圆锥曲线离心率的几种求法
圆锥曲线离心率范围的求解途径
则 ｌ Ｉ ＋ｘ，矾 Ｉ －ｘ． Ｐ ＝ ｅ０Ｉ ＝ ｅ０ ａ ａ
△ 中 ， ＣＳ ＦＰ ２ ＝ Ｏ ＩＦ＝ １ ’
（＋ｘ） （－ｘ）－ ２ ａ ｅｏ２ ａｅｏＺ４ ＋ －ｃ
２ ａｘ）ａ ｘ） （＋０（－０
由此解得： ＝ 三 ．
因为 一 ≤ ｏ ，目 Ｏ Ⅱ ≤Ⅱ Ⅱ ≤ ａ， ２ 解 得 ≤ｅ ， １ ≤１ 注意 到 Ｏ ｅ ｌ ＜＜ ，
故 椭 圆离 心率 的取值 范 围是
［ １ ）． １
，
距离 和 ： ） ＋ 之 １ 二 上
Ｘａ ／ ％ｂ 一
Ｖａ ％ｂ
：
点 ，且 ｌ Ｉ Ｐ到 ｚ Ｐ 是 的距 离 ｄ与 Ｉ Ｉ 比例 中项 ， 双曲线离 心 眠 的 求
率 ｅ的取 值 范 围 ．
途径 ３ ：利 用 数 形 结 合 寻 找 不
掘 不 等 关 系
解： 设椭圆方程为等＋ ： 导 １
（ ６０ ， ＞） Ｐ的坐标为 （ ｙ） ‰，ｏ．
例 １ 线 一 ＝（ ｌ＞ 双曲 鲁 １ ＞， ａ ６
０ 的焦距 为 ２ ， ） ｃ 直线 ｌ 点（，） 过 ａ 和 Ｏ （，） 点 Ａ（ ，） 直 线 ｌ 距 离 Ｏ 且 ｂ １ 到 ０ 的 与点 曰 一 ，） （ １ 到直线 ｆ ０ 的距 离之 和 ｓ ｃ ≥ ，求双曲线 的离心率 ｅ的取
ｊｅ ． ＝ｄ
１ Ｉ ｅ啊 １ 又 １ Ｉ ＝ ｌ ． — ， Ｉ ｌ ＝
ｅ一 １
所 以 ５ 、 ｃ ≥２ ｎ ／ 一 ｃ．
即 ５ ｅＺ １２ ２ ￣ １＞ ｅ．
化为 ４４２ｅ＋ ５ ， ｅ－ ５ ２ ≤０
解 得 ≤ｅ≤５ ｔ ４ ．
０
圆锥 曲线 离心率范 围的求解 途径
圆锥曲线离心率的求法
离心率是圆锥曲线的一个几何性质.与圆锥曲线离心率有关的问题主要考查圆锥曲线的定义、性质以及离心率的公式，属于一类基础性的问题.求圆锥曲线离心率的关键是求得圆锥曲线方程中a、b、c的值或关系式.本文重点介绍求圆锥曲线离心率的三种方法，以供大家参考.一、公式法公式法是指运用公式e=c a求出离心率的方法.在解题时，我们可以根据已知条件以及圆锥曲线的标准方程、性质建立与a、c相关的关系式，结合圆锥曲线中a、b、c之间的关系求出a、c的值，然后利用公式e=ca求得离心率的大小.例1.过双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0的左顶点A作斜率为1的直线l，若直线l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且||AB=||BC,则双曲线的离心率为____.解：由双曲线的方程可知a=1，∴点A()-1,0，∴直线l方程为y=x+1，∵双曲线C：x2-y2b2=1()b＞0知两条渐近线分别为y=bx,y=-bx，∴Bæèöø-1b+1,b b+1，Cæèöø1b-1,b b-1，∵||AB=||BC，∴b2=9，c=b2+1=10，∴e=c a=10.我们首先根据双曲线的方程求出a的值，然后由B、C两点的坐标以及已知条件||AB=||BC建立关于b的式子，求得b、c的值，便可利用离心率公式求得问题的答案.二、齐次式法齐次式法是求圆锥曲线离心率的重要方法之一.齐次式法是指通过构建齐次式来解答问题的方法.有些问题中a、c的值不易直接求出，我们可以结合已知条件构造关于a、c的齐次式，通过解方程得到e=ca的值.例2.已知F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____.解：结合题意绘制如图的图形，设||OF1=c，MF1的中点为P，∴点P的横坐标为-c2，∵||PF1=12||F1F2=c，由焦半径公式可得||PF1=-2x p-a，∴c=-c a×æèöø-c2-a，化简得c2-2a2-2ac=0，∴e2-2e-2=0，解方程得e1=1+3，e2=1-3()舍去，∴双曲线的离心率为1+3.在解答上题的过程中，需建立关于a、c的齐次式，再将其左右同除以a2，通过整理和化简得到关于e的一元二次方程，解方程便可求得e的值.三、定义法定义法是指利用圆锥曲线的定义求出离心率的方法.一般地，圆锥曲线的定义中都蕴含着a（动点到圆锥曲线上两焦点的距离之和或差）与c（焦点之间的距离）之间的关系.因此在求圆锥曲线的离心率时，我们可以根据圆锥曲线的定义绘制相应的图形，找出a、c对应的线段，建立关系式，便可求得圆锥曲线的离心率.例3.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P在椭圆C,线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30∘，则椭圆的离心率为_____.解：∵线段PF1的中点在y轴上，F1F2的中点为点O，∴PF2//y轴，∴PF2⊥F1F2,∵∠PF1F2=30∘,∴在Rt△PF1F2中，||PF1:||PF2:||F1F2=2:1:3,∵2a=||PF1+||PF2,2c=|F1F2∴e=c a=2c2a=||F1F2||PF1+||PF2=.解答本题，需结合题意绘制出图形，通过解直角三角形PF1F2得到||PF1、||PF2、||F 1F2的关系式，结合椭圆的定义求得a与c的值以及e的值.公式法、齐次式法、定义法都是解答圆锥曲线离心率问题的有效方法.其中公式法和定义法是比较常用的方法，齐次式法虽然较为复杂，但能有效地简化运算.(作者单位:广东省惠州市博罗县石湾中学)解题宝典翟勇超38Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
