电路分析教程电子教案_4

求
f1 (n) ∗ f 2 (n)
3 4 2 3 9 12 8
ƒ1(n)
4 3 1 2 n
ƒ2(n)
2 1 0
3
1 2 解： ⊗ 1 3 6 2 4 6 ＋ 1 2 3 4
n=0
－1 0 1 2
1 2 3
n
1 4 10 16 17 12
……
n=5
结果的起始序号为原序列最小 序号之和。对位相乘求和法适 序号之和。对位相乘求和法适 用于有限序列， 用于有限序列，对于无限序列 不易得到闭式。 不易得到闭式。
G[n，f (n)，f (n − 1)， f (n − m)，y (n − 1)， ，y (n − n)] = 0 ⋯ ⋯
⋯ y 均为一次式， 若 y ( n ) 及其各移位序列 y(n−1)，， (n−k) 均为一次式， 就称方程是线性的，否则称为非线性的。 就称方程是线性的，否则称为非线性的。如果 y ( n ) 及其各移位 序列的系数均为常数，就称其为常系数差分方程。 序列的系数均为常数，就称其为常系数差分方程。 差分方程是微分方程的离散化。 差分方程是微分方程的离散化。 duc (t) 1 1 =− uc (t) + us (t) 对一阶RC电路 对一阶 电路 dt R C R C
2) 离散信号的相乘时为同序列号的值逐项对应相乘。 离散信号的相乘时为同序列号的值逐项对应相乘。 如
f1 ( n ) = n,
f2 ( n ) = ε ( n )
f ( n ) = f1 ( n ) × f 2 ( n ) = nε ( n )
3) 离散信号的移位： 离散信号的移位： 单边信号的 移位
例1：若 ： n, n = 1, 2,3 n + 2, n = −1,0,1,2 f 2 (n) = f1(n) = ； 0, 其它 0, 其它 求 f (n) ∗ f (n) 最终结果为： 最终结果为： 1 2 解： 1 n = 0 f1 (n) f1 (−1) f1 (0) f1 (1) f1 (2) ⋯ 4 n = 1 f2 (n) 0 1 2 3 4 ⋯ 10 n = 2 f2 (1) 1 1 2 3 4 0⋯ f1(n) ∗ f2 (n) = 16 n = 3 f2 (2) 2 2 4 6 8 0⋯ 17 n = 4 f2 (3) 3 3 6 9 12 0 ⋯ 12 n = 5 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 0 其它
y ( n) − ay ( k −1) = 0,
y ( 0) = y0
由原方程可得 y (n) y (1) y ( 2 ) = = =⋯ = a y ( n − 1) y ( 0 ) y (1) 即
y ( n) = yzi ( n) = y ( 0) an
如果已知 y ( −1) ,可通过迭代的方法求出 y ( 0) 。 2. 二阶系统的零输入响应 二阶系统的零输入响应
∴ h ( n ) = c ( 0.5 ) 迭代法求初始条件 迭代法求初始条件 h(n) = 0.5h(n − 1) + δ (n)
n
h(n) − 0.5h(n − 1) = δ (n)
h(0) = 0.5h(−1) + δ (0) = 1
右移 左移
f1 ( n)
f1 ( n−2)
双边信号的移位
单边信号的移位 ff(n)ε(n) ε n ε 2 ( n) ( )
2
f2 ( n − 2) ε ( n − 2)
3. 从模拟信号到数字信号
7.2 离散时间系统
一、系统的描述 在离散时间系统中， 是离散的整数型， 在离散时间系统中，信号的自变量 n 是离散的整数型， 描述离散LTI系统（线性时不变系统） LTI系统 描述离散LTI系统（线性时不变系统）工作特性的是常系数线 性差分方程。 性差分方程。
n
二、卷积和的物理解释： 卷积和的物理解释：
k=0
+ f (0)δ (n) + f (1)δ (n − 1) + ⋯ + f (i )δ (n − i ) + ⋯ =
+∞
i =−∞
∑ f (i)δ (n − i) ⋯
+∞
⋯
n
则
f (n) = ∑ f (i)δ (n − i) = f (n) ∗δ (n)
求和符号内 f1 (i) 的序号 与 f 2 (n − i) 的序号之和恰 等于 n 我们将 f1 (n) 的值 排成一行，将 f 2 (n) 的值 排成一行， 排成一列， 排成一列，在表中各行与 各列的交叉点处， 各列的交叉点处，记入相 应的乘积，可以发现， 应的乘积，可以发现，沿 虚线所示上各项 f1(i)i f2 ( j) 序号之和也为常数， 序号之和也为常数，与原 式相比知， 式相比知，沿斜线上各项 数值之和就是卷积和。 数值之和就是2(−2)n ,
n≥0
一、卷积和
