第一章(1)(第一课)

原点O指向点z=x+iy的平面向量一一对应， 因此复数z也能 用向量 OP 来表示（见图1.1）， 即复数的向量表示方式。 向量的长度称为复数z的模或绝对值， 记作
z r x2 y2
(1.1.1)
第一章 复数与复变函数
图1.1
第一章 复数与复变函数
显然， 下列各式是成立的： |x|≤|z|， |y|≤|z|， |z|≤|x|+|y|
第一章 复数与复变函数 不难看出， 复数与复平面上的点是一一对应的， 即每 一个复数z=x+iy确定复平面上一个坐标为(x, y)的点， 反之 亦然。 这样一方面使我们能借助于几何语言和方法研究复 变函数的问题， 另一方面也为复变函数应用于实际奠定了 基础。
第一章 复数与复变函数
在复平面上， 复数z不止与点(x, y)一一对应， 它还与从
2
2
要使上式成立， 必须且只需k=m+n+1。 只要m与n各取一确 定的值， 总可选取k的值使k=m+n+1， 反之也一样。 若取 m=n=0， 则取k=1； 若取k=－1， 则可取m=0， n=－2或 m=－2， n=0。
第一章 复数与复变函数 下面结合复数z的三角表示式或指数表示式来理解复数 乘法与除法运算的几何意义。 当利用向量来表示复数时， 可以说表示乘积z1z2的向量是从表示z1的向量旋转一个角度 Arg z2， 并伸缩r2=|z2|倍而得到的， 如图1.4所示。
之间满足： 如果θ1是其中的一个辐角， 那么
Arg z=θ1+2kπ （k为任意整数）
（1.1.3）
上式给出了z的全部辐角之间的关系。
第一章 复数与复变函数
在z(≠0)的辐角中， 我们把满足－π<θ0≤π的θ0称为辐角
Arg z的主值， 记作arg z=θ0， 即
Arg z=arg z+2kπ （k为任意整数）
（1.1.4）
当z=0， 即|z|=0时， 其辐角是不确定的。
第一章 复数与复变函数 图1.2
第一章 复数与复变函数
辐角的主值arg z(z≠0)可以由z在不同的象限由反正切
y arc tg
按下列关系来确定：
x
(1.1.5)
第一章 复数与复变函数
［例1］ 求复数1+i与 1 i与-3 3-3i 的辐角及其辐角 主值。
z2 0
(1.2.2)
第一章 复数与复变函数 同样可得其复数z1、z2的三角表示式或指数表示式的乘 设有两个复数z1=r1(cosθ1+i sinθ1）， z2=r2(cosθ2+ i sinθ2）， 那么
(1.2ห้องสมุดไป่ตู้3)
同样有
第一章 复数与复变函数
z1 z2

r1(cos1 i sin1) r2 (cos2 i sin2 )
第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数
1.1 复数及其表示式 1.2 复数的运算 1.3 复平面上的区域 1.4 1.5 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
1.1
1. 复数的概念 我们已经知道在实数范围内， 方程x2=－1是无解的。 由于解方程的需要， 人们引进了一个虚数单位i（或j）， 并且规定i2=－1， 从而得出i是方程x2=－1 对于任意两个实数x和y， 我们称z=x+iy（或写成z=x+yi 形式）为复数， 其中， x， y分别称为z的实部和虚部， 记 作x=Re(z)， y=Im(z)。

r1 r2
cos 1 2 i sin 1 2
(1.2.4)
假设z1=r1eiθ1, z2=r2eiθ2, 得到乘除的指数表达式为
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei12 ,
z1
z2

r1ei1 r2ei2
r1 ei12 r2
Moivre)公式:
(cosθ+i sinθ)n=(cosnθ+i sinnθ)
(1.2.8)
第一章 复数与复变函数
令z=reiθ=r(cosθ+i sinθ)，w=ρeiφ=ρ(cosφ+isinφ)， 根据棣 莫弗公式（1.2.8）有
n (cos n i sin n) r(cos i sin )

