第六章 狭义相对论
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第六章狭义相对论
原长最长
2
l
l0
l0
u 1 2 c
运动长度 l l0
★ 注意：长度收缩只发生在速度方向
例4（4357）在O参照系中，有一个静止的正方
形，其面积为100cm2。观测者O’以0.8C的
匀速度沿正方形的对角线运动求O’所测得
的该图形的面积。 解：在O参照系中A、B间对角线长度
在O’参照系中A、B间长 度 ★ O’所测得的该图形的面积
u
例5（4370）在K惯性系中，相距 的两个地方发生两事件，时间间隔 而在相对于K系沿正 方向匀速运动的K’系中 观测到这两事件却是同时发生的。试计算:在 K’系中发生这两事件的地点间的距离是多少？ 解1 ：
解2 :
作业：P339~340 6.1 6.3
6.4
6.5 6.6
练习（5616）一列高速火车以速度 驶过车站时， 固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划 出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测 出两痕迹之间的距离为1m，则车厢上的观察 者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？ 解：车上观察者测的两痕迹之间的距离 =原长 l0 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间 的距离 =运动长 l
5 4 u2 1 2 c
0
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离
例2（4167） 子是一种基本粒子，在相对于它静 止的坐标系中测得其寿命为 ，如 果 子相对于地球的速度为 （ 为真空中光速），则在地球坐标系中测 出的 子的寿命 解：设：相对于 子静止的参照系为 S’
★ 在地球坐标系中测出的 子的寿命
两个事件的空间间隔 事件二：测量尺子（棒） 右端坐标
长度 右端坐标 — 左端坐标
★
在相对于尺子（棒）运动的参照系中要 条件： 同时记录尺子（棒）两端的坐标。 （如：相对于尺子（棒）运动的参照系是S’ 系 则： t1’ ） t2’ l x’ x ’
2
l
l0
l0
u 1 2 c
运动长度 l l0
★ 注意：长度收缩只发生在速度方向
例4（4357）在O参照系中，有一个静止的正方
形，其面积为100cm2。观测者O’以0.8C的
匀速度沿正方形的对角线运动求O’所测得
的该图形的面积。 解：在O参照系中A、B间对角线长度
在O’参照系中A、B间长 度 ★ O’所测得的该图形的面积
u
例5（4370）在K惯性系中，相距 的两个地方发生两事件，时间间隔 而在相对于K系沿正 方向匀速运动的K’系中 观测到这两事件却是同时发生的。试计算:在 K’系中发生这两事件的地点间的距离是多少？ 解1 ：
解2 :
作业：P339~340 6.1 6.3
6.4
6.5 6.6
练习（5616）一列高速火车以速度 驶过车站时， 固定在站台上的两只机械手在车厢上同时划 出两个痕迹，静止在站台上的观察者同时测 出两痕迹之间的距离为1m，则车厢上的观察 者应测出这两个痕迹之间的距离为多少？ 解：车上观察者测的两痕迹之间的距离 =原长 l0 静止在站台上的观察者同时测出两痕迹之间 的距离 =运动长 l
5 4 u2 1 2 c
0
（2）乙测得这两个事件发生的地点的距离
例2（4167） 子是一种基本粒子，在相对于它静 止的坐标系中测得其寿命为 ，如 果 子相对于地球的速度为 （ 为真空中光速），则在地球坐标系中测 出的 子的寿命 解：设：相对于 子静止的参照系为 S’
★ 在地球坐标系中测出的 子的寿命
两个事件的空间间隔 事件二：测量尺子（棒） 右端坐标
长度 右端坐标 — 左端坐标
★
