第一章 复变函数微分学

复变函数 复变函数是高等工科院校中许多专业重要的一门数学基础课。其主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，主要研究对象是解析函数。复变函数论又称复分析，是实变函数在复数域上的推广与发展。它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题方面和逻辑结构方面也非常类似。 它的理论和方法在数学、物理等自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题等有力的工具。 复变函数理论的基础是19世纪由三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann奠定的，到现在已经有一百多年的历史，是一门相当成熟的学科。通常包含Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论和Riemann的几何理论这三部分内容。它在数学的其他分支（如常微分方程、积分方程、概率论、解析数论、算子理论及多复变函数论等）中都有重要的应用，而且作为一种强有力的工具，还被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学、信号处理、电子工程等领域。 复变函数是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学分支之一。我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数等方面做过重要工作，不少成果已达到当时的国际水平，著名数学家华罗庚、陈建功、张广厚、杨乐就是其中的杰出代表，在国际数学界也有着极大的影响。

第一章 复变函数微分 复变函数研究的主要对象是在某种意义下可导的复变函数，通常称为解析函数。为了建立这种解析函数的基本理论，在这一掌中，我们首先介绍复数、复数的运算与复变函数的概念；然后讨论复变函数的极限、连续、可导性与解析性；最后给出常见的初等解析函数的性质。 第一节 复数与复变函数 1.1复数及其表示

早在16世纪初期，数学家们在解二次方程：012x时，发现不存在任何实

数，其平方等于-1。因此，就促使人们引入符号1或i，12i（但暂时还是形式上的），这是17到18世纪的数学家的想法，并把它带到计算中去，出乎意料地得到了很好的应用。然而，人们始终为能明确认识到这种新数已经导致了数域的的

扩充，这一点从他们称1为“虚数”得到充分的证实。甚至一贯被人们誉为“复

数理论”奠基人的高斯（Guass）也无例外地使用“虚数”一词。而用i表示1则是欧拉（Euler）首先引进的，直至今天人们还普遍采用这些记号。 我们称形如iyxz的数为复数，其中x和Ry，1i 是虚数单位；x和y分别称为z的实部和虚部，记作： zyzxIm,Re。

如果0Imz，则z可以看成一个实数(复数0z是指的实部和虚部都是0)；如果0Imz，那么z称为一个虚数；如果0Imz，而0Rez，则z称为一个纯虚数。因此，实数可以看作是复数的特殊情形，或实数是复数的一部分。但是要注意，实数可以比较大小，而复数却不能比较大小。

一个复数iyxz，由一对有序实数,xy唯一确定，于是建立平面直角坐标

系后，复数iyxz可由平面上的点,Pxy来表示（见图1-1）。由于实数对应着x轴上的点，故x轴称为实轴；纯虚数对应着y轴上的点，故y轴称为虚轴，这样，表示复数的平面就称为复平面或z平面。为了简便起见，今后我们不再区分复数与复平面上的对应点。

图 1-1 1-1

在复平面上，复数iyxz也可以用连接原点O与点P的向量OP来表示（见图1-1）。向量OP的长度r叫做复数z的模，记作z，即zr。实轴正向转到向量OP方向一致时所成的角度（逆时针方向转动所成的角为正角，否则为负角）叫做复数z的辐角，记作Argz，即Argz。从图1-1可以看出，若0z，则 22zrxy

(1.1.1)

cos,sinxryr

（1.1.2）

利用式（1.1.2）可以把复数z表示成下列形式 cossinzri （1.1.3）

这个形式叫做复数0z的三角式。 利用欧拉公式 cossiniei （1.1.4）

就可以把（1.1.3）改写成 izre （1.1.5）

这个形式叫做复数z的指数式。为了与三角式及指数式区别，我们把复数iyxz叫做复数z的代数式。

当复数0zxiy时，,xy就不能同时为零，从式（1.1.1）及式（1.1.2）就可以求出。注意到终边相同的角可以相差2的整数倍，所以有无穷多值。为了方便，通常取主值，即把满足条件的叫做辐角主值，记作argz。于是有 arg2,0,1,2,Argzzkk （1.1.6）

不难证明，Argz的主值argz用tanyArcx的主值tanyarcx来表示时有如下的关系：







)0,0(,)0,0(,)0,0(,2)0(,)0(argyxyxxyarctgyxxxyarctg

zz



 （1.1.7）

其中22xyarctg。 例1 求复数13zi的模和辐角，并写出它的三角式和指数式。 【解】 这里，1,3xy，以此代入式（1.1.1）得模 132zr 于是由式（1.1.2）即得 13cos,sin22

利用式（1.1.7），求得辐角主值与辐角分别为 22arg,2,33zArgzkk为整数 如果取主值，那么z的三角式与指数式分别为 23

222cossin,332izize





 1.2复数的代数运算 复数的相等、加、减、乘、除运算规定为

（1） 1122xiyxiy, 当且仅当 1212,xxyy ；

（2） 11221212()xiyxiyxxiyy； （3） 112212122112()xiyxiyxxyyixyxy；

（4） 11121221122222222222220xiyxxyyxyxyixiyxiyxiyxiy。 显然上述四则运算满足以下规律： 交换律：;,12211221zzzzzzzz

结合律：);()(,)()(321321321321zzzzzzzzzzzz 分配率：3121321)(zzzzzzz 由于实数可以看作是复数的特例，我们在规定复数的四则运算时的一个基本要求是复数的运算法则施行于实数时，能够与实数的运算结果相符合。

复数zxiy称为复数zxiy的共轭复数，记作z。显然有zz，所以zxiy与zxiy互为共轭复数。 关于复数的共轭运算，不难证明有如下性质：

（1） 2121zzzz；

（2） 2121zzzz；

（3） 112220;zzzzz，； （4）2zzz； （5）zz； （6）2Rezzz； （7）2Imzziz。

复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式更方便。若非零复数 

1

211111

22222

cossincossiniizrirezrire

 则乘积 121212121212

cos()sin()izzrrirre （1.1.8）

商 21()22212122111cossin,(0)izrriezzrr

 （1.1.9）

所以 1212zzzz， 112220zzzzz （1.1.10）

1212ArgzzArgzArgz，1122zArgArgzArgzz （1.1.11）

根据复数与向量的对应关系，公示（1.1.8）说明：表示乘积12zz的向量是由表示1z的向量旋转一个角度2Argz并伸长（缩短）到2z倍得到的。特别地，当2

1z

时，乘法就变成了只是旋转，例如：iz相当于将z所对应的向量沿逆时针方向旋转

2，z相当于将z所对应的向量沿逆时针方向旋转；当2arg0z时，乘法就变

成了仅仅是伸长（缩短）。 公式（1.1.10）说明：两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数商的模等于它们模的商。 公式（1.1.11）说明：两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和；两个复数商的辐角等于它们辐角的差。注意到由于辐角的多值性，上述关于辐角的两个等式（1.1.11）应理解为对于左端的任一个值，右端必有一个值和它相等，并且反过来也一样。

作为乘积的特例，我们考虑非零复数z的正整数次幂nz。它是n个相同因子的乘积， 设cossinizreri，则