剖析圆锥曲线离心率的求法
对 称 性 就 可 求 得 点 ｃ ｆ ＼ 旦 ２ ， ６ 。 １ ／ ， 将 其 代 入 椭 圆 方 程 后
四、 通 过 数 形 结 合— — 找 不 等 关 系 求 解 离
有ｅ ： — ２ Ｘ ／ ￣－
—
心 率
从数形 结合 的角度人 手 ， 列 出不等关 系 ， 往往 可 以 起到 事半 功倍 的效果． 但 该类题 目涉 及 面广 ， 鉴于题 目
解析 ： 由题 意可设Ｉ １ ＝ ４ ｋ ， Ｉ Ｆ ￣ Ｆ ｚ Ｉ ＝ ３ ｋ ， ｌ １ ＝ ２ ｋ ， ｋ ＞ Ｏ ． 若助 椭圆， 由定义Ｉ 魁 ｌ ＋ 恻 － ２ 后 得 ３ ， 而Ｉ ｌ ＿
应 满足 曲线 的方程 ，因此用ａ ， ｂ ， ｃ Ｎ画点Ｐ 的坐标 后 ， 将 其 代人 曲线方程也是解决离心率 问题 的有效途径之一．
：
若助 其上一点 ， 且啊 ＝ ２ ， 则双 曲线离心率 的取值
解析 ： 设点Ｐ 的坐标 为 （ 。 ， ） ， 则点Ｐ 到左 焦 点 的距
１ （ 。 ＞ ６ ＞ ０ ） 中得
＋
： １ ， 即ｅ ２ ＋ ｌ Ｏ ｅ 一 ３ ： ０ ，
范 围为一
解 得ｅ ＝ ２ 、 ／ 了一 ５ ．
图１
综 上， ， 的 离 心 率 为 ÷或 ÷．
二 二
点 除为线段 Ｄ 的 中点 ， 则该椭 圆的离心率为—
０ ） ．
—一
解析 ： 由题 意得Ａ － ａ ， ０ ） ， Ｂ （ Ｏ ， 一 ｂ ） ， Ｂ （ ０ ， ｂ ） ， Ｆ （ ｃ ，
点评 ： 本题 中． 在 不 能确 定 圆锥 曲线厂的具体 情形
，
．
例４ ￣ ｔ ｌ ｌ Ｎ２ ， 椭 网Ｅ： ２ ＋ ：
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
求圆锥曲线的离心率的常用方法
求圆锥曲线的离心率的常用方法一、根据条件先求出a ，c ，利用e=c a 求解 例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( ) A .34 B .23 C .12 D .14解析：由F 1、F 2的坐标知 2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a ﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=c a =12.故选C . 例2 如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. 32B. 62C. 32 D2 解析：由题设a =2，2c =6，则c =3，e =c a =32,因此选C 二、构建关于a ，c 的齐次等式求解例3 设双曲线x 2a 2﹣y 2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线L 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.233解析：由已知，直线L 的方程为bx+ay -ab=0.由点到直线的距离公式，得 aba 2+b 2＝34c ，又c 2=a 2+b 2, ∴4ab=3c 2, 两边平方，得16a 2(c 2﹣a 2)=3c 4.两边同除以a 4，并整理，得 3e 4-16e 2+16=0.解得 e 2＝4或e 2＝43.又0<a<b ，∴e 2＝c 2a 2＝a 2+b 2a 2=1+b 2a 2>2，∴e 2＝4，∴e ＝2.故选A.例4 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120︒，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）62 （C ）63 （D ）33解析：如图2所示，不妨设M(0，b)，F 1(-c,0), F 2(c,0),则|MF 1|=|MF 2|=c 2+b 2.