复变函数第一章讲义
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件
复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。
如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。
注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。
复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。
2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。
比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。
定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。
复变函数第一章1
Arg(2 − 2i) = arctan
； ，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如 下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是： 结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实 部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得 到． 复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是 加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一 个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3） 的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯 上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ） （1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记 ， ，将它们代入方程 = z 得
复变函数第1讲
记为 Arg z=θ
显然有 注:
y ta n (A rg z ) = x
1. 任意非零复数有无穷多个辐角 任意非零复数有无穷多个辐角,
Arg z = θ1 + 2kπ
2. 当z＝0时, |z|=0, 辐角规定为任意值 辐角规定为任意值. ＝ 时 辐角的主值： 辐角的主值： 的幅角称为幅角主值. 把满足 −π < arg z ≤ π 的幅角称为幅角主值 记 为arg z，这样，我们有： ，这样，我们有：
解 : z1 5 − 5i 7 + i = = = ⋯ z2 − 3 + 4 i − 5
§2
1.复平面 1.复平面 复数
复数的几种表示方法
通过下列方式： 通过下列方式：
z = x + iy
坐标（ 坐标（x,y) 直角坐标平面中的点
将平面直角坐标系引入到复数中来, 此时x轴称为实轴 轴称为实轴， 将平面直角坐标系引入到复数中来 此时 轴称为实轴， y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复 轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。 平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题， 平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也 为复变函数的实际应用奠定了基础。 为复变函数的实际应用奠定了基础。 1） 复数的点表示 (见图 ） 见图1) 见图 复数
上式称为复数的三角表示。 上式称为复数的三角表示。 4) 复数的指数表示 利用欧拉公式： 利用欧拉公式：
e
iθ
= cosθ + i sin θ
可以得到复数的指数表示式
z = re
iθ
注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具 复数的各种表达式可以互相转换， 体问题时应灵活选用
2. 复球面 Ｐ ．
复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复变函数_第1讲49页PPT
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
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二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
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当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义.
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复变函数第一章(第二讲)
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。
第一章 第三节、复变函数
2.单(多)值函数的定义: 如果z的一个值对应着一个w的值, 那末
我们称函数 f ( z )是单值的. 如果z的一个值对应着两个或两个以上
w的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.
3.定义域和值域:
集合E 称为 f ( z )的定义集合 (定义域) ; 对应于E中所有 z 的一切 w 值所成的集合F , 称为函数值集合.（值域）
例2：考虑映射 w = αz , 其中 α ≠ 0.
解：令 其中 α = Re , z = re , w = ρ e R, θ 0是α的模和辐角，，是z的模和辐角, rθ
iθ iϕ iθ 0
显然，这个映射可以看作 ρ , ϕ 是 w的模和辐角, 是下列函数或映射的复合函数或复合映射：
ω = e z = re , w = α z = Rre = Rω , 于是 w = w( ρ , ϕ ) = ( Rr ,θ + θ 0 ). 这表示一个
ρ = Rr , ϕ = θ + θ 0 .
o
例3：考虑函数 w = z .
显然，映射
w = z = x + iy = x − iy.
y z θ -θ x
w= z
是关于实轴的对称映射
o
z
解：令 z = re , w = ρ e
ϕ
1 例4：考虑映射 w = . z iθ iϕ
则
1 1 −θ 1 w = ρe = θ = e ， 于是，＝ , ϕ = −θ . ρ re r r 其中， =| w |, ϕ = Arg w, r =| z |, θ = Arg z. ρ
| f ( z ) − A |=| (u − a ) + i (v − b) | = (u − a ) + (v − b) <| u − a | + | v − b |< ε
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
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复变函数第一章讲义————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
１5４5年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分,使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55+和55-，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。
因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪,J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的,主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科,在自然科学其它学科及数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点: 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数，其中x 和y 均是实数,分别称为z 的实部和虚部,记作Re x z =，Im y z =；1i =-称为虚单位。
两个复数111z x iy =+,222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==．虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分。
