00两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
导，以ｏ）：以１）：ｏ，ｌ卸畔：１．求证：（１）存 例６设，（戈）在［０，１］上连续，在（０，１）内可 一（茗一告）２
在叩∈（专，１）使八叩）＝１７；（２）对任意实数Ａ，存
在拿∈（０，叩），使厂（ｅ）一Ａ［八乎）一手］＝１．
３８
成都纺织高等专科学校学报
２００７年４月
分析：（１）ｆＨ连续函数的零点定理，证明起来
比较直观．（２）目的是要证（厂（∈）一拿）７一Ａ（ｆ（车） 一车）＝０．由构造函数的待定因子法，令：
Ｆ（戈）＝Ｐ（石）（．厂（石）一菇），得：
∥（石）＝Ｐ’（ｚ）（厂（戈）一ｚ）＋尸（戈）（厂（戈）一戈）７
＝ｋ（（八戈）一菇）７一Ａ（／．（石）一戈））
分析：将结论中的车换成菇后，可得厂（戈）∥ （石）一ｇ（菇）厂（菇）＝Ｏ，对等式左端求积分可得一 簇函数Ｇ（戈），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝』
嗽菇）矿（菇）一ｇ（茗）厂（戈）］ｄｘ＝厂（菇）９７（舅）一ｇ
（ｘ）ｆ（名），可得ｒ（ｘ）＝火ｘ）９７（戈）一ｇ（ｘ）厂（菇）． 证明令Ｆ（茹）＝“石）９７（并）一ｇ（茗）／（菇），
（名）戈一赢～＝Ｏ，对等式左端，，求积分可得一簇函 数Ｇ（石），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝『［厂
（茗）戈一志一嘉彤髫）戈一忐一１］ｄ菇＝厂（茹）戈一去’，可
得Ｆ（石）＝．厂（茹）茹一赢～．
证明令Ｆ（ｘ）＝八ｘ）ｘ一赢～， 则Ｆ（石）在［口，６］上连续，在（口，ｂ）内可导，且：
Ｆ（口）＝Ｆ（ｂ）＝０． 由罗尔定理知，存在ｅ∈（口，ｂ），使得ｒ（拿）＝０， 另一方面：
构造辅助函数Ｆ（戈）：△型来试一试．
证明令Ｆ（茁）：丛型．
两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法_李君士
第34卷第10期2004年10月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE A NDT HEORYV o l.34 No.10 Octo ber ,2004 教学园地两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法李君士(江西九江师专,江西 332000)摘要: 在数学分析中,三个微分中值定理极为重要.在证明L agrange 中值定理和Cauchy 中值定理时,都少不了作辅助函数,各种版本的《数学分析》或《高等数学》书本中,都只给出了一种形式的辅助函数.为了扩展思路,给出了多种形式的辅助函数,并得出了一般形式.关键词: 中值定理;辅助函数1 Laguange 中值定理辅助函数的作法收稿日期:2002-01-11 Rolle 中值定理 若函数f 满足如下条件:(i)f 在闭区间[a ,b ]上连续;(ii)f 在开区间(a ,b )内可导;(iii)f (a )=f (b ),则在(a ,b )内至少存在一点N,使得f ′(N )=0(1) Lagrange 中值定理若函数f 满足如下条件:(i)f 在闭区间[a ,b ]上连续;(ii)f 在开区间(a ,b )内可导;则在(a ,b )内至少存在一点N ,使得f ′(N )=f (b )-f (a )b -a(2) 证明 ∵(2)式可以写作f ′(N )-f (b )-f (a )b -a=0(3)依此作辅助函数F (x )=f (x )-f (b )-f (a )b -ax(4) 显然,函数F 在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,而且F (a )=F (b ),于是由罗尔中值定理知道,存在一点N ∈(a ,b ),使得F ′(N )=f ′(N )-f (b )-f (a )b -a=0(5)这就是所要证明的(3)式.¹本文要给出的是Lag rang e 中值定理证明中所需之辅助函数的多种作法所得的不同形式的函数F (x ),皆能满足证明之需.这里的函数f 皆满足定理中的条件(i )、(ii ).1.取F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a(x-a)(6)则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(a)=F(b) 2.取F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a)(7)则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=0=F(b) 3.取F(x)=f(x)-B-f(b)-f(a)b-a(x-a)(8)其中B为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(a)-B=F(b) 4.取F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a(x-b)(9)则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(b)=F(b) 5.取F(x)=f(x)-f(b)-f(b)-f(a)b-a(x-b)(10)则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=0=F(b) 6.取F(x)=f(x)-B-f(b)-f(a)b-a(x-b)(11)其中B为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii)F(a)=f(b)-B=F(b) 7.取F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-ax(12)则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii),∵由F(a)=f(a)-f(b)-f(a)b-a a, F(b)=f(b)-f(b)-f(a)b-a bF(a)-F(b)=f(a)-f(b)-f(b)-f(a)b-a(a-b)=0得F(a)=F(b).8)取(13) 166数 学 的 实 践 与 认 识34卷其中A为任意常数.则F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)及(iii),∵由F(a)=f(a)-f(b)-f(a)b-a(a-A), F(b)=f(b)-f(b)-f(a)b-a(b-A)F(a)-F(b)=f(a)-f(b)-f(b)-f(a)b-a(a-b)=0得F(a)=F(b).9.