结构的刚度计算
建筑力学行动导向教学案例教案提纲模块六：静定结构的位移计算及刚度校核6.1.1 杆系结构的位移杆系结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。
由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横载面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。
图6-1 刚架的绝对位移图6-2刚架的相对位移我们将以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移。
除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移，如图11.3(a) 和图11.3(b)所示。
图6-3其他因素引起的位移6.1.2 计算位移的目的在工程设计和施工过程中，结构的位移计算是很重要的，概括地说，计算位移的目的有以下三个方面：1、验算结构刚度。
即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。
2、为超静定结构的计算打基础。
在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。
3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
建筑力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。
本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的影响下静定结构的位移计算方法。
6.2.构件的变形与刚度校核6.2.1轴心拉压变形一、纵向变形1、拉压杆的位移：等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位置的改变，即产生了位移△l。
2、计算公式N N F F l l dx dx dx E EA EA σε∆====⎰⎰⎰ 图6-4轴心受拉变形EAlF l N =∆—— EA 称为杆的拉压刚度 （4-2）上式只适用于在杆长为l 长度N 、E 、A 均为常值的情况下， 即在杆为l 长度内变形是均匀的情况[例6.2-1]某变截面方形柱受荷情况如图6-5所示，F=40KN 上柱高3m 边长为240mm,下柱高4m 边长为370mm ，E=0.03×105 Mpa 。
试求：该柱顶面A 的位移。
解：1.绘内力图图6-5二、横向变形 1、横向变形(公式6-1)2.横向变形因数或泊松比（公式6-2）【例6.2-2】 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b ×h =3mm ×80mm ，材料的E =200GPa 。
经拉伸试验测得：在纵向100mm 的长度内，杆伸长了0.05mm ，在横向60mm 的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm ，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴向拉力F P 。
解：（1）求泊松比。
求杆的纵向线应比ε求杆的横向线应变ε′求泊松比μ（2）计算杆受到的轴向拉力由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在F P 作用下任一横截面上的正应力 σ=ε·E =5×10-4×200×103=100MPa333352522.4010310120104100.03102400.03103701.86BC BC AB AB AB BC AB BCN l N l l l l EA EA ∆=∆+∆=+-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯⨯=-求变形：a a d -1=∆a a∆-='εεεν'=νεε-='410510005.0-⨯==∆=l l ε4'1055.1600093.0-⨯-=-=∆=a a ε31.01051055.144'=⨯⨯-==--εεμAF N=σM eM eγOBAϕ可求得在F P 作用下，杆件横截面上的轴力F N=σ·A =100×3×80=24×103 =24kN该杆为二力杆，任一截面上的轴力与两端拉力相等，即F N=F P ，所以该杆受到的轴向外力F P=24kN 。
