数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲解读
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。
教学内容第一章复数与复变函数复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
（一）教学内容1．复数发展史略；2．复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
3．平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《复变函数》是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要的专业限选课程，它是重要的基础课程。
本课程的任务是使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数相关知识的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求在学习本课程之前，学生已经学过数学分析。
本课程本质上是复分析的基本内容。
通过本课程的学习，使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
掌握：解析函数概念及几个与解析函数相关的等价命题、残数理论及其应用、最大模原理及其应用。
理解：复积分、复级数理论。
了解：复几何的基本思想。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学相结合的方法进行。
基本知识与重要内容如基本定理与重要定理从叙述到详细证明，应用等由教师讲授，其它由学生自学。
为了贯彻少而精的原则，本大纲在内容选取上注意突出基本理论与基本方法。
对与数学分析中平行的概念和结果，既指出其相似之处，更强调其不同之点。
对本课程所具有的新内容，包括其证明方法，在课程教学中教师都将给予较详尽的讲解。
有*号的内容，可视教学情况而取舍。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先行课程是数学分析，而本课程所讨论的内容和研究方法是其它许多数学理论的基础。
例如在微分几何、偏微分方程、动力系统、计算数学、近代物理、工程技术等理论中都有广泛的应用。
（五）教材与教学参考书教材：钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年第三版教学参考书：余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社，1988年第二版二课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数教学内容：复数及其表示、几何上的应用，复平面点集，复变函数，复球面与无穷远点重点：复平面点集，复变函数难点：复球面与无穷远点第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼条件、初等解析函数、初等多值函数重点：解析函数的概念与柯西-黎曼条件难点：支点的概念与初等多值函数第三章复变函数的积分教学内容：复积分的概念及其简单性质、柯西积分定理、柯西积分公式及其推论、解析函数与调和函数的关系、*平面向量场——解析函数的应用（一）重点：柯西积分定理、柯西积分公式及其推论难点：柯西积分公式及其推论第四章解析函数的幂级数表示法教学内容：复级数的基本性质、幂级数、解析函数的泰勒展式、解析函数零点的孤立性及唯一性定理重点：解析函数零点的孤立性及唯一性定理难点：解析函数的泰勒展式与唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学内容：解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、*平面向量场——解析函数的应用（二）重点：解析函数的罗朗展式难点：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质第六章残数理论及其应用教学内容：残数、用残数定理计算定积分、辐角原理及其应用重点：用残数定理计算定积分难点：辐角原理及其应用*第七章保形变换教学内容：解析变换的特性、线性变换、某些初等函数所构成的保形变换重点：线性变换难点：某些初等函数所构成的保形变换三建议学时分配。
复变函数-教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16183703课程名称：复变函数英文名称：Complex Variables课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象: 数学与应用数学考核方式：考查先修课程：《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》二、课程简介本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课. 课程主要讲授单复变函数的一些基本知识，分别从导数、积分、级数、留数、映射五个方面来刻画解析函数的性质及其应用。
首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法，解析函数的罗朗展式与孤立奇点，留数理论及其应用。
《复变函数论》主要讲单复变中的解析函数理论：内容包括解析函数的概念、性质、柯西一黎曼条件。
柯西积分定理及柯西积分公式。
解析函数的泰勒展式和罗朗展式。
利用留数理论求积分，保形映射等内容。
This course is a specialized elective course in mathematics an applied mathematics. The course mainly introduces some basic knowledge of single complex functions describing the properties and applications of analytical functions from five aspects: derivative, integral, series, residue and mapping, respectively. First of all, from the complex domain, the complex variable function is introduced, and then the concept of analytic function is given. Taking it as the research object, we introduce the derivative, integral, power series representation, Laurent expansions, isolated singularity, residue theory of analytic function and its application. The theory of complex variable mainly focuses on the analytic function theory of simple complex variables: the content includes the concept and property of analytic function, Cauchy-Riemann condition. Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula.Taylor Expansion and Roland Expansion of Analytic Functions. Using the theory of residue for integration, conformal mapping and other contents.三、课程性质与教学目的复变函数论是数学系各专业的一门重要课程，同时又是数学分析的后继课。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程说明1.课程基本情况课程名称：复变函数英文名称：Functions of Complex Variable课程编号：2411211开课专业：大学本科数学与应用数学专业开课学期：第4学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2.课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
3．本课程的教学目的和任务本课程要注意师范性。
在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
使学生掌握复分析的基本理论和近代复分析的基本思想，加深对数学分析及中学有关内容的理解，并为学习后继课程奠定必要的数学基础。
在教学中，应注意基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，基本运算能力的训练严格要求。
基本论证方法思路清晰，论证严谨。
注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学生掌握主要方法。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是《数学分析》的提高、抽象和研究对象在复域内的进一步拓宽，它在数学学科众多分支（如概率论、微分几何、泛函分析、数学物理方程和拓扑学）中都有着广泛的应用，因此它也为这些后继课程奠定必要数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1. 钟玉泉. 复变函数论 (第三版). 北京：高等教育出版社，2003年.2. 范宜传、彭清泉. 复变函数习题集. 北京：人民教育出版社，1983年.2. 余家荣. 复变函数. 北京：人民教育出版社，1979年.3. 钟玉泉. 复变函数学习指导. 北京：高等教育出版社，1995年.4. 王玉玉, 王健波. 复变函数论（第三版）. 北京：中国时代经济出版社，2008年.三教学方法和教学手段说明以教师讲解为主的课堂教学方式四成绩考核办法本课程以教务处的相关文件规定进行考核。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲课程类别：专业基础课课程代码：LX2107总学时：72 学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学本科专业先修课程：数学分析、解析几何一、课程地位、性质和任务复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，它的理论与方法深刻渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学的各个分支；同时，在物理的热力学、流体力学、弹性物理等和其它科学领域以及工程技术中都有广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本知识、基本理论和基本方法，了解复变函数在其它学科中的有关应用，进一步理解分析数学的思想和方法。
并通过该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本概念、基本理论、基本运算及基本方法。
进一步理解分析数学的思想和方法。
了解本学科数学发展的前沿。
同时，通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题，来提高分析问题解、决问题的能力。
三、教学内容与学时分配第一章复数及复平面（8学时）本章介绍了复数及复平面的相关概念，是复变函数论的基础。
需要理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的代数运算；理解复数运算的几何意义；了解区域、曲线和复球面等概念；掌握用复数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
难点是用不等式表示区域。
第二章复变函数（10学时）本章介绍了复变函数概念及其极限与连续、复变函数的导数与解析函数的概念以及它的一些充要条件、初等函数及性质。
需要掌握复变函数概念、复变函数的极限与连续性；掌握解析函数的概念与柯西—黎曼条件；掌握复变函数的导数、初等解析函数的概念及性质；了解初等多值函数。
重点是解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性。
复变函数教学大纲(专科)
《复变函数》教学大纲（专科）说明1．本大纲适用于数学与应用数学专业专科的教学2．本课程的性质：复变函数论与其他数学分支有着密切的联系，它作为一个强有力的工具可用来解决如解析数论，微分方程，概率论与数理统计，计算数学，拓扑学，微分几何等数学分支中所提出的有关理论及实际问题，在工程技术中也有广泛的应用。
是高等师范院校数学专业的必修课程。
是专科学生数学分析已学习的基础上，在复数域内研究解析函数特性的一门课程，有利于提高专科学生的数学素养。
3．本课程的教学目的和要求：本课程的教学目的是阐明复变函数论中一些最基本的概念，方法和理论，使学生对数学分析的某些内容加深理解和提高认识，为学生今后进一步学习其他数学知识奠定基础。
在教学上，要从专科学生实际情况出发，重点讲授复变函数与复数域，复变函数的概念；解析函数及柯西—黎曼条件；研究解析函数的积分方法和级数方法，在可能情况下，简要介绍解析函数的参数理论和几何理论。
