ＋ｙ－２＝ｔ＋２()２ｔ＝ｔ＋４ｔ＋４ȡ８ꎬ当且仅当ｘ＋ｙ－２＝２ꎬｘｙ－１＝ｙｘ－１ꎬ{即ｘ＝２ꎬｙ＝２{时等号成立.３与三角函数有关的问题求最值例３㊀己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ则１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值为.分析㊀可以观察代数式１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ两个分母之和是一个常数ꎬ所以可用权方和不等式求最小值解析㊀因为己知锐角αꎬβ满足α＋β＝π６ꎬ所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβȡ(１＋３)２ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＝１６ｓｉｎ(α＋β)＝１６ｓｉｎπ/６＝３２ꎬ当且仅当α＋β＝π６ꎬｃｏｓαｓｉｎβ＝３ｓｉｎαｃｏｓβ时等号成立.所以１ｓｉｎαｃｏｓβ＋９ｃｏｓαｓｉｎβ的最小值是３２.评析㊀本题利用权方和不等式求最小值ꎬ简单明了ꎬ可以起到事半功倍的效果.４与函数性质有关的求最值例４㊀函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为.解析㊀因为ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)ꎬ又因为０<ｘ<２０ꎬ所以４００－ｘ２>０.所以当０<ｘ<２０时ꎬｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２ȡ(２＋３)２ｘ２＋４００－ｘ２＝１１６ꎬ当且仅当２ｘ２＝３４００－ｘ２ꎬ即ｘ＝４１０时等号成立.所以函数ｙ＝４ｘ２＋９４００－ｘ２(０<ｘ<２０)的最小值为１１６.评析㊀本题还可以先用换元法再利用基本不等式求解ꎬ但是计算量比较大.变式题㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ若对任意的正数ａꎬｂꎬ满足ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ则３ａ＋１ｂ的最小值为.分析㊀先求函数的奇偶性与单调性ꎬ再根据ｆ(ａ)＋ｆ(３ｂ－１)＝０ꎬ得ａ＋３ｂ＝１ꎬ最后根据权方和不等式求最值.解析㊀因为ｘ２＋１－ｘ>０恒成立ꎬ所以函数ｆｘ()的定义域为Ｒ.因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)ꎬ所以ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１＋ｘ().因为ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝ｌｏｇ２ｘ２＋１－ｘ()＋ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１＋ｘ)(ｘ２＋１－ｘ)＝０ꎬ所以ｆｘ()＋ｆ－ｘ()＝０.所以ｆｘ()＝－ｆ－ｘ().所以ｆｘ()为奇函数.又因为ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ０)单调递减ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝０处连续ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ２(ｘ２＋１－ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)单调递减.因为ｆａ()＋ｆ３ｂ－１()＝０ꎬ所以ｆａ()＝ｆ１－３ｂ().所以ａ＝１－３ｂ.即ａ＋３ｂ＝１.所以３ａ＋１ｂ＝３ａ＋３３ｂȡ(３＋３)２ａ＋３ｂ＝１２１＝１２ꎬ当且仅当３ａ＝３３ｂꎬａ＋３ｂ＝１ꎬìîíïïï即ａ＝１２ꎬｂ＝１６ìîíïïïï时等号成立.所以３ａ＋１ｂ的最小值为１２.评析㊀易错点是利用权方和不等式求最值时ꎬ要注意必须验证等号成立的条件ꎬ若不能取等号则这个定值就不是所求的最值ꎬ这也是最容易发生错误的地方.５与数列有关的问题求最值例５㊀已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝ａ２＋２ａ１ꎬ若存在ａｍꎬａｎꎬ使得ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则１ｍ＋４ｎ的最小值为.分析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ且ｑ>０ꎬ根据已知条件求出ｑ的值ꎬ由已知条件可得出ｍ＋ｎ＝６ꎬ再利用权方和不等式可求得１ｍ＋４ｎ的最小值.解析㊀设等比数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ则ｑ>０.由ａ３＝ａ２＋２ａ１可得ｑ２－ｑ－２＝０.因为ｑ>０ꎬ所以ｑ＝２.因为ａｍ ａｎ＝１６ａ２１ꎬ则ａ２１ ２ｍ－１ ２ｎ－１＝１６ａ２１.所以ｍ＋ｎ－２＝４.