6.2.2等直圆轴扭转时的变形及刚度条件1、转角计算公式扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
图6-6pp 1dx d e e ll M M lx GI GI ϕγρ===⎰⎰pe M lGI ϕ=（公式6-3） p GI 称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。
2、刚度校核（公式6-4）6.2.3梁的位移及刚度校核 一、梁的位移 1、 梁的位移梁平面弯曲时，每个截面都发生了移动和转动，如图6-7所示。
横截面形心在垂直于轴线方向的线位移称为挠度，用w 表示。
对于水平方位的梁，规定w 向下为正。
实际上梁平面弯曲时横截面形心沿梁的轴线方向还有线位移。
工程中梁的变形一般为小变形，曲率很小，弯曲引起的最大轴向位移不足杆长的十万分之一，所以忽略这种轴向位移。
横截面的角位移θ称为转角。
在图6-7b 所示的坐标系下，以顺时针转向的θ为正。
图6-7 梁的弹性曲线与梁的位移梁的位移计算方法有挠曲线方程法、叠加法、图乘法，一般采用图乘法。
[]θφ≤⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π180max p max GI T2、挠曲线方程法通常梁的挠度是沿x 轴变化的，称为挠度方程：()w f x =，如图6-7所示。
//()tan ()dwf x dxf x θθθ==≈∴= ()//()322//11x w M EIw ρ==±⎡⎤+⎢⎥⎣⎦由于1dwdxθ=<< 所以2()//2x M d w w dx EI==± 积分得 图6-8挠度w 正负号确定（相反）/()1x w M dx C EIθ==-+⎰()1x w M dx dx Cx D EI⎡⎤=-++⎣⎦⎰⎰ 积分常数C 、D 利用梁的边界条件确定。
【例6.2-3】一悬臂梁在自由端受集中力Fp 作用。
试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。
（EI 为常数）解：1、弯矩方程为()()x M F l x =--2、挠曲线近似微分方程为()"x M Fl Fxw EIEI-=-=3、一次积分得 21()2Fx Flx C EI θ=-+ （1） 二次积分得 231()26Flx Fx w Cx D EI =-++ (2) 4、边界条件 x=0 w=0θ=0代入（1）（2）式得C=0;D=0 5、转角方程及挠度方程为22Flx Fx EI EI θ=- 2326Flx Fx w EI EI=-6、转角、挠度的最大值均发生在自由端。
2max2Fl EI θ= 3max 3Fl w EI= 3、叠加法在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表6-1所示），可供计算时查用。
表6-1 梁的最大挠度与最大转角公式梁及荷载类型最大转角最大挠度EIl F P B 22=θEIl F w P 33max =EIMl B =θEIMl w 22max =EIql B 63=θEIql w 84max =2l b a ==时 =A θ－EIl F P B 162=θb a =2l =时 EIl F w P 483max ==A θ-EIql B 243=θEIql w 38454max =二、梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作。
比如桥梁的挠度过大，车辆通过时将发生很大的振动。
必须将位移限制在工程允许的范围内。
对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比⎥⎦⎤⎢⎣⎡l w 为标准。
土木工程的⎥⎦⎤⎢⎣⎡l w 值对于不同类型的梁差别较大，在10001~2501 之间，铁路钢桁梁为9001. 梁的刚度条件为: []θθ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤max max l w l w （公式6-5）应当指出，对于一般土建工程中的构件，强度要求如能满足，刚度条件一般也能满足。
因此，在设计工作中，刚度要求比起强度要求来，常处于次要地位。
但是，当正常工作条件对构件的位移限制很严，或按强度条件所选用的构件截面过于单薄时，刚度条件也可能起控制作用。
【例6.2-5】 如6-11图示简支木梁。
横截面为圆形。
已知F P=3.6kN ，l =4m 木材的容许应力[σ]=10MPa ，弹性模量E =10×103MPa,容许相对挠度[f /l ]=1/250，试选择木梁的直径。
图6-11解 (1)画梁的弯矩图。