在相对于尺子（棒）运动的参照系中要 条件： 同时记录尺子（棒）两端的坐标。 （如：相对于尺子（棒）运动的参照系是S’ 系 则： t1’ ） t2’ l x’ x ’
狭义相对论
2
t
t
u x 2 c 2 u 1 c
• “同时”概念的相对性 在一惯性系中不同地点同时发生的两个事件在其它惯性系中不再是同时的。 • “同地”概念的相对性 在一惯性系中不同时间同地发生的两个事件在其它惯性系中不再是同时的。
8
•
长度收缩：
u2 L L0 1 2 c
• • • 基本概念 简单计算 重要结论
3
6-1 相对运动与坐标变换
p:
质点
事件
S : x, v, a, t
y
o
S : x, v, a, t
y'
p
s
z
s'
z'
u
*
o'
x' x
4
牛顿力学 伽利略变换：
•
英国科学家牛顿 （Newton，1643-1727）
x x ut
v vx u x
6-2 狭义相对论的基本原理及主要效应
• 狭义相对性原理
——
物理规律在任何惯性系中形式不变
• 光速不变原理
——
光速在任何惯性系中数值不变
7
主要效应
x
x ut 1 u
c
2
u x c2 t 2 1 u c t
x
x ut 1 u
c
2
L0 为固有长度
• 时间膨胀：
0
u 1 2 c
2 2
0 为固有寿命
例
题
1
t 8 108 s 时刻 处、
一飞船以0.6c飞行，观察到在
x 60 m
第六章狭义相对论
′ = αλν αµσTνσ 二阶张量： Tλµ
对称张量： Tµν = Tνµ ，有10个独立分量（四维） 例如三维空间中对称张量：电四极矩张量Qij；转动惯量 张量I；材料力学中的应力张量 ；Maxwell应力张量；电 磁场动量流密度张量Tij等等。
Tµν = −Tνµ 只有6个独立分量,因为 Tµ µ＝0 反对称张量：
三阶张量有43=64个分量：Tµνλ
三阶全反对称张量：Tµνλ ，若对每两个脚标都是反对称的 称之为三阶全反对称张量。即有二个及二个以上脚标相同 时矩阵元为零，共40个0元素，24个非零元素。 24个非零元素中只有4个独立元素T234,T314，T412 和 T123. 它们可用一个4维矢量表示。
A′ µ = α µν A ν
同意味着求和。
约定脚标希腊字母从1取到4，英文字母从1取到3，脚标相 这种约定求和的脚标如上式中ν称为“哑标”，对不参加求和 的脚标，如上式中的μ称为“自由脚标”。 等式两边的自由脚标必须对应。 由于哑标只表示对该脚标从1到4求和的一个约定，所以哑 脚标的字母可以更换，如上式中 A′ µ = α µν A ν = α任意一个二阶张量总可以分解为一个二阶对称张量和一个 二阶反对称张量之和”。 证明：设Tµ σ 为任意一个二阶张量，
Tµ σ = Tµ σ + Tσµ 2 + Tµ σ − Tσµ 2 = Sµ σ + Aµ σ
式中 S µ σ = S σµ 是对称张量，
A µ σ = − A σ µ 是反对称张量，证毕。
三维空间中反对称张量是两矢量叉乘出来的，又叫赝矢 r r r r r r r r r r r υ = ω× r，L = r × F ， J = r × p 量。例如 B = ∇ × A ， r r r r B, ω, L, J 构成三维空间的二阶反对称张量，因只有三个独 立分量故可用一矢量表示，叫赝矢量。 在坐标变换时不能当矢量处理，否则会出错。 在四维空间二阶反对称张量有六个独立分量，比空间维数 多2，不能用4-矢量表示。 坐标变换时必须还物理量的本来面目。 顺便指出:在正交变换下,对称张量保持为对称;反对称张量 保持为反对称。
第6章 狭义相对论简介
一、同时的相对性
v
A B
闪光 同时 到达A 、B镜子； 小兰看到： 闪光 先 到达A镜子， 后 达到B镜子； 小红看到： 由此可见：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
闪 电
闪 电
先 发 生
v
