第二章力力矩力偶
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第二章22 力矩与力偶
2.2 力矩与力偶
解析法求力对轴之矩：
用解析方法表示，可得如下公式(图2-26):
m Z(F )m oF xy m oF xm oF y
xYyX
F对x和y轴之矩也可类似地求出，也可按坐标x (X), y (Y) ,z (Z)
轮换的方法直接写出: mz (F ) xY yX
mx (F )
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力对点之矩（力矩） 力对物体的作用效果
移动 转动
力的大小、方向 力矩的大小、方向
力矩:度量力使物体转动效果的物理量
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
2.2 力矩与力偶
了解：空间力系中力对点之矩
B
力矩的大小:
z
mo(F) F1
F
mo(F) =2OAB面积=Fh
A
力矩的方向：右手螺旋法则
h
y
O
x
mo(F1)
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;
力矩在力矩平面内的转向.
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
力和力偶是组成力系的两个基本物理量。
高速铁路新型板式轨道设计理论与力学性能研究《建筑力学》 第二章：力系的简化与平衡
2.2 力矩与力偶
力偶的性质：
(2) 力偶对其作用平面内任一点的矩都等于其力偶矩本
身的大小；
F
x
h
o
F’
m O F ,F F ( h x ) F F x m h
(3)只要不改变力偶的转向和力偶矩的大小, 力偶可在其 作用平面内（包括在其平行平面内）任意移动和转动,而 且也可任意改变其力和力偶臂的大小。
理论力学B第二章力偶
若：作用在刚体上 作用在刚体上
{F , F2 ,⋯, Fn} 1
{FR}
则： n MO (FR ) = ∑MO (F ) i
i=1
A C B E D
§2-1
力矩 (moment of a force)
二.力对轴之矩(moment of a force about an axis) 力对轴之矩
z Fz F o d F Fxy Fxy
（B）
N
1、研究OA杆 、研究 杆
2、研究AB杆 、研究 杆
例:已知 AB=2a BD=a,不计摩擦。求：当θ=π/2， BD=a,不计摩擦 不计摩擦。 /2， /3时 系统平衡力偶M 应满足的关系。 π/3时，系统平衡力偶M1 、M2 应满足的关系。
M2
B C D B D C
θ
A
M1
A
θ=π/2时： M1 = 5M2 /2时
方向
§2-3、力偶系作用下刚体的平衡
(Equilibrium of Rigid Bodies Applied by a System of Couples)
平衡的充分必要条件
{ M 1 , M 2 ,⋯ , M n } = { M
R
} = {0}
x y z
即：MR = ∑Mi = 0
i=1
n
∑M ∑M ∑M
{F , F ' } ≠ {FR }
性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到 力偶可在其作用面内任意移动（
另一平行平面),而不改变对刚体的作用 另一平行平面),而不改变对刚体的作用 ),
⇔
⇔
§2-2
2、力偶的性质
力偶 (Couples)
三、力偶的等效条件和性质
{F , F2 ,⋯, Fn} 1
{FR}
则： n MO (FR ) = ∑MO (F ) i
i=1
A C B E D
§2-1
力矩 (moment of a force)
二.力对轴之矩(moment of a force about an axis) 力对轴之矩
z Fz F o d F Fxy Fxy
（B）
N
1、研究OA杆 、研究 杆
2、研究AB杆 、研究 杆
例:已知 AB=2a BD=a,不计摩擦。求：当θ=π/2， BD=a,不计摩擦 不计摩擦。 /2， /3时 系统平衡力偶M 应满足的关系。 π/3时，系统平衡力偶M1 、M2 应满足的关系。
M2
B C D B D C
θ
A
M1
A
θ=π/2时： M1 = 5M2 /2时
方向
§2-3、力偶系作用下刚体的平衡
(Equilibrium of Rigid Bodies Applied by a System of Couples)
平衡的充分必要条件
{ M 1 , M 2 ,⋯ , M n } = { M
R
} = {0}
x y z
即：MR = ∑Mi = 0
i=1
n
∑M ∑M ∑M
{F , F ' } ≠ {FR }
性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到 力偶可在其作用面内任意移动（
另一平行平面),而不改变对刚体的作用 另一平行平面),而不改变对刚体的作用 ),
⇔
⇔
§2-2
2、力偶的性质
力偶 (Couples)
三、力偶的等效条件和性质
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
第二章 力 力矩 力偶
G
1.画出AC、CG、CD、DE、结点D、C的受力图
本章重点：
熟练画受力图
C A
1.画出AC、BC的受力图 2.BC为二力体，AC不是二力体
B
本章重点：
熟练画受力图
小结
熟记4类支座 熟记3类结点 作用力与反作用力 二力体与二力杆 绳索、皮带 光滑接触面 已知荷载不能漏
本章重点：
本章重点：
熟练画受力图
第二章 力 力矩 力偶
§2.1 力的性质
1、力的三要素：大小、方向、作用点 力为矢量，其表示方法：书上用 黑体 字表示， 手写可用
F
本章重点：
熟练画受力图
§2.1 力的性质
对于刚体力的三要素：大小、方向、作用线
刚体：力具有可传性 （沿力的作用线） 变形体：力不具有可传性 同一物体在不同的场合有时看做刚体，有时为变形体
2）所谓代数和是指带正负号的。
3）该定理重在会应用。
2.2力矩
4.力矩的平衡 所有力对同一点矩的代数和等于0
M
A
0
已知宽度为4m，混凝土密度为2600kg/m3,砖密度为1900kg/m3,在雨 篷边缘有一施工荷载1kN
3000
350 70
A
240
1000
2.3力偶
1.力偶的定义：
大小相等、方向相反、作用线不同、 作用在同一的物体上 一对平行力
D A E
4.当DE为一绳索和为一杆时有啥区别
B
本章重点：
熟练画受力图
理想光滑接触面约束
本章重点：
熟练画受力图
C
B
D
1.画出AB、BC、BD、DE的受力图