（2）由梁的正应力强度条件设计截面由得满足正应力强度时梁的抗弯截面系数为：又圆形截面的抗弯截面系数计算公式为所以梁满足正应力强度时应有 F M3.6kN/mmkN 6.3max ⋅=M ][maxmax σσ≤=zW M 3536max mm 103.6mm 10106.3][⨯=⨯=≥σM W z 323d W z π=53106.332⨯≥d π实际结构取(3) 对直径为d =160mm ，的梁进行刚度校核由表查得该梁的最大挠度发生在跨中，其值为：满足刚度要求因此，该木梁的直径取为d =160mm 。
三、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨度l 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：（1） 增大梁的抗弯刚度EI梁的变形与梁的抗弯刚度EI 成反比，增大梁的抗弯刚度EI 将使梁的变形减小，从而提高其刚度。
增大梁的EI 值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，即来用材料尽量远离中性轴的截面形状，比如采用工字形、箱形、圆环形等截面，可显著提高惯性矩。
（2） 减小梁的跨度L梁的变形与其跨度的n 次幂成正比。
设法减小梁的跨度L ，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。
在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L 值。
①增加中间支座 如图 6-12 a 所示简支梁跨中的最大挠度为EIql f a 38454=；图6-12b 所示在跨中增加一中间支座，则梁的最大挠度约为原梁的38１，即=bf 38１a f 。
图6-12②两端支座内移 如图6-13所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图6-13c ），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。
mm154≥d mm160=d ()mm 9.14mm 6416014.3101048104106.348433333max =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==P EI l F y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=⨯=l f l y 26911049.143max图6-13(3) 改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。
如图6-14所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。
图6-146.3结构的位移计算6.3.1 虚功原理和单位荷载法 一、 变形体的虚功原理W 11=21F P1∆11 梁弯曲后，再在点2外加静力荷载F P2，梁产生新的弯曲(图6-15c)。
关于结构侧向刚度的计算
关于结构侧向刚度的计算1. 关于侧向刚度《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ3-2010（以下简称“《高规》”）有若干处出现了关于楼层侧向刚度的规定，其相应计算方法和适用范围不尽相同。
1.1 判别结构竖向布置规则性（《高规》3.5.2）对于以剪切变形为主的框架结构（即结构中不含有剪力墙）的楼层侧向刚度比1γ的计算方法做出了规定，即： 111i i i i V V γ++∆=∆ （《高规》3.5.2-1）式中，1γ为楼层侧向刚度比，i+1i V V 、分别为第i 层和第i+1层的地震剪力标准值（注意，对于不同的地震作用计算方法，如分别采用底部剪力法和阵型分解反应谱法，该值的具体数值可能不同，但不影响楼层侧向刚度比1γ的计算），i+1i ∆∆、分别为第i 层和第i+1层在地震作用标准值作用下的层间位移。
该公式的物理意义清晰明了，代表第i 层侧向刚度与第i+1层侧向刚度的比值，即：111ii i i V V γ++=∆∆ 《高规》规定10.7γ≥，10.8γ'≥，1γ'的定义如下，即第i 层的侧向刚度与相邻上部三层的侧向刚度的比值： 112312313i i i i i i i i V V V V γ++++++∆'=⎛⎫++ ⎪∆∆∆⎝⎭对于其他结构形式，如框架-剪力墙结构、板柱-剪力墙结构、剪力墙结构、框架-核心筒结构、筒中筒结构，侧向刚度比2γ的计算公式有所不同，要考虑层高修正（原因是这类结构其楼面体系对结构侧向刚度贡献较小，当层高变化时刚度变化不明显），即： 1211i i i i i i V h V h γ+++∆=∆ （《高规》3.5.2-1）《高规》要求，当11.5i i h h +≤时，20.9γ≥；当11.5i i h h +>，2 1.1γ≥。