若小红看到：两束闪电(闪光) 同时 击中车头和车尾； 车头 ，后击中_______ 则小兰看到：闪电先击中_______ 车尾 ； 所以：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
◆相对惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。
2、推论： ◆推论1： 通过任何力学实验，都不可能 证明惯性系是处于绝对静止还是 在做绝对匀速直线运动状态。
◆推论2：
任何惯性参考系都是平权的。
二、经典时空观、伽利略速度变换
1、经典时空观： （绝对时空观） 长度L 是 时间和空间彼此独立、互不关联， 时间t 是 且不受物质或运动的影响。 质量m 是 同时性是 2、伽利略速度变换： 绝对的 绝对的 绝对的 绝对的
若地面上小红观察到A、B两地有两个事件同时发生，对于 坐在火箭中沿A、B连线飞行的小兰来说，哪个事件先发生？
A事件先发生
A B
v
二、时间的相对性 (动钟变慢）
u t0
u
u
t
思考：小红测得的时间t 和小兰测得的时间t0 相等吗？
(不相等，t ＞ t0）
狭义相对论的时间变换公式 发生在同一地点的参考系内 所测量的时间 t 称为固有时
v人地 v人车 v车地
3、狭义相对论产生的背景：
v人车
v车地
光速问题
三、狭义相对论的两个基本假设：
（爱因斯坦相对性原理） 1、第一条假设： 在任何惯性系参考系中，物理规律（包括力学和电磁学） 都是一样的。
v
A B
闪光 同时 到达A 、B镜子； 小兰看到： 闪光 先 到达A镜子， 后 达到B镜子； 小红看到： 由此可见：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
闪 电
闪 电
先 发 生
v
若小红看到：两束闪电(闪光) 同时 击中车头和车尾； 车头 ，后击中_______ 则小兰看到：闪电先击中_______ 车尾 ； 所以：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
◆相对惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。
2、推论： ◆推论1： 通过任何力学实验，都不可能 证明惯性系是处于绝对静止还是 在做绝对匀速直线运动状态。
◆推论2：
任何惯性参考系都是平权的。
二、经典时空观、伽利略速度变换
1、经典时空观： （绝对时空观） 长度L 是 时间和空间彼此独立、互不关联， 时间t 是 且不受物质或运动的影响。 质量m 是 同时性是 2、伽利略速度变换： 绝对的 绝对的 绝对的 绝对的
若地面上小红观察到A、B两地有两个事件同时发生，对于 坐在火箭中沿A、B连线飞行的小兰来说，哪个事件先发生？
A事件先发生
A B
v
二、时间的相对性 (动钟变慢）
u t0
u
u
t
思考：小红测得的时间t 和小兰测得的时间t0 相等吗？
(不相等，t ＞ t0）
狭义相对论的时间变换公式 发生在同一地点的参考系内 所测量的时间 t 称为固有时
v人地 v人车 v车地
3、狭义相对论产生的背景：
v人车
v车地
光速问题
三、狭义相对论的两个基本假设：
（爱因斯坦相对性原理） 1、第一条假设： 在任何惯性系参考系中，物理规律（包括力学和电磁学） 都是一样的。
大学物理第6章 狭义相对论基础
第6章
狭义相对论基础
1905年6月， A. Einstein发表 了长论文《论动体的电动力学》， 完整地提出了狭义相对性理论，即 狭义相对论。它是区别于牛顿时空 观的一种新的时空理论。
狭义（特殊）——只适用于惯 性参照系。 相对论和量子论是近代物理学的两大基础理论。
第6章 狭义相对论基础
狭义相对论的产生背景
3
x' x
Δt t2 t1
S' 系 (车厢参考系 )
y'
1
( x'1 , y '1 , z '1 , t '1 ) ( x '2 , y '2 , z '2 , t '2 )
u
12
2
12
o'9
3 6
9 6
3
x'
在一个惯性系同 时发生的两个事件， 在另一个惯性系是 否同时?