可得ｍ＋ｎ＝６.由已知ｍꎬｎɪＮ∗ꎬ所以１ｍ＋４ｎȡ(１＋２)２ｍ＋ｎ＝９６＝３２ꎬ当且仅当１ｍ＝２ｎꎬｍ＋ｎ＝６ꎬ{即ｍ＝２ꎬｎ＝４{时等号成立.所以１ｍ＋４ｎ的最小值为３２.６与向量有关的问题求最值例６㊀已知ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ则２ｍ＋１ｎ的最小值为.分析㊀先根据三点共线ꎬ求出ｍ＋２ｎ＝１ꎬ再利用权方和不等式求最值.解析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝ｍＯＢң＋２ｎＯＣң(ｍ>０ꎬｎ>０)ꎬ所以ｍ＋２ｎ＝１.所以２ｍ＋１ｎ＝２ｍ＋２２ｎȡ(２＋２)２ｍ＋２ｎ＝８ꎬ当且仅当２ｍ＝２ｎꎬｍ＋２ｎ＝１ꎬìîíïïï即ｍ＝１２ꎬｎ＝１４ìîíïïïï时等号成立.所以２ｍ＋１ｎ的最小值为８.评析㊀因为ＡꎬＢꎬＣ三点共线(该直线不过原点Ｏ)ꎬ且ＯＡң＝λＯＢң＋μＯＣңꎬ所以λ＋μ＝１.以上各题都是对于 知和求和型 求最值ꎬ是以不等式㊁三角㊁数列㊁向量为载体ꎬ实际上还是考查不等式性质的应用ꎬ可以转化为 １ 的应用来考查基本不等式ꎬ但是如果熟练掌握利用权方和不等式求最值ꎬ可以简化计算ꎬ使解题变得简单.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。
代数式的最大最小值问题
代数式的最大最小值问题代数式的最大最小值问题，这个名字听起来好像有点儿吓人对吧？别急，今天咱们就轻松聊聊这块儿，保证让你一下子就能懂！其实啊，代数式最大最小值的这个问题，生活中其实到处都能看到。
你看，比如咱们每天出门，总得决定走哪条路吧？假如说你希望最快到达目的地，那你就得找到最快的路，这不就是最大值嘛；要是你为了省点时间，走一条稍微远点的路，也许还会有意外的发现，别有一番风味，这不就是最小值吗？就这么简单！咱得知道“最大值”和“最小值”是什么意思。
想象一下，如果你每天都在做一个选择题，每个选项都代表一个代数式的数值，那个最大值就像是选项中的“大佬”，而最小值呢，就是小小的“鸡肋”——虽然存在，但总是被大家忽视。
所以，所谓的最大最小值，根本就是找出在某个条件下，代数式能够取到的最“牛”的值，或者最“平凡”的值。
你可能会想，这个问题是怎么找的呢？其实也不复杂，真正要学的，关键就是抓住最重要的特征。
比如，给你一个代数式，你想知道它的最大值或者最小值，你得先明白它的形状。
就像你看风景，得知道是山还是水，才能判断风景的高低美丑。
代数式常常有不同的形式，最常见的就是二次函数，那它的图形就是个抛物线。
别担心，我说的是数学上的抛物线，不是你放个苹果下去会掉的那种！这条抛物线，要么开口向上，要么向下。
开口向上的时候，最低点就是最小值，开口向下的时候，最高点就是最大值。
这就好比你要找最值，你得看它向上飞还是向下掉，飞高了是最大，掉到谷底就是最小。
简单吧？更有意思的是，代数式的最大最小值并不总是直接就给你一个数，你得用一定的“技巧”来解开它。
像二次函数那种，解起来很直接。
比如说你有一个像 ( y = ax^2 + bx+ c ) 这样的二次函数，咱只需要看一下这个式子的系数，就能判断它的“性格”了！如果( a > 0 )，抛物线开口朝上，那最小值就出现在顶点；如果 ( a < 0 )，抛物线朝下，那最大值就在顶点。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
数学竞赛中代数式最值问题的解题策略
数学竞赛中代数式最值问题的解题策略The manuscript was revised on the evening of 2021数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。
如不等式法（包含非负数性质a ≥0，2a ≥0， a ≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。
近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。
例1：已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜n x ，1x +2x +， 3x +……+n x =2005，则n x 的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x +2x +3x +……+n x =2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x 的数值或范围。
然后再求n x 的最大与最小数值。
