第四章-带下
黄昆 固体物理 讲义 第四章
KK
KK
KK K K K K T1ψ ( r ) = ψ ( r + a1 ) = eik ⋅a1ψ ( r )
ψ ( r ) 和ψ ( r + a1 ) 分别是相邻两个原胞中电子的波函数 —— 两者只相差一个位相因子 λ1 = eik ⋅a
K
K
K
K
KK
1
，不同的简 2）平移算符本征值量子数： k 称为简约波矢（与电子波函数的波矢有区别，也有联系） 约波矢，原胞之间的位相差不同。 3）如果简约波矢改变一个倒格子矢量： Gn = n1b1 + n 2 b2 + n3b3 ， n1 , n 2 , n3 为整数。
-3-
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固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
由于存在对易关系，根据量子力学可以选取 H 的本征函数，使它同时成为各平移算符的本征函数。
有：
Hψ = Eψ T1ψ = λψ ψ = λ2ψ , T3ψ = λ3ψ 1 , T2
本征值的确定： λ1 , λ2 , λ3
KK ik ⋅a1
则平移算符 T1 , T2 , T3 的本征值可以表示为： λ1 = e
, λ2 = e ik ⋅a2 , λ3 = e ik ⋅a3
KK
KK
将 T ( Rm ) = T1 1 ( a1 )T2 2 ( a 2 )T3 3 ( a 3 ) 作用于电子的波函数ψ ( r )
m m m
K K K
K
K
K
( 2π ) 3 Ω
固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050404
第四章 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础． 在二十世纪二十年代末和三十年代初期， 在量子力学运动规律确立以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的．最 初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。 —— 说明了固体为什么会有导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距……等 —— 能带论为分析半导体提供了理论基础，有力地推动了半导体技术的发展 —— 大型高速计算机的发展， 使能带理论的研究从定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结 构的计算 能带理论是一个近似的理论．在固体中存在大量的电子。它们的运动是相互关联着的，每个电子的 运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的．能带理论是单电子近 似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动．在大多数情况下，人们 最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子 的变化是比较小的，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实．这样价电子的等效势场，包 括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用．单电子 近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里（Hartree）－福克（ΦOK）自洽场方法。 能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电 子．在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响 看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场 V(r)也应具有周 期性．晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，
第四章 金属键
导体、半导体和绝缘体
晶体按导电性能的高低可以分为
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同，
是因为它们的能带结构不同。
导体
导体
Eg
导体
半导体
绝缘体 Eg
Eg
导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
上面介绍的是最早提出的经典自由电子理论.1930年前后,由于将量子 力学方法应用于研究金属的结构,这一理论已获得了广泛的发展.在金 属的物理性质中有一种最有趣的性质是,包括碱金属在内的许多金属 呈现出小量的顺磁性,这种顺磁性的大小近似地与温度无关.泡利曾在 1927年对这一现象进行探讨,正是这一探讨开辟了现代金属电子理论 的发展.它的基本概念是:在金属中存在着一组连续或部分连续的“自由 电子能级.在绝对零度时,电子(其数目为N个)通常成对地占据N/2个最 稳定的能级.按照泡利不相容原理的要求,每一对电子的自旋方向是相 反的;这样,在外加磁场中,这些电子的自旋磁矩就不能有效地取向.当 温度比较高时,其中有一些配对的电子对被破坏了,电子对中的一个电 子被提升到比较高的能级.未配对的电子的自旋磁矩能有效地取向, 所以使金属具有顺磁性.未配对电子的数目随着温度的升高而增多; 然而,每个未配对电子的自旋对顺磁磁化率的贡献是随着温度的升高 而减小的.对这二种相反的效应进行定量讨论,解释了所观察到的顺磁 性近似地与温度无关.
