第六章 狭义相对论(答案)2011
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狭义相对论参考答案
一．选择题[B ] 1、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4 s ，若相对于甲作匀速直线运动的乙测得时间间隔为5 s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)(A) (4/5) c ． (B) (3/5) c ． (C) (2/5) c ． (D) (1/5) c ．参考答案：==5 =4t t t t ∆∆∆∆甲甲乙其中，[C ] 2、 K 系与K ＇系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K ＇系相对于K 系沿Ox 轴正方向匀速运动．一根刚性尺静止在K ＇系中，与O 'x '轴成 30°角．今在K 系中观测得该尺与Ox 轴成 45°角，则K ＇系相对于K 系的速度是：(A) (2/3)c ． (B) (1/3)c ． (C) (2/3)1/2c ． (D) (1/3)1/2c ．参考答案：tan 30, tan 45 = y y y y x x x x'∆∆''==∆∆∆'∆∆，，[C ] 3、根据相对论力学，动能为0.25 MeV 的电子，其运动速度约等于(A) 0.1c (B) 0.5 c (C) 0.75 c (D) 0.85 c参考答案：22, =0.51M eV , 0.25M eV k e e k E m c m E ==其中二．填空题 1、一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为 0.5 m ．则此米尺以速度v ＝82.6010⨯m ·s -1接近观察者．2、已知一静止质量为m 0的粒子，其固有寿命为实验室测量到的寿命的1/n ，则此粒子的动能是20(1)m c n -．参考答案：220001=, k E m c nττττ==3、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得另一艘飞船速度的大小v ′=0.99c ．三、计算题1、在O 参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 900 cm 2．观测者O ＇以 0.8c 的匀速度沿正方形的一条边运动．求O ＇所测得的该图形的面积．解:222dd , d 0.8,d 900cm540cmS v c S ''====2、我国首个火星探测器“萤火一号”将于2009年10月6日至16日期间在位于哈萨克斯坦的拜科努尔航天发射中心升空。
电动力学复习总结第六章狭义相对论答案
电动⼒学复习总结第六章狭义相对论答案第六章狭义相对论⼀、问答题1、简述经典⼒学中的相对性原理和狭义相对论中的相对性原理。
答:经典⼒学中的相对性原理：⼒学的基本运动定律对所有惯性系成⽴。
狭义相对论中的相对性原理：包括电磁现象和其他物理现象在内，所有参照系都是等价的。
不存在特殊的参照系.2、⽤光速不变原理说明迈克⽿孙—莫雷实验不可能出现⼲涉条纹的移动。
答：光速不变原理告诉我们，真空中的光速相对于任何惯性系沿任⼀⽅向恒为c ，并于光源运动⽆关。
因此在迈克尔逊——莫雷实验中，若使两臂长度调整⾄有效光程MM1=MM 2，则在⽬镜中，两束光同时到达，没有光程差，因此不产⽣⼲涉效应。
3、如何校准同⼀参考系中不同地点的两个钟? 答:设A,B 两个钟相距L ，把钟B 调到cLt B =（不动），0=A t 时送出⼀光讯号，B 钟接到讯号后开动。
4、如图6-4所⽰，当'∑和∑的原点重合时，从⼀原点发出⼀球形闪光，当∑观察者看到t 时刻波前到达P 点(),,x y z 时，也看到'∑中固定的点()'''',,x y z P 和P 点重合，情况有如在0t =时看到两原点重合⼀样，换句话说，∑观察者在t 时确定了⼀个重合点'P 的空间坐标()''',,x y z 。
问'∑观察者看本参考系的球⾯光波到达'P 的时刻't（1）是不是本参考系时钟指⽰的读数为''r t c=，'r =？（2）是不是⽤洛仑兹变换计算得的时刻为'2v t t x cγ?=-(,,,)x y z t P提⽰：同⼀光讯号事件的两个时空坐标为(),,,x y z t ，()'''',,,x y z t ，满⾜'2'2'22'2222220x y z c t x y z c t ++-=++-=，是通过指定点(),,x y z 和()''',,x y z 的球⾯，半径分别为'ct 和ct 。
大学物理_狭义相对论及其习题
实验室测得的是运动速度（慢）
1 u 1 c
2
7
t ' t = 1.8×10-7（s）
6-4 长度缩短（同时测量） 一、同时测量 0
x2 x2
长度测量与时间测量有关 不同参照系具有 相对的时间间隔 相对的长度 x1
0
x1
棒固定在S’系， S’ 相对S运动，观察者在S S系中观察B’经过x1的t1和A’经过x1的t2 S’ S’ u
光线2：
2L t2 c2 u2 Lu2 2 Lu2 t 2 N 2 c c
r
M2
u
L
约为0.4条，但实际是0结果。 这一悬案被称为是“一朵乌云”。
c u
M1