解：由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005，由高斯求和公式可得()200521=+n n ，解得63≈n ，但当63=n 时()()2016326321636321=⨯=+=+n n 当62=n 时()()1953633121626221=⨯=+=+n n ，∵1953≤2005≤2016，且n 是整数，∴n ≠62或63，我们又观察到平均值()⨯=++++n n n x x x x 1321140152005⨯=，且5和401都是质数，显然n 不可能是401，∴n 只可能是5，故有1x +2x +3x +……+5x =2005又∵平均数51（1x +2x +3x +……+5x ）=200551⨯=401，且1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数和1x ＜2x ＜3x ＜……＜5x ，即4013=x ∴当3991=x ，4035=x 时，恰有2005403402401400399=++++，于是n x 的最大值是403，最小值399。
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
b - 1 3 3 1 b - 1 3 2 2 解：设 a 2－ab ＋b 2 = K,与 a 2＋ab ＋b 2 =1 联立方程组,解得：a 2＋b 2 = (1＋K),ab = (1－K)。
∵(a ＋b)2≥0, ∴a 2＋b 2＋2ab= (1＋K)＋2× (1－K)≥0, ∴K≤3 .初中数学竞赛辅导专题（三）初中数学竞赛中最值问题求法应用举例最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。
现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：（一）根据非负数的性质求最值。
1、若 M =（X±a）2 +b ，则当 X±a = 0 时 M 有最小值 b 。
2、若 M = －（X±a）2 + b ,则当 X±a = 0 时 M 有最大值 b 。
3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0, a ≥0 的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。
】 例题（1）、若实数 a ，b ，c 满足 a 2 + b 2 + c 2 = 9，则代数式 （a － b ）2 +（b —c ）2 +（c － a ）2 的最大值是 （ ）A ．27B 、 18C 、15D 、 12解：(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2= 2(a 2+b 2+c 2)－2ab －2bc －2ca = 3(a 2+b 2+c 2) －a 2－b 2－c 2－2ab －2bc －2ca = 3(a +b 2+c 2)－(a 2+b 2+c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca) =3(a 2+b 2+c 2) － (a+b+c)2 = 27 － (a+b+c)2 ≤ 27 . ∵ a 2+b 2+c 2 = 9 , ∴ a,b,c 不全为 0 。
当且仅当 a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减 (a 2＋b 2＋c 2)后用完全平方式。
例谈初中数学竞赛题的常用解题策略
９ 。 Ｍ 、 为 斜 边 ＡＢ 上 的 两 点 ， 果 ＭＣ ： ０， Ｎ 如 Ｎ ４ 。求 证 ： Ｍ ＋ ｆ ５， Ａ ＝ ＭＮ （ ９ ９年 ＝ 京市 中 １９ ｌ Ｅ
学 生数学 邀 请赛初 二 试题 ）
解 如图 ３， △（ ｛ 顶 点 Ｃ顺 时 针 旋 转 把 、 绕 Ｉ ９ 。 △ Ｃ ■ 位置 ， ０至 Ｎ 连接 Ｎ＇ ， △ Ｎ Ｍ 为直 角 Ｍ 则
上 的 中点 ， Ｐ是边 Ｂ Ｃ上 任意 一点 ， ＋ Ｐ 的最大 Ｍ
值和 最 小 值 分 别 设 为 Ｓ 和 Ｔ，则 Ｓ 一 Ｔ ＝ （０ ０年 全 国初 中数学 联合 竞赛 试题 ） ２０
例２ 若÷ （ 一 ）＝（ — ）ｃ ）ｎ ） ６ ｃ ｎ ｂ （—ｎ （ ≠０ ，
通过作对 称点 一 般就可 迎 刃而解
关 于 Ｂ 所 在 的 直线 对 称 点 Ｍ 因 为 ， ＡＢ ＝ Ｃ ， Ｃ
Ｃ Ａ 所 以 Ｍ Ｂ 上 ， Ｂ Ｍ Ｂ ： ｌ Ｐ Ｂ ， 在 Ａ 且 Ｍ ： ，Ｍ ＝ Ｐ Ｐ ＋Ｐ ＝ Ｐ ＋ Ｐ Ａ 连 结 Ｃ Ｍ ，Ａ Ｍ Ａ Ｍ ≥ Ｍ ， Ｍ ，
￣ ／ ＿
：
Ｄ
１ 特 殊值 法 — — 甩满 足题设 条 件的特 殊值 代 入来
求得 正确 的答 案
例 １ 若 口＋ｂ＋ｃ＝０ 贝 口 ， ０ ＋口 一拉 ＋ｂ ｆ
＋ｂ 的 值是 （
（ ）一 １ Ａ 题）
）
（ ０ Ｂ） （ １ Ｃ） （ ） Ｄ ２
维普资讯
《 中学数 学 杂志》 初 中） ２ ０ （ ０ ２年第 ５期
３ １
例 谈 初 中 数 学 竞 赛 题 的 常 用 解 题 策 略
浙江省上虞市 实验 中学
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数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。
如不等式法（包含非负数性质a ≥0，2a ≥0， a ≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。