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 2 (2 l +1) 个电子。 这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能带最多 能容纳 2N(2l +1)个电子。
2N(2l+1)
第四章 第一节 布洛赫定理
该方程可以在一个正点阵元胞内求解，属于在有 限区域内的厄米本征值问题，应该有无穷多分立 的本征值E n(k)，对应无穷多的本征函数。
2. 对于一个确定的n， 能量本征值和波函
数都是k的周期函数
我们注意到
其中 将
仍然是正点阵的周期函数 代入能量本征值方程，得到
对比
它们完全相同，因此
即
有相同的本征值，即
对所有具有时间反演对称性的晶体能谱有：
由式子4.1.20有
两边取共轭，k -> -k
能量本征值必须是实数：
结果
满足同一方程，有
5. 等能面垂直于布里渊区界面
等能面定义为k空间，所有能量相等的k构成的曲面。
布里渊区界面是K h的中垂面，因此相对于K h 和-K h的一对布里渊区界面有镜面反演对称。 设A，B为布里渊区界面上关于m对称的两个点，a, b为 布里渊区界面上关于m对称的两个点。它们之间正好 相差一个倒格矢K h。 过a,b两点等能面的法线为
这就是布洛赫定理。
当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增 加一个相位因子。
注意：不是R的周期函数！
布洛赫定理的另一种表达形式： 周期势场中的单电子波函数可以写成一个调幅的 平面波（布洛赫波函数）：
其中调幅因子u满足R的周期性：
很显然，该函数必然满足布洛赫定理
与自由电子波函数相比，周期场的作用只是用一 个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。
平移算符
晶体最重要的特征是平移对称性，定义三个基本的 平移算符： 对任一函数：
它们是可对易的：
同时，平移算符 也是可对易的：
与哈密顿
即
这四个算符具有相同的本征函数，可以用它们所对 应的本征值的量子数来标志周期中的单电子态。
《凝聚态物理》第四章_能带理论-II
第四章 能带论－2
一、模型的描述：波包
按量子力学，电子用波来描述。经典粒子性要求确定的 轨道、动量。如何把电子的粒子性与波动性联系和统一 起来呢？
量子——经典类比，用到“波包”的概念
▪ 波包：是分布在空间有限区域的波列，频率也有
一定的分布范围。 粒子空间分布在 r 附近 △r 范围内，动量取值
NC
C
gC
e d C KBT
PV
g V
V
e d V KBT
C
V
T的缓 变函数
E
CB
VB
f (E)
第四章 能带论－2
4、半导体的统计理论
本征半导体：
nC pv
c
v
2
1 2
kBT
ln
Pv Pc
E
CB
C
V
VB
f (E)
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
九、恒定磁场 作用下电子的 准经典运动
例：自由电子，B=(0,0,B)
kz
B
运动轨道为圆－回旋运动
回旋周期：
T d k d k d t
2 k 2 m
kx
evB eB
回旋频率：
c
eB m
k
ky
等能面
等于实空间的 回旋频率
第四章 能带论－2
二、自由电子回旋运动（实空间）
m dv dt ev B
vvxy
eB mvy eB mvx
能带电子？由于晶格的散射，电子不可能被无 限制加速
第四章 能带论－2
二、k－空间运动
▪ 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性 变化，在 K－空间周期性运动。
第四章 金属键
各相邻分子轨道间的能级非常接近。它们实际上连成一片， 构成了一个具有一定能量界限（即一定宽度）的能带。能 带的下半部充满电子，上半部则空着。就是金属钠结构论
该理论将整块金属当作一个巨大的分子，晶体中N个原子的每一种 能量相等的原子轨道，通过轨道叠加、线性组合得到N个分子轨道， 它是一组扩展到整块金属的离域轨道。由于N 数值很大（Avogardo 常数数量级），所得分子轨道各能级间的间隔极小，形成一个能带。 每一个能带有一定的能量范围，相邻原子间轨道重叠少的内层原子 轨道形成的能带较窄；轨道重叠多的外层原子轨道形成的能带较宽。 各个能带按能量高低排列起来，成为能带结构。
导体、半导体和绝缘体
晶体按导电性能的高低可以分为
导体 半导体 绝缘体
它们的导电性能不同，
是因为它们的能带结构不同。
导体
导体
Eg
导体
半导体
绝缘体 Eg
Eg
导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
二,金属键理论及其对金属通性的解释
一切金属元素的单质,或多或少具有下述通性: 有金属光泽,不透明,有良好的导热性与导电性,有延性和展性,熔点 较高(除汞外在常温下都是晶体),等等. 这些性质是金属晶体内部结构的外在表现.