c2 u 2
三、爱因斯坦基本假设 1、相对性原理：物理学定律在所有惯性系 中都是相同的，无特殊的绝对参照系。
（从力学的相对性推广到所有物理定律）
第六章 狭义相对论 6-1 牛顿相对性原理和伽利略变换 6-2 爱因斯坦相对性原理和光速不变 6-3 同时性的相对性和时间膨胀 6-3长度缩短 6-4罗伦兹变换 6-7 相对论质量 6-8 相对论动能 6-9 相对论能量 6-11广义相对论简介
狭义相对论的意义 新的时空观，它建立了高速运动的物体
的力学规则和电动力学规律，揭露了质量 和能量的内在联系。
2、光速不变原理：在所有惯性系中，光 速 具有相同的量值 c。
（电磁波的传播是各向同性的）
6-3 同时性的相对性和时间延缓
A
B
在同一参照系中,光同速走同距，同时到达。
光源和观察者都在S系
S 钟即观察者
A B
光源在S’系，相对S运动
观察者在S系，不同时
S
1 u 1 c
2
7
t ' t = 1.8×10-7（s）
6-4 长度缩短（同时测量） 一、同时测量 0
x2 x2
长度测量与时间测量有关 不同参照系具有 相对的时间间隔 相对的长度 x1
0
x1
棒固定在S’系， S’ 相对S运动，观察者在S S系中观察B’经过x1的t1和A’经过x1的t2 S’ S’ u
光线2：
2L t2 c2 u2 Lu2 2 Lu2 t 2 N 2 c c
r
M2
u
L
约为0.4条，但实际是0结果。 这一悬案被称为是“一朵乌云”。
c u
M1
c2 u 2
三、爱因斯坦基本假设 1、相对性原理：物理学定律在所有惯性系 中都是相同的，无特殊的绝对参照系。
（从力学的相对性推广到所有物理定律）
第六章 狭义相对论 6-1 牛顿相对性原理和伽利略变换 6-2 爱因斯坦相对性原理和光速不变 6-3 同时性的相对性和时间膨胀 6-3长度缩短 6-4罗伦兹变换 6-7 相对论质量 6-8 相对论动能 6-9 相对论能量 6-11广义相对论简介
狭义相对论的意义 新的时空观，它建立了高速运动的物体
的力学规则和电动力学规律，揭露了质量 和能量的内在联系。
2、光速不变原理：在所有惯性系中，光 速 具有相同的量值 c。
（电磁波的传播是各向同性的）
6-3 同时性的相对性和时间延缓
A
B
在同一参照系中,光同速走同距，同时到达。
光源和观察者都在S系
S 钟即观察者
A B
光源在S’系，相对S运动
观察者在S系，不同时
S
第六章狭义相对论
原长最长
2
l
l0
l0
u 1 2 c
运动长度 l l0
★ 注意：长度收缩只发生在速度方向
例4（4357）在O参照系中，有一个静止的正方
形，其面积为100cm2。观测者O’以0.8C的
匀速度沿正方形的对角线运动求O’所测得
的该图形的面积。 解：在O参照系中A、B间对角线长度
在O’参照系中A、B间长 度 ★ O’所测得的该图形的面积
u
例5（4370）在K惯性系中，相距 的两个地方发生两事件，时间间隔 而在相对于K系沿正 方向匀速运动的K’系中 观测到这两事件却是同时发生的。试计算:在 K’系中发生这两事件的地点间的距离是多少？ 解1 ：
解2 :
作业：P339~340 6.1 6.3
6.4
6.5 6.6
练习（5616）一列高速火车以速度 驶过车站时， 固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划 出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测 出两痕迹之间的距离为1m，则车厢上的观察 者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？ 解：车上观察者测的两痕迹之间的距离 =原长 l0 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间 的距离 =运动长 l
5 4 u2 1 2 c
0
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离
例2（4167） 子是一种基本粒子，在相对于它静 止的坐标系中测得其寿命为 ，如 果 子相对于地球的速度为 （ 为真空中光速），则在地球坐标系中测 出的 子的寿命 解：设：相对于 子静止的参照系为 S’
★ 在地球坐标系中测出的 子的寿命
两个事件的空间间隔 事件二：测量尺子（棒） 右端坐标
长度 右端坐标 — 左端坐标
★
在相对于尺子（棒）运动的参照系中要 条件： 同时记录尺子（棒）两端的坐标。 （如：相对于尺子（棒）运动的参照系是S’ 系 则： t1’ ） t2’ l x’ x ’
2
l
l0
l0
u 1 2 c
运动长度 l l0
★ 注意：长度收缩只发生在速度方向
例4（4357）在O参照系中，有一个静止的正方
形，其面积为100cm2。观测者O’以0.8C的
匀速度沿正方形的对角线运动求O’所测得
的该图形的面积。 解：在O参照系中A、B间对角线长度
在O’参照系中A、B间长 度 ★ O’所测得的该图形的面积
u
例5（4370）在K惯性系中，相距 的两个地方发生两事件，时间间隔 而在相对于K系沿正 方向匀速运动的K’系中 观测到这两事件却是同时发生的。试计算:在 K’系中发生这两事件的地点间的距离是多少？ 解1 ：
解2 :
作业：P339~340 6.1 6.3