近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。
例1：已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜n x ，1x +2x +， 3x +……+n x =2005，则n x 的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x +2x +3x +……+n x =2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x 的数值或范围。
然后再求n x 的最大与最小数值。
解：由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005，由高斯求和公式可得()200521=+n n ，解得63≈n ，但当63=n 时()()2016326321636321=⨯=+=+n n当62=n 时()()1953633121626221=⨯=+=+n n ，∵1953≤2005≤2016，且n 是整数，∴n ≠62或63，我们又观察到平均值()⨯=++++n n n x x x x 13211ΛΛ40152005⨯=，且5和401都是质数，显然n 不可能是401，∴n 只可能是5，故有1x +2x +3x +……+5x =2005又∵平均数51（1x +2x +3x +……+5x ）=200551⨯=401，且1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数和1x ＜2x ＜3x ＜……＜5x ，即4013=x ∴当3991=x ，4035=x 时，恰有2005403402401400399=++++，于是n x 的最大值是403，最小值399。
【注】：由于本题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，1x 、2x 、3x 、……n x 是按从小到大的顺序排列的，在否定了1x 、2x 、3x 、……n x 是从1起的整数后，我们也可观察到1x +2x +3x +4x +5x =2005的平均数与中位数相等，所以也可以用枚举法确定5x =403与1x =399的大小，例2、若x 、y 、z 是实数，满足x +y +z =5，3=++zx yz xy ，则z 的最大值是＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：这是一道已知条件中含有二次项的求其中某未知量最大值的典型题，因为本题已知x 、y 、z 是实数，那么由实数的意义可联想到x 、y 、z 是可开方的，因此应该想到x 、y 、z 在某一未知数为主元的一元二次方程的判别式△≥0，于是应想办法将两个等式转化为一元二次方程。
解：∵x +y +z =5， 3=++zx yz xy 则x =5-z -y ，∴()()355=--++--y z z zy y y z ，即()0)35(522=+-+-+z z y z y 又∵y 、z 是实数，∴△=()()()()13311310335145222+-+=++-=+-⨯⨯--z z z z z z z ≥0∴⎩⎨⎧≤-≥3131z z ， 即得-1≤z ≤313， 于是z 的最大值为313【注】：本题中虽然只要求同学们求z 的最大值，但实际上z 还存在最小值，同时其它未知量也可用同样的方法求出它们的最值。
例3、若()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，则z y z 32++的最小值是＿＿，最大值是＿＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：本题是含有绝对值符号的最值题，要求z y z 32++的最大值，一般来说应有x 、y 、z 的其它条件存在，但题中并没有反映出来，所以我们必需用函数的有关知识在这个等式中寻找x 、y 、z 的条件。
解：∵()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=-++21221311221x x x x x x x ，同理有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=-++21221311221y y y y y y y ，同样有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=++-32231412213z z z z z z z ，又∵()()()13,12,21++-++--++z z y y x x 的积为36=433⨯⨯∴应取⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=-++431321321z z y y x x ，相应的取值范围是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤≤-312121z y x ，∴其最小值为z y z 32++=()()()13121-+-+-=-6 其最大值为z y z 32++=1533222=⨯+⨯+【注】：本题实际上是根据一次函数的取值范围求代数式z y z 32++最值的，题目把它们的取值范围隐藏在等式的绝对值中，如21-++=x x X ，21-++=y y Y ，31-++=z z Z ，因此拓展了求最值的思维。
