在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索
双曲线中点弦k值
双曲线中点弦k值引言双曲线是一种重要的数学曲线，具有广泛的应用。
在双曲线中，中点弦是一条连接双曲线上两点的线段，而k值则是中点弦的斜率。
本文将深入探讨双曲线中点弦k 值的性质和计算方法。
双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，其定义可以通过以下方程表示：x2 a2−y2b2=1其中，a和b分别是双曲线的两个参数。
中点弦的定义在双曲线上任意选择两点P和Q，并连接它们得到的线段PQ称为双曲线的中点弦。
中点弦的斜率k可以通过以下公式计算：k=y2−y1 x2−x1其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是中点弦的两个端点的坐标。
中点弦k值的性质1.中点弦k值与双曲线的参数有关。
具体而言，对于给定的双曲线，不同的中点弦具有不同的k值。
当双曲线的参数a和b固定时，中点弦k值的范围是(-∞, ∞)。
2.中点弦k值的绝对值越大，中点弦越接近于垂直于x轴或y轴的直线。
当k值趋近于0时，中点弦趋近于水平于x轴的直线；当k值趋近于无穷大时，中点弦趋近于垂直于x轴的直线。
3.中点弦k值的正负表示中点弦的方向。
当k值为正时，中点弦向右上方倾斜；当k值为负时，中点弦向右下方倾斜。
中点弦k值的计算方法计算中点弦k值的方法如下： 1. 确定双曲线上的两个点P和Q，记录它们的坐标(x1, y1)和(x2, y2)。
2. 使用中点弦的斜率公式计算k值：k=y2−y1 x2−x13. 可以使用计算器或计算机软件来计算k值，确保准确性和高效性。
中点弦k值的应用中点弦k值在数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是一些应用的例子： 1. 数学建模：通过计算双曲线上不同中点弦的k值，可以对双曲线的形状和性质进行研究和建模。
2. 物理学：双曲线在物理学中的应用非常广泛，例如在光学中描述光的传播路径、在力学中描述粒子的轨迹等。
中点弦k值可以用来分析和计算这些物理过程中的相关参数。
3. 工程学：在工程学中，双曲线的应用包括电路分析、信号处理、通信系统设计等。
二次曲线中点弦问题求解方法探析
二次曲线中点弦问题求解方法探析二次曲线中点弦问题求解方法探析本科学生毕业论文（设计）题目二次曲线中点弦问题求解方法探析姓名张清玉学号 104080406 院系数学学院专业数学与应用数学指导教师（职称/学历）张绍宗（副教授）2021年 4月 10日云南师范大学教务处1二次曲线中点弦问题求解方法探析云南师范大学数学学院本科毕业论文（设计）任务书系别：数学学院专业：数学与应用数学班级：10数E班学生姓名：张清玉学号：104080406 论文题目：二次曲线中点弦问题求解方法探析一、毕业论文（设计）的目的（一）培养学生综合运用所学知识进行科学研究和独立分析问题、解决问题的能力，培养学生严谨的科学态度，实事求是和认真负责的工作作风。
（二）通过撰写毕业论文（设计），进一步深化所学知识，运用正确的研究方法，收集相关资料，进行调查研究，提高写作能力。
（三）进一步加深对基础理论的理解，扩大专业知识面，完成教学计划规定的基本理论、基本方法和基本技能的综合训练，力求在收集资料、查阅文献、调查研究、方案设计、外文应用、计算机处理、撰文论证、文字表达等方面加强训练，实现所学知识向能力的转化。
（四）鼓励学生勇于探索和大胆创新。
二、毕业论文（设计）的要求（一）毕业论文（设计）选题应符合本专业培养目标的要求，具有理论意义和实际价值。
（二）毕业论文（设计）有一定的深度和广度，份量适中。
（三）毕业论文（设计）的正文内容文题相符，结构合理，层次分明，合乎逻辑;概念准确，语言流畅;论点鲜明,论据充分,自圆其说。
（四）毕业论文（设计）应当反映出学生查阅文献、获取信息的能力，综合运用所学知识分析问题与解决问题的能力，研究方案的设计能力，研究方法和手段的运用能力，外语和计算机的应用能力及团结协作能力。
（五）毕业论文（设计）书写格式规范，符合《云南师范大学数学学院全日制本科生毕业论文（设计）管理实施细则》的要求。
指导教师（签字）：主管院、系领导（签字）：2021年4月10日2二次曲线中点弦问题求解方法探析云南师范大学数学学院本科生论文（设计）任务书一、毕业论文设计目的一.研究意义1.直线与二次曲线相交所得中点弦问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题及高考命题的常用素材和热点问题.2.二次曲线在数学高考中为必考知识点，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程、几何性质以及与直线的位置关系和求轨迹方程等．涉及的数学思想方法主要有:数形结合思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、整体思想以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法． 3.圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力．4.本文就圆锥曲线的“ 中点弦” 问题中的求中点弦方程、求与中点弦有关的轨迹问题作归纳总结，帮助学生有效解决二次曲线中点弦这一大难题.二、毕业论文设计内容要求1、毕业论文（设计）选题内容应结合实际现状，有据有理，给出充分的参考文献，并在文中加以标注，有研究意义及价值。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线是几何学中一类特殊的曲线，与椭圆、圆等曲线相比，双曲线的几何性质较为复杂，其中一个重要结论就是点弦结论，它被广泛应用于各类理论分析和数学运算中。