6.4
6.5 6.6
练习（5616）一列高速火车以速度 驶过车站时， 固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划 出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测 出两痕迹之间的距离为1m，则车厢上的观察 者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？ 解：车上观察者测的两痕迹之间的距离 =原长 l0 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间 的距离 =运动长 l
5 4 u2 1 2 c
0
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离
例2（4167） 子是一种基本粒子，在相对于它静 止的坐标系中测得其寿命为 ，如 果 子相对于地球的速度为 （ 为真空中光速），则在地球坐标系中测 出的 子的寿命 解：设：相对于 子静止的参照系为 S’
★ 在地球坐标系中测出的 子的寿命
两个事件的空间间隔 事件二：测量尺子（棒） 右端坐标
长度 右端坐标 — 左端坐标
★
在相对于尺子（棒）运动的参照系中要 条件： 同时记录尺子（棒）两端的坐标。 （如：相对于尺子（棒）运动的参照系是S’ 系 则： t1’ ） t2’ l x’ x ’
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(章节题库 狭义相对论基础)【圣才出品】
依题意，
，所以
则飞船相对地球的运动速度为
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（2）根据洛伦兹正变换
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可得飞船上测得这两城市相距为
2．某观察者测得一静止细棒的长度为 l，质量为 m，于是求得此棒的线密度匀．λ
在相对论情况下解下列问题： （1）若此棒以速度 υ 在棒长方向上运动，观察者再测此棒的线密度应为多少？ （2）若此棒以速度 υ 在垂直于棒长的方向上运动，此棒的线密度又为多少？ 解：（1）沿棒长方向运动时，由长度收缩公式可得观察者测得的棒长为
3．作用于物体上的外力，是否会因为惯性系的不同而不同？分别从经典力学与相对 论力学的角度讨论．
答：在惯性系中，力的定义是被作用物体的动量随时间的变化率，即
在经典力学中，动量
其中质量 m 是常量．故
因为加速度 a 在所有惯性系中相等，所以力 F＝ma 是个不变量，即与惯性系的选取无 关．
在相对论力学中，m 是个随惯性系的不同而变化的量．故
5．经典力学的动能定理和相对论力学的动能定理有什么相同和不同之处？
答：相同之处在于都认为动能是物体因运动而具有的能量，而且都以
的
形式表明物体动能的增量与外力对其所做功等值．不同之处在于经典力学中
其中质量 m 是常量；相对论力学中
其中 是物体静止时
的质量，运动质量 m 是随其运动速度变化的量，
称静止能量，
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第 6 章 狭义相对论基础
一、选择题 1．一宇航员要到离地球为 5 光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为 3 光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度为（ ）。
第六章狭义相对论
′ = αλν αµσTνσ 二阶张量： Tλµ
对称张量： Tµν = Tνµ ，有10个独立分量（四维） 例如三维空间中对称张量：电四极矩张量Qij；转动惯量 张量I；材料力学中的应力张量 ；Maxwell应力张量；电 磁场动量流密度张量Tij等等。
Tµν = −Tνµ 只有6个独立分量,因为 Tµ µ＝0 反对称张量：
三阶张量有43=64个分量：Tµνλ
三阶全反对称张量：Tµνλ ，若对每两个脚标都是反对称的 称之为三阶全反对称张量。即有二个及二个以上脚标相同 时矩阵元为零，共40个0元素，24个非零元素。 24个非零元素中只有4个独立元素T234,T314，T412 和 T123. 它们可用一个4维矢量表示。
A′ µ = α µν A ν
同意味着求和。
约定脚标希腊字母从1取到4，英文字母从1取到3，脚标相 这种约定求和的脚标如上式中ν称为“哑标”，对不参加求和 的脚标，如上式中的μ称为“自由脚标”。 等式两边的自由脚标必须对应。 由于哑标只表示对该脚标从1到4求和的一个约定，所以哑 脚标的字母可以更换，如上式中 A′ µ = α µν A ν = α任意一个二阶张量总可以分解为一个二阶对称张量和一个 二阶反对称张量之和”。 证明：设Tµ σ 为任意一个二阶张量，
Tµ σ = Tµ σ + Tσµ 2 + Tµ σ − Tσµ 2 = Sµ σ + Aµ σ
式中 S µ σ = S σµ 是对称张量，
A µ σ = − A σ µ 是反对称张量，证毕。