取F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-A)(15)其中A为任意常数,则F(x)仍然满足Ro lle定理条件(i)、(ii)、(iii).10.取F(x)=f(x)-f(b)-f(b)-f9a)b-a(x-A)(15)其中A为任意常数,则F(x)仍然满足Ro lle定理条件(i)、(ii)、(iii).11.一般地,可取F(x)=f(x)-B-f(b)-f(a)b-a(x-A)(16)其中A、B皆为任意常数,容易验证,F(x)满足Rolle定理条件(i)、(ii)、(iii).特别地,当a.B=0,A=a时,即为(6);b.B=f(a),A=a时,即为(7);c.A=a时,即为(8);d.B=0,A=b时,即为(9);e.B=f(b),A=b时,即为(10);f.A=b,即为(11);g.B=0,A=0时,即为(12);h.B=0时,即为(13);i.B=f(a)时,即为(14);j.B=f(b)时,即为(15);故(16)可作为Lagr ang e中值定理证明中辅助函数F(x)的一般形式.2 Cauchy中值定理辅助函数的作法Cauchy中值定理 若(i)函数f与g都在闭区间[a,b]上连续;(ii)f与g都在开区间(a,b)内可导;(iii)f′与g′在(a,b)内不同时为零;(iv)g(a)≠g(b),则在(a,b)内至少存在一点N,使得f′(N) g′(N)=f(b)-f(a)g(b)-g(a)(17) 证明 作辅助函数16710期李君士:两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法F(x)=f(x)-f(b)-f(a)g(b)-g(a)g(x)(18)显然,F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有F(a)=F(b),故由Rolle中值定理,存在N∈(a,b),使得F′(N)=f′(N)-f(b)-f(a)g(b)-g(a)g′(N)=0(19)这里必有g′(N)≠0,否则由上式可知,若g′(N)=0也将有f′(N)=0,而这个结论与定理的条件(iii)相矛盾,因而我们能将(19)式改写成(17)式.º本文也将给出该定理证明中辅助函数的多种不同作法所得的不同形式的函数F(x),皆能满足证明之需.f、g满足定理条件(i)、(ii)、(iii)、(iv).1.取F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)g(b)-g(a)[g(x)-g(a)](20) 显然,F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,满足Rolle中值定理条件,故存在一点N∈(a,b),使得F′(N)=f′(N)-f(b)-f(a)g(b)-g(a)g′(N)=0由此式即可得(17)式.2.取F(x)=f(x)-f(b)-f(b)-f(a)g(b)-g(a)[g(x)-g(b)](21) 显然F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,满足Rolle中值定理条件,同上一方法,即可得到(17)式.3.取F(x)=f(x)-A-f(b)-f(a)g(b)-g(a)[g(x)-B](22)其中A、B为任意常数.显然F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b),满足Rolle 中值定理条件,同前一方法,即可得到(17)式.4.当f(b)≠f(a)时,我们还可以取F(x)=g(x)-A-g(b)-g(a)f(b)-f(a)[f(x)-B](23)其中A、B为任意常数,显然F在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b),满足Rolle 中值定理条件,故在(a,b)内存在一点N,使得F′(N)=g′(N)-g(b)-g(a)f(b)-f(a)f′(N)=0(24)其中f′(N)必不等于零,否则,若f′(N)=0,由(24)式将有g′(N)=0,则与定理的条件(ii)相矛盾,因而从(24)式可得(17)式.从而以上各种函数F(x)的表达式皆可取作定理证明中的辅助函数.其中(22)式即为Cauchy中值定理证明中的辅助函数的一般形式,而当f(b)≠f(a)时,(23)式亦可成为Cauchy中值定理证明中的辅助函数的一般形式.以上结果充分说明了Lag rang e中值定理、Cauchy中值定理证明中所作辅助函数的多168数 学 的 实 践 与 认 识34卷样性.但是,都离不开一个基本点:F 一定要满足Rolle 中值定理的条件,否则就失去了作为辅助函数的意义.参考文献:[1] 《数学分析》第二版[M ].华东师范大学数学系编,156—157.[2] 《数学分析》第二版[M ].华东师范大学数学系编,160.Multiprocess of the Auxiliary Functions ,in the Two Differential Mean ValueTheorem ′s proveLI Jun -shi(Jiangx i Jiujiang T eacher s ′Co lleg e,Jiangx i 332000,China)Abstract : I n the mathemat ical analysis,t hree differential mean value theor ems are v ery impor tant,in the pro ve o f L ang uage m ean v alue t heo r em and Cauchy mean V alue t heo rem the auxiliary funct ions ar e essent ial in the any edition ,auxiliary functio n of some for m is g iven .F orthe ex panding t raining of thought ,this tex t g ive mult ifor m of aux ilia ry funct ion and their or dinary for ms.Keywords : mean value theor em ;aux iliar y funct ion16910期李君士:两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
关于中值定理证明中辅助函数的构造
关于中值定理证明中辅助函数的构造作者：张芝华来源：《教育教学论坛》2015年第45期摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。
如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。
