2.3双曲线与直线_中点弦
双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全
双曲线抛物线知识点⼤总结绝对好和全第⼆章 2.3 双曲线双曲线标准⽅程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a by a x 标准⽅程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a bx a y 定义第⼀定义：平⾯内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（⼩于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MFMF M 221=-()212F F a <第⼆定义：平⾯内与⼀个定点F 和⼀条定直线l 的距离的⽐是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。
定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离⼼率。
范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈对称轴x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中⼼原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )xy P1F 2F xy P xyP1F2FxyxyP1F 2F xyxyP1F 2F xy P离⼼率 e ace (=>1)= 准线⽅程 ca x 2±=ca y 2±=准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 22顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为ca a 2-顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a ca +2焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为cac 2-焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c ca +2渐近线⽅程x a b y ±= x b a y ±=共渐近线的双曲线系⽅程k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-2222（0k ≠）1. 双曲线的定义①当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表⽰点M 在双曲线右⽀上；当a MF MF 212=-时，则表⽰点M 在双曲线左⽀上；②注意定义中的“（⼩于12F F ）”这⼀限制条件，其根据是“三⾓形两边之和之差⼩于第三边”。
直线与双曲线 点差法与中点弦
直线与双曲线点差法与中点弦一、切线类型：1、双曲线内、原点：0条；2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当在区域Ⅰ内时，有；当在区域Ⅱ内时，有．当在区域Ⅲ内时，有．利用上述结论，可以证明：当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，．运用点差法得出的斜率．①令直线的方程为即．②把②代入，整理得．．③把①代入③，整理得．若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）不存在分析：将及联立得．此时，，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．-------------------------------------------------------------------------------------点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析。
直线与双曲线的相交弦问题
v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
双曲线中点弦公式推导过程
双曲线中点弦公式推导过程1. 双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一个重要的几何图形，它有许多重要的性质。
双曲线的一般方程通常可以写成x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1其中a和b是双曲线的参数，通常分别代表横轴和纵轴上的半轴长度。
双曲线还有等价的参数方程和极坐标方程，但在推导中点弦公式时，我们将主要使用一般方程。
双曲线上的点(x, y)满足上述方程，而且即使a和b相同，也需要注意双曲线有两个分支。
这些分支通常被称为“右侧分支”和“左侧分支”，它们分别在x轴的正半轴和负半轴上展开。
这是因为双曲线是非闭合曲线，所以它会延伸至无穷远。
2. 双曲线上的中点弦接下来，我们将讨论双曲线上的中点弦。
给定双曲线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤讨论其中点弦的性质。
首先，我们需要找到这两个点的中点M。
中点M的坐标可以表示为[(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]接下来，我们考虑中点M与点A和点B之间的连线。
这条线段被称为弦，而中点M恰好是这条弦的中点。
由于中点弦的性质，它与弦上的任意一点C的距离都等于MC的长度。
3. 推导双曲线中点弦公式为了推导双曲线中点弦公式，我们可以使用代数和几何的方法。
我们需要查找双曲线上任意两点的中点坐标，然后推导出与这两点中点弦相关的方程。
我们可以假设双曲线的一般方程为x²/a² - y²/b² = 1然后，我们可以选择双曲线上任意两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，并找到它们的中点M。
得到中点坐标后，我们可以结合双曲线的方程和中点弦的性质，得到我们需要的中点弦方程。
这个过程可能会有些复杂，因为我们需要考虑双曲线的参数a和b，并将中点坐标代入双曲线方程中。
在推导中点弦公式时，需要注意到双曲线行为的非对称性，因此需要分别计算右侧分支和左侧分支的中点弦。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是一种重要而有趣的数学曲线。
在我们探索双曲线的性质时，中点弦的存在定理是一个关键性的概念。
中点弦的存在定理表明，对于任意一条双曲线上的两点，我们总能通过连接这两点的线段，找到一条与该线段平行的双曲线的弦，并且该弦的中点就是原始双曲线上这两点的中点。
为了更好地理解这个定理，让我们以一个有趣的例子来说明它的应用。
假设我们有一条双曲线，它的两个焦点分别为A和B。
现在我们要找到这个双曲线上一点P与A、B点构成的线段的中点的对应的弦。
首先，我们连接点A和B，得到线段AB。
然后，我们画一条与线段AB平行的直线，并将这条直线延长，使其与双曲线相交于两个点C 和D。
根据中点弦的存在定理，我们知道线段CD就是我们要找的双曲线上与线段AB的中点对应的弦。
此外，由于线段CD与线段AB平行，我们可以得出线段AB与线段CD的中点是重合的。
这个例子展示了中点弦的存在定理的应用。
通过连接双曲线两点的线段，并找到与之平行的双曲线的弦，我们可以找到双曲线上任意两点的中点。
这个定理在几何学和数学分析中有广泛的应用。
它不仅可以用于计算双曲线上两点之间的距离，还可以用于证明双曲线的对称性和其他性质。
对于学习和研究双曲线的人来说，中点弦的存在定理是一个非常重要的工具。
它允许我们通过连接双曲线上的两点来发现更多关于曲线的性质，并帮助我们更好地理解双曲线的几何特征。
总之，中点弦的存在定理为我们探究双曲线提供了一个有力的工具。
通过连接双曲线上的两点并找到与之平行的弦，我们可以找到双曲线上这两点的中点，并进一步探索曲线的性质。
无论是在几何学还是数学分析中，中点弦的存在定理都是一个重要的概念，并具有广泛的应用价值。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是数学中的一种重要曲线，具有许多有趣且值得研究的性质。
其中一个重要的性质就是中点弦的存在定理。
这个定理为我们提供了一种方法来确定双曲线上的中点，并使我们能够更好地理解双曲线的几何特征。
首先，让我们来了解一下什么是双曲线。