三维空间中反对称张量是两矢量叉乘出来的，又叫赝矢 r r r r r r r r r r r υ = ω× r，L = r × F ， J = r × p 量。例如 B = ∇ × A ， r r r r B, ω, L, J 构成三维空间的二阶反对称张量，因只有三个独 立分量故可用一矢量表示，叫赝矢量。 在坐标变换时不能当矢量处理，否则会出错。 在四维空间二阶反对称张量有六个独立分量，比空间维数 多2，不能用4-矢量表示。 坐标变换时必须还物理量的本来面目。 顺便指出:在正交变换下,对称张量保持为对称;反对称张量 保持为反对称。
第六章 狭义相对论
x1 ut1 1 u2 c2
[(x2 x1) u(t2 t1)]
因为需同时测得杆两端长度，所以t1=t2
L
x2 x1 1 u2 c2
L 1 u2 c2
L 1 u2 c2 L
观测者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，
叫固有长度（L0）,观测者与被测物体有相对运动时，测
得的长度等于其固有长度的 缩效应。
( x2,t2)
解：设地面为S系，火车为S´系
在S´系中观测
t1'
t1
u c2
x1
1 u2 c2
(x1 ,t1)
( x2,t2)
t
' 2
t2
u c2
x2
1 u2 c2
t
' 2
t1'
(t2
t1 )
u c2
( x2
1 u2 c2
x1 )
∵ t1 = t2 x1 < x2 ∴ t1´ > t2´
c2 t2 t1
x2 x1 为子弹飞行的速率，小于c t2 t1
所以
t2' t1' 0
飞船上的观察者也看到子弹先出膛，后击中靶子
由于真空中的光速c是物体运动或信息传递速度 的极限，因此对于有因果关系的两个事件，不会 因参考系的不同而使因果顺序颠倒。
二 时间膨胀(动钟变慢)
u
y
y'
S
S'
质量乘光速的平方 E = mc2 。
本章内容提要
第一节 伽利略变换和经典力学时空观 第二节 狭义相对论的基本假设
洛仑兹变换 第三节 狭义相对论的时空观 第四节 狭义相对论动力学
第一节 伽利略变换和经典力学时空观
实 第6章狭义相对论1 -
故在S系中测得杆长为：
l
l y l y
1 2
l0
l x l y 4.75(m)
2 2
34
与x轴夹角:
tg ly lx 1 3 1 ( u c )
2
31.49
o
即在S系中观察到这根高速运动的杆长度要 缩短，空间方位也随之变化
35
§4 洛仑兹变换
一、洛仑兹变换
u
A B
t1时刻
x
o o
y
x1
u
t2时刻 B x A
x
o
o x1
l x2
x
29
l = x2 - x1 = u t ； t = t2 - t1 是原时 (t1、t2都是S中x1处的一只钟测的)
S中看
y y
-u
A l
t 1时刻
B
o o y
-u
x1
t 2时刻
x x
2
2
垂直运动方向长度不变 S
V V0 1 u c
2 2
S'
a
高速运动 的立方体
u
x
Q V0 1 u c
2 2
32
若均匀带电为Q 电量是相对论不变量
Q V
例：如图，设惯性系S’相对于惯性系S以匀速 u=c/3沿 x 轴方向运动，在S’系中的 x’o’y’平面内 静置一长为5m，并与x’轴成30角的杆。试问在S 系中观察此杆的长度和杆与x轴的夹角为多大? 解： S’ y’ u 在S’系中，杆长 S l0 l’y 为固有长度l0， 30 杆长在x’、y’轴 l’x o’ 的投影分别为: x’ O x
事件1： x1过B ( t 1时刻)
l
l y l y
1 2
l0
l x l y 4.75(m)
2 2
34
与x轴夹角:
tg ly lx 1 3 1 ( u c )
2
31.49
o
即在S系中观察到这根高速运动的杆长度要 缩短，空间方位也随之变化
35
§4 洛仑兹变换
一、洛仑兹变换
u
A B
t1时刻
x
o o
y
x1
u
t2时刻 B x A
x
o
o x1
l x2
x
29
l = x2 - x1 = u t ； t = t2 - t1 是原时 (t1、t2都是S中x1处的一只钟测的)
S中看
y y
-u
A l
t 1时刻
B
o o y
-u
x1
t 2时刻
x x
2
2
垂直运动方向长度不变 S
V V0 1 u c
2 2
S'
a
高速运动 的立方体
u
x
Q V0 1 u c
2 2
32
若均匀带电为Q 电量是相对论不变量
Q V
例：如图，设惯性系S’相对于惯性系S以匀速 u=c/3沿 x 轴方向运动，在S’系中的 x’o’y’平面内 静置一长为5m，并与x’轴成30角的杆。试问在S 系中观察此杆的长度和杆与x轴的夹角为多大? 解： S’ y’ u 在S’系中，杆长 S l0 l’y 为固有长度l0， 30 杆长在x’、y’轴 l’x o’ 的投影分别为: x’ O x
事件1： x1过B ( t 1时刻)
第六章狭义相对论
1.3 牛顿定律在伽利略变换下的协变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Maxwell方程伽利略变换下不协变 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 狭义相对论的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5
