复变函数教案第一章
复变函数教案1.2
第一章 复数与复变函数教学课题：第二节 复平面上的点集教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念；2、理解区域与约当曲线这两个重要概念；3、了解约当定理和区域的连通性。
教学重点：平面点集的几个基本概念教学难点：区域与约当曲线教学方法：启发式教学教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。
教学过程：1、平面点集的几个基本概念：定义1.1 设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为},,|| |{C z r a z z ∈<-称集},,|| |{C z r a z z ∈≤-为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为),(r a U 。
定义1.2设C a C E ∈⊂,，若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点，则称a 为E 的极限点；若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(，则称a 为E 的内点；若E r a U r ⋂>∀),(,0中既有属于E 的点，又有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点；集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ∂；E E ∂⋃称为E 的闭包，记为E ；若0>∃r ，使得}{),(a E r a U =⋂，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚点）；定义1.3 开集：所有点为内点的集合；闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集；定义1.4如果0>∃r ，使得),0(r U E ⊂，则称E 是有界集，否则称E 是无界集；复平面上的有界闭集称为紧集。
例1、圆盘),(r a U 是有界开集；闭圆盘),(r a U 是有界闭集；例2、集合}|||{r a z z =-是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘),(r a U 和闭圆盘),(r a U 的边界。
复变函数课件第一章第4节
可微性
如果函数的导数在定义域内的任意一 点都存在，则称该函数是可微的。
周期性
如果存在一个非零实数p，使得对于定义域 内的任意点z，都有$f(z+p) = f(z)$，则称 该函数是周期的，p是它的周期。
03 复变函数的积分
复变函数的积分定义
实部和虚部积分
复变函数的积分定义为实部和虚 部的积分之和，即$int f(z) dz = int f(x, y) dx + i int f(x, y) dy$。
洛朗兹级数展开的收敛性
洛朗兹级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，例如在复平面上的区域内 的收敛性。
洛朗兹级数展开的应用
洛朗兹级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如求解微分方程、积分方程等。 此外，它还可以用于近似计算和数值分析等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
-1$。
复变函数
如果对于每个复数$z$，都存在一 个复数与它对应，那么这个复数就 是复变函数。
定义域
复变函数的定义域是所有输入值的 集合，这些输入值在实数轴上形成 一个区间或多个区间的集合。
复变函数的性质
连续性
如果对于定义域内的任意一点，函数 值都存在且连续，则称该函数是连续 的。
有界性
如果函数的值在定义域内有界，即存在一个正 数M，使得对于定义域内的任意点z，都有 $|f(z)| leq M$，则称该函数是有界的。
泰勒级数展开的应用
泰勒级数展开在复变函数的研究中有着广泛的应用，例如 求解微分方程、积分方程等。此外，它还可以用于近似计 算和数值分析等领域。
洛朗兹级数展开
洛朗兹级数展开的定义
洛朗兹级数展开是复变函数的一种表示方法，它将一个复数函数表示为无穷级数的形式， 其中每一项都是函数值的幂次方和阶乘的乘积，并且每一项都乘以一个特定的系数。
复变函数第一章讲义
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。
复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。
1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程(10)40x x -=的根。
他求出形式的根为55，积为25(15)40--=。
但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因而复数在历史上长期不能为人们所接受。
“虚数"这一名词就恰好反映了这一点。
直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅,L Euler ⋅等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义,建立了系统的复数理论,从而使人们缍接受并理解了复数。
复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。
到本世纪,复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中,复数函数论都有着重要应用。
第一章 复数与复变函数教学重点： 复变函数的极限和连续性 教学难点： 复平面上点集的n 个概念教学基本要求:1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算 ２、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域 ４、理解复变函数、极限与连续§１复数1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数,称为复数,其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位.两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y ⇔==.虚部为零的复数可看作实数。