双曲线中点弦结论是16世纪哥白尼发现的一个重要定理，其原
理是：一个双曲线上任意一点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，形成一条直线，则这条直线必然能够在双曲线上切出另一点。
简言之就是：任意一个双曲线上的点都可以成另一点，形成弦的线段，因此双曲线的每一点都可以通过另一个点来表示。
以双曲线方程及经典点弦结论为例，双曲线的定义式如下：
x2/a2 - y2/b2 = 1
其中a、b分别是该双曲线的两个焦距，可以根据该公式判断出
双曲线的位置、类型甚至结构，并进而得出结论。
双曲线点弦定理指出：任意一个双曲线上的点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，则该线段必然也在双曲线上，而不是该双曲线的对称轴或附近的曲线上。
此外，每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，这意味着双曲线上的每个点都可以通过另一个点来描述，这就是双曲线中点弦结论。
点弦结论在几何学中有重要应用，它可以用来解决不少复杂的几何问题，例如：双曲线的对称性、对称轴及其他特性，还有双曲线上任意点的位置及线段的位置等等。
此外，双曲线点弦定理也可以用来求解其他几何形状的面积等问
题，可以用来求解自然界的复杂现象，例如：地球的重力场、电磁场等；也可以用于物理学、力学等物理知识的求解过程。
总之，双曲线中点弦定理是一种重要且有效的定理，其主要原理是可以将双曲线上的任意一点，通过另一点相连而形成弦的线段，并且每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，此定理具有较强的实用性，有着广泛的应用前景。
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索
在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索在双曲线中有关中点弦存在性问题的探索(浙江省宁波市鄞州中学数学组315101)黄富眷直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点,弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想,"设而不求"的方法和韦达定理.其中椭圆,双曲线,抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部因此相对较简单,而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部,所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索.例己知双曲线方程.一Y.===2.(1)求以P(2,1)为中点的双曲线弦所在的直线方程.(2)过点Q(1,1)能否作直线z,使Z与所给的双曲线交于A,B两点,且点Q是弦AB的中点?这样的直线z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(1)设以P(2,1)为中点的弦两端点为A(x,Y),B(x.,Y.)两点,由于A,B在双曲线上,则有2x;一Yi=1,2z;一Y;===1,两式相减得2(1+2)(l—2)一(1+Y2)(l—Y2)=0,由已知:l+2===4,Y1+Y2=2,又据对称性知思路:这个花圃分为6个部分,但6个部分不是只有一公共点的,不能应用前述的思路和方法.若将第1部分视为一点,则转化为上述的问题.于是我们分为两大步进行:第一步:确定第1部分的栽种方法,可以从4种颜色的花中任选一种,有4种方法.第二步:确定第2,3,4,5,6这5个部分的栽种方法,按要求只能从余下的3种颜色的花中选取. 现将第一部分视为一点,形成只有一个公共点的5 个部分的情形.分别考察一区域被分成3,4,5个小区域的情形,各小区域均只有一公共点(如图6),设它们的栽种方法分别是口3,口4,口5.≠.,所以丛二丝一4.即AB一4.所求中点Xl—2弦所在直线方程为:4x—一7=O.在解析几何中,在处理涉及弦中点的问题时,我们常用点差法思想.严格地说,求出的这个直线方程只是满足了必要性,因为我们假定过P点的直线与双曲线交于A,B两点,因此还必须验证充分性,即所求的直线确实与双曲线有两个交点.为此只要将直线方程与双曲线方程联立消(或),得△>0,就可断言充分性成立.