2.1 方向的相对性原理与空间间隔不变性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 参考空间的线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 空间间隔不变性的讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 时空关系的绝对分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 因果律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 相互作用的最大传播速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
不同参考系下，物理规律及 物理量的变化如何？
相对论本身及其对物理学的 影响
相对论的两个基本原理
间隔不变性到洛伦兹变换
高速运动引发相对论时空 观；
间隔、因果律、相对同时 性、钟慢尺缩、速度变换
相对性原理与重要性：物理 规律必须在洛伦兹变换下协 变
大学物理曲晓波-第6章 狭义相对论
x
x u t 1 u2 /c2
洛 仑
y
y
兹 z z
逆 变 换
t
t
ux c2
1 u2 /c2
洛伦兹逆变换只是把洛伦兹变换中的u→ - u，x与x’，
y与y’，z与z’交换位置。
说明：
①洛伦兹变换表示同一事件在不同惯性系中时空坐标的变换关系。 规定每个惯性系使用对该系统为静止的时钟和尺进行量度。
在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。这就是爱因 斯坦相对性原理，即相对性原理。
此原理说明所有惯性系对于描述物理规律都是等价的，不存 在特殊的惯性系。可以看出，爱因斯坦相对性原理是力学相对 性原理的推广。
由此可得出，在任何惯性系中进行物理实验，其结果都是一 样的，运动的描述只有相对意义，而绝对静止的参考系是不存 在的。因此不论设计力学实验，还是电磁学实验，去寻找某惯 性系的绝对速度是没有意义的。
S 系v 中 x d d x t,v y d d y t,v z d d z t
v
x
vx 1
u
uvx c2
速 度 变 换
v
y
vy
1 u2 /c2
1
uvx c2
v
z
vz
1 u2 /c2
1
uvx c2
vx
v
x
1
u
u v x c2
速 度 逆 变 换
v
y
v
y
1 u2 /c2Biblioteka 1u v x c2
vz
v
z
1 u2 /c2
1
u v x c2
讨论：
①当u,v（vx,vy,vz)远小于光速ｃ时，相对论速度变换式退化
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12 、飞船 A 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 B 以0.6c的速度相对地球向正西方向飞 行．当两飞船即将相遇时 A 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在 B 飞船的观测者测得两 颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解答：以地面为K系，飞船A为K’系，以正东为x轴正向；则飞船B相对于飞船A的相对速度
14、(1) 质量为m0的静止原子核（或原子）受到能量为E的光子撞击，原子核（或原子）将光子 的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静止质量为m0′的 静止原子发出能量为E的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？ 解答：
4
⎧m0 c 2 + E = Mc 2 m0 c 2 + E Ec v ; M ⇒ = = = ⎨ 2 2 m c + E c p = E / c = Mv 0 ⎩
Δx = x2 − x1 = 110( m )
Δt −
Δt = t2 − t1 = 12.88( s )
v 0.98 Δx 12.88 − × 110 2 c 3 × 108 Δt ' = = = 64.7( s ) 2 2 − 1 0.98 v ⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
v c2 负号表示运动员沿x ' 轴反方向跑动。 1−
2
=
9.11×10−31 × (3.0 × 108 ) 2 1 − 0.99
2
= 5.8 ×10−13 ( J )
(2) 经典力学的动能 Ek 1 =
1 me v 2 ；相对论动能 Ek 2 = mc 2 − me c 2 2
Ek1 me v 2 / 2 1 v2 / c2 1 0.992 1 − 0.992 = = × = × = 8.05 × 10−2 2 2 2 2 m / me − 1 2 1 − 1 − 0.99 Ek 2 mc − me c
2 2
二．填空题
5、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得 另一艘飞船速度的大小 v′=____________． 解答：[ 0.994c ].