关键词：中值定理;辅助函数;构造方法中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使=f（ξ）+ξf ′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=？圯f（ξ）+ξf ′（ξ）=上题结论中要证明f（ξ）+ξf ′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。
1°将ξ改写成x，f（x）+xf ′（x）=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0 所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。
二、证明的结论中含有ξf ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x ·f（x）1°将ξ改写成x，xf ′（x）+kf（x）=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx ）′=04°上式又可以改写成[lnx ·f（x）]′=0 我们可以令φ（x）=x ·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续， ;f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2 ; f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2 ; f（t）dt=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（ln ; f（t）dt）′+（lnx ）′=04°上式又可以改写成[lnx · ; f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）= x · ; f（t）dt证明：令φ（x）= x ·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0？埚ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x· ; f（t）dt+x f（x）φ′（ξ）=2ξ· ; f（t）dt+ξ f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2 ;f（t）dt三、证明的结论中含有f ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e ·f（x）1°将ξ改写成x，f ′（x）+kf（x）=02°将上式化为 +k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne ）′=04°上式又可以改写成[lne ·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e ·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，f ′ （a）·f ′ （b）>0.证明（1）？埚c∈（a，b）使f（c）=0（2）？埚ξ ，ξ ∈（a，b）使f ′（ξ ）-f（ξ ）=0和f ′（ξ ）-f（ξ ）=0证明：（1）不妨设f ′ （a）>0，f ′ （b）>0由f ′ （a）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）>f（a）=0由f ′ （b）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）？圯f（x ）·f（x ）由零点定理得？埚c∈（a，b）使f（c）=0（2）令φ（x）=e ·f（x）∵φ（a）=φ（c）=φ（b）=0∴？埚ξ∈（a，c），？埚ξ∈（c，b）使φ′（ξ）=φ′（ξ）=0而φ′（x）=e ·（f ′（x）-f（x））=0且e ≠0f′（ξ ）-f（ξ ）=0f′（ξ ）-f（ξ ）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，f ′ （a）·f ′ （b）>0.证明？埚η∈（a，b）使f ;″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0分析：1°将ξ改写成x，f ;″（x）-4f ′（x）+3f（x）=02°将上式化为（f ′（x）-f（x））-3（f ′（x）-f（x））=03°将（f ′（x）-f（x））看成f ′（x）+kf（x）=0中的f（x） 4°我们可以令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））证明：令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））？埚η，η∈（a，b）使φ（η）=φ（η）=0？埚η∈（a，b）使φ′（η）=0φ′（x）=-3e ·（f ′（x）-f（x））+e （f ″（x）-f ′（x））=e （f ;″（x）-4f ′（x）+3f（x））∵e ≠0？圯f ;″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为： 1°将要证的结论中ξ改写成x2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数。
用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数
用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数
1. 基本说明
一般来说，中值定理类问题就是求一个函数在一定区间上极值的问题，而且这个函数往往比较复杂，我们要利用解微分方程的方法解决，就
要使用辅助函数。
辅助函数指的就是：在求解复杂函数极值的中值定
理类问题时，引入的简单函数。
2. 生成规则
首先，我们要建立一个初始函数，记为 $f(x)$，它是最基本的函数形式，其中包括一系列的常数项和x 的n次幂项；然后再引入更复杂的函数，记为 $g(x)$，由前人研究已知，它会根据给定的 f(x) 的函数形式满足
一定的性质；最后，将 g(x)和 f(x) 结合起来，形成辅助函数的形式。
具体的辅助函数表达式如下所示:
$$ h(x) = f(x) + g(x) $$
3. 具体应用
在实际应用中，我们可以使用辅助函数得到有关中值定理的重要属性，例如获得函数的凹凸性，并求出拐点及其对应的值。
此外，辅助函数
在求解凸优化问题时也大有用处，如果有一定的规模，我们可以采用
凸优化方法将辅助函数最小化，从而得到最优解。