因此，全体实数是全体复数的一部分.x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+．复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+ 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。
2017年《复变函数》教案
复平面:
复数可以等同于平面中的向量等价类（在平移 关系下）。向量的长度称为复数的模，定义为 2 2 ：
| z | x y
非零实轴之间的夹角称为复 数的辐角，定义为：
y Arg z arctan 2k x
( x, y )
复数的共轭定义为：
z x iy
复数的三角表示:
非零复数的三角表示定义为：
第一章 复数及复平面
第一节 复数及其几何表示
1、复数域 2、复平面 3、复球面与无穷大
复数域:
每个复数具有 z=x+iy 的形状，其中 x和y 是实 数， i 是虚数单位 (-1 的平方根 ) 。 x 和 y 分别称 为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果 Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果， Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚 数。
其中，a,b,c,d是实常数。 2 2 解：利用 zz x y ,
a( x y ) bx cy d 0
z z 2 x, z z 2y
得：azz z z d 0
1 其中， (b ic). 2
例2
设
z1 z2 z1 z 2 , z1 z2 z1 z 2
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个 复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为 C，复数域可以看成实数域的扩张。
复平面:
复数域C也可以理解成平面RxR，我们称 C为复平面.作映射：
C R : z x iy ( x, y)
2
则在复数集C与平面RxR之建立了一个1-1对 应（双射）。 平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标 轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平 面等。
复变函数第三版课件第一章
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数第一章第二节教案
复变函数第一章第二节教案【教案】复变函数第一章第二节一、教学目标：1.理解复数的基本概念，掌握复数的运算规则。
2.理解复数平面及其表示方法。
3.能够将复数表示为三角形式和指数形式。
4.能够根据需要进行复数的转化并进行简单的复数运算。
二、教学过程：1.复数的引入a.让学生思考虚数单位i的平方与-1的关系，引出复数的定义。
b.引导学生观察、总结复数的一般形式及实部和虚部的概念。
2.复数的运算规则a.复数的加减法：实部和虚部分别相加减。
b.复数的乘法：按照分配律展开并运用i的特性化简。
c.复数的除法：化简为分数相除的形式，并运用i的特性。
3.复数平面的引入a.引导学生思考复数平面的定义和作用。
b.学习复数平面的两种表示方法：直角坐标系和极坐标系。
4.复数的三角形式a.通过复数平面的极坐标系表示法引导学生理解复数的三角形式。
b.学习如何将复数转化为三角形式，从而求出模和辐角。
5.复数的指数形式a. 通过 Euler 公式 e^ix = cosx + isinx 引导学生理解复数的指数形式。
b.学习如何将复数表示为指数形式，从而求出模和辐角。
6.复数的四则运算a.加减法：按照实部和虚部的相应运算法则进行运算。
b.乘法：根据指数形式的性质进行运算。
c.除法：利用乘法的逆运算进行转化，并运用指数形式的性质化简。
7.例题讲解与练习a.通过具体的例题，引导学生掌握复数运算方法。
b.分组进行练习，巩固学生对复数运算的掌握。
8.总结与拓展a.整理复数的定义、运算规则及其表示方法，以及复数的三角形式和指数形式。
三、教学反思：通过本节课的教学，学生首先了解了复数的定义和运算规则，并掌握了复数的表示方法，从而拓宽了对数的认识。
在教学过程中，我采取了引导式教学，通过启发学生思考的方式激发了他们对复数的兴趣和好奇心，并通过例题的讲解和练习巩固了知识的理解和应用。
虽然本节课的内容相对较简单，但对于学生来说，掌握复数的基本概念和运算规则是后续学习复变函数的基础，因此需要做好充分的复习和巩固。
《复变函数》教案
《复变函数》教案第一章：复数的概念与运算1.1 复数的基本概念介绍复数的定义：形如a + bi 的数，其中i 是虚数单位，i^2 = -1。
解释实部和虚部的概念。
强调复数是实数域的拓展。
1.2 复数的运算掌握复数加法、减法、乘法和除法的运算规则。
举例说明复数运算的实质：代数形式的运算。
1.3 复数的几何表示引入复平面（复数坐标系）。
讲解复数在复平面上的表示：点的坐标。
介绍共轭复数的概念及其在复平面上的表示。
第二章：复变函数的定义与基本性质2.1 复变函数的定义给出复变函数的定义：定义在复平面上的函数，输入为复数，输出也为复数。
强调函数的连续性和可导性。
2.2 复变函数的基本性质介绍复变函数的奇偶性、周期性和可积性等基本性质。
举例说明这些性质的应用和判定方法。
2.3 复变函数的极限与连续性讲解复变函数在一点或一点的邻域内的极限概念。
强调复变函数的连续性及其与实变函数连续性的联系。
第三章：解析函数3.1 解析函数的定义引入解析函数的概念：在其定义域内具有无穷导数的复变函数。
解释解析函数的导数性质：解析函数是解析的，即在其定义域内每个点上都可以求导。
3.2 解析函数的例子举例说明常见解析函数：三角函数、指数函数、对数函数等。
强调解析函数在复平面上的图形特点：没有奇点。
3.3 解析函数的积分讲解解析函数的积分性质：解析函数在其定义域内积分路径无关。
介绍柯西积分定理和柯西积分公式。
第四章：积分变换4.1 傅里叶变换引入傅里叶变换的概念：将一个函数从时域转换到频域的积分变换。
讲解傅里叶变换的数学表达式及其物理意义。
4.2 拉普拉斯变换介绍拉普拉斯变换的概念：解决偏微分方程的积分变换方法。
强调拉普拉斯变换的应用领域：工程和物理学。