事实上,从2-2. 一1.=7>2,也可判定P(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域).所以用点差法,就必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法.在利用韦达定理时,必须讨论一元二次方程的二次系数和判别式..(2)可假定直线z存在,采用(1)的方法求出l的方程为2x—Y一1=0,联立方程组O2一.2—1』:__,消Y,得2x一4x+30,lZx—Y—l—UA:(一4)一4?2—38<0,无实根.因此直线z与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线z不存在.幽6可以得到:口3—3×2×1=6,一3×2一口3—18,口5=3×2'～一30.即第2,3,4,5,6这5个部分不同的栽种方法有3O种.由以上两步,6个部分不同的栽种方法有4×30—120种.-o0∞年0月上半月划剥一引刈●,通过这个例题清楚地表明了以某一定点为中点的双曲线的弦的存在性问题若用点差法的思想来处理的话,可能会造成错解.所以一般地,还是采用直线与双曲线联立方程组,消元后通过一元二次方程的系数和判别式来判断直线中点弦的存在性.另外从上面的例题中可以看出,以某一定点为中点的双曲线的弦并不一定存在.显然与这个定点的坐标有关,因此在对双曲线中点弦存在性问题的探索中,笔者发现其实通过对定点所在位置的判定,可以很快地确定双曲线中点弦是否存在及弦所在直线的条数.问题已知:双曲线一=1和坐标平面上任一点P(x.,Y o),过点P能否作直线z,使z与所给的双曲线交于A,B两点,且点P是弦AB的中点?这样的z如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.解:(f)当直线l与轴垂直时,由于双曲线的对称性可知,显然只有当P(x.,O).且IoI>a时,以点P(x.,O)为中点的弦AB所在直线Z是唯一存在.(ii)当点P就在原点O上,此时可设直线Z方程为Y—,代入双曲线方程得(一a2k.)一￡0a2b=0,当k.<时,△>o,所以存在以原点为中点的弦AB,交点在左右支上,这样弦AB所在直线l有无数条.斜率为k<__O-.(iii)当直线l与轴不垂直时,且定点不在原点时,设直线Z的斜率为k,所以过点P(x.,Y.), (.≠O)的直线方程可设为:Y=忌(—.)+y..联立方程frazyZ口,消去后,整理得:IY一尼L—Xo十Y o(62一a2k)一2a.k(yo—kxo)—a.(o一.o)一a.62=0(*)若b一ak=0时,则直线l与双曲线的渐近线平行,所以不可能有弦AB.所以b一a2k.≠0, 此时,由于点P是弦AB的中点,所以有=2一裴①对于(*)的判别式A=4a'k.(一kx.).+4(b一a2k)[(一kx.).+62]-a.==:墅4a'k(o—kxo)一4a'k(o—kxo)一4a'bk+4ba(o一.o)十4ab'=4口b2Uyo—kxo).+b一a2k]②把①式代入②式得:△一(口z一62z5)(口.一6zz3一a2bz)aY o从而可得:(1)当一>1,即625一aY3>a2b.点在双曲线的内部(即含焦点的区域)时,如图1阴影区域,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点在同支上,并且这样的直线z是唯一的,斜率为忌=麓.\y/\/i:iii!iiiiiiiii!ili!iiiiii~,/慧^\/冀--|_:/,/q\\I:0.:,\\≮0,,\图ly\_.:/\=曹--/\多//\\\:.'\\.¨.\图2(2)当蔓az一<o,即3一口y'o<o<,如图2阴影区域时,此时△>0,所以存在以点P为中点的弦AB,两个交点分别在左右支上, L2..并且直线z也是唯一的,斜率为k=.(3)当o<一<1,即0<623一azY5<azb,如图3区域时,此时△<0,所以不存在以点P为中点的弦AB.(4)当一一o,即y.图3X:一a2Y5=0时,点P在渐近线上(非原点),此L2时△=0;而此时斜率kU,XO=Y o,赢线l即为aY o0渐近线,不可能与双曲线相切,从而矛盾,所以不存在以点P为中点的弦AB.综上所述,我们可以通过对定点P坐标与双曲线方程分析,及定点与双曲线的所在区域,位置的分析判定,使双曲线中以某个定点为中点的弦的存在性问题探索变得非常的容易和清晰,从而彻底地解决了这个存在性问题的讨论.-000年0丹上半月洲.刘_j『。
双曲线的中点弦什么时候存在
首先不妨把双曲线所在的平面区域分成以下几个部分:
７５
周刊
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则 有 :x２ １－y２２１ ＝１,x２２－y２２２ ＝１,两 式 相 减 ,得 :
(x１
＋x２)(x１
－x２)－
(y１
＋y２)(y１ ２
－y２)＝０
因为 P(１,２)为 AB 中点,从而x１＋x２＝２,y１＋y２＝４,
所
以
kAB
＝xy１１
－y２ －x２
＝２(yx１１＋＋yx２２
) ＝１,
故 所 求 直 线 方 程 为 y－２＝x－１,即 x－y＋１＝０.