关于中值定理证明中辅助函数的构造
关于中值定理证明中辅助函数的构造张芝华（上海师范大学商学院，上海201199）摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。
如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。
关键词：中值定理；辅助函数；构造方法中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=φ（b）-φ（a）b-a⇒f（ξ）+ξf′（ξ）=bf（b）-af（a）b-a上题结论中要证明f（ξ）+ξf′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。
1°将ξ改写成x，f（x）+xf′（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+1x=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。
二、证明的结论中含有ξf′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x k·f（x）1°将ξ改写成x，xf′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+kx=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx k）′=04°上式又可以改写成[lnx k·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=x k·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续，x 0∫f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2x∫f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2x∫f（t）dt=02°将上式化为f（x）x∫f（t）dt+2x=03°上式又可以改写成（lnx∫f（t）dt）′+（lnx2）′=04°上式又可以改写成[lnx2·x∫f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）=x∫x2·x0∫f（t）dt证明：令φ（x）=x∫x2·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0∃ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x·x∫f（t）dt+x2f（x）φ′（ξ）=2ξ·ξ∫f（t）dt+ξ2f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2ξ∫f（t）dt三、证明的结论中含有f′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e kx·f（x）1°将ξ改写成x，f′（x）+kf（x）=02°将上式化为f′（x）f（x）+k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne kx）′=04°上式又可以改写成[lne kx·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e kx·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，. All Rights Reserved.f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明（1）∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）∃ξ1，ξ2∈（a ，b ）使f ′（ξ1）-f （ξ1）=0和f ′（ξ2）-f （ξ2）=0证明：（1）不妨设f ′+（a ）＞0，f ′-（b ）＞0由f ′+（a ）＞0⇒∃x 1∈（a ，b ）使f （x 1）＞f （a ）=0由f ′-（b ）＞0⇒∃x 2∈（a ，b ）使f （x 2）＜f （b ）=0⇒f （x 1）·f （x 2）＜0由零点定理得∃c ∈（a ，b ）使f （c ）=0（2）令φ（x ）=e -x·f （x ）∵φ（a ）=φ（c ）=φ（b ）=0∴∃ξ1∈（a ，c ），∃ξ2∈（c ，b ）使φ′（ξ1）=φ′（ξ2）=0而φ′（x ）=e -x·（f ′（x ）-f （x ））=0且e -x≠0f ′（ξ1）-f （ξ1）=0f ′（ξ2）-f （ξ2）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内二阶可导，f （a ）=f （b ）=0，f ′+（a ）·f ′-（b ）＞0.证明∃η∈（a ，b ）使f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0分析：1°将ξ改写成x ，f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ）=02°将上式化为（f ′（x ）-f （x ））-3（f ′（x ）-f （x ））=03°将（f ′（x ）-f （x ））看成f ′（x ）+kf （x ）=0中的f （x ）4°我们可以令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））证明：令φ（x ）=e -3x·（f ′（x ）-f （x ））∃η1，η2∈（a ，b ）使φ（η1）=φ（η2）=0∃η∈（a ，b ）使φ′（η）=0φ′（x ）=-3e -3x·（f ′（x ）-f （x ））+e -3x（f ″（x ）-f ′（x ））=e -3x（f ″（x ）-4f ′（x ）+3f （x ））∵e -3x≠0⇒f ″（η）-4f ′（η）+3f （η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为：1°将要证的结论中ξ改写成x 2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数. All Rights Reserved.。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数
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故 ( 16) 可作为 L ag range 中值定理证明中辅助函数 F ( x ) 的一般形式 .
