汕头市2016-2017学年高二下学期期末教学质量监测数学(文)

汕头市2016～2017学年度普通高中教学质量监测高二文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{0,1,2,3,4}U =，集合30x A x Nx ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，则A 的补集U C A =（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}2,4 D ．{}0,4 2.设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ） A ．1 B 23 D 53.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张号码记为x ，放回后再随机抽取1张号码记为y ，则23x y ->的概率为（ ） A ．35 B ．25 C ．1125 D ．12254.已知x ，y 满足约束条件1220y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z y x =-的最大值是（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．1- 5.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =2c =，3A π=，则b =（ ）A ．1B 2C ．2D 36.设3ln()a π=，2log b e =，0.31()3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<7.已知α为锐角，2sin()410πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．1825 D ．1825- 8.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 的一条渐近线与直线210x +-=垂直，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．63D ．629.下面的程序框图输出的S 的值是（ ）A ．117 B ．1617 C ．1718 D ．11810.函数2ln y x x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ． 11.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是1025+（ ）A．3 B．3 C．3 D ．8312.设函数()2sin 12x f x +=，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是以2π为最小正周期的周期函数B ．()f x 是以π为最小正周期的周期函数C ．()f x 是偶函数D ．()f x 是奇函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若(,1)a x x =-r ，(2,1)b =r，a b ⊥r r ，则x = ．14.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是32y x k =+，若(1)'(1)4f f +=，则k = ．15.已知函数()35sin ,025log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，则f f⎡⎤=⎣⎦． 16.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A ，若直线AF的斜率为，则PAF ∆的面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知正项数列{}n a ，112a =，2114220(2)n n n n n a a a a a n ---+-=≥. （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.如图，多面体CDABEF 中，//DF CE ，CE ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 是菱形.（1）证明：平面AEC ⊥平面BCF ；（2）若120EFA ∠=o，22CE EF DF ===，设AE BF O =I ，求三棱锥O CDE -的体积.19.随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某共享单车运营公司M 为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表见上表.经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年.（1）分别估计A 、B 两款车型使用寿命不低于2年的概率；（2）如果你是M 公司的负责人，以参加科学模拟测试的两款车型各100辆单车产生利润的平均数为决策依据，你会选择采购哪款车型？20. 已知点P 是圆222x y +=上一动点，作PD x ⊥轴，垂足为D ，且2PD =u u u r u u u r.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)N -斜率为(0)k k ≠的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，直线1AF ，1BF 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k kk k +为定值. 21.已知函数()()ln ,f x b ax x a b R =-+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）已知1212,()x x x x ≠为()f x 的两个零点，证明：21210a x x -<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 已知圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ-+=. （1）求直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程； （2）求直线l 与圆C 的交点的极坐标. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()1f x x x m =---，m R ∈. （1）当4m =-时，解不等式()2f x <； （2）已知111(0,0)a b a b+=>>，若4()a b f x +≥恒成立，求m 的取值范围.汕头市2016～2017学年度普通高中教学质量监测高二文科数学参考答案一、选择题1-5: DDCCA 6-10: CADCB 11、12：BA 二、填空题 13.13 14. 1- 15. 12-16. 三、解答题17.解：（1）∵112a =，2114220(2)n n n n n a a a a a n ---+-=≥， ∴2n =时，2212124220a a a a a -+-=，即2221402a a +-=，22(41)(21)0a a -+=，∵0n a >，∴214a =. （2）∵2114220(2)n n n n n a a a a a n ---+-=≥， ∴211(42)(2)0n n n n n a a a a a --+-+=，∴12(21)(12)0n n n n a a a a -+-+=， ∴1(21)(2)0n n n a a a -+-=， ∵0n a >，∴120n n a a --=， ∴12n n a a -=，即11(2)2n n a n a -=≥， ∴{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴11[1()]22112n n S -=- 11()2n =-.18.