(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-2-1-2
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(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-2
典例剖析
例1
(1)如图(1)，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图(2)，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解析
→ (1)如图(a)所示，设 OA ＝a，∵a与b有公共点，故
→ → 过A点作AB＝b，连接OB即为a＋b. → → (2)如图(b)，设 OA ＝a，过O点作 OB ＝b，则以OA、OB为 → → → 邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b.
→ → → 解析 a＋b＝AB＋AD＝AC＝c，∴A、D正确； → → → a＋d＝AB＋BD＝AD＝b，∴B正确； → → → b＋d＝AD＋BD≠AB＝a，∴C错误．
答案 C
4．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值是 ________，最小值是________．
解析
解析
→ → → → → (1)原式＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA
→ → → → → → → → → ＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0. → → → → → → → → → (2)原式＝ PM ＋ MN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ PN ＋ NS ＋ ST ＋ TQ ＝ → → → → → → PS＋ST＋TQ＝PT＋TQ＝PQ.
解析
→ → → → (1)原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)
→ → → ＝AO＋OB＝AB. → → → → → → (2)原式＝(BO＋OA)＋(OC＋CO)＝BA＋0＝BA.
规律技巧 律．
向量的加法运算满足加法交换律和加法结合
变式训练2
计算下列各式的值
→ → → → → (1)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； → → → → → (2)NS＋MN＋TQ＋ST＋PM.
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形的面积与定积分课件新人教B版选修2_2
求出函数
的图象
与直线 所围成的平面图形的面积.
2
2
2
曲线与平行于y轴的直线和x轴 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．
例1. 求由抛物线 y＝x2与直线 x＝1, y＝0 所围成的平面图形的面积.
阿 基 米 德 问 题
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
请根据以下提示，思考问题并设定求解方案： 1.怎样分割更利于计算？ 2.用哪一种你熟悉的直边图形代替分割出来
1 2 34 567 8
1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
圆面积公式的推导
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆面积公式的推导
C 2
＝πr
r
长方形面积 = 长 × 宽
圆的面积 = πr × r
= πr2
曲边梯形的面积
学习目标
1. 通过视察和分析，归纳出平面图形 面积的几种求法；
2. 在教师的指点下，通过分析和讨论， 总结出求简单曲边梯形面积的方法；
3. 通过平面图形的面积的求解过程， 体会转化的数学思想方法.
问题 1
求平面图形的面积有哪些常用方法？
公式法 割补法
常见图形的面积公式
矩形(长方形)
S ab
常见图形的面积公式
平行四边形
梯形
h a
S ah S 1 (a b)h
2
三角形
1 S 2 aha
常见图形的面积公式
圆
S r2
圆的面积是怎样推导出来的？
圆面积公式的推导
将圆分成若干(偶数)等分
34 56
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答案 D
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
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(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
答Байду номын сангаас C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
(1)把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
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解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
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答案 C
4．若三角形的两内角α，β满足sinα· cosβ<0，则此三角形 必为( ) B．钝角三角形 D．等腰三角形
A．锐角三角形 C．直角三角形
解析
由条件知α，β∈(0，π)，∴sinα>0，又
sinα· cosβ<0，∴cosβ<0，∴β必为钝角，故三角形必为钝角三 角形．
答案 B
名师点拨 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
所以α是第四象限角，所以m＜0. ∴r＝
4 2 3 2 1 1 － ＋ ＝| |＝－ . m m 5m 5m
y 3 4 ∴sinα＝ ＝－ ，cosα＝ ， r 5 5 1 ∴sinα＋cosα＝5.
规律技巧
根据三角函数值在各象限中的符号确定点 P 所
在的象限，另外如果已知角终边上的一点坐标，一般可用三角 函数的定义计算各三角函数值.
思考探究 确定一个角的某一三角函数值的符号，关键是什么？ 提示 关键先判断角是哪一象限角，再根据符号法则判断
三角函数值的正负.
自测自评 1.cos3的值( A．小于0 C．等于0 ) B．大于0 D．无法确定
解析
π 2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
答案
A
2．若cosα>0，且tanα<0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
π π (2)∵－ 是第四象限角，∴sin－4＜0. 4
(3)∵－672° ＝－2×360° ＋48° ，而48° 是第一象限角， ∴－672° 是第一象限角．∴tan(－672° )＞0.
规律技巧
当涉及到的角的绝对值较大时，可以在0° ～
360° 范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在 的象限，进而确定所求．
典例剖析
例1
确定下列三角函数值的符号：
(1)cos250° ；
π (2)sin－4；
(3)tan(－672° )． 剖析 首先要确定所涉及到的角所在的象限，然后再根据
各三角函数在各象限的符号，即可判定所给三角函数值的符 号．
解析
(1)∵250° 是第三象限角，∴cos250° ＜0.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.1 三角函数的定义
第二课时
三角函数在各象限中的符号
课前预习目标
课堂互动探究
ห้องสมุดไป่ตู้
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 理解并熟练掌握三角函数在各象限的符号.