4.3 其他积分变换简要介绍希尔伯特变换、哈特莱变换等其他积分变换。
强调这些变换在信号处理等领域的应用。
第五章：复变函数在几何中的应用5.1 复数与几何的关系强调复变函数与复数几何的紧密联系。
《复变函数》教案
新疆财经大学教案课程名称：复变函数任课班级：应用数学系06级任课教师：热西旦·湖加应用数学系信息与计算数学教研室二○○九＿二○一○学年第一学期课程教案概貌注：本单元为6个标准学时课程单元教案（单元 5 ）注：本单元为6个标准学时课程单元教案（单元12 ）一、联系课标说教材《数学课程标准》中指出：通过数学学习“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会。
”“能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。
”学习“复式折线统计图”，就是要求引导学生学会用“图表”描述并解决现实生活的简单问题。
“复式折线统计图”是第六单元第二项内容。
本单元主要包括两方面的内容：一是认识众数，理解众数统计的意义。
二是认识复式折线统计图，了解其特点，并对数据进行简单分析和推测。
本单元教材体现了两方面的特点：一是注意所学知识的联系；二是提供丰富的生活素材，凸现统计知识的价值。
复式统计图是在复式条形统计图及单式折线统计图基础上的拓展延伸。
教材以体育方面的素材为例，通过让学生比较两组数据的变化情况，感受到折线统计图的局现性，进而了解复式折线统计图的特点。
二、结合教材说目标通过本单元内容的学习需达到以下三个教学目标：1、使学生经历复式折线统计图描述数据的过程，了解复式折线统计图的特点和作用；学会在纵轴的方格图上用折线表示出相应数量的多少和变化情况。
2、使学生能看懂复式折线统计图，能根据复式折线统计图中的信息，进行简单的分析、比较和判断、推理，进一步增强统计观念，提高统计能力。
3、使学生进一步体会统计与现实生活的联系，增强参与统计活动的兴趣以及与他人合作交流的意识。
在教学的过程中，我将把第2个学习目标作为教学的重点和难点。
三、说教法与学法教法与学法预设：情境导入——观察感知——自主学习——合作交流——拓展延伸。
四、以生为本说流程“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数教案第一章复变函数教案课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
章节名称：第一章复数与复变函数学时安排：10学时教学要求：使学生掌握复数的概念，理解复数的几何意义及熟悉平面点集系列概念。
教学内容：复数及其代数运算；复数的乘幂与方根；平面点集；复变函数；复变函数的极限与连续教学重点：复数几何意义及复变函数的极限与连续。
教学难点：理解扩充复平面的相关概念。
教学手段：课堂讲授教学过程：一、引言复数的产生和复变函数理论的建立1，1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。
后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。
这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。
2，1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。
用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。
3，19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的。
4，20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。
5，复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系。
其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较。
§1、复数及其代数运算1，复数概念：（1）称),(R y x iy x z ∈+=为复数；（2）称z x Re =为复数),(R y x iy x z ∈+=的实部；称z y Im =为复数),(R y x iy x z ∈+=的虚部；（3）纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；（4）两个复数相等；（5）虚数不能比较大小。
（6）共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数。
记z 的共轭复数为z 。
2，复数的代数运算：设111iy x z +=，222iy x z +=，（1）加减法：±+)(11iy x )(22iy x +)()(2121y y i x x ±+±=；（2）乘法：?+)(11iy x )(22iy x +)()(21122121y x y x i y y x x ++-=；（3）除法：0222≠+=iy x z ，222221122121221121)()(y x y x y x i y y x x iy x iy x z z +-++=++=；（4）共轭复数的运算：1）2121z z z z ±=±，2121z z z z ?=，2121)(z z z z =； 2）z z =；3）2222)][Im()][Re(y x z z z z +=+=?；4）)Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+。
显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
3，应用举例：例1，设i z 551-=，i z 432+-=，求)(,2121z z z z ；例2，设ii i z ---=131，求z Re 、 z Im 、z z ?；练习：求)(1cos 1cos ?ηθηθηi e z =+-=的实部和虚部。
§2、复数的几何表示1，复平面（1）复数z 表示为复平面上的点因为复数),(R y x iy x z ∈+=由一对有序实数),(y x 唯一确定，从而复数全体与直角坐标平面上点的全体构成一一对应关系，所以，复数),(R y x iy x z ∈+=可以用复平面上的点),(y x 来表示。
我们把直角坐标系中的X 轴称为实轴，而把Y 轴称为虚轴，把实轴和虚轴决定的平面称为复平面或Z 平面。
下面我们利用复平面上的点对应的以原点为起点的向量来定义模和辐角的概念。