4．教学时数安排如下表课程时数安排本课程总学时有72学时，各部分学时安排如下：5．教材选用《复变函数论》（第二版）仲玉泉编，高等教育出版社出版。
教学内容和教学要求第一章复数与复变函数（一）教学内容第一节复数，复数域，复平面，复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，共轭复数，复数在几何上的举例。
第二节复平面上的点集，平面点集的几个基本概念，区域与曲线。
第三节复变函数，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性。
第四节复球面与无穷远点，复球面，扩充复球面上的几个概念。
（二）教学要求1．熟练掌握复数的各种表示方法以及四则运算，乘幂和共轭运算。
2．了解复平面上点集的概念，了解区域的概念，单连域，多连域的划分。
3．了解简单闭曲线，光滑曲线的定义，能用复数的方程式不等式表示一些常见的区域与曲线。
4．掌握复变函数的概念理解映射的含义，理解复变函数与两个实二元函数之间的关系。
5．了解复变函数的极限与连续性概念，知道它们与实一元函数极限与连续的异同。
《复变函数》教学大纲
二、课程内容和学时分配 第一章
本章的主要教学内容是： （一）复数 1．复数域； 2．复平面；3．复数的模与辐角；4．复数的乘幂与方根； 5．共轭复数； 6．复数在几何上的应用举例。 （二）复平面上的点集 1．平面点集的几个基本概念； 2．区域与若尔当曲线。 （三）复变函数 1．复变函数的概念；2．复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点
复数与复变函数（8 学时）
1．复球面；2．扩充复平面上的几个概念。 本章的基本教学要求是：掌握复数的概念、各种表示方法及其运算。理解复数运算的几 何意义与复数方程表示的几何图形。掌握复数的乘幂与方根。了解扩充复平面的概念。理解 平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连 通域)。了解复变函数的定义，掌握复变函数的极限与连续性。
《复变函数》教学大纲
适用专业：数学与应用数学（师范） 课程类别：学位课，专业必修课 课程学时：68 学时（周 4 学时） 课程编号：50261102 课程学分：4 学分
一、课程说明
复变函数又称复分析， 是数学与应用数学专业的一门专业基础课， 也是数学分析的后续 课程。它的理论和方法，对于数学的其他分支和电学，流体力学，热力学以及一些工程技术 学科，有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生全面掌握复变函数的一些基本概念、基本 理论、基本方法，重视对数学思想方法的教学，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题 的基本技能，积累数学知识，为学习有关专业课程做好准备，并为将来从事教学、科研以及 其它工程技术工作奠定基础。 本课程采用的教学方法是：以课堂讲授为主，辅之以习题课和讨论课。
第二章
本章的主要教学内容是：
解析函数（10 学时）
（一）解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1．复变函数的导数与微分；2．解析函数及其简单性质；3．柯西黎。 （三）初等多值函数 1.根式函数；2．对数函数；3．一般幂函数与一般指数函数；4．具有多个有限支点的 情形；5．反三角函数与反双曲函数。 本章的基本教学要求是： 理解复变函数的导数与解析的概念， 掌握复变函数可导与解析 的充要条件， 掌握及熟练应用柯西——黎曼定理判断函数的可导性与解析性。 掌握初等函数 中的指数函数，三角函数的定义和性质；了解对数函数，幂函数与反三角函数等多值函数。
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《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
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数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲解读数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码()课程总学时：54 学分：3一、课程说明1．课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riem ann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2．课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。
3．选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。
参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。
《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。
《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。
《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。
《函数论习题集》远木幸成[日] 湖南科技出版社1979年4．课程教学重点与难点复变函数主要研究解析函数。
复变函数论的基本理论由柯西的积分理论、Weierstrass的级数理论、Riemann的几何理论三大部分组成。
留数定理为柯西定理的推广，罗朗级数是泰勒级数的推广，保形变换是复变函数几何理论的基本概念。
留数理论、级数理论和保形变换为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
因此课程的教学重点是：（1）解析函数，柯西积分定理和积分公式（2）级数，泰勒展开式和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理（3）留数定理及应用（4）线性变换，保形映射（5）解析开拓和黎曼面介绍课程教学的难点是：（1）多值函数（2）保形映射5．课程教学方法与手段1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于发表自己的见解；3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
6．课程考核方法与要求本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
平时作业成绩占10%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占70%。
