直线与双曲线的相交弦问题
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直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =
-+-
②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222
111(1)[()4]AB y y y y y y k
k
=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
例1、 过双曲线1322
=-y x 的左焦点1F ,作倾斜角为6
π
的弦AB ,求AB ;⑵AB F 2∆的面积(2F 为双曲线的右焦点)。
1、求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长;
2、过双曲线1449162
2=-y x 的右焦点作倾斜角为
3
π
的弦AB ,求弦长AB ;
3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为52,求直线L 的方程;
4、过双曲线12
2
=-y x 的左焦点2F ,作倾斜角为3
π
的直线与双曲线相交于B A ,两点,求: (1)弦长AB
(2)△AB F 1∆的周长(2F 为双曲线的右焦点)
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220,求此双曲线的标准方程.
6、已知倾斜角为4
π的直线l 被双曲线6042
2=-y x 截得的弦长28=AB ,求直线l 的方程.
例2、 已知双曲线方程为332
2
=-y x ,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题,一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标,而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解.此时,若已知点在双曲线的内部,则中点弦一定存在,所求出的直线可不检验,若已知点在双曲线的外部,中点弦可能存在,也可能不存在,因而对所求直线必须进行检验,以免增解,若用待定系数法时,只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可. 例3、 双曲线方程为3322
=-y x .
问:以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在,求出其所在直线的方程;若不存在,请说明理由.
7、已知中心在原点,顶点12,A A 在x 轴上,离心率为21
3
的双曲线经过点(6,6)P (Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)动直线l 经过12A PA ∆的重心G ,与双曲线交于不同的两点,M N ,问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
题型三:
9、设双曲线()01:2
22>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围; ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ,且PB PA 12
5
=
,求a 的值。 解:(1)将y =-x +1代入双曲线x 2
a
2-y 2=1中得(1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2
=0 ① 由题设条件知,
⎩⎪⎨⎪⎧
1-a 2
≠04a 4
+8a 21-a
2
>0