1916年 ,荷兰理论物理学家洛伦兹(Lorentz,H.A.1853-1928)提出金属 "自由电子理论",可定性地阐明金属的一些特征性质.这个理论认为, 在金属晶体中金属原子失去其价电子成为正离子,正离子如刚性球体 排列在晶体中,电离下来的电子可在整个晶体范围内在正离子堆积的 空隙中“自由”地运行,称为自由电子.正离子之间固然相互排斥,但可 晶体中自由运行的电子能吸引晶体中所有的正离子,把它们紧紧地“结 合”在一起.这就是金属键的自由电子理论模型. 根据上述模型可以看出金属键没有方向性和饱和性. 这个模型可定性地解释金属的机械性能和其它通性.
固体物理学课后题答案
第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
第四章不定积分习题课-带解答
. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数． 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数都可表示为C x F +)(．2．不定积分 )(x f 的带有任意常数项的原函数叫做)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(， 3．基本性质1）)(])([x f dx x f ='⎰，或dx x f dx x f d )(])([=⎰； 2）C x F x dF +=⎰)()(，或C x F dx x F +='⎰)()(； 3）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([； 4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(，（0≠k ，常数）．4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题例1 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，求)(x f '．解 x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=， )ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='．. 2 .例2 设C xdx x f +=⎰2sin 2)(，求)(x f ． 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰．例3 若)(x f 的一个原函数是x 2，求⎰'dx x f )(．解 因为x 2是)(x f 的原函数，故2ln 2)2()(x x x f ='=，所以C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(．例4 求不定积分⎰-dx e x x 3．解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13．例5 求不定积分⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin ． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin ．例6 求不定积分⎰⋅dx xxx 533．解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．C x dx x dx xdx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615．. 3 .例7 求不定积分⎰++++dx xx x x x 32313． 解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln ．例8 求不定积分⎰-dx x2cos 11．解 用三角恒等式x x 2sin 212cos -=将被积函数变形，然后积分．⎰⎰=-dxxdx x 2sin 212cos 11 ⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21．例9 求不定积分⎰+dx x x )sec (tan 22．解 用三角恒等式1sec t an 22-=x x 将被积函数统一化为x 2sec 的函数，再积分．⎰⎰+-=+dx x x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=t a n2．例10 求不定积分⎰++dx x x x )1(21222． 解⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan ．. 4 .例11 求不定积分⎰+dx x x )1(124．解 类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dx x x x x x x dx x x )1(1)1(124442224⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=dx x xx2241111C x xx +++-=arctan 1313．例12 一连续曲线过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于x2，求该曲线的方程．解 设曲线方程为)(x f y =，则xx f 2)(='，积分得 C x dx xx f +==⎰ln 22)(． （曲线连续，过点)3,(2e ，故0>x ） 将3)(2=e f 代入，得C e +=2ln 23，解出1-=C ．