v' =
v − ( −v) 2v 2 × 0.9c = = = 0.994c 2 2 2 ( −v) + + v c 1 / 1 0.9 1− 2 v c
' Δx ' = x2 − x1' =
( x2 − x1 ) − v (t2 − t1 )
2
=
110 − 0.98 × 3 × 108 × 12.88 1 − 0.98
2
= −1.91 × 1010 ( m )
在飞船中观察到刘翔相对于起跑点跑动的距离则为
v 2 Δx 2 ⎛v⎞ c = Δx 1 − ⎜ ⎟ = 110 1 − 0.982 = 21.9(m ) ΔS ' = Δx '− ( − vΔt ') = +v 2 2 ⎝c⎠ ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝c⎠ Δx − v Δ t Δt −
v=
Δx 3.5 ×108 = = 12.3(km / s ) Δt 11× 30 × 24 × 3600
Δx 3.5 × 108 Δt = = = 1296( s ) v 0.9 × 3.0 × 108 ×10−3
⎛v⎞ Δt0 = Δt 1 − ⎜ ⎟ = 1296 1 − 0.92 = 565( s ) ⎝c⎠
2 2
2
2
⎛ m0 c 2 ⎞ ⎛ 105.7 ⎞ ⇒ v = c 1− ⎜ ⎟ = c 1− ⎜ ⎟ = 0.91c 2 ⎝ 105.7 + 150 ⎠ ⎝ m0 c + Ek ⎠
Δt ' = Δt ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
=
2.2 × 10−6 1 − 0.91
2
= 5.31× 10−6 ( s )
三．计算题
9、一艘宇宙飞船的船身固有长度为 L0 =90 m，相对于地面以 v = 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度 在地面观测站的上空飞过．(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测 得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解答：
v2 2 c 2 = 90 1 − 0.8 = 2.25 × 10−7 ( s ) (1) Δt = v 0.8 × 3.0 × 108 L 90 (2) Δt ' = 0 = = 3.75 × 10−7 ( s ) 8 v 0.8 × 3.0 × 10 L0 1 −
1
u'=
v − ( −v ) 2v 2vc 2 = = 2 2 ( −v) c2 + v2 1− 2 v 1+ v / c c
β = u '/ c；C = 2a + 2a 1 − β 2 = 4ac 2 / (c 2 + v 2 )
11、我国首个火星探测器“荧光一号”原计划于 2009 年 10 月 6 日至 16 日期间在位于哈萨克斯 坦的拜科努尔航天发射中心升空。此次“荧光一号”将飞行 3.5×108 km 后进入火星轨道，预计用时 将达到 11 个月。试估计“荧光一号”的平均速度是多少？假设飞行距离不变，若以后制造的“荧光 九号”相对于地球的速度为 v = 0.9c，按地球上的时钟计算要用多少时间？如以“荧光九号”上的时 钟计算，所需时间又为多少？ 解答：
[附录 B] 11． 两个惯性系中的观察者 O 和 O′以 0.6 c (c 表示真空中光速)的相对速度互相接近． 如 果 O 测得两者的初始距离是 20 m，则 O′测得两者经过时间Δt′= __________s 后相遇． 解答：[ 8.89 × 10 ( s ) ]. 假设在 O 系测得Δt 后相遇，则Δt = Δx/v . O′测得的时间Δt′为固有时间，因此，
第六章
狭义相对论基础
六、基础训练
一．选择题
2、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为 4 s，若相对于甲作匀速直线运动的乙 测得时间间隔为 5 s，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c． (B) (3/5) c． (C) (2/5) c． (D) (1/5) c． 解答：[B].
2
° °
K
系中： lx = l 'x
2 ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1 1 − ⎜ ⎟ = ly = l 'y ⇒ 1 − ⎜ ⎟ = ⇒ v = c 3 ⎝c⎠ ⎝c⎠ 3
2
二．填空题
8 、 (1) 在速度 v = ____________ 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍． (2) 在速度 v = ____________情况下粒子的动能等于它的静止能量． 解答：[
v 'B =
vB − v A −0.6c − 0.8c −1.4 = = c = −0.946c 0.8c vA + × 1 0.8 0.6 1 − 2 vB 1 − 2 (−0.6c) c c
Δt ⎛ v' ⎞ 1− ⎜ B ⎟ ⎝ c ⎠
2
Δt ' =
=
2 1 − 0.9462
= 6.17( s )
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]
(D)
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]3 / 2
解答：[C].