可以看出，《高规》关于该类结构考虑层高修正后的侧向刚度比2γ的限值要求较框架结构的侧向刚度比1γ严。
另外，《高规》还要求，对结构底部嵌固层，该比值2 1.5γ≥。
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
刚度计算公式
刚度（Stiffness）是描述材料或结构在受到外力作用时抵抗变形的能力。
对于线性弹性材料，刚度可以通过应力（Stress）与应变（Strain）之间的比例关系来计算，这个比例常数被称为弹性模量（Elastic Modulus）。
对于一维情况（例如拉伸或压缩），刚度计算公式为：
[ K = \frac{\sigma}{\epsilon} ]
其中：
( K ) 是刚度（N/m 或Pa）
( \sigma ) 是应力（N/m²或Pa）
( \epsilon ) 是应变（无量纲）
对于二维情况（例如梁的弯曲），刚度计算公式可能会涉及到弯矩（M）和曲率（κ）：
[ EI = \frac{M}{\kappa} ]
其中：
( EI ) 是梁的弯曲刚度（N·m²）
( M ) 是弯矩（N·m）
( \kappa ) 是曲率（1/m）
对于三维情况（例如杆的扭转），刚度计算公式为：
[ GJ = \frac{T}{\phi} ]
其中：
( GJ ) 是杆的扭转刚度（N·m²）
( T ) 是扭矩（N·m）
( \phi ) 是扭转角（rad）
请注意，以上公式仅适用于线性弹性材料，并且在弹性范围内有效。
对于非线性材料或超出弹性范围的情况，刚度可能会发生变化，并且需要使用更复杂的模型来描述材料的力学行为。
此外，对于复杂的结构或组件，刚度可能需要通过有限元分析（FEA）或其他数值方法来计算。
这些方法可以考虑材料的非线性、几何非线性以及多种加载条件。
结构的刚度
第一节 刚度定义
• 刚度是在力的作用下，产生单位位移时 所需的作用力
• Ｋ＝Ｐ／Δ
Hale Waihona Puke ＰABC
B
Δ
• Ｐ＝ Δ＊Ｋ
• 对于刚度较大的物体使之产生位移需要 较大的力。
• Δ ＝Ｐ／Ｋ
• 当外力一定时，物体的位移与它的刚度 成反比。
第二节 杆件的刚度概念
• 轴向刚度是产生单位轴向伸长或者缩短 所需的轴向力；
• 杆件的线刚度是杆件横截面抗弯刚度Ｅ ＊Ｉ被杆件的长度去除的值．
• i=E*I/l • 杆件的弯曲变形与外力Ｍ成正比，与杆
件的线刚度i成反比．
έ －－－轴向应变
Ｍ＝Ｅ＊Ｉ＊dθ/dx=E*Ｉ*ρ Ρ曲率－－单位长度转角变化
第三节 截面的弯曲刚度
Ｍ ＝ dθ
• Ｅ＊Ｉ
dx
• Ｅ＊Ｉ叫杆件的弯曲刚度．对长度相同的杆件， Ｅ＊Ｉ越大，杆件抗弯能力越强．
例：估计木梁的变形大小
杆件长，横截面积和材料相同时，截面惯 性Ｉ大的杆件抗弯能力强．
第四节 杆件的线刚度
• 抗弯刚度是产生单位转角所需的弯矩。
N
• K轴=
dl
K弯=
E*A
=
dx
Ｍ
=
dθ
E*Ｉ dx
• 单位：力／长度，力矩／转角
• 杆件的轴向刚度与乘积Ｅ＊Ａ成正比， 与杆件的长度成反比；
• 抗弯刚度与Ｅ＊Ｉ成反比，与杆件的长 度成反比。
每产生单位轴向应变所需的作用力为Ｅ＊Ａ Ｎ＝Ｅ＊Ａ＊dl/dx=E*A*έ
结构刚度和自振频率
结构刚度和自振频率结构刚度是指结构体系在外部施加作用力或荷载下，抵抗变形的能力。
在弹性范围内，结构刚度可以通过材料的弹性模量和截面尺寸来确定。
结构刚度越高，结构在受到载荷时，其变形越小。
结构刚度可以通过以下公式来计算：K=F/δ其中，K是结构刚度，F是作用在结构上的力，δ是结构的变形。
结构刚度的大小直接影响着结构的稳定性和延性。
若结构刚度不足，结构在受到外部载荷时容易产生较大的变形，甚至可能导致结构的破坏。
若结构刚度过大，结构受到外部载荷时不能充分吸收载荷能量，容易产生应力集中，从而引发结构破坏。
自振频率是指结构体系在没有外部载荷作用下，自然地以特定的频率来振动。
自振频率可以通过结构的质量和刚度来计算。
结构的自振频率与其固有振动情况密切相关，主要取决于结构的质量和刚度。
对于固定在地基上的结构来说，在自振频率接近结构受到周期性激励的频率时，结构就容易发生共振。
共振会导致结构振动幅值增大，并引起破坏。
因此，设计过程中通常需要考虑结构的自振频率并避免与外部激励频率产生共振。