所以，曲线方程为1ln 2-=x y ．例13 判断下列计算结果是否正确1）C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ； 2）()C e dx e x x ++=+⎰1ln 11． 解 1）2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，所以计算结果正确． 2）[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(， 计算结果不正确，即()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11．. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）0≠a 时，⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f ． 2）⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ． 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln5）0>a ，1≠a 时，=⎰dx a a f x x )( 6）0≠μ时，1()f x x dx μμ-=⎰ 7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()( 例14 求⎰dx xx xcos sin tan ln ．解⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=x d xxtan tan tan ln⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21．. 6 .注 由于被积函数中含有x t a n ln ，表明0t a n >x ，故x d x d xt a nln tan tan 1=． 例15 求下列不定积分 1）⎰+dx xx x ln 1ln ； 2）⎰+dx x x 100)1(．解 1）⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x 1ln 111ln ln 1ln (请注意加1、减1的技巧) ⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(32．2）dx x x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021． 例16 设C x dx x f +=⎰2)(，不求出)(x f ，试计算不定积分⎰-dx x xf )1(2． 解 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰ （将21x -看作变量u ） C x +--=22)1(21．例17 设x e x f -=)(，求⎰'dx xx f )(ln ． 解 先凑微分，然后利用C u f u d u f +='⎰)()(写出计算结果．即⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1．. 7 .例18 计算不定积分⎰+dx x x )1(124．【提示】 分母中有k x 时，考虑用“倒代换”tx 1=．解 设t x 1=，则dt tdx 21-=， 4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+ 3111a r c t a n 3C x x x=-+-+． 例19 求不定积分⎰+dx x x )4(16．解⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 1ln 244tC t =++ 661ln 244x C x =++． 分部积分⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分．目的，使公式右边的积分u vdx '⎰要比左边的积分⎰'dx v u 容易计算，关键在于正确地选取u 和凑出． 例 20 求不定积分⎰dx xxarcsin ．解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令x t =，. 8 .则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=t d t t t arcsin arcsin 2⎰--=dttt t t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+-Ct t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2．解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2⎰--=dt tt t t 212arcsin 2C t t t +-+=212a r c s i n 2C x xx +-+=12a r c s i n 2．例 21 已知)(x f 的一个原函数是2x e-，求⎰'dx x f x )(．【提 示】 不必求出)(x f '，直接运用分部积分公式． 解 由已知条件，)(x f ()'=-2x e，且⎰dx x f )(C ex +=-2，故⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dx x f x xf )()(()C ee x x x+-'=--22C e e x x x +--=--2222．. 