x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为:121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域中，复数是不能比较大小的。
2、复平面一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定,因此,若平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。
由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面。
３、复数的模与幅角 由图1-１中可以知道，z 与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系。
从而,我们能够借助于z 的极坐标r 和θ来确定点z ,oz 的长度称为复数z 的模，记为220r z x y ==+≥根据向量的运算及几何知识,得到两个重要的不等式：1212z z z z +≤+ 1212z z z z -≤-oz 与实轴正向间的夹角θ满足tan yx θ=称为z 的幅角（Arguent ),记作Argz θ=，任一非复数z 均有无穷多个幅角,以arg z 表示其中一个特定值,并称满足条件arg z ππ-<≤的一个值为Argz 的主值或z 的主幅角,则有arg 2Argz z k θπ==+ (0,1,2,)k =±±注：当0z =时,0r =，幅角无意义从直角坐标与极坐标关系有(cos sin )z r i θθ=+（三角形式） （1)若引进著名的Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+,则(1)可化为i z re θ= （指数形式） （2)，由(2)及指数函数性质即可推得12()1212i z z r r e θθ+=, 12()1122i z r e z r θθ-=因此1212z z z z =，1122z z z z =， 1212arg()arg arg z z z z =+ , 1122arg()arg arg zz z z =-特别地，当12n z z z z ====时，有()(cos sin )n i n n in nz re r e r n i n θθθθ===+，当1r =时,有(cos sin )cos sin nn i n n i n θθθθ+=+（DeMoivre 公式) 例１.1 求cos3θ及sin3θ用cos θ与sin θ表示的式子。
４、曲线的复数方程例1.2 连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为：121()z z t z z =+- (01)t <≤ 连接1z 及2z 两点的直线的参数方程为:121()z z t z z =+- ()t -∞<≤+∞例1.3 z 平面上以原点心，k 为半径的圆周的方程为z R =，z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为 Im 0z = 虚轴的方程为 Re 0z =§2复平面上的点集１、几个基本概念 定义 1.１ 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集称为0z 的ρ-邻域,记为0()N z ρ．定义1．２ 设E 为一平面点集,若点0z 的任意邻域内均有E 的无穷多个点,则称0z 为E 的聚点;若0ρ∃>使得0()N z Eρ⊂则称0z 为E 的内点。
定义１.3 若E 上的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集;若E 的所有点均为内点,则称E 为开集。
定义１．４ 若0M ∃>，z E ∀∈均有z M ≤，则称E 为有界集,否则称E 为无界集。
2、区域与Jordan 曲线定义１.５ 若非空点集D 满足下列两个条件:（1)D 为开集（2）D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域。
定义1．6 若0z 为区域D 的聚点，且0z 不是D 的内点,则称0z 为D 的界点,D 的所有界点组成D 的边界,记为D ∂,若00,..()0r r s t N z φ∃>=,则称0z 为D 的外点。
定义１.7区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+。
例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部(即圆形区域）：0z z R -< 例1.６ z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周及其内部(即圆形闭区域）：0z z R -≤ 例1.7上半平面 Im 0z > 下半平面 Im 0z <它们都是以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域。
左半平面 Re 0z < 右半平面 Re 0z > 它们以虚轴Re 0z =为边界,且均为无界区域。
例1.8图1－7所示的带形区域表为12Im y z y << 其边界为1y y =与2y y =,亦为无界区域2y y = 1y y =例１.9图1-8所示的圆环区域表为r z R << 其边界为z r =与z R =，为有界区域。
定义1．８设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[]αβ，上的连续函数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+()t αβ≤≤所确定的点集C 称为z 平面上一条连续曲线,对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ,若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点;无重点的连续曲线称为简单曲线(Jordan ）；()()z z αβ=的Jordan 曲线称为简单闭曲线；若在t αβ≤≤上时,()x t '及()y t '存在且不全为零,则称C 为光滑(闭）曲线。
定义１．9由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。
定理1-1（Jordan 定理)任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为c ，()I c 及()E c 三个点集（下图）,它们是有如 下性质：（1）彼此不交； （２)()I c 与()E c 一个为界区域（c 的内部)，另一个为无界区域(c 的外部)； （3）若简单折线p 的一个端点属于()I c ,另一个端点属于()E c ,则p 与c 必有交点。
对简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察者沿c 绕行一周时,c 的内部(或外部)始终在c 的左方,即“逆时针”(或“顺时针”)方向,称为c 的正方向(或负方向）。
定义1.10若平面上的区域D 内任意一条简单闭曲线的内部全含于D ，则称D 为单连通区域，不是单连通区域称为多连通区域。
例如 例1.5—1.8 所示的区域均为单连通区域；例1.９所示区域为多连通区域。
作业:12P3. ５. ７. ８ §3 复变函数 一、教学目标或要求:掌握复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同 二、教学内容(包括基本内容、重点、难点):基本内容：复变函数概念、反变换、极限与连续、比较与数学分析中同与不同重点:比较与数学分析中异同点 难点： 比较与数学分析中异同点 三、思考题、讨论题、作业与练习: 习题一1１-１９ 1.复变函数的概念定义 1.１2 设E 为一复数集,若对E 内每一复数z ,有唯一确定的复数w 与之对应，则称在E 上确定了一个单值函数)(z f w =，如对内每一复数z ，有几个或无穷多个w 与之对应，则称在E 上确定了一个多值函数(),()f z z E ω=∈,E 称为函数)(z f w =的定义域。
对于E ,w 值的全体所成集称为函数)(z f w =的值域。
例2||,,z z w z ωω===等均为单值函数。
,nz Argz ωω==等均为多值函数。
注 以后如不特别说明,所提函数均指单值函数。
ﻫ复变函数一般有三种表示形式： (1)(),()f z z E ω=∈ﻫ （2)若令z x iy =+，则有(,)(,),((,))u x y iv x y x y E ω=+∈ﻫ (3） 若令(cos sin )z r i θθ=+, 则有(,)(,)P r iQ r ωθθ=+。
ﻫ复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义,不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射,所以复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示。