自学导航 三角函数值的符号 y 1．sinα＝ r ，r>0，于是sinα的符号与 y 的符号相同，因此 当α是第一、二 象限的角时，sinα>0；当α是 第三、四 象限的角 时，sinα<0.
例2
4 3 cosα 角α的终边上存在一点P－5m，5m ，且 tanα ＜0，求
sinα＋cosα的值． 剖析 cosα 应先根据点P的坐标特点以及 ＜0来确定点P所 tanα
在的象限，即确定实数m的取值范围，再利用三角函数的定义 进行求解 .
解析
cosα 4 3 ∵ tanα ＜0，又－5m与5m异号，
x 2．cosα＝r ，r>0，于是cosα的符号与 x 的符号相同，因此 当α是 第一、四 象限的角时，cosα>0；当α是第二、三象限的角 时，cosα<0. y 3．tanα＝ ，当x与y同号时，它的比值为 正 ，当x与y异号 x 时，它的比值为 负 ，因此当α为 第一、三 tanα>0；当α为 第二、四象限的角时，tanα<0. 象限的角时，
)
解析
cosα>0，则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正
半轴；tanα<0，则α是第二、四象限角．∵α满足cosα>0， tanα<0，∴α是第四象限角，故选D.
答案
D
3．若θ是第二象限角，则( θ θ A．sin >0 B．cos <0 2 2 θ C．tan >0 D．以上均不对 2
)
π 解析 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋2<θ<2kπ＋π，k∈Z. π θ π ∴kπ＋4<2<kπ＋2，k∈Z. θ θ ∴2是第一、三象限角，∴tan2>0.
2．三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象 限依次为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三角限正 切为正；第四象限余弦为正．至于余切、正割、余割由三角函 数的定义可知它们分别为正切、余弦、正弦的倒数，因此也就 分别与它们的符号相同.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
变式训练2
sinα＋cscα 已知 ＜0，求α所在的象限． tanα＋cotα
解析
在α角终边上任取一点P(x，y)，|PO|＝r.
y r y x 则sinα＝ ，cscα＝ ，tanα＝ ，cotα＝ . r y x y y r ＋ sinα＋cscα r y ∵ <0，∴y x<0， tanα＋cotα ＋ x y
y r y x ∵r 与y同号，x与y同号． y y ∴只需要r 与x异号， ∴sinα· tanα<0， ∴α所在象限为第二或第三象限．
例3
已知角α的终边上一点P(3a－9，a＋2)，且
cosα≤0，sinα>0，求实数a的取值范围． 剖析 P(x，y)是α的终边上一点，cosα≤0，
则x≤0；sinα>0，则y>0.
解析
由题意可知，3a－9≤0，a＋2>0，
∴a≤3且a>－2. ∴－2<a≤3.
变式训练3
x 已知角α的终边上一点P(8，x)，且sinα＝ 17 ，
tanα<0，求x的值．
解析
x 由tanα＝8<0，则x<0.
x x sinα＝ 2 2＝17，∴82＋x2＝172. 8 ＋x ∴x2＝225，∴x＝－15.
变式训练1
判断下列三角函数值的正负：
(1)sin1125° ； (2)cos(－1230° )； 2011π (3)tan 6 .
解析
(1)∵1125° ＝1080° ＋45° ，
∴1125° 是第一象限角，∴sin1125° >0. (2)∵－1230° ＝－4×360° ＋210° ， ∴－1230° 是第三象限角，∴cos(－1230° )<0. 2011 7π (3)∵ 6 π＝334π＋ 6 ， 2011 2011π ∴ 6 π是第三象限角，∴tan 6 >0.
4．若三角形的两内角α，β满足sinα· cosβ<0，则此三角形 必为( ) B．钝角三角形 D．等腰三角形
A．锐角三角形 C．直角三角形
解析
由条件知α，β∈(0，π)，∴sinα>0，又
sinα· cosβ<0，∴cosβ<0，∴β必为钝角，故三角形必为钝角三 角形．
答案 B
名师点拨 1.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
所以α是第四象限角，所以m＜0. ∴r＝
4 2 3 2 1 1 － ＋ ＝| |＝－ . m m 5m 5m
y 3 4 ∴sinα＝ ＝－ ，cosα＝ ， r 5 5 1 ∴sinα＋cosα＝5.
规律技巧
根据三角函数值在各象限中的符号确定点 P 所
在的象限，另外如果已知角终边上的一点坐标，一般可用三角 函数的定义计算各三角函数值.
思考探究 确定一个角的某一三角函数值的符号，关键是什么？ 提示 关键先判断角是哪一象限角，再根据符号法则判断
三角函数值的正负.
