复变函数与积分变换_第一章.
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复变函数与积分变换第一章习题解答
— . . —.. '—
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
。
n
2) R(
3) 事实上
罕 P(z) =X+iY=X- i Y; 可 ＝ 霄芦 （因)
P(z)
立 +a,, P( 司=a。了"+a1 产+···+a,
4
l 3. 如果 z =e;r, 试证明
1 (1) z" +— = 2cosnt ; n z
II
·+anz n = 页 =a +a1 z+a产 +··
习题 一 解答
1. 求下列复数的实部与虚部 、 共辄复数 、 模与辐角 。
(l)
解 所以
(1)
3+2i
1
(2)
-:--—
1
3+2i
1
3�2i
言， 叫卢｝飞， 2 =�(言) +(-卢『 = =卢
(3+2i), ImL : 2J
=-
1 =—(32i) (3+2iX3-2i) 13
3-2i
1
1- 1
3i
(2)
(1+i)6;
J�(2e一气 �32e一l坛"
( 3) 划 ；
1 一3
l I 、 i
=32[cos(-子 ）+isin(-子）]=-16"3-16i
(2)
(I+i)'= [ �(i+i )J
＝（高冗/4)6 = 8e31ri12 = -8i。 .J3
2
） 4 （
(3)
卢= (ei1t+2k于= eirr (2k+l)/6,k = 0,1,2,3,4,5 。
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数与积分变换第一章习题课.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变-积分变换课件第一章 第3节 二元实函数与复变函数
Re( z ) 当 z 0 时的极限 例2 证明函数 f ( z ) z 不存在.
证
令 z x iy, 则 f ( z )
u( x , y )
x , 2 2 x y
x , v ( x , y ) 0, 2 2 x y
当 z 沿直线 y kx 趋于零时, x x lim u( x , y ) lim 2 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x y x ( kx ) y kx y kx
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
y
证
t 0 t R t 0 t R
对z0=0,
o
lim arg( it ) / 2
x
lim arg( it ) / 2
arg z 不存在，故在z=0不连续 极限 lim z0
例3 证：argz在原点及负实轴上不连续
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g ( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似.
z z0
说明 该定理将求复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
x x0 y y0
lim u( x , y ) u0 ,
x x0 y y0
lim v ( x , y ) v0 .
的极限问题, 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题.
{z x iy | 2 y xy c2 }
吴华复变函数与积分变换第一章
一、复数的几何表示
1. 复平面 在复平面上，从原点到点 z x i y 所引的向量与该复数 z 也构成一一 对应关系(复数零对应零向量)。
O x 实轴 y
虚轴
z x yi
引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。
比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
一、复数的几何表示
i
4 n 2
1,
i 4 n 3 i ,
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示
三、复数的乘幂与方根
四、几个关系
一、复数的几何表示
1. 复平面
P4
定义 在平面上建立一个直角坐标系，用坐标为 ( x , y ) 的点来
表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 z 平面。 此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 .
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。
二、复数的三角表示和指数表示
3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z2
z2
除法
z1 r1 e iθ1 r1 i (θ1 θ2 ) e . i θ2 z2 r2 r2 e
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。
一、复数及其运算
1. 复数的基本概念 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z 2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
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2.复数的概念
对于任意两实数 x , y, 我们称形如 z x yi 或 z x iy 的数为复数.
其中实数 x , y 分别称为 z 的实部和虚部,
记作 x Re( z ),
y Im( z ).
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i , 我们把它看作实数 x. 当 x 0, y 0时, z 0.
§1.1-1.2 复数及其表示式
1 复数的概念
2 复数的四则运算
3 复数的表示方法 4 乘幂与方根
1.1.1 复数的概念
1. 虚数单位
简单的代数方程
x2 1 0 在实数范围内无解. 为了建立代数方程的普遍
理论，引入等式
i 2 1.
由该等式所定义的数i称为 虚数单位
虚数单位为i=j=sqrt(-1)
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
例 1.2
i i,
1.1.2 复数的四则运算
1. 复数相等 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2是两个复数, 如果x1=x2, y1=y2, 则称z1和z2相等, 记为z1=z2.
注意
复数不能比较大小.
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ). 2) 两复数的积 z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ). 3)两复数的商 z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i . 2 2 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
y
z x iy
( x, y)
y
o
x
x
（2）向量表示法
在复平面上, 复数 z 与从原点指向点z x iy 的 平面向量成一一对应 ,因此, 复数z也可用向量OP 来表示.
这时复数加、减法满
足向量加、减法中的平行
4)共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z , 若 z x iy, 则 z x iy.
复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 z1 z2 2 2 i 2 2 z2 z2 z2 x 2 y2 x 2 y2
第一章 复数与复变函数
复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八 世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人
的长期努力，复数的地位才被确立下来。
复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到了全面
发展。 为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗
贝尔、拉普拉斯等。 为这门学科的发展作了大量奠基工作的 则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。 复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在 复数领域的推广和发展 。
o
z r
x
x
x z,
y z , z x y , z z z z2 .
2
三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
y
复数的辐角
z x iy
P( x, y)
y
z r
o
x
x
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
1
i 4 n 1, i
4 n 1
i 2 1,
i,
i i i i ,
3 2
i
4 n 2
1,
i i i 1,
4 2 2
i 4 n 3 i ,
i 4 n 4 1.
……
1.1.3 复平面与复数的表示法
（1）几何表示法
复数 z x iy 与有序实数对 ( x , y ) 成一一 对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系的平面可以 用来表示复数z, 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴 叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数z的平面叫复平 面 .有时简称为z平面.
y y
Pz x iy
o
x
x
四边形法则.
把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
的绝对值, 并记做|z|.
使用函数命令abs() 可
复数的模(或绝对值)
向量的长度称为 z 的模或绝对值,
y
y
z x iy
P( x, y)
记为 z r x 2 y 2 .
模的性质
复数运算的性质
1. 交换律 2. 结合律
z1 z2 z2 z1 ; z1 z2 z2 z1 . ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ); z1 ( z2 z3 ) ( z1 z2 ) z3 .
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 . z1 z1 4. z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; . z2 z2 5. z z .
3. 分配律
6. z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
7. z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
z1 z1 z 3 4 i , z 1 i , 求 与 . 例 1.1 设 1 2 z2 z2
二、内容提要算 极限 连续性
复数
代 数 运 算 乘 幂 与 方 根 复 数 表 示 法
复变函数
几何表示法 向量表示法
判别定理
三角及指数表示法
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1.5 复变函数的极限与连续