7.3 卷积和及其应用
卷积和的定义 一般情况， 的卷和（因果信号） 一般情况， f1( n ) 和f2( n )的卷和（因果信号）
f1(n)∗ f2(n) = ∑f1(k) f2(n−k)
任意离散时间序列 f (n) 表示成 f (n) 与单位序列 δ ( n) 的卷 积和。 积和。 f (n) = ⋯ + f (−2)δ (n + 2) + f (−1)δ (n + 1) f (n)
+∞
i =−∞
∑ f (i)h(n − i)
+∞
可加性
∴ f ( n )作用于离散 系统所产生的零状态响应可表示为： 作用于离散LTI系统所产生的零状态响应可表示为 系统所产生的零状态响应可表示为：
i =−∞
∑
+∞
f (i ) h ( n − i ) = f ( n ) ∗ h ( n )
单位序列响应：在零状态条件下， 单位序列响应：在零状态条件下，由单位序列δ(n)引起的响 应称为单位序列响应，记为h 序列响应 应称为单位序列响应，记为h( n )。 例 1 系统方程： y(n) − 0.5 y(n −1) = f (n) 求单位序列响应 系统方程：
例
y(n) = −a y(n −1 −a2 y(n −2) +b f (n) +b f (n −1 +b2 f (n −2) ) ) 1 0 1
由上式的关系可画出如图8 由上式的关系可画出如图8所示的模拟框图。
end
四、系统的零输入响应
离散时间系统的响应也可分为零输入响应和零状态响应。 离散时间系统的响应也可分为零输入响应和零状态响应。下 面用例题说明求零输入响应的方法。 面用例题说明求零输入响应的方法。 1. 一阶系统的零输入响应 一阶系统的零输入响应 系统的差分方程
第7章 离散系统的时域分析
学习重点： 学习重点：
• • • • 离散信号及其表示； 离散信号及其表示； 系统的差分方程和模拟图； 系统的差分方程和模拟图； 单位函数和单位响应； 单位函数和单位响应； 离散系统的卷积和及其应用。 离散系统的卷积和及其应用。
本章目录: 本章目录:
7.1 7.2 离散时间信号 离散时间系统
四、零状态响应
线性时不变系统的零状态响应等于激励和系统单位序列 响应的卷积和 h(n) δ ( n) LTI 时不变性
δ (n − i )
f (i)δ (n − i)
LTI LTI LTI
h(n − i)
齐次性
f (i)h(n − i)
i =−∞
∑ f (i)δ (n − i)
y f ( n) =
1 0 … n n
… 0 … n n
2. 离散信号的相加、相乘和移位： 离散信号的相加、相乘和移位：
1) 离散信号的相加时为同序列号的值逐项对应相加。 离散信号的相加时为同序列号的值逐项对应相加。 如
f1 ( n ) = nε ( n ) ,
f2 ( n ) = ε ( n )
f ( n ) = f1 ( n ) + f 2 ( n ) = ( n + 1) ε ( n )
结果的起始序号为原序列最小序号之和。列表法适用于有限序列， 结果的起始序号为原序列最小序号之和。列表法适用于有限序列， 对于无限序列不易得到闭式。 对于无限序列不易得到闭式。
2、对位相乘求和法 按乘法法则计算，最后同列相加不进位。 按乘法法则计算，最后同列相加不进位。 n, n = 1,2,3 n + 2, n =−1,0,1,2 f2 (n) = 例2：若 f1(n) = ： 其 它 0, 其它 0,
列表法求卷积和图示表 f1(n) f (0) f (1) f (2) f (3) ⋯ 1 1 1 1
f2 (n)
i =0
n
a1
b1
c1
d1
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋱
f2 (0) a2 a1a2 ba2 c1a2 d1a2 1 ＋ ＋ ＋ f2 (1) b2 ab2 bb2 cb2 d1b2 1 1 1 f2 (2) c2 a1c2 bc2 ＋ 1c2 d1c2 c 1 f2 (3) d2 a d ＋ 1 2 bd2 c d2 d1d2 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i =−∞
−2 −1 0 1 2 3
卷积和的图解机理： 卷积和的图解机理：
f1(k)×f2(n1−k) ×
三、卷积和的计算法 1、列表法 、
由卷积和的定义， 的卷积和为： 由卷积和的定义，两个因果序列 f1 (n)和 f 2 (n) 的卷积和为：
f (n) = f1 (n) ∗ f 2 (n) = ∑ f1 (i)i f2 (n − i)
例 梯形电阻网络，求节点n的电压。 梯形电阻网络，求节点n
列方程： 列方程： 根据KCL，有 根据KCL，有