自测自评 1.cos3的值( A．小于0 C．等于0 ) B．大于0 D．无法确定
解析
π 2<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
答案
A
2．若cosα>0，且tanα<0，则α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
π π (2)∵－ 是第四象限角，∴sin－4＜0. 4
(3)∵－672° ＝－2×360° ＋48° ，而48° 是第一象限角， ∴－672° 是第一象限角．∴tan(－672° )＞0.
规律技巧
当涉及到的角的绝对值较大时，可以在0° ～
360° 范围内或[0,2π)内找到与它终边相同的角来确定该角所在 的象限，进而确定所求．
典例剖析
例1
确定下列三角函数值的符号：
(1)cos250° ；
π (2)sin－4；
(3)tan(－672° )． 剖析 首先要确定所涉及到的角所在的象限，然后再根据
各三角函数在各象限的符号，即可判定所给三角函数值的符 号．
解析
(1)∵250° 是第三象限角，∴cos250° ＜0.
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1.2 任意角的三角函数
1．2.1 三角函数的定义
第二课时
三角函数在各象限中的符号
课前预习目标
课堂互动探究
ห้องสมุดไป่ตู้
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 理解并熟练掌握三角函数在各象限的符号.
自学导航 三角函数值的符号 y 1．sinα＝ r ，r>0，于是sinα的符号与 y 的符号相同，因此 当α是第一、二 象限的角时，sinα>0；当α是 第三、四 象限的角 时，sinα<0.
例2
4 3 cosα 角α的终边上存在一点P－5m，5m ，且 tanα ＜0，求
sinα＋cosα的值． 剖析 cosα 应先根据点P的坐标特点以及 ＜0来确定点P所 tanα
在的象限，即确定实数m的取值范围，再利用三角函数的定义 进行求解 .
解析
cosα 4 3 ∵ tanα ＜0，又－5m与5m异号，
x 2．cosα＝r ，r>0，于是cosα的符号与 x 的符号相同，因此 当α是 第一、四 象限的角时，cosα>0；当α是第二、三象限的角 时，cosα<0. y 3．tanα＝ ，当x与y同号时，它的比值为 正 ，当x与y异号 x 时，它的比值为 负 ，因此当α为 第一、三 tanα>0；当α为 第二、四象限的角时，tanα<0. 象限的角时，
)
解析
cosα>0，则α是第一、四象限角或α的终边在x轴的正
半轴；tanα<0，则α是第二、四象限角．∵α满足cosα>0， tanα<0，∴α是第四象限角，故选D.
答案
D
3．若θ是第二象限角，则( θ θ A．sin >0 B．cos <0 2 2 θ C．tan >0 D．以上均不对 2
)
π 解析 ∵θ是第二象限角，∴2kπ＋2<θ<2kπ＋π，k∈Z. π θ π ∴kπ＋4<2<kπ＋2，k∈Z. θ θ ∴2是第一、三象限角，∴tan2>0.
2．三角函数符号的记忆口诀 三角函数在各象限的符号可简记为“全正切余”，即按象 限依次为：第一象限全为正；第二象限正弦为正；第三角限正 切为正；第四象限余弦为正．至于余切、正割、余割由三角函 数的定义可知它们分别为正切、余弦、正弦的倒数，因此也就 分别与它们的符号相同.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
变式训练2
sinα＋cscα 已知 ＜0，求α所在的象限． tanα＋cotα
解析
在α角终边上任取一点P(x，y)，|PO|＝r.
y r y x 则sinα＝ ，cscα＝ ，tanα＝ ，cotα＝ . r y x y y r ＋ sinα＋cscα r y ∵ <0，∴y x<0， tanα＋cotα ＋ x y
y r y x ∵r 与y同号，x与y同号． y y ∴只需要r 与x异号， ∴sinα· tanα<0， ∴α所在象限为第二或第三象限．
例3
已知角α的终边上一点P(3a－9，a＋2)，且
cosα≤0，sinα>0，求实数a的取值范围． 剖析 P(x，y)是α的终边上一点，cosα≤0，
则x≤0；sinα>0，则y>0.
解析
由题意可知，3a－9≤0，a＋2>0，
∴a≤3且a>－2. ∴－2<a≤3.
变式训练3
x 已知角α的终边上一点P(8，x)，且sinα＝ 17 ，
tanα<0，求x的值．
解析
x 由tanα＝8<0，则x<0.
x x sinα＝ 2 2＝17，∴82＋x2＝172. 8 ＋x ∴x2＝225，∴x＝－15.
变式训练1
判断下列三角函数值的正负：
(1)sin1125° ； (2)cos(－1230° )； 2011π (3)tan 6 .
解析
(1)∵1125° ＝1080° ＋45° ，
∴1125° 是第一象限角，∴sin1125° >0. (2)∵－1230° ＝－4×360° ＋210° ， ∴－1230° 是第三象限角，∴cos(－1230° )<0. 2011 7π (3)∵ 6 π＝334π＋ 6 ， 2011 2011π ∴ 6 π是第三象限角，∴tan 6 >0.