9 .例 22 设x x x f ln )1()(ln +='，求)(x f ．解 先求出)(x f '的表达式．设t x =ln ，则t e x =，)1()(+='t e t t f ．⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdt tde t22t dt e te tt+-=⎰C t e te tt ++-=22,所以 C x e xe x f xx++-=2)(2．例23 求不定积分5432x x dx x x+--⎰． 解 将分子凑成23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-，把分式化为多项式与真分式的和542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--； 再将真分式232x x x x+--化为最简分式的和，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++， 于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰ 322ln ln 132x x x x x C =+++-++．. 10 .例24 求不定积分⎰+-dx x x x )1(188．解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x ⎰+-=du u u u )1(181 （换元，令8x u =） ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81 ()C x x ++-=81ln 41||ln ． 例25 求不定积分⎰+dx xsin 11． 解⎰⎰--=+dx x x dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan ． 例26 求不定积分⎰+++++dx x x x)11()1(11365．解 为同时去掉三个根式，设t x =+61，则16-=t x ，dt t dx 56=，dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t+-+=+⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116 ()Ct t t +++-=arctan 61ln 3322()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6．。
固体物理考题 第四章 能带理论
第四章 能带理论1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a 处的能隙2怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？（可以画图说明）3简单推导布洛赫（Bloch ）定理4对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，λ 在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；λ 画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；λ 画出其态密度随能量变化的示意图。
5 在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。
6推导bloch 定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。
7在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。
设晶体中第m 个原子的位矢为：112233m m m m =++R a a a …………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ϕ-r R ，该波函数满足方程：22()()()2m i m i i m V m ϕεϕ⎡⎤-∇+--=-⎢⎥⎣⎦r R r R r R …………………………（5-4-2） 其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ϕ相对应的原子能级。
如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ϕ。
因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ϕ-r R ，m=1，2，…，N 。
实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。
由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。