u Δt Δx c Δt 1
设 S系中x1、x2两处发生两事件,时间 间隔为 Δt t2 t1 .问 S′系中这两事件 发生的时间间隔是多少？
S 系 ( 地面参考系 ) 事件 1
( x1, y1, z1, t1 )
y
y'
1
12
u
12
事件 2
2
12
( x2 , y2 , z2 , t2 )
o o'9
3 6
9 6
3
9 6
例3 设想一光子火箭以 u 0.95c 速率相对地球作直线运动 ，火箭上宇航 员的计时器记录他观测星云用去 10 min , 则地球上的观察者测此事用去多少时间 ？ 解 设火箭为 S 系、地球为 S 系
第六章 狭义相对论
x1 ut1 1 u2 c2
[(x2 x1) u(t2 t1)]
因为需同时测得杆两端长度，所以t1=t2
L
x2 x1 1 u2 c2
L 1 u2 c2
L 1 u2 c2 L
观测者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，
叫固有长度（L0）,观测者与被测物体有相对运动时，测
得的长度等于其固有长度的 缩效应。
( x2,t2)
解：设地面为S系，火车为S´系
在S´系中观测
t1'
t1
u c2
x1
1 u2 c2
(x1 ,t1)
( x2,t2)
t
' 2
t2
u c2
x2
1 u2 c2
t
' 2
t1'
(t2
t1 )
u c2
( x2
1 u2 c2
x1 )
∵ t1 = t2 x1 < x2 ∴ t1´ > t2´
c2 t2 t1
x2 x1 为子弹飞行的速率，小于c t2 t1
所以
t2' t1' 0
飞船上的观察者也看到子弹先出膛，后击中靶子
由于真空中的光速c是物体运动或信息传递速度 的极限，因此对于有因果关系的两个事件，不会 因参考系的不同而使因果顺序颠倒。
二 时间膨胀(动钟变慢)
u
y
y'
S
S'
质量乘光速的平方 E = mc2 。
本章内容提要
第一节 伽利略变换和经典力学时空观 第二节 狭义相对论的基本假设
洛仑兹变换 第三节 狭义相对论的时空观 第四节 狭义相对论动力学
第一节 伽利略变换和经典力学时空观
大学物理曲晓波-第6章 狭义相对论
x
x u t 1 u2 /c2
洛 仑
y
y
兹 z z
逆 变 换
t
t
ux c2
1 u2 /c2
洛伦兹逆变换只是把洛伦兹变换中的u→ - u，x与x’，
y与y’，z与z’交换位置。
说明：
①洛伦兹变换表示同一事件在不同惯性系中时空坐标的变换关系。 规定每个惯性系使用对该系统为静止的时钟和尺进行量度。
在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。这就是爱因 斯坦相对性原理，即相对性原理。
此原理说明所有惯性系对于描述物理规律都是等价的，不存 在特殊的惯性系。可以看出，爱因斯坦相对性原理是力学相对 性原理的推广。
由此可得出，在任何惯性系中进行物理实验，其结果都是一 样的，运动的描述只有相对意义，而绝对静止的参考系是不存 在的。因此不论设计力学实验，还是电磁学实验，去寻找某惯 性系的绝对速度是没有意义的。
S 系v 中 x d d x t,v y d d y t,v z d d z t
v
x
vx 1
u
uvx c2
速 度 变 换
v
y
vy
1 u2 /c2
1
uvx c2
v
z
vz
1 u2 /c2
1
uvx c2
vx
v
x
1
u
u v x c2
速 度 逆 变 换
v
y
v
y
1 u2 /c2Biblioteka 1u v x c2
vz
v
z
1 u2 /c2
1
u v x c2
讨论：
①当u,v（vx,vy,vz)远小于光速ｃ时，相对论速度变换式退化
第6章狭义相对论基础
设相对S’系静止有一光脉冲仪
Mo
d
发射光信号与接受光信号时间差 o
t' 2d
X’
c
发射与接受在同一地点
t ' 称之为固有时或本征时,常用 o
在S系中观察,光脉冲仪以 u 向右运动
光脉冲走的是一个三角形的两边,每边长为
d 2 ( ut )2 2
Su Y
t 2 2 d 2 ( ut )2
由洛仑兹逆变换
t
t
u c2
x
1
u2 c2
t
1
u2 c2
x 0
t
1