又|F 1F 2|＝2c ，在△F 1MF 2中， 由余弦定理，得cos ∠F 1MF 2＝|MF 1|2+|MF 2|2﹣|F 1F 2|22|MF 1|·|MF 2|,即(c 2+b 2)+(c 2+b 2)﹣4c 22c 2+b 2·c 2+b 2)＝cos 120︒＝﹣12，∴b 2﹣c 2b 2＋c 2＝﹣12， 图2∵b 2＝c 2﹣a 2，∴﹣a 22c 2﹣a 2＝﹣12，∴3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.故选B. 例5 双曲线x 2a 2﹣y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.32解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，∴a=b ，∴c=2a ，∴e ＝c a＝ 2.故选C. 三、根据曲线方程列出含参数的关系式，求e 的取值范围例6 设θ∈(0，π4)，则二次曲线x 2cot θ﹣y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( ) A.(0，12) B.(12，22) C.(22，2) D.(2，+∞) 解析：由x 2cot θ﹣y 2tan θ=1，θ∈(0，π4)，得a 2＝tan θ，b 2= cot θ,∴c 2＝a 2+b 2＝tan θ+ cot θ,∴e 2＝c 2a 2＝tan θ+ cot θtan θ＝1+ cot 2θ,∵θ∈(0，π4)，∴cot 2θ>1,∴e 2>2，∴e >2.故选D. 四、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围例7 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜＝2｜CD ｜，点E 分有向线段AC →所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当23≤λ≤34时，求双曲线离心率e 的取值范围． 解析：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图3所示的直角坐标系x Oy ，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D关于y 轴对称．依题意，记A(﹣c ，0)，C(c 2，h),E(x 0，y 0)，其中c =12｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式得 x 0＝-c+λ·c 21+λ＝(λ-2)c 2(1+λ)，y 0＝λh 1+λ． 设双曲线的方程为x 2a 2﹣y 2b 2＝1，则离心率e =c a. 由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得 c 24a 2﹣h 2b2＝1 ①， 将点E 的坐标代入双曲线方程得c 24a 2(λ﹣21+λ)2－(λ1+λ)2h 2b 2＝1 ②． 再将e =c a ①、②得 e 24﹣h 2b 2＝1，∴h 2b 2＝e 24﹣1 ③，e 24(λ﹣21+λ)2－(11+λ)2h 2b 2＝1 ④． 将③式代入④式，整理得 e 24（4－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－3e 2+2． 图3由题设23≤λ≤34得，23≤1－3e 2+2≤34．解得7≤e ≤10． 所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．。
求圆锥曲线离心率的几种方法
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。
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诚·敬
一、例题讲解：Байду номын сангаас
1、利用圆锥曲线的定义：
例 1(1)以正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 为焦
点，且过 C, D 两点的椭圆的离心率为___
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
1、利用圆锥曲线的定义：
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
2、利用向量的简单性质
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
3、利用圆锥曲线的几何定义：
一、例题讲解：
4、利用函数值域
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性
一、例题讲解：
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性