根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合(,)()()m i m ma ψϕ=-∑k r k r R …………………………………………………（5-4-3）作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为：22()()()2U E m ψψ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦r r r ……………………………………………………（5-4-4） 其中晶体势场U (r )是由原子势场构成的，即()()()n l nU V U =-=+∑r r R r R ……………………………………………………（5-4-5）微扰计算（5-4-4）式可以转化为如下形式：()()22()()()2m m V U V E m ψψ⎡⎤-∇+-+--=⎢⎥⎣⎦r R r r R r r 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得：[()()()]()0mi m i m m a E U V εϕ-+---=∑r r R r R ……………………………………（5-4-5）在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较i ϕ态的轨道大得多，不同原子的i ϕ重叠很小，从而有：()()*i n i m nm d ϕϕδ--=⎰r R r R r ……………………………………………………（5-4-6） 现以()*i n ϕ-r R 左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得： *()()[()()]()n i m i m m i m ma E a U V d 0εϕϕ-+---⋅-∑⎰r R r r R r R r =……………（5-4-7）首先讨论（5-4-7）式中的积分。
中医执业医师考试中药学笔记
总论第一章药性理论一、四气1.四气的确定：是由药物作用于人体所产生的不同反应和所获得的不同疗效而总结出来的。
它与所治疗疾病的性质是相对而言的。
如阳热证用石膏、知母、栀子等药物治疗，说明它们的药性是寒凉的；反之，阴寒证用附子、肉桂、干姜等药物治疗，说明它们的药性是温热的。
2.四气的作用：⑴寒凉药——清热泻火、凉血解毒、滋阴除蒸、泻热通便、清热利尿、清化热痰、清心开窍、凉肝息风。
⑵温热药——温里散寒、暖肝散结、补火助阳、温阳利水、温经通络、引火归源、回阳救逆。
二、五味1.五味的确定：通过口尝并通过长期临床实践观察总结归纳出五味的理论。
是药物味道的真实反映和药物作用的标志。
2.五味的作用及适应证三、升降浮沉1.各类药物的升降浮沉趋向：⑴升浮药——其性主温热，味属辛、甘、淡，质地多为轻清至虚之品，作用趋向多主上升、向外。
⑵沉降药——其性主寒凉，味属酸、苦、咸，质地多为重浊坚实之品，作用趋向多主下行向内。
二、影响药物升降浮沉的主要因素⑴四气五味：①凡味属辛、甘，气属温、热的药物，大都是升浮药，如麻黄、升麻、黄芪等药；②凡味属苦、酸、咸、性属寒、凉的药物，大都是沉降药，如大黄、芒硝、山楂等。
⑵药物质地轻重：①花、叶、皮、枝等质轻的药物大多为升浮药，如苏叶、菊花、蝉衣等；②种子、果实、矿物、贝壳及质重者大多都是沉降药，如苏子、枳实、牡蛎、代赭石。
⑶炮制配伍：药物炮制可以影响转变升降浮沉性能。
有些药物酒制则升，姜炒散，醋炒收敛，盐炒下行。
四、归经1.归经的确定：以脏腑经络理论为基础，依据药物对脏腑经络病变治疗作用进行归纳而定。
如羚羊角、钩藤能清热熄风，石决明能平肝潜阳，柴胡能疏肝解郁，分别治疗肝经病变的肝风内动、肝阳上亢、肝气郁结证，故这些药归于肝经。
五、毒性1.引起毒性反应的原因：①剂量过大；②误服伪品；③炮制不当；④制剂服法不当；⑤配伍不当。
2.使用注意事项：⑴恰当选择药物并确定剂量，中病即止；注意配伍禁忌；防止伪品混用，保管好剧毒中药。
中药学总论第四章
二、四气的作用
寒
阴 凉 温 阳 寒甚于凉 程度不同
程度不同
作用： 清热泻火解毒 治疗热证（阳证）
作用： 温里散寒，补火助阳 治疗寒证（阴证）
热
温次于热
平性——指药物寒热界限不明显、药性平和、作用较缓和 的一类药，如党参、山药等. 只是相对而言，并非绝对的“平”。有人认为实际上 平性也有偏温偏凉的不同，如甘草，性平，生用偏凉，炙 用偏温，也是相对而言，仍属于四气范畴。
概念：四气是指药物寒、热、温、凉四种不同的药性， 它反映药物在影响人体阴阳盛衰、寒热变化方面的作用 倾向，是说明药物作用性质的重要概念之一，又称‚四 性‛ 注：宋代时寇宗奭改为‚四性‛—《本草衍义》：‚今 详之 凡称‘气’者即香臭之气.其寒、热、温、凉则是药 之 ‘性’也。‛ 起源：最早见于《神农本草经》序录‚药有酸咸甘苦 辛五味，又有寒热温凉四气‛。 《素问· 至真要大论》有‚寒者热之，热者寒之‛论
甘： 能补—补益（补气血、阴阳）治疗各种虚证 能缓—缓急止痛（缓和拘急疼痛） 能和—调和药性（缓解其他药物的烈性、毒 性、副 作用）、和中，并有解毒之 功
如：黄芪味甘补气，治疗气虚证； 熟地味甘补血，治疗血虚证。 甘草味甘调和药性，饴糖味甘缓急止痛
3、酸味 能收——收敛， 能涩——固涩既具有收敛固涩作用。
五味的确定：
其一，通过味觉直接辨别出来的。（口尝而来） 其二，根据疗效中的结果反映出来的。
（由作用推定其味）
二.五味的作用
五味是药物作用的标志，不同的味有不同的作用。
1、辛味: 能散—— 发散 能行—— 行气、行血 ①辛散：辛味能发散，可解除侵于肌表的六淫 之邪，具有发散表邪的作用。治疗表证。 ②辛行：辛味能促进气血运行，故有行气、行血的作 用。治疗气滞血瘀证。 ③辛香：辛味除能散能行之外，还有芳香、辟秽、开 窍的作用。治疗窍闭、湿滞中焦证等
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异常白带的预防及治疗
1、经常清洗外阴部 2、棉质内裤 3、洁而阴、肤阴洁等药物外洗 4、阴道纳药法：达克宁栓等 5、热熨法 6、中药薰洗
3.妊娠早期服用灭滴灵有引起胎儿畸形的可能， 故在妊娠20周前不可服药，应以局部治疗为主。 4.取分泌物前24-48小时避免性交、阴道灌洗 或局部用药，取分泌物前不作双合诊，窥器不 涂润滑剂。 5.治疗后滴虫检查阴性时，仍应于下次月经净 后继续治疗一个疗程。