π 4

1 2


i
sin

π 4

1 2

z的指数表示式为
z

2
cos

π 4

1 2

ei
π 4
1 2

一般我们把z化为三角或指数形式时θ用辐角主值代替即可。
第一章 复数与复变函数
1.2
1. 复数的四则运算
两个复数z1=x1+iy1， z2=x2+iy2的加、 减法定义如下：
第一章 复数与复变函数 当虚部为数字时， 习惯上把虚数i放在数字后， 如2+3i； 当虚部为字母时， 习惯上把虚数i放在字母前， 如a+ib。 当x=0， y≠0时， z=0+iy=iy， 被称为纯虚数； 当y=0时， z=x+0i=x， 我们把它看做是实数x。
第一章 复数与复变函数
2. 由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x, y)唯一确定， 如果在二维平面给定的直角坐标系上来描述复数， 则全体 复数集合与该平面上点的全体集合构成一一对应的关系， 因此我们把复数z=x+iy用该平面上坐标为(x, y)的点来表示， 这是复数的一个常用的几何表示式。
第一章 复数与复变函数
图1.3
第一章 复数与复变函数
由向量平行法则知， 边|z1|、 边|z2|和边|z1－z2|构成一个 三角形， 其中|z1－z2|表示向量P2P1的长， 也就是复平面上 点z1、 z2之间的距离。 事实上，
| z1 z2 || x1 x2 iy1 y2 | x1 x2 2 y1 y2 2
这正是平面上两点之间的距离公式。
第一章 复数与复变函数
边|z1|、 边|z2|和边|z1+z2|也构成一个三角形。 由几何知识解释知下面两个不等式成立：
|z1+z2|≤|z1|+|z2|, |z1－z2|≥||z1|－|z2|| 两个复数z1=x1+iy1， z2=x2+iy2的乘法、 除法定义如下：
全体复数引进上述四则运算后称为复数域， 通常用符 号（C）表示。
第一章 复数与复变函数
2. n个相同非零有穷复数z的乘积称为z的n次幂， 记作zn， 即
若z=reiθ，
zn=rneinθ=rn(cosnθ+i sinnθ) (n∈N)
特别地， 当r=1时， 即z=cosθ+i sinθ， 则得棣莫佛(De
第一章 复数与复变函数 图1.4
第一章 复数与复变函数
［例1］ 设z1、z2为复平面上的任意两点， 证明不等式: |z1－z2|≥||z1|－|z2||
证明 这个不等式的几何意义为以z1, z2, (z1－z2)为边 的三角形， 一边的长度|z1－z2|不小于两边的长度之差的 绝对值(||z1|－|z2||)， 证明这个不等式可利用三角不等式 |z1+z2|≤|z1|+|z2|。




arctg



2
sin

π 4

1 2

cos
2
cos2

π 4

π 4 1 2

1 2






π 4

1 2

于是z的三角表示式为
第一章 复数与复变函数
z

2
cos

π 4

1 2

cos
r2 0
(1.2.5)
即不难得到
第一章 复数与复变函数
(1.2.6) (1.2.7)
第一章 复数与复变函数 例如， 设z1=－1， z2=i， 则z1z2=－i， 从而
Argz1 π 2nπ (n 0, 1, 2,L )
代入等式（1.2.7）中得
第一章 复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
θ为辐角Arg z。
第一章 复数与复变函数
将欧拉（Euler）公式eiθ=cosθ+i sinθ代入复数的三 角表示式， 我们又可以得到：
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
第一章 复数与复变函数
［例 2］ 已知正三角形的两个顶点为z1=1+2i，
z2=3+2i， 求其第三个顶点。
解
如图1.5所示， 将向量z2－z1绕z1旋转
π （或
3
π ， 即得另一个向量， 其终点就是所求的第三顶点z3。 3
第一章 复数与复变函数
图1.5
第一章 复数与复变函数 与实数的情形一样， 复数的四则运算也满足交换律、 结合律和分配律：
3 3 3


π


5 6
π
辐角
Argz arg z 2kπ= 5 π 2kπ 6
(k为任意整数)。
第一章 复数与复变函数
根据直角坐标与极坐标的转换关系式： x=r cosθ，
y=r sinθ， 还可以把z表示成下面的形式：
z=r(cosθ+i sinθ)