>1
1
u2 c2
t
原时最短
长度缩短
对运动长度的测量问题。 怎么测？ 同时测。
S S
u
l0
原长：棒静止时测得的它的长度 也称静长
棒静止在 S 系中， l0 静长
S
事件1：测棒的左端 事件2：测棒的右端
1
u2 c2
同时性的相对性
x2 x1 t2 t1
5) 时序，因果关系
x2 x1 t2 t1
6) 由洛仑兹变换看时间膨胀 长度缩短
时间膨胀 研究的问题是： 在某系中，同一地点先后发生的两个事件的时间 间隔(同一只钟测量) ，与另一系中，两个地点发 生的两个事件的时间间隔(两只钟分别测量)的关系。
零结果
c
1
u2 c2
1
u2 c2
b 2
否定以太存在 否定伽利略变换
M2
cu
a2 a1 M1
1 b1
C2 u2
b 1
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在 S 系中这两个事件是同时发生的。
③.当 u<<c 时，
1
1
1 (u )2
t
(t
u c2
x)
t
c
低速空间“同时性”与参照系无关。
§4. SR中的同时性长度和时间 / 一、同时概念的相对性
返回
④.同时性没有绝对意义。 ⑤.有因果关系的事件，因果关系不因坐标 系变化而改变。无因果关系的事件无所谓 谁先谁后。
根据洛仑兹变换式，可得在S’系中观测这两
事件发生的时间分别是：
t1'
(t
ux1 c2
)
t2'
(t
ux2 c2
)
在S’ 系中测得两事件发生的时间间隔为
t
t
' 2
t1'
u c2
( x1
x2 )
x1 x2 t 0
返回
在一个惯性系中，不同地点同时发生的 两个事件,在其他惯性系中观测，不再是同时 发生的,这就是同时的相对性.
c
2
u c2
2
1 4
u 3c 2
则
t
(t1
ux1 c2
)
(t2
ux2 c2
)
(t
u(x2 c2
x1 )
)
ux 2 3c / 2 3 5.77 109 S
c2
c2
c
返回
6.3.2 时间延缓 (time dilation)
u
y
y'
S
S'
A
O
z
B
O'
x x0
x'
z'
设S´系中x0´处先后发生二事件A、B
在伽利略变换下时间和空间均与参考系 的运动状态无关,时间和空间之间是不相联系 的,是绝对的,这就是经典力学的时空观，又 称为绝对时空观。
伽利略变换是绝对时空观的集中表现。
返回
经典力学时空观的结论 经典力学的时空观中时间与空间都是绝
对的，彼此无关。
1.长度不变，
2.时间不变，
3.绝对的同时性，
4.惯性系中所有力学规律相同.
返回
用时钟走的快慢描述：在S系中的观察者
发现相对他运动的钟（在S’系中静止的钟）变
o
o'
x
ut
x
x'
z
z'
返回
1.洛论兹时空坐标变换式：
x (x ut)
x (x ut)
y y
z z
t
(t
u c2
x)
或 y y
z z
1
t
(t
u c2
x)
1u2 c2 返回
2.洛仑兹速度变换式：
y
y' u
S
S'
P(x, y, z,t)
P(x', y', z', t ' )
o
o'
x
ut
x
x'
z
z'
S系：P点的速度为v(vx , vy , vz )
S系：P点的速度为v(vx , vy , vz )
返回
对（6-3）式取微分
x (x ut)
dx (dx ut)
y y
dy dy
z z
dz dz
t
(t
u c2
x)
dt
因此，v的各个分量为：
(t
u c2
x)
返回
§6.3 狭义相对论的时空观
返回
狭义相对论的时空观
• 一. 同时的相对性 • 二. 时间膨胀 • 三. 长度收缩
返回
爱因斯坦列车
y y'
A
o o'
Bv
x'
x
• 在列车中部一光源发出光信号，在列车中 AB 两个接收器同时收到光信号，但在地面 来看，由于光速不变，A 先到， B 后收到 。
返回
§1.伽利略变换、经典时空观 / 二、伽利略变换
返回
§6.2 狭义相对论的基本假设 洛仑兹变换
返回
6.2.1 迈克耳孙-莫雷实验
M2
l2
u
G S
l1
M1
返回
6.2.2 狭义相对论的基本假设
（1） 相对性原理
物理学定律在所有的惯性系中都具有相同 的数学表达式,即所有惯性系对一切物理学 定律都是等价的.