G
2力、力矩、力偶-2
力臂
顺时针转向为负。
矩心 h
力矩的单位 N.m, kN.m
O
F
注意：同一个力对不同点之矩是不同的， 计算力矩时一定要指明矩心。
力F 对A点之矩 ,为 力F 对B点之矩 ,为 力F 对C点之矩 ,为
MA(F )=FhA MB(F )= –FhB MC(F )=0
A hA C
F
hB B
力的作用线通过 矩心时，力对该点 之矩等于零。
W3 2gV3 19009.8 (240103 3 4) 53625 N
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
3000 350
ρ1=2600kg/m3
W3
F=1kN
W2
70
A
W1
ρ2=1900kg/m3
240 1000
计算倾覆力矩
W3
2.力矩的矢量表示 用右手螺旋法则将力矩表示为矢量 拇指表示力矩矢量的方向
MO (F)
n MO(F )
O
平面内，力对O点之矩实际上是力使物体绕着 过O点垂直于该平面的轴转动的物理量。
力对轴的矩
n F
Oh
n MO(F )
O
O
F
例2-7 带雨篷的门顶过梁长4m，横向尺寸如图。试验算 雨篷会不会绕A点倾覆
平衡？分别是多少？
1.1m
M A(W1) W1 1.1 82.5kN.m M A(W2) W2 2 240kN.m M A(F) F 1.6 144kN.m
F
W1
W2
1.6m
A
1m
3m
作业
P.27: 2-9
= –4 kN.m
项目二 平面力系 任务二 力矩与力偶
• 设在一物体的同一平面内有两个力偶，(Fl， F'1)和(F2，F'2)，力偶臂分别为d1和d2，力偶 矩分别为M1和M2，如图2-15a所示。于是有
• M1=F1d1，M2=F2 d2
• 现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d， 根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条 件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等 效的两个力偶。(Fpl，F'p1)和(Fp2，F'p2)，FP1和 FP2的大小可由下列等式算出：
• 所以 F= M/2AC= 2.5/0.3kN= 8.33kN
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。 F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
力。偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
图2-15
• 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与 力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡 量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表 示。
• 人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力 矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋 势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的 矩可表示为
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§2–6 力偶及其性质
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
• M1=F1d1，M2=F2 d2
• 现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d， 根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条 件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等 效的两个力偶。(Fpl，F'p1)和(Fp2，F'p2)，FP1和 FP2的大小可由下列等式算出：
• 所以 F= M/2AC= 2.5/0.3kN= 8.33kN
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。 F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
力。偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
图2-15
• 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与 力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡 量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表 示。
• 人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力 矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋 势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的 矩可表示为
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§2–6 力偶及其性质
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
2--力、力矩、力偶
第2章 力、力矩、力偶
2021/3/10
1
牛顿三定律：指牛顿运动定律Newton's laws of motion， 牛顿第一运动定律即惯性定律、牛顿第二运动定律和牛顿 第三运动定律三大经典力学基本运动定律的总称。
牛顿第一定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的
原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速
2021/3/10
15
定律2.2 力的平行四边形法则