双曲线是平面上的一个曲线，其定义方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$是正实数。
双曲线的形状类似于一个开口的弧，具有两个分支。
在这两个分支之间存在一个对称轴，我们称之为中心轴。
现在，我们来介绍中点弦的概念。
中点弦是指双曲线上的两个点，并且这两个点分别在双曲线的两个分支上。
这两个点的连线称为中点弦。
我们要证明的是，对于给定的双曲线，总是存在一个中点弦。
为了证明中点弦的存在定理，我们需要运用一些数学知识和技巧。
首先，我们先选取双曲线上的两个点$P$和$Q$。
我们将这两个点的连线称为弦。
根据双曲线的定义方程，我们可以得到点$P$和点$Q$在双曲线上的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。
由于$P$和$Q$在双曲线上，它们满足方程$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$和$\frac{x_2^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} = 1$。
我们可以设中点弦的中点为$M$，坐标为$(x_M, y_M)$。
由于$M$是$P$和$Q$连线的中点，我们可以得到$x_M = \frac{x_1 +x_2}{2}$和$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$。
现在，我们来证明中点弦的存在。
假设$P$和$Q$不在同一条直线上，也即$x_1 \neq x_2$。
这意味着中点弦的中点$M$的横坐标$x_M$是一个确定的值，不会造成问题。
接下来，我们需要证明中点弦的纵坐标$y_M$是否存在。
我们可以通过将$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$代入双曲线的定义方程中，得到$\frac{x_M^2}{a^2} - \frac{y_M^2}{b^2} = 1$。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦定理是几何学中的重要定理之一，它是由著名的欧拉在18世纪提出的。
它的定义是：两个双曲线的棱的交点连成直线，如果该直线与另一对双曲线的棱的交点融合，则称为双曲线中点弦结论。
双曲线中点弦定理可以用向量的方法描述，即：设$\triangle PQR $ 为双曲线$C_1$和$C_2$交于点$Q$ 所围成的三角形，则
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RQ}$ 。
由双曲线中点弦定理，可以得出其推论：
1、如果双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱形成一个平行四边形，则沿着平行四边形轮廓线的每一条棱可以找到一对双曲线的棱的交点。
且这两点构成的直线，又能够与另一对双曲线棱的交点融合。
2、两个双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱两两形成的角必定为45°
3、设双曲线$C_1$ 和$C_2$有N对棱，则两对棱形成的角必定为45° · (N-1)°.
以上总结出双曲线中点弦定理的三条推论，然而双曲线中点弦定理还有更多用处：
（1）双曲线中点弦定理可以用来研究椭圆、双曲线上的几何问题；
（2）双曲线中点弦定理可以用来求解全等图形，如两个椭圆形成的四边形如何形成；
（3）双曲线中点弦定理可以用来寻找椭圆、双曲线上点的位置。
实际上，双曲线中点弦定理可以发现或解释许多在几何学中见到的特殊现象，所以它是几何学中一个重要的定理。
它的推论可以帮助我们更好的理解双曲线的特点，而它的其他用处也能够展示出双曲线中点弦定理在几何学中的重要性。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线是几何学中一类特殊的曲线，与椭圆、圆等曲线相比，双曲线的几何性质较为复杂，其中一个重要结论就是点弦结论，它被广泛应用于各类理论分析和数学运算中。
双曲线中点弦结论是16世纪哥白尼发现的一个重要定理，其原
理是：一个双曲线上任意一点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，形成一条直线，则这条直线必然能够在双曲线上切出另一点。
简言之就是：任意一个双曲线上的点都可以成另一点，形成弦的线段，因此双曲线的每一点都可以通过另一个点来表示。
以双曲线方程及经典点弦结论为例，双曲线的定义式如下：
x2/a2 - y2/b2 = 1
其中a、b分别是该双曲线的两个焦距，可以根据该公式判断出
双曲线的位置、类型甚至结构，并进而得出结论。
双曲线点弦定理指出：任意一个双曲线上的点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，则该线段必然也在双曲线上，而不是该双曲线的对称轴或附近的曲线上。
此外，每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，这意味着双曲线上的每个点都可以通过另一个点来描述，这就是双曲线中点弦结论。
点弦结论在几何学中有重要应用，它可以用来解决不少复杂的几何问题，例如：双曲线的对称性、对称轴及其他特性，还有双曲线上任意点的位置及线段的位置等等。
此外，双曲线点弦定理也可以用来求解其他几何形状的面积等问
题，可以用来求解自然界的复杂现象，例如：地球的重力场、电磁场等；也可以用于物理学、力学等物理知识的求解过程。
总之，双曲线中点弦定理是一种重要且有效的定理，其主要原理是可以将双曲线上的任意一点，通过另一点相连而形成弦的线段，并且每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，此定理具有较强的实用性，有着广泛的应用前景。
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o
F
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (1)有两个不同公共点; (2)没有公共点; (3)只有一个公共点;
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (4)与右支有两个公共点; (5)与左支有两个公共点;
作业： 1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，
与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点
是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
y2 2. （课本62页B4）给定双曲线x = 1,过点A(1,1)能否 2 作直线L使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
o
B
x
2b b 1 b a x1 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab 2 2 a 2 又 AB 1 k ( x x ) 4 x1 x2 k MO 1 2 b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab a b 3 3
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
2
2
例6、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点， 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2 y ax2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
*
16
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
8 3 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 1 (B) x 2 4 2 4
练习 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B 两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设 A,B 的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，
2 2 2 则 x2 － 4 y ＝ 4 ， x － 4 y 1 1 2 2＝4.