7．先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，后续课程：数学建模，常微分方程，概率论与数理统计，实变函数，泛函分析8．其他有关说明课时期中考试。
二、教学内容第一章复数与复变函数一、复数与复变函数是研究复变函数的基础。
二、主要内容：（6 学时）1.复数：复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系，复数的模与辐角、三角表达式。
2.复平面上的点集初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念3 复变函数复变函数的概念，复变函数的的极限与连续4 复球面与无穷远点复球面，扩充复球面上的几个概念三、要求：1.复数的运算，复数与平面点、平面向量的对应关系、模，辐角的概念、性质；2.区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点复平面，扩充复平面3 复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
4 有界闭集上连续函数的性质。
四、难点：辐角无穷远点第二章解析函数一、复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。
解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在Cauchy—Riema nn方程中。
二、主要内容（8学时）1. 解析函数的概念与柯西—黎曼条件复变函数的导数与微分、解析函数极其简单性质、柯西—黎曼条件2. 初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数3. 初等多值函数：根式函数、对数函数、具有多个有限支点的情形、一般幂函数与一般指数函数、反三角函数与反双曲函数。
三、要求：1. 解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy—Riemann方程。
2 基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处3 多值函数的概念、分支、分支点的概念。
四、重点：Cauchy—Riemann方程和基本初等函数的定义和性质难点：辐角函数、多值函数的分支点第三章复变函数的积分一、本章研究复积分。
它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。
二、主要内容：（8学时）1. 复积分的概念与简单性质：复积分的定义、复变函数积分的计算问题、积分的基本性质。
2. 柯西积分定理：柯西积分定理、柯西积分定理的证明、不定积分、柯西积分定理的推广等3 柯西积分公式及其推论：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西积分不等式与Liouville定理、Morera定理4 解析函数与调和函数的关系三、要求：1. 积分的定义、性质、将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算2. 柯西积分定理、积分公式、导数公式的内容、推广及应用它们求积分3. 掌握柯西不等式、Liouville定理；Morera定理是柯西积分定理的逆定理。
四、重点：柯西积分定理和柯西积分公式。
难点：掌握柯西不等式、Liouville定理第四章解析函数的幂级数表示法一、级数是研究解析函数的一个重要工具。
泰勒定理肯定了解析函数在解析点展成幂级数的可能性。
它在理论上的应用使我们得到了体现解析函数重要特性和内在联系的定理：解析函数的唯一性定理。
二、主要内容：（6学时）1. 复级数的基本性质：复数项级数、一致收敛的复数项级数、解析函数项级数。
2. 幂级数：幂级数的敛散性、收敛半径的求法、柯西—阿达玛公式、幂级数和的解析性3 解析函数的泰勒展开式：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒级数4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理：解析函数零点的孤立性，唯一性定理、最大模原理、三、要求：1. 泰勒定理及将函数泰勒展开2. 解析函数唯一性定理的内容，意义，证明思路3. 幂级数的收敛范围及性质四、重点：泰勒展开解析函数唯一性定理难点：唯一性定理、最大模原理的理解第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点一、级数是研究解析函数的一个重要工具。
罗朗定理肯定了解析函数在解析环中展成罗朗级数的可能性。
它们在理论上的应用使我们得到了体现解析函数的重要特性：孤立奇点的性质。
二、主要内容：（8学时）1. 解析函数的罗朗展式：双边幂级数、解析函数的罗朗展式、罗朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式、2. 解析函数的孤立奇点：解析函数的孤立奇点的分类、可去奇点、席瓦尔兹引理、极点、本性奇点、毕卡（Picard）定理。
3. 解析函数在无穷远点的性质4. 整函数和亚纯函数的概念：整函数、亚纯函数。
三、要求：1. 罗朗定理及将函数罗朗展开2. 孤立奇点的分类判别3. 本性奇点的Weierstrass定理和Picard定理四、难点：无穷远点的性质重点：孤立奇点罗朗展开式第六章留数理论及其应用一、留数在复变函数论本身及应用中较为主要，留数定理的应用在本章中包含两个方面：一是计算积分，二是考察区域内函数的零点分布情况二、主要内容：（10学时）1. 留数、定义、求法、留数定理2. 利用留数定理求积分（I）3.辐角原理及应用（Rouche定理）三、要求：1. 留数的定义、求留数、留数定理2. 利用留数定理求积分的方法3. 幅角原理及其应用：对数留数、幅角原理、Rouche定理，四、难点：幅角原则及Rouche定理重点：留数定理第七章保形映射一、保形映射是复变函数理论的基本概念。
线性变换及其他基本初等函数的变换有某些重要的特性，在实际问题中有重要的应用。
二、主要内容（8学时）1. 解析变换特性：保域性、保角性，保形性。
2. 线性变换：线性变换及其分解、线性变换的保形性，保交比性、保圆性，保对称性及应用3. 某些初等函数线性变换所构成的保性变换：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数由圆弧构成两角形区域的保形变换。
4 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理三、要求：1. 导数的几何意义及保形变换，线性变换的概念，性质，单叶解析函数的概念2. 利用两个特殊的分式线性函数求保形变换四、难点：单叶解析函数重点：保形变换三、授课进度表第 2页授课进度表数学与系统科学系（部）函数论教研室（组）任课教师朱殿利。