图2-4(P.10图2-1)，作用于物体上同一点上的两个力， 其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这 两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图24a 所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。
2021/3/10
图2-4
16
图示平行四边形法则( 三角形法则)
2021/3/10
22
原理2.2 力的可传性原理：作用于刚体上的力， 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效 应。例如，图2-9中在车后A点加一水平力推车，如在 车前B点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言， 其效果是一样的。
图2-9
2021/3/10
23
例题 2-1
求如图所示平面共点力系的合力。 其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点， 这三个因素称为力的三要素。
力的三要素可以用一个有向的线段即矢量表示。
2021/3/10
11
1)力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的 合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或 称向量）。
2021/3/10
1
牛顿三定律：指牛顿运动定律Newton's laws of motion， 牛顿第一运动定律即惯性定律、牛顿第二运动定律和牛顿 第三运动定律三大经典力学基本运动定律的总称。
牛顿第一定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
第一定律说明了力的含义：力是改变物体运动状态的
原因；第二定律指出了力的作用效果：力使物体获得加速
2021/3/10
15
定律2.2 力的平行四边形法则
图2-4(P.10图2-1)，作用于物体上同一点上的两个力， 其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这 两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图24a 所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。
2021/3/10
图2-4
16
图示平行四边形法则( 三角形法则)
2021/3/10
22
原理2.2 力的可传性原理：作用于刚体上的力， 可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效 应。例如，图2-9中在车后A点加一水平力推车，如在 车前B点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言， 其效果是一样的。
图2-9
2021/3/10
23
例题 2-1
求如图所示平面共点力系的合力。 其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点， 这三个因素称为力的三要素。
力的三要素可以用一个有向的线段即矢量表示。
2021/3/10
11
1)力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的 合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或 称向量）。
第2章 平面力系-平面力对点之矩及平面力偶
即
MO(F) F d
O点为力矩的中心，称为矩心； d 为O点到力F 作用线的垂直
距离，称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反
之为负。
应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋 转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位： 国际制 N·m，kN·m 工程制 公斤力米（kgf·m）
偶矩的代数和等于零，即 ∑Mi=0
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
例题
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3
=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
F 1 180mm
解：由式
F2
M = M1 + M2
F4
则
M =-F1 ·0.18 –F3 ·0.08
FBA
B
A
FAB
M1
FO
O
M2 D
FD
M1 - FABrcosq 0 - M 2 2FBArcosq 0
因为 FAB FBA
所以求得 M 2 2M1
思考题1 一力偶(F1,F1′)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2′)作用在
Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否 等效，为什么？
F1
d1
F2 d2
F1′
=
F2′
M1 F1 d1 , M 2 -F2 d2
F22 d F11
F11′
=
F22′
d
FR
FR′
M1 F11 d , M 2 -F22 d
FR F11 - F22 , FR F11 - F22
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三、画受力图应注意的问题
⒈ 不要漏画力
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受
力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，
接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此 ⒉ 不要多画力 对于受力体所受的每一个力，都应能明确地
指出它是哪一个施力体施加的。
二力杆
**公理2 加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用效应。 推论1：力的可传性原理。
作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