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
2
2
y x
o
x y 练习.过原点作直线l , 如果它与双曲线 1 4 3 相交, 则直线l的斜率k的范围是( B ) 3 3 A. ( , ) 2 2 3 3 B . ( , )( , ) 2 2 3 3 C . [ , ] 2 2 3 3 D. ( , ][ , ) 2 2
x2 y 2 思考：双曲线 2 2 1(a 0, b 0), 过左焦点F1与左支 a b 相交的弦AB的长为m, 另一焦点F2 , 求ABF2的周长.
解： |AF2 | | AF1 | 2a,| BF2 | | BF1 | 2a
且 | AF 1 | | BF 1 | m
| AF2 | | BF2 | 2a | AF1 | 2a | BF1 | 4a m
y
A
F1 O B
F2 x
周长 | AF2 | | BF2 | | AB | 4a 2m
三
弦中点问题
例3 已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
2
中点?说明理由.
22
已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2， 与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点 是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2，0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2.
(6)与两支各有一个公共点.
练习:已知直线 y=kx-3 与双曲线 x2-y2=4 求下列情况下k的取值范围.
(1)有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点;
(4)与右支有两个公共点;
(5)与右支有一个公共点.
二 弦长问题
x2 y2 1 例2 如图所示，过双曲线 3 的右焦点F2,倾斜角 6 为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
o y
2
2
x
例4 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的 取值范围,使直线与双曲线 (1)只有一个公共点； k=±1，或k= ±
5 或k ＞ 5 2 2 (3)有两个公共点; 5 ＜k＜ 5 且k 2 2 5 2
；
(2)没有公共点； k＜
1
(4)交于异支两点；-1＜k＜1 (5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
例4.直线y kx与双曲线 4 x y 16 不可能( B ) y
2 2
A.相交
B. 只有一个交点
C. 相离 D. 有两个公共点 o
x
y 例5. 过双曲线 x 1 的右焦点F, 做直 3 线l与双曲线的两支都相交, 则直线l的倾斜
2
2
角α的取值范围是____________________ y
2 2
例2.过点(0, 3)作直线l , 如果它与双曲线 x y 1只有一个公共点, 则直线l的 4 3 y 条数是( D ) A.1 C.3 B.2 D.4
2 2
o
x
x y 例3.过原点作直线l , 如果它与双曲线 1 4 3 相交, 则直线l的斜率k的范围是( A ) 3 3 A. ( , ) 2 2 3 3 B . ( , )( , ) 2 2 3 3 C . [ , ] 2 2 3 3 D . ( , ][ , ) 2 2
弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · （ x1 x 2） 4 x1 x 2
=
1
1 · （y1 y2） 4 y1 y2 2 k
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
解 : (2)5 12 9 12 45
5 x 9 y 14 0
变式训练 1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
2 2
o
x
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点) y
B2 A1 A2
o
B1
x
位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
相离:0 个交点
o
x
y
相交:一个交点
o
x
题型1:直线和双曲线的位置关系
例1.判断下列直线与双曲线的位置关系
x y 相切 (1) l : x 3, C : 1 9 16 2 2 3 x y (2) l : y x 1, C : 1 相交(两个交点) 4 9 16 4 x2 y2 (3) l : y x 1 , C : 1 相交(一个交点) 5 25 16 2 2 5 x y (4) l : y x 1 , C : 1 相离 4 25 16
2 2
2
2
y
B2 A1 O A2 B1
x0 y0 点P( x0 , y0 )在双曲线外 2 2 1； a b
2
2
x
复习：直线和椭圆的位置关系 方程△>0 相交 两个公共点
相切 一个公共点 相离 无公共点
方程△=0 方程△<0
y
x y 2 2 1 b a y kx m
2
25
A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2 5x12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2） 2 2 5x2 9 y2 45 y1 y2 5 x1 x2 kMN 5 x1 x2 9 y1 y2 9 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9