预防 1.月经期间避免阴道用药及坐浴。 2.治疗期间禁止性交，或采用避孕套， 以防止交叉感染。 3.提倡淋浴，不用他人浴巾。
异常白带病因
1、滴虫感染 2、念珠菌感染 3、细菌感染
4、异物 5、子宫颈炎 6、老年性阴道炎
滴虫性阴道炎
症状：白带增多,稀薄泡沫状或白色稠厚 豆渣样,无味或有臭味,阴道口及外阴瘙 痒、灼痛、或性交痛,有时有尿频、尿痛, 有时见血尿。
注意 1.滴虫在夫妇之间可相互传染，如女方发现有 滴虫时，男方亦应检查，如为阳性应同时治疗。 带虫者，亦须治疗。反复发作者，应检查丈夫 的小便及前列腺液。 2.治疗期间避免性交，并保持外阴清洁，每日 清洗1-2次，内裤、毛巾等均应煮沸消毒至少 15分钟。
症状： 外阴瘙痒和灼热感 白带多、有鱼腥臭味，在月经期或性交 时气味尤重 阴道口常有稀薄的分泌物，呈灰白色， 均匀分布在阴道前壁和侧壁，带有泡沫。
治疗可采用灭滴灵或四环素阴道给药， 口服先锋霉素，注射氨苄青霉素等药物 治疗；也可采用乳酸（０· ５％）液、１ ０％洁尔阴、双氧水冲洗阴道。治疗需 双方同治。本病易复发，可采用阴道内 放置灭滴灵或四环素的办法预防复发。
4.提倡定期普查、普治，以消灭传染源。 5.医院所用器械、衣被，应严格消毒；检 查治疗台上的垫单，应每人更换一个， 以防止交叉感染。
念珠菌性阴道炎
症状：1.外阴奇痒、灼痛。还可有尿频， 尿痛及性交痛。 2.阴道分泌物增多，呈 白色稠厚豆渣样或白膜状。 3.阴道粘膜 充血，表面可有不易剥离的白色片状薄 膜。
带下病是指带下量明显增多或减少，色、 质、气味发生异常，或伴有全身或局部 症状者。
白带增多，而Biblioteka 白带的性状、颜色就会 发生改变，呈黄色、绿色、乳状，有腥 臭味、异味等，并伴有阴道、外阴不适 感：瘙痒、红、肿、疼、热或伴有阴道 的点状出血灶，这就是异常白带。
异常白带的常见症状
1.透明白带：蛋清样，但量显著增多，多 为慢性宫颈炎或卵巢功能失调。
宫颈炎 急性宫颈炎 慢性宫颈炎 宫颈糜烂 宫颈肥大 宫颈息肉 宫颈腺囊肿 宫颈粘膜炎
老年性阴道炎
老年性阴道炎（senilevaginitis）常见于绝 经后的老年妇女，因卵巢功能衰退，雌激 素水平降低，阴道壁萎缩，粘膜变薄，上 皮细胞内糖原含量减少，阴道内Ph值上升， 局部抵抗力降低，致病菌容易入侵繁殖引 起炎症。
[诊断依据] 1.外阴奇痒，白带呈白色稠厚豆渣样。 2.阴道粘膜红肿，严重的形成浅溃疡。 3.阴道分泌物中找到白色念珠菌。
[治疗原则] 1.消除病因，如有糖尿病，应积极治疗，及时 停用抗生素或激素。 2.注意个人卫生，治愈前不用公共浴盆及坐厕， 外阴洗涤用具及衬裤应予隔离及煮沸(10-15分 钟)消毒。治疗期间避免性生活。 3.改变阴道酸碱度，造成不利于念珠菌生长的 条件。
5.脓样白带：黄色或黄绿色，粘稠，多有臭味。 细菌所致的急性阴道炎、宫颈炎和宫颈管炎都 可引起，抗菌药治疗有效。 6.血性白带：白带中混有血液，血量可能由宫颈 癌或子宫内膜癌引起，也可由宫颈息肉、重度 宫颈糜烂引起。 7.水样白带：持续有淘米水样白带，而且特别臭 的，一般为晚期宫颈癌、阴道癌或宫腔内积脓。
带 下
分类
生理性带下 病理性带下
正常女子自青春期开始，阴道内即有少 量白色或无色透明无臭的粘性液体，特 别是在经期前后、月经中期及妊娠期量 增多，以润泽阴户，防御外邪，此为生 理性带下。
由子宫颈柱状上皮细胞及阴道前庭两侧 腺体所分泌的，可以湿润和润滑阴道。 每当性刺激或者月经前后几天，或者排 卵期、怀孕或服避孕药、宫内置节育器 等都会使阴道分泌物增加，这些都是生 理现象。
4.局部应用杀菌剂。 5.顽固病例，注意有无滴虫合并感染，或 伴糖尿病，或合并肠道念珠菌感染。 6.男方亦应检查，并同时治疗。
[疗效评价] 1.治愈：症状体征消失，连续3次月经后 查阴道分泌物，均未找到念珠菌。 2.未愈：症状体征未改善，阴道分泌物仍 存念珠菌。
细菌性阴道病
国外报导，它的发病与性关系混乱有关，比如， 在性病门诊就诊的妇女患病率在３３％以上， 而健康妇女只有２０％左右。国内曾报告，性 病门诊妇女患病率为４４％，而妇科门诊妇女 患病率为１８％。性伴侣数为１时，发病率为 １５％；性伴侣数为２时，发病率为３４％； ３－６个性伴侣时，发病率４９％；７－１０ 个性伴侣时，发病率为５５％；１１个以上为 ６７％。
症状
1、阴道分泌物增多呈淡黄色，严重者可 有血样脓性白带。 2、外阴有瘙痒或灼热感，检查时见阴道 呈老年性改变，上皮萎缩，皱壁消失， 上皮变平滑、菲薄。
3、阴道粘膜充血，有小出血点，有时有 表浅溃疡。若溃疡面与对侧粘连，阴道 检查时粘连可被分开而引起出血，粘连 严重时可造成阴道闭锁，炎症分泌物引 流不畅可形成阴道或宫腔积脓。
治疗 ①1％乳酸或0．5％醋酸液阴道冲洗，以增 加阴道酸度，每日1次，冲洗后局部用药， 甲硝唑或氟哌酸每次1片，放入阴道深部， 7～10日为一疗程；
②雌激素局部或全身用药：一般经上述 局部治疗即可奏效，对炎症较重者可辅 以雌激素治疗。
检查方法
1、妇科检查 可见各类阴道炎、宫颈炎、盆腔炎的炎症体征 ，也可发现肿瘤。 2、实验室检查 急性或亚急性盆腔炎，检验白细胞计数增高。 患阴道炎患者阴道清洁度检查三度。 镜检可查到滴虫、真菌及其他特异性或非特异 性病原体。 3、B超检查 对盆腔炎症及盆腔肿瘤有意义。
2.白色或灰黄色泡沫状稀薄白带；滴虫 性阴道炎的特征，可伴有外阴瘙痒。滴 虫性阴道炎是常见的阴道炎，甲硝唑治 疗有效。
3.凝乳块状白带或豆渣样白带：念珠菌性 阴道炎的特征，常伴有外阴瘙痒或灼痛。 念珠菌性阴道炎也是常见的阴道炎，真 菌感染所致。
4.灰白色稀薄腥臭味白带：常见于细菌 性阴道病。它是正常生长在阴道内的细 菌生态平衡失调引起的。患病时阴道内 厌氧菌居多，甲硝唑治疗有效。