解：（1）证明：∵CE ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ， ∴CE BF ⊥，∵四边形ABEF 是菱形，∴AE BF ⊥， ∵CE AE E =I ， ∴BF ⊥平面ACE ， ∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面AEC ⊥平面BCF .（2）解法一：过点O 作OH EF ⊥， ∵CE ⊥平面ABEF ， ∴OH BF ⊥， ∵CE EF E =I ， ∴OH ⊥平面CEFD ，∴OH 是三棱锥O CDE -的高，∵四边形ABEF 是菱形，120EFA ∠=o，22CE EF DF ===，∴ABF ∆，BEF ∆是等边三角形， ∴1OF =，3EO =，由1122OF EO EF OH ⋅=⋅得，3OH =， ∵12222CDE S ∆=⨯⨯=， ∴13O CDE CDE V S OH -∆=⋅13323=⨯⨯=.解法二：∵//DF CE ，CE ⊥平面ABEF ， ∴DF ⊥平面ABEF ，∵四边形ABEF 是菱形，120EFA ∠=o，22CE EF DF ===，∴ABF ∆，BEF ∆是等边三角形， ∴1OF =，3EO =，∴13132OEF S ∆=⨯⨯=， 12112DEF S ∆=⨯⨯=，13D OEF OEF V S DF -∆=⋅⋅13313=⨯⨯=， 设O 到平面CEFD 的距离为h ， 由D OEF O DEF V V --=得1336DEF S h ∆⋅=， 即3322DEF h S ∆==，∵12222CDE S ∆=⨯⨯=， ∴13O CDE CDE V S h -∆=⋅13323=⨯⨯=.19.解：（1）因为100辆A 款车型中有35351080++=辆使用寿命不低于2年， 所以估计A 款车型使用寿命不低于2年的概率为：3535100.8100++=；所以因为100辆B 款车型中有30402090++=辆使用寿命不低于2年，估计B 款车型使用寿命不低于2年的概率为：3040200.9100++=.（2）每生产100辆A 款车可产生利润的平均值为：1Z =(5001000)20(10001000)35(15001000)35(20001000)10100-⨯+-⨯+-⨯+-⨯175=（元）.每生产100辆B 款车可产生利润的平均值为：2Z =(5001200)10(10001200)30(15001200)40(20001200)20100-⨯+-⨯+-⨯+-⨯150=（元）.∵12Z Z >，∴应该采购A 款单车.20.解：（1）设(,)M x y ，00(,)P x y ，易知(,0)D x ，00(,)PD x x y =--u u u r，(0,)MD y =-u u u u r ，∵PD =u u u r u u u r，即00(,))x x y y --=-，∴00x x -=，0y -=，即0x x =，0y =，又P 在222x y +=上，∴22002x y +=，∴2222x y +=，即2212x y +=， ∴动点M 的轨迹方程为：2212x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，l 的方程为(4)y k x =+， 联立22(4)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 并整理得：2222(12)163220k x k x k +++-=，∴212221220161232212k x x k k x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，∵1(1,0)F -，1111y k x =+，2221y k x =+， ∴12121211()x x k kk k k y y +++=+12121144x x x x ++=+++ 1212121225()84()16x x x x x x x x +++=+++27=，∴12k kk k +为定值. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为，11'()(0)ax f x a x x x-=-=>， 当0a ≤时'()0f x >恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时， 令'()0f x >得10x a <<，令'()0f x <得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）由1212,()x x x x ≠为()f x 的两个零点及（1）知0a >，∴1122ln 0ln 0x ax b x ax b -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1122ln ()0x a x x x --=，即1212lnx x a x x =-，要证21210a x x -<，只需证1221x x a <， 即证21212212()ln x x x x x x -<，即证22112212()ln x x x x x x -<12212x x x x =-+， 不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈，只需证21ln 2t t t<-+， 设21()ln 2g t t t t =--+，则211'()2ln 1g t t t t=-+12ln t t t t-+=，设1()2ln h t t t t=-+，则22(1)'()0t h t t -=-<，∴()h t 在(0,1)上单减， ∴()(1)0h t h >=，∴()g t 在(0,1)上单增，∴()(1)0g t g <=，即21ln 2t t t<-+在(0,1)t ∈时恒成立，原不等式得证.22.解：（1）由cos sin 40ρθρθ-+=得：40x y -+=，所以直线l 的普通方程为40x y -+=； 因为圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 所以圆C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=，所以24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）解法一： 联立2240(2)4x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得：04x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 直线l 与圆C 的交点的直角坐标为：(0,4)，(2,2)-，所以直线l 与圆C 的交点的极坐标为：(4,)2π，3)4π. 解法二： 联立cos sin 404sin ρθρθρθ-+=⎧⎨=⎩消ρ得： 24sin cos 4sin 40θθθ-+=，即2sin cos sin 10θθθ-+=，所以2sin cos cos 0θθθ+=，即cos (sin cos )0θθθ+=，所以cos 0θ=或sin cos 0θθ+=，即tan 1θ=-，所以2πθ=或34πθ=， 当2πθ=时4ρ=， 当34πθ=时ρ= 所以直线l 与圆C 的交点的极坐标为：(4,)2π，3)4π. 23.解：（1）5,4()23,415,1x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩，当4x <-时，52>，∴不等式无解；当41x -≤≤时，232x --<，即52x >-，解得：512x -<≤； 当1x >时，52-<，∴1x >，所以不等式()2f x <的解集为5|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（2）∵0a >，0b >，111a b+=， ∴1144(4)()5b a a b a b ab a b +=+⋅+=++59≥+=， ∵4()a b f x +≥恒成立，∴()9f x ≤，即19x x m ---≤恒成立， ∴11x x m x x m ---≤--+19m =-≤，∴919m -≤-≤，即810m -≤≤，∴m 的取值范围为[8,10]-.。