提高结构刚度可以降低结构的振动频率，而降低结构的刚度则可以增加结构的振动频率。
为了实现理想的结构性能和振动特性，需要在设计过程中进行综合考虑和权衡。
总之，结构刚度和自振频率是结构设计中非常重要的概念。
结构刚度决定了结构对外部载荷的抵抗能力，而自振频率则表示了结构在没有外部载荷作用下自然振动的频率。
在设计过程中，需要合理选择结构刚度和自振频率，以确保结构的稳定性、耐久性和抗震安全性。
刚度系数 (2)
刚度系数1. 介绍刚度系数是一个在工程领域中广泛应用的概念，用于描述材料、结构或系统对于载荷施加的响应程度。
刚度系数可以衡量一个物体的刚度或刚性程度，即其抵抗形变或变形的能力。
在应力分析和设计中，刚度系数是一个重要的参数，可以用来确保结构的安全性和稳定性。
2. 刚度系数的定义刚度系数是一个与物体刚性相关的物理量，通常用符号K表示，单位为N/m或Nm/rad。
它可以描述材料、结构或系统在受到外力作用时所产生的应力与变形之间的关系。
根据胡克定律，刚度系数可以表示为应力与应变之比，即：K = F / ΔL其中，K是刚度系数，F是施加在物体上的力，ΔL是物体在力作用下的变形。
需要注意的是，刚度系数通常是一个常数，只在物体未超过其弹性极限时成立。
在超过弹性极限后，材料或结构的刚度系数会发生变化。
3. 刚度系数的应用刚度系数在工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：3.1 结构设计在结构设计过程中，刚度系数被用来评估结构的稳定性和安全性。
通过计算结构元素的刚度系数，可以确定结构的刚度分布情况，并进行结构的优化设计。
例如，在桥梁设计中，刚度系数可以用来评估桥梁的抗弯刚度，以确保桥梁在承受重载时不发生过度变形或破坏。
3.2 材料性能评估刚度系数也可以用于评估材料的性能。
根据刚度系数的大小，可以判断材料的刚性，从而推断材料的强度和硬度等性质。
一般来说，刚度系数越大，材料的刚性越高，意味着材料对应力的响应更加迅速，具有更好的强度和硬度。
3.3 振动分析在振动分析中，刚度系数被用来描述振动系统对于外力激励的响应情况。
通过测量系统在不同频率下的刚度系数，可以得到系统的共振频率和阻尼特性。
这对于设计和调整机械和结构的振动性能非常有用。
4. 刚度系数的计算方法刚度系数的计算通常需要通过实验或数值模拟进行。
以下是几种常见的计算方法：4.1 弹性模量法弹性模量法是一种常用的计算刚度系数的方法，它基于材料的弹性模量和截面面积。
建筑工程中的强度与刚度计算
施工过程中的监控与检测
01
在施工过程中，应对结构的变形 、位移和应力等参数进行实时监 测，以确保施工质量和安全。
02
对于关键部位和重要结构，应采 用无损检测技术进行质量检测， 以确保结构在使用过程中具有足 够的可靠性和耐久性。
06
结论
强度与刚度在建筑工程中的重要性
确保结构安全
强度和刚度是衡量结构安全性的重要指标，通过计算可以确保结构 在各种载荷下的稳定性，防止因承载不足而发生破坏或变形。
结构设计的影响
结构形式
不同的结构形式对强度和 刚度有不同的要求，如框 架结构、剪力墙结构和悬 索结构等。
构件连接
构件之间的连接方式和质 量对结构的整体强度和刚 度有重要影响。
预应力技术
预应力技术可以提高结构 的抗裂性和刚度，减少结 构的变形。
环境因素的影响
温度变化
温度变化可能导致结构产生热胀 冷缩，影响结构的强度和刚度。
提高工程质量
准确的强度和刚度计算有助于优化设计方案，减少不必要的材料浪 费和结构冗余，从而提高工程质量。
降低工程成本
通过合理的强度和刚度计算，可以在满足安全性和功能性的前提下， 选择更为经济合理的材料和设计方案，从而降低工程成本。
未来研究方向与展望
新型材料的强度与刚度研究
随着新型材料的不断涌现，对其强度和刚度的研究将成为未来的 重要研究方向，以适应建筑行业的发展需求。
抗压强度
抗压强度是指材料在压力作用下不发生破裂的最大应 力值。
输入 标题
详细描述
抗压强度是评估材料在承受压力时抵抗破裂的能力的 重要参数。在建筑工程中，抗压强度决定了结构在承 受垂直或水平压力时的稳定性。
总结词
计算方法
刚度的计算公式
刚度的计算公式
在机械设计过程中，刚度的计算公式是一个重要的工具。
它可以帮助工程师正确计算材料刚度和构件位移、变形等参数。
在此，本文将阐述刚度计算的常见方法和公式。
一、刚度的概念
刚度是指一个物体受力时结构的阻力，它是一个测量材料强度和形状的比值（一般单位是MPa/mm），这个比值越大，材料耐受力越大，可以承受更大的应力，形状也更加稳定。
二、刚度计算公式
（1）有偏力的情况下：
刚度=支撑力/位移
其中，位移是指支撑力的作用下物体的距离变化量，支撑力是指根据正常荷载或指定力介质施加的所有外力。