（2）复数z 表示为复平面上的向量1)模的定义：显然，在复平面上，复数z 与从原点指向点),(R y x iy x z ∈+=的平面向量一一对应，因此复数z 能用向量表示。
向量的长度称为z 的模或绝对值，记为22y x r z +== 显然，)Im()Re(z z z +≤；z z ≤)Re(；z z ≤)Im(；22z z z z ==；z z =；2121z z z z +≤±；)Re(2212221221z z z z z z ±+=±2)辐角在0≠z 时，以正实轴为始边，以表示z 的向量为终边的角的弧度数θ称为z 的輻角，记为xy Argz Argz ==)tan(,θ 任何一个复数0≠z 有无穷多个輻角，如果1θ是其中一个，则为整数）k k Argz (21πθ+= 给出了z 的全部輻角。
輻角主值：在0≠z 的所有輻角中，满足πθπ≤<-0的0θ称为πθk Argz 21+=的主值，记作z arg 0=θ=<<><±<>=±<=>>==)0,0(,)0,0,0(,arctan )0,0,0(,2)0,0,0,0(, arctan arg 0y x y y x x y y y x y y y x x y z πππθ （3）复数的三角形式和指数形式称)sin (cos θθi r z +=；θi re z =分别为复数z 的三角形式和指数形式。
应用举例：例1，将下列复数化为三角形式与指数形式i z 212--=； 5c o s 5s i n ππi z += 例2，设21,z z 为两个任意复数，证明：2121z z z z =；2121z z z z +≤±练习题1：试将复数)0(sin cos 1πθθθ≤≤+-i 化为三角形式与指数形式。
练习题2：若11<="">1<--z z z z 。
2，复球面复数可以表示为复平面上的点及向量（几何表示）本节用复球面上的点来表示复数。
1）球面上的点，除去北极N 外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。
2）为了使复平面与球面上的点无例外地都能一一对应起来，我们规定：复平面上有一个唯一的“无穷远点”，它与球面上的北极N 相对应。
相应地规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应，并记作∞。
这样一来，球面上的每一个点，就有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面。
3）包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面或称复平面。
§3、复数的乘幂与方根1，乘积与商1）定理1两个复数乘积的模等于它们的模的成绩；两个复数成绩的輻角等于它们的輻角的和。
2）定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数的商的輻角等于被除数与除数的輻角之差。
3）应用举例：已知正三角形的两个顶点为i z z +==2,121，求它的另一个定点。
2，幂与根1）棣莫弗公式：θθθθn i n i n sin cos )sin (cos +=+2）方根公式：)2sin 2(cos),sin (cos n k i n k r i r n n πθπθωθθω+++=+=)1,,2,1(-=n k 3）应用举例：求41i +1，区域的概念：1）邻域：平面上以0z 为中心，δ（任意正数）为半径的圆：δ<-0z z 内部的点的集合称为0z 的邻域，而称由不等式δ<-<00z z 所确定的点集为0z 的去心邻域。
2）内点：设G 为平面点集，0z 为G 中任意一点，如果存在0z 的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G ，那么称0z 为G 的内点。
3）开集：如果G 内的每个点都是它的内点，那么称G 为开集。
4）区域：平面点集D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件：D 是一个开集；D 是连通的（即D 中任何两点都可以完全属于D 的一条折线连接起来）。
5）边界点（边界）：设D 为平面内的一个区域，如果点P 不属于D ，但在P 的任意小的邻域内总含有D 中的点，这样的点P 称为D 的边界点；D 的所有边界点组成D 的边界。
（区域的边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成）6）区域D 与它的边界一起构成闭区域。
7）如果一个区域D 可以被包含在一个以原点为中心的圆里面，即存在正数M ，使区域D 的每个点z 都满足M z <，即称D 为有界的。
否则称为无界的。
2，单连通域与多连通域1）连续曲线：如果)(),(t y t x 是两个连续的实变函数，那么，方程组)(),(t y y t x x == )(b t a ≤≤代表一条平面曲线，称为连续曲线。
2）按段光滑曲线：如果在区间b t a ≤≤上)(),(''t y t x 都是连续的，且对于t 的每一个值，有0)]([)]([2'2'≠+t y t x ，那么这曲线称为光滑的。
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。
3）简单曲线或JORDAN 曲线：没有重点的连续曲线称为简单曲线。
4）单连通域和多连通域：复平面上的一个区域B ，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B ，就称为单连通域。
一个区域如果不是单连通域，就称为多连通域。
§5、复变函数1，定义：设G 是一个复数，iy x z +=的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G 中的每一个复数iy x z +=，就有一个或几个复数iv u w +=与之对应，那么称复变数iv u w +=是iy x z +=的函数（简称复变函数），记)(z f w =。
1）定义域与值域与实变函数类似；2）单值函数与多值函数。
2映射的概念：1）对于复变函数，由于它反应了两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面内的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上的点集之间的对应关系。
2）如果用z 平面上的点表示自变量z 的值，而用另一个平面上的点表示函数的值，那么函数)(z f w =在几何上就可以看做是把z 平面上的一个点集G 变到平面上的一个点集的映射。