至此,我们利用“点 差 法 ”解 决 了 双 曲 线 的 中 点 弦 问 题,
为了验证所求的直线x－y＋１＝０ 是 否 是 满 足 条 件 的 直 线, 我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组
{x２
y２ －２
中点弦存在的充要条件及其方程
两式相减， 并整理可得 2 （ x1 + x2 ） （ x1 － x2 ） = （ y1 + y2 ） （ y1 － y2 ） . x1 ≠ x2 . 由对称性可知， ʑ kl = y1 － y2 2 （ x1 + x2 ） = = 1. x1 － x2 y1 + y2
y0 ） （ 其中 x0 ， y0 不全为 0 ） ， 点 P （ x0 ， 如果 P （ x0 ， x2 y2 0 0 y0 ） 在双曲线的内部（ 即其坐标满足 2 － 2 > a b 1） ， y0 ） 为中点的弦存在 . 这一点 那么以 P （ x0 ， 与椭圆 、 抛 物 线 一 样， 我 们 没 有 疑 问， 但如果 P （ x0 ， y0 ） 在双曲线的外部（ 即其坐标满足 － x a
2 0 2
y = k （ x － x0 ） + y0 ， 2 2 消去 y 得 x － y = 1， 2 a2 b
（ b2 － a2 k2 ） x2 + 2 a2 k（ kx0 － y0 ） x － a2 （ k2 x2 0
2 － 2 kx0 y0 + y2 0 + b ） = 0，
x = x0 ， 同样可表示为 x y x0 x y0 y = + . 2 + 2 a b a b 结论 2 对于抛物线 y = 2 px（ p > 0 ） 及
2 2 0 2 2 0 2
y0 ） ， y0 ） 为中点的弦存在的 点 P （ x0 ， 以 P （ x0 ， y0 ） 在抛物线的内部（ 即其 充要条件是 P （ x0 ，
2
高中数学教与学
命题 2 y0 ） （ 其中 x0 ， y0 不 如果点 P （ x0 ， x2 y2 － = 1（ a > 0， b > 0） 的 a2 b2
双曲线中点弦 存在
双曲线中的中点弦一道课后作业题的教学所思绵阳南山中学 青树国在双曲线的教学过程中,经常会遇到对中点弦所在直线的存在性的探究。
题目有时解是存在的,有时虽然计算出来直线方程但经检验又必须舍去，而且有时检验的计算量又很大。
这部分的技巧学生掌握起来难度较大,题目丢分现象比较普遍。
在此我通过对课后习题的讲解和反思总结情况形成了一个猜想,用来判断双曲线弦的中点位置,能迅速帮助学生判断中点所在的位置是否合理,在此和大家一起分享与交流。
一、课本习题再现普通高中课程标准实验教科书，数学选修2-1（人民教育出版社A 版）第二章第三节课后习题B 组第4题：已知双曲线1222=-y x ,过点)1,1(P 能否作一条直线l ,与双曲线交于A 、B 两点,且点P 是线段AB 的中点?这是一探索性问题，通过对作业的批改，绝大多数学生有对探索性问题的解决办法即：假设——推理——验证——下结论。
具体来说普遍采用了以下两法。
法一：（设而不求）假设能作这样的直线l ，通过作图可知：直线l 的斜率显然，设其为k ，从而直线的方程为：)1(1-=-x k y 即：1+-=k kx y ，联立直线和双曲线的方程并消去未知数y 可得032)1(2)2(222=-+--+-k k x k k x k 。
（*）设),(11y x A 、),(22y x B 由题意可知1x 、2x 是方程（*）的两个根。
故022≠-k 且0)32)(2(4)1(42222>+--+-=∆k k k k k ，由题意可知：22)1(2221=---=+kk k x x ，解之得2=k ，带入判别式知0<∆，故2=k 应舍去，所以假设不成立即由题意不能作出这样的直线。
法二：（点差法）假设能作这样的直线l ，并设),(11y x A 、),(22y x B 由题意可知A 、B 在双曲线上，所以122121=-y x ①122222=-y x ②，由①-②得2)(221212121=++=--=y y x x x x y y k l ，所以直线l 的方程为：)1(21-=-x y 即12-=x y 带入双曲线方程得03422=+-x x ，032416<⨯⨯-=∆所以假设不成立，这样的直线不存在。
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用Final approval draft on November 22, 2020点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---byy a x x又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围； （2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k 直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200a b x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k 由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200a b x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知+=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . 由平行四边形法则知：2=，即Q 是线段OP 的中点.设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x .由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………②由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（ ） A.14322=-y x B. 13422=-y x C. 12522=-y x D. 15222=-y x2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹; （2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200a b x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a .故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200a b x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k . ∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD=⋅得：21=⋅-xy，即x y 2-=. 由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ， 整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ， 解之得：1,221=-=x x .4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ， ∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………②由①、②得：29,2300==y k x又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。