m0 / 1 − v 2 / c 2 m0 m = = a ' = a 1− v / c ;b ' = b ⇒ σ ' = 2 2 a ' b ' ab 1 − v / c ab(1 − v 2 / c 2 )
3 3 c； c ]. 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
(1) p = mv = 2m0 v ⇒ m = 2m0 =
⇒v=
3 c 2
(2) Ek = mc − m0 c = 2m0 c ⇒ m = 2m0 =
2 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
⇒v=
3 c 2
三．计算题
10、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是 v．在飞船 A 中有一边长为 a 的正方形，飞船 A 沿正方形的一条边飞行，问飞船 B 中的观察者测得该图形的周长是多少？ 解答：
−8
Δt ' = Δ t 1 −
v 2 Δx v2 20 = 1 − = 1 − 0.62 = 8.89 × 10−8 ( s ) 2 2 8 c v c 0.6 × 3.0 × 10
5
13、要使电子的速度从 v1 =1.2×108 m/s 增加到 v2 =2.4×108 m/s 必须对它做多少功？ 止质量 me ＝9.11×10 31 kg)
-
2
(电子静
解答：
E1 =
me ⎛v ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝c⎠
2
c 2 ; E2 =
me ⎛v ⎞ 1− ⎜ 2 ⎟ ⎝c⎠
1 −
2
c2
(1)
M0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2 2
⎛ ⎞ m c2 + E E 1 ⇒ M0 = 0 2 1− ⎜ ⎟ = 2 2 c c ⎝ m0 c + E ⎠
2
(m c
0
2
+ E ) − E 2 = m0 1 +
2E m0 c 2
⎧ m ' c2 + ( − E ) = M ' c2 0 ⎪ 2 ( −E ) 2E ⎪ (2) ⎨ p = E / c = M ' v ' ⇒ M '0 = m '0 1 + = m '0 1 − 2 m '0 c m '0 c 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ M ' = M '0 / 1 − (v '/ c)
14、(1) 质量为m0的静止原子核（或原子）受到能量为E的光子撞击，原子核（或原子）将光子 的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静止质量为m0′的 静止原子发出能量为E的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？ 解答：
4
⎧m0 c 2 + E = Mc 2 m0 c 2 + E Ec v ; M ⇒ = = = ⎨ 2 2 m c + E c p = E / c = Mv 0 ⎩
Δx = x2 − x1 = 110( m )
Δt −
Δt = t2 − t1 = 12.88( s )
v 0.98 Δx 12.88 − × 110 2 c 3 × 108 Δt ' = = = 64.7( s ) 2 2 − 1 0.98 v ⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
v c2 负号表示运动员沿x ' 轴反方向跑动。 1−
2
=
9.11×10−31 × (3.0 × 108 ) 2 1 − 0.99
2
= 5.8 ×10−13 ( J )
(2) 经典力学的动能 Ek 1 =
1 me v 2 ；相对论动能 Ek 2 = mc 2 − me c 2 2
Ek1 me v 2 / 2 1 v2 / c2 1 0.992 1 − 0.992 = = × = × = 8.05 × 10−2 2 2 2 2 m / me − 1 2 1 − 1 − 0.99 Ek 2 mc − me c
2 2
二．填空题
5、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得 另一艘飞船速度的大小 v′=____________． 解答：[ 0.994c ].
v' =
v − ( −v) 2v 2 × 0.9c = = = 0.994c 2 2 2 ( −v) + + v c 1 / 1 0.9 1− 2 v c
' Δx ' = x2 − x1' =
( x2 − x1 ) − v (t2 − t1 )
2
=
110 − 0.98 × 3 × 108 × 12.88 1 − 0.98
2
= −1.91 × 1010 ( m )
在飞船中观察到刘翔相对于起跑点跑动的距离则为
v 2 Δx 2 ⎛v⎞ c = Δx 1 − ⎜ ⎟ = 110 1 − 0.982 = 21.9(m ) ΔS ' = Δx '− ( − vΔt ') = +v 2 2 ⎝c⎠ ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝c⎠ Δx − v Δ t Δt −
v=
Δx 3.5 ×108 = = 12.3(km / s ) Δt 11× 30 × 24 × 3600
Δx 3.5 × 108 Δt = = = 1296( s ) v 0.9 × 3.0 × 108 ×10−3
⎛v⎞ Δt0 = Δt 1 − ⎜ ⎟ = 1296 1 − 0.92 = 565( s ) ⎝c⎠
2 2
2
2
⎛ m0 c 2 ⎞ ⎛ 105.7 ⎞ ⇒ v = c 1− ⎜ ⎟ = c 1− ⎜ ⎟ = 0.91c 2 ⎝ 105.7 + 150 ⎠ ⎝ m0 c + Ek ⎠
Δt ' = Δt ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
=
2.2 × 10−6 1 − 0.91
2
= 5.31× 10−6 ( s )
三．计算题