对同一个刚体来说，力的该性质称为力的可传性，因此， 对同一个刚体，力是滑动矢量。
**公理3 力的平行四边形法则
力的作用线：沿力矢F的
A
K
直线称为力的作用线。
F
力的单位：国际单位制：牛顿(N),千牛顿(kN)
力系：是指作用在物体上的一群力。
平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，
我们称这个力系为平衡力系。
二.刚体
Q
W
AB
就是在力的作用下，大小和
DC
形状都不变的物体。
F
G
三.平衡
是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运
指向相反 F1 = –F2 作用线共线，
只用白体字 F 表示力的
大小，而不
作用于同一个物体上。 在其上加‘－’
或‘→’矢量
符号。
讨论：①对刚体来说，上面的条件是充要的 ②对变形体(或多体)来说，上面的条件只是必要条件
变形体 平衡
必要 充分
两力大小相 等指向相反
③二力体：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力体。
⒍ 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局 部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
[例2] 画出下列各构件的受力图
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
O
C
E
D
Q
A
B
[例3] 画出下列各构件的受力图
说明：三力平衡必汇交 当三力平行时，在无限 远处汇交，它是一种特 殊情况。
[例4] 尖点问题
应去掉约束
应去掉约束
[例5] 画出下列各构件的受力图
公理5 告诉我们：处于 平衡状态的变形体，可用刚 体静力学的平衡理论去硏究。
§2-1-3 约束与约束反力（P4 §1-3 ）
一、概念 ⒈ 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。
⒉ 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 ⒊ 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制 条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束）
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力 物体是向点而来的力。
FR
滑槽与销钉
3.光滑圆柱铰链约束 ①圆柱铰链
销钉
A A
A
YA A XA
②固定铰支座
固定铰支座
RA 链杆约束
③活动铰支座（辊轴支座）
N
N的实际方向也 可以向下
活动铰支座（辊轴支座）
§2-1-4 物体的受力分析和受力图（P6 §1-4 ）
⒊ 不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不 能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析 两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力 的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。
⒋ 受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。
⒌ 受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有 可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分 内力，就成为新研究对象的外力。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
[证] ∵ F1 , F2 , F3 为平衡力系， ∴ R , F3 也为平衡力系。
又∵ 二力平衡必等值、反向、共线，
∴ 三力 F1 , F2 , F3必汇交，且共面。
公理4 作用力和反作用力定律（P14 性质二）
等值、反向、共线、异体、且同时存在。 [例] 吊灯
＊＊公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚 体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
N1
G
G
N2
二、约束类型和确定约束反力方向的方法： 1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束
T
S1 S'1
P
P
S2 S'2
柔性体约束只能承受拉力，所以它们的约束反力是作用在接 触点，方向沿柔性体轴线，背离被约束物体。是离点而去的 力。
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计)
P P
N
N
NB NA
⒋ 主动力: 促使物体运动或使物体产生运动趋势的力称为 主动力（如重力、风力、切削力、物体压力、牵引力等）。
⒌ 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。（约束 的作用由力来表示，该力称为约束反力。）
⒌ 约束反力特点： ①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
第二章 力、力矩、力偶
§2-1-1 力的性质
一、力的概念
1．定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用可以改 变物体的运动状态或使物体发生形变。
2. 力的效应： ①运动效应(外效应)
FA
②变形效应(内
推论：力是矢量
印印刷刷体体用用黑黑体体
F字字或，，或手手F写写表表时时示示用用。。
一、受力分析 解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理 分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。
作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体 压力等。 二类是：被动力，即约束反力。
二、受力图 画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体；