2 Cauchy 中值定理辅助函数的作法
Cauchy 中值定理 若 ( i) 函数 f 与 g 都在闭区间 [ a , b ] 上连续; ( ii) f 与 g 都在开区间 ( a , b) 内可导; ( iii) f ′ 与 g′ 在 ( a , b) 内不同时为零; ( iv ) g (a ) ≠g ( b) , 则在 ( a , b) 内至少存在一点 Ν , 使得 (Ν ) f ′ f ( b) = (Ν ) g′ g ( b) f (a ) g (a )
特别地, 当
a 1B = 0, A = a 时, 即为 ( 6) ; b 1B = f ( a ) , A = a 时, 即为 ( 7) ; c1A = a 时, 即为 ( 8) ; d 1B = 0, A = b 时, 即为 ( 9) ; e 1B = f ( b) , A = b 时, 即为 ( 10) ; f 1A = b, 即为 ( 11) ; g 1B = 0, A = 0 时, 即为 ( 12) ; h 1B = 0 时, 即为 ( 13) ; i1B = f ( a ) 时, 即为 ( 14) ; j1B = f ( b) 时, 即为 ( 15) ;
(Ν (Ν ) = f′ ) F′
f ( b) g ( b) f (a ) (Ν ) = 0 g′ g (a )
由此式即可得 ( 17) 式. 21 取
F (x ) = f (x ) f ( b) f g
( b) - f ( a ) [ g ( x ) - g ( b) ] ( b) - g ( a )
( b) - f ( a ) (Ν ) = 0 ( 19) g′ ( b) - g ( a ) (Ν (Ν (Ν ) ≠ 0, 否则由上式可知, 若 g ′ ) = 0 也将有 f ′ ) = 0, 而这个结论与定理 这里必有 g ′ (Ν ) = f′ (Ν ) F′
f g
的条件 ( iii) 相矛盾, 因而我们能将 ( 19) 式改写成 ( 17) 式 . ② 本文也将给出该定理证明中辅助函数的多种不同作法所得的不同形式的函数 F ( x ) , 皆 ( ii) 、 ( iii) 、 ( iv ). 能满足证明之需. f 、 g 满足定理条件 ( i) 、 11 取 f ( b) - f ( a ) ( 20) F (x ) = f (x ) - f (a ) [ g (x ) - g (a ) ] g ( b) - g ( a ) 显然, F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b) 内可导, 且 F ( a ) = F ( b) = 0, 满足 Ro lle 中值定理条 件, 故存在一点 Ν∈ ( a , b) , 使得
( 7)
31 取
F (x ) = f (x ) - B f ( b) bf (a ) (x a a)
( 8)
( ii) 及 ( iii) 其中 B 为任意常数. 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 F ( a ) = f ( a ) - B = F ( b)
41 取
( 21)
显然 F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b) 内可导, 且 F ( a ) = F ( b) = 0, 满足 Ro lle 中值定理条 件, 同上一方法, 即可得到 ( 17) 式. 31 取 f ( b) - f ( a ) ( 22) F (x ) = f (x ) - A [ g (x ) - B ] g ( b) - g ( a ) 其中 A 、 . 显然 F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b) 内可导, 且 F ( a ) = F ( b) , 满足 Ro lle B 为任意常数 中值定理条件, 同前一方法, 即可得到 ( 17) 式. 41 当 f ( b) ≠ f ( a ) 时, 我们还可以取
F (x ) = f (x ) f ( b) bf (a ) (x a b)
( 9)
( ii) 及 ( iii) 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 F ( a ) = f ( b) = F ( b) 51 取 f ( b) - f ( a ) ( x - b) F ( x ) = f ( x ) - f ( b) b- a ( ii) 及 ( iii) 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 F ( a ) = 0 = F ( b)
收稿日期: 2002201211
166 11 取
数 学 的 实 践 与 认 识
34 卷
F (x ) = f (x ) -
f ( b) b-
f (a ) (x a
a)
( 6)
( ii) 及 ( iii) 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 F ( a ) = f ( a ) = F ( b) 21 取 f ( b) - f ( a ) (x - a ) F (x ) = f (x ) - f (a ) b- a ( ii) 及 ( iii) 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 F ( a ) = 0 = F ( b)
F (x ) = f (x ) f (a ) f ( b) bf (a ) (x - A ) a
( 15)
( ii) 、 ( iii). 其中 A 为任意常数, 则 F ( x ) 仍然满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 101 取
F (x ) = f (x ) f ( b) f ( b) bf 9a ) (x - A ) a
( 10)
61 取
F (x ) = f (x ) - B f ( b) bf (a ) (x a b)
( 11)
( ii) 及 ( iii) 其中 B 为任意常数. 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 ( ) ( ) F a = f b - B = F ( b) 71 取 f ( b) - f ( a ) F (x ) = f (x ) x b- a ( ii) 及 ( iii) , ∵ 由 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 f ( b) - f ( a ) f ( b) - f ( a ) F (a ) = f (a ) a , F ( b) = f ( b