（2）无偏力的情况下：
刚度=应力/应变
其中，应力是指物体在正常荷载或指定力介质作用下受到的外力，应变是指按照特定外力情况下物体形变量。
三、刚度计算实例
假设一个圆形截面受到一个偏载，半径为20mm，偏载作用时，
物体位移为8mm，刚度计算公式为：
刚度=支撑力/位移=0.25MPa/mm
四、刚度计算的实际应用
刚度的计算是机械设计过程中一个重要的环节。
它可以帮助设计人员准确地估算机构的可靠性、精度及构件的位移变形，以及它们抗载荷的能力。
此外，它还可以帮助设计人员准确地估算材料的强度和形状，以便采用最合适的材料来构建机构。
另外，刚度计算也可用于估算滑动系统动态性能，以及振动、噪音等。
以上就是有关刚度计算公式的详细介绍。
总之，在机械设计中，刚度计算公式是一种重要的手段，可以用于确定材料和机构的力学性能，以及估算滑动系统的动态性能和振动噪音。
结构动力学的刚度系数柔度系数
P
1 k1
P
1 k2
P
1 k1
1 k2
k1 、k2 — 楼层刚度
k1
12i1 h12
k2
12i2 h22
总刚度： k P 1
1 k1
1 k2
串联一般公式：
1 1 1 1 n 1
k k1 k2
kn k j1 j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k2
EI∞
1 k1
k
my
（惯性力和弹力）
解：（刚度法）
由∑MA=0 得：
2m(2 y) l my 5l k(4 y) l 0
52
45
化简得：
33my 16ky 0
16k
33m
[例9]建立图示结构的振动方程，并计算自振频率。
A
m E1I1=∞ m
EA=∞
A
m E1I1=∞ m
k
（等效图）
EI
l /2
l /2
l
解：（刚度法）
(2l)3 l3
48EI 6EI
k
1
6EI l3
由∑MA=0
得： m( y )
l
my l
ky l
0
22
化简得： 5my 4ky 0
4k 5m
24EI 5ml 3
1y 2
y
（位移几何关系）
ky
A
m(1 y) 2
my
（惯性力和弹力）
k12=k21=－k2
k22=k2
3. 应用举例
求图示三层刚架的顶端侧移。
P
解： 1）计算各楼层（侧移）刚度
i3
i2
i1
第四章 结构刚度计算
毕业设计计算书Guang Xi university of technology 第四章结构（构件）刚度计算和荷载基本信息现浇框架柱和剪力墙的混凝土强度等级采用C40，现浇混凝土楼盖及框架梁和主梁的等级选用C30。
为简化计算，计算剪力墙的内力和位移时，忽略纵横墙的共同工作。
把计算方向上的剪力墙作为“一”字形截面剪力墙。
第一节框架刚度计算一、框架梁线刚度计算现浇混凝土结构框架梁的转动刚度应考虑楼板的影响。
框架梁的线刚度计算见表4－1－1。
表4－1－1框架梁线刚度注：主梁截面惯性矩考虑楼板平面外刚度影响，按《高规》第5.2.2条乘以放大系数计算。
其计算公式如下中跨：32212bhI I⨯==，边跨：31.51.512bhI I⨯==，线刚度：EIil=。
二、框架柱刚度计算（一）框架柱线刚度计算框架柱抗弯刚度见表4－1－2。
毕业设计计算书Guang Xi university of technology表4－1－2 框架柱线刚度（二）框架柱抗侧刚度和抗推刚度计算对于高宽比小于50m，且高宽比小于4的建筑物，仅考虑梁柱弯曲变形引起的柱侧移刚度，忽略柱的轴向变形。
框架柱的抗侧刚度应考虑与其相连的框架梁的影响，以梁、柱线刚度的比值K和抗侧刚度修正系数α来衡量。
柱的抗侧刚度和抗推刚度计算见表4－1－3。
表4－1－3 框架柱抗侧刚度（D值）注：1.系数K 为梁柱线刚度比，其值为2b c i K i ∑=(一般层)，bci K i ∑=(底层)。
b i 为计算平面内与柱子两端刚接的梁的线刚度。
2.修正系数α的值计算如下：2K K α=+(一般层)，0.5K Kα+=(底层)。
3.H 为层高。
三、框－剪抗侧力模型中框架刚度框剪结构协同工作中框架抗推刚度可取各层延高度的加权平均值，即NHhCC iFi F 9910563.3104.415.3175.345.3385.34.3645.34.374.322.4478.32.449.35.4446.4⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯==∑第二节 剪力墙刚度计算剪力墙的等效抗侧刚度计算采用连梁连续化的假定，即假定：1）连梁是延整片墙高度连续均匀分布的，且忽略连梁的轴向变形；2）剪力墙的截面几何特征和材料性能延高度无变化；3）结构各层层高均匀相等。