9、一艘宇宙飞船的船身固有长度为 L0 =90 m，相对于地面以 v = 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度 在地面观测站的上空飞过．(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测 得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解答：
v2 2 c 2 = 90 1 − 0.8 = 2.25 × 10−7 ( s ) (1) Δt = v 0.8 × 3.0 × 108 L 90 (2) Δt ' = 0 = = 3.75 × 10−7 ( s ) 8 v 0.8 × 3.0 × 10 L0 1 −
1
u'=
v − ( −v ) 2v 2vc 2 = = 2 2 ( −v) c2 + v2 1− 2 v 1+ v / c c
β = u '/ c；C = 2a + 2a 1 − β 2 = 4ac 2 / (c 2 + v 2 )
11、我国首个火星探测器“荧光一号”原计划于 2009 年 10 月 6 日至 16 日期间在位于哈萨克斯 坦的拜科努尔航天发射中心升空。此次“荧光一号”将飞行 3.5×108 km 后进入火星轨道，预计用时 将达到 11 个月。试估计“荧光一号”的平均速度是多少？假设飞行距离不变，若以后制造的“荧光 九号”相对于地球的速度为 v = 0.9c，按地球上的时钟计算要用多少时间？如以“荧光九号”上的时 钟计算，所需时间又为多少？ 解答：
[附录 B] 11． 两个惯性系中的观察者 O 和 O′以 0.6 c (c 表示真空中光速)的相对速度互相接近． 如 果 O 测得两者的初始距离是 20 m，则 O′测得两者经过时间Δt′= __________s 后相遇． 解答：[ 8.89 × 10 ( s ) ]. 假设在 O 系测得Δt 后相遇，则Δt = Δx/v . O′测得的时间Δt′为固有时间，因此，
第六章
狭义相对论基础
六、基础训练
一．选择题
2、在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为 4 s，若相对于甲作匀速直线运动的乙 测得时间间隔为 5 s，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速) (A) (4/5) c． (B) (3/5) c． (C) (2/5) c． (D) (1/5) c． 解答：[B].
2
° °
K
系中： lx = l 'x
2 ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1 1 − ⎜ ⎟ = ly = l 'y ⇒ 1 − ⎜ ⎟ = ⇒ v = c 3 ⎝c⎠ ⎝c⎠ 3
2
二．填空题
8 、 (1) 在速度 v = ____________ 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍． (2) 在速度 v = ____________情况下粒子的动能等于它的静止能量． 解答：[
v 'B =
vB − v A −0.6c − 0.8c −1.4 = = c = −0.946c 0.8c vA + × 1 0.8 0.6 1 − 2 vB 1 − 2 (−0.6c) c c
Δt ⎛ v' ⎞ 1− ⎜ B ⎟ ⎝ c ⎠
2
Δt ' =
=
2 1 − 0.9462
= 6.17( s )
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]
(D)
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]3 / 2
解答：[C].
m0 / 1 − v 2 / c 2 m0 m = = a ' = a 1− v / c ;b ' = b ⇒ σ ' = 2 2 a ' b ' ab 1 − v / c ab(1 − v 2 / c 2 )
3 3 c； c ]. 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
(1) p = mv = 2m0 v ⇒ m = 2m0 =
⇒v=
3 c 2
(2) Ek = mc − m0 c = 2m0 c ⇒ m = 2m0 =
2 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
⇒v=
3 c 2
三．计算题
10、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是 v．在飞船 A 中有一边长为 a 的正方形，飞船 A 沿正方形的一条边飞行，问飞船 B 中的观察者测得该图形的周长是多少？ 解答：
−8
Δt ' = Δ t 1 −
v 2 Δx v2 20 = 1 − = 1 − 0.62 = 8.89 × 10−8 ( s ) 2 2 8 c v c 0.6 × 3.0 × 10
5
13、要使电子的速度从 v1 =1.2×108 m/s 增加到 v2 =2.4×108 m/s 必须对它做多少功？ 止质量 me ＝9.11×10 31 kg)
-
2
(电子静
解答：
E1 =
me ⎛v ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝c⎠
2
c 2 ; E2 =
me ⎛v ⎞ 1− ⎜ 2 ⎟ ⎝c⎠
1 −
2
c2
(1)
M0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2 2
⎛ ⎞ m c2 + E E 1 ⇒ M0 = 0 2 1− ⎜ ⎟ = 2 2 c c ⎝ m0 c + E ⎠
2
(m c
0
2
+ E ) − E 2 = m0 1 +
2E m0 c 2
⎧ m ' c2 + ( − E ) = M ' c2 0 ⎪ 2 ( −E ) 2E ⎪ (2) ⎨ p = E / c = M ' v ' ⇒ M '0 = m '0 1 + = m '0 1 − 2 m '0 c m '0 c 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ M ' = M '0 / 1 − (v '/ c)