对时间求导
(t t)
x x ut
y y
t t
z z
vx vx u
得 vy vy
v
'
vz
v
vz
u
ax ax ay ay aa' z aaz
返回
在惯性系 s 和 s中,点 p 的加速度是
相同的，即在伽利略变换里，对不同的 惯性系而言，加速度是个不变量。牛顿
运动定 律的形式也应该是相同 的。 F ma F ma
返回
6. 时序: 两个事件发生的时间顺序
在S中： 先开枪，后鸟死 在S’中：是否能发生先鸟死，后开枪？
开枪
u
事件
前
子弹
鸟死 事件
后
在S中 t 0 在S’中 t' 0
由因果律联系的两事件的时序是不能颠倒的
返回
例2.习题6-3.一列行进中的火车前、后两处
遭雷击，车上的人看来是同时发生的，地面上 的人看来是否同时？何处雷击在先？
力学现象对一切惯性系来说,都遵从同样 的规律;或者说,力学规律在所有惯性系中 都是相同的,即一切惯性系都等价.这个结 论称为力学相对性原理,亦称伽利略相对性 原理.
返回
6.1.2 伽利略变换（Galileo transformation）
y
S
y' S'
u
P(x, y, z, t)
(x', y', z',t')
6.3.1 同时的相对性(relativity of simultaneity)
yA
y' u
S
S'
B
O
O'
x
x'
z
z'
S系中的时空坐标
A(x1, y1, z1, t1) B(x2 , y2 , z2 , t2 )
t2 t1 0
t 0
返回
S 系中的时空坐标
A( x1' , y1' , z1' , t1' ) B( x2' , y2' , z2' , t2' )
相对于自己0.9c的速率向前发射一枚导弹,求该
导弹相对于地球的速率. 解：以地球为S系,飞船
y
y ' 0.9c u
S
S'
vx
O
O'
vx
x
x'
z
z'
为 S系
u 0.9c vx' 0.9c
由洛仑兹速度变换
vx
vx' u 1 uvx' / c2
0.9c 0.9c
1 0.9c 0.9c c2
0.994c
2.狭义相对论的基本假设 (1)相对性原理 (2)光速不变原理
3.狭义相对论的时空观 （1）同时的相对性 （2）时间延缓 （3）长度收缩
§6.1 伽利略变换和经典力学时空观
在力学中，我们学习过在不同的惯 性参考系中物体的速度，加速度的关 系。下面我们再作进一步的讨论。
返回
6.1.1 伽利略相对性原理（Galileo principle of relativity ）
1
1u2 c2
vz
vz' (1 uvx'
/ c2 )
返回
t ' (t u x)
t
ux c2
c2
1
u2 c2
因为 t必须是实数,所以速率u必须满足
1
u2 c2
0
uc
一切物体的运动速度都不能超过真空中的
光速c,或者说真空中的光速c是物体运动的极
限速度.
当u<<c时， 1，洛仑兹变换转化为伽
利略变换.
y
S
t
S' y ' u
A B
o
o'
x
z
z'
在 S 系同时发生的两个事件，在
S’ 系 中也是同时发生的。
t1 t2 t1 t2
t 0 t' 0
x'
返回
（2）时间间隔是绝对的
S y t1
A S' y ' u
t2 B
o
o'
x
x'
z
z'
在 S 和 S’ 系中时间量度相同。
t2 t1 t2 t1 t t'
A: t1´ B: t2´
t t2' t1'
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在S系中这两个事件发生的时刻分别为
t1 和 t2
t t2 t1
t (t ' ux0 )
2
c2
(t ' 1
ux0 c2
)
(t2' t1' ) t
t t
上式表示，在S’系中同一地点先后发生的两
事件的时间间隔为t，则在S系中测得这两个事 件的时间间隔 t 要比t长。即时间间隔是相
对的，不再是绝对的。
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s 在与事件发生地点相对静止的参考系 中测的
两事件的时间间隔 0 最短，称为固有时间或