例4、已知a ＜0，b ≤0，c ＞0，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值。
（2004年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题）分析：本题是一道利用完全平方的性质求解的典例，虽然根据平方根的意义只要ac b 42-≥0，但有了等式右边ac b 2-就不一定是以0为最小值了，所以必须将ac b 42-转换为完全平方的形式。
解：∵ac b ac b 242-=-，两边同时平方得()2224ac b ac b -=- 展开得2222444c a abc b ac b +-=-，化简后从而有1-=b ac又∵ac b 42-=()()22214-=--b b b ，由于b ≤0，当b 取最大值0时，()22-b 值最小，且最小值是()22-b =()4202=-，于是ac b 42-的最小值为4EF 【注】：本题很容易被二次根式ac b 42-中必有ac b 42-≥0所迷惑，以为ac b 42-≥0中0就是它的最小值，其实不然。
例5、若y x ,为正实数，且4=+y x ，那么4122+++y x 的最小值是＿＿＿＿（首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题）分析：从代数式4122+++y x 的形式可知，求它们的和实际上是求两个Rt △的斜边的和，所以可转化为几何图形进行分析，是转化为几何图形求解。
解：设AB=4，AP=x ，PB=y ，AE=1，BD=2 ∵CE=12+x ，CD=42+y∴4122+++y x =PE+PD ≥CE+CD=DE=故4122+++y x 的最小值是5【注】：有时还可将在直线同旁的点通过反射变换，将点描在直线的两旁求和的大小。
综上所述，尽管竞赛题在题型上呈现出了一个崭新的景象，涉及面广、形式灵活、且变化莫测，使人感到难以捉磨。
即使题目中的最值求法实现了极大的拓展，我们也不能感到畏惧，只要我们在平时养成全面且严密的逻辑思维习惯，解题时持谨慎的态度，那么问题就会在你的努力下成功地获得解决。
有兴趣吗？试试看，请作下例各题。
1、设1x 、2x 、3x 、……9x 均为正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x ，1x +2x +，3x +……+9x =220，当1x +2x +3x +4x +5x 的值最大时，求1x -9x 的最小值。
（2004年全国初中数学联赛试题）2、若x 、y 、z 为实数，且x 2—xy ＋y 2=z ，x 3＋y 3=z 2，求z 可能取的最大值。
（希望杯全国数学邀请赛试题）3、设x 为实数，求54321+++++++++x x x x x 的最小值（选编）4、已知1222=+y x ，求252y x +的最大值与最小值。
（选编）5、若x 、y 为正实数，且3=-y x ，那么25422+++y x 的最小值是＿（选编）答案与提示：（1）、因为1x +2x +3x +……+9x =220，所以其平均数为91（1x +2x +3x +……+9x ）=91⨯220，即44.24=x。
又因有1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x 存在，即1x 、2x 、3x 、……9x 是按从小到大的顺序排列的，故其中位数为5x 应当满足24≤5x ≤25且5x 是整数，所以5x =24或25，当5x =24时，因为1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x ，所以1x 有最大值为20，9x 有最小值为29，恰有20+21+22+23+24+25+……+29=220，于是9x -1x 的最小值为9x -1x =9。
显然5x =25是不合题意的，于是5x 只能等于24。
（2）、想办法消去X （或Y ）变为以Y （或X ）为主元的一元二次方程，再用判别式△≥0求之，答案为4。
（3）、当5-≤x ≤1-，51+++x x 的最小值为4，当-4≤x ≤-2，42+++x x 的最小值为2，当x =-3时3+x 的最小值为0。
故当x =-3时，原式的最小值为min y =4+2+0=6（4）、∵1222=+y x，∴102≤≤x ，102≤≤y ，即11≤≤-x ，11≤≤-y ，∴()()10292522522521252+--=-+=+x x x yx ，当52=x 时，有最大值1029当1-=x时，有最小值2-（5）、本题的两个点都在一条直线的同旁，故应将其中一点进行轴反射变换到直线的两旁后，按例5方法求解线段的和。
答案为58。
说明：编辑老师：如果您认为本文还有点价值可编，但觉得略长，则可把题注部分和习题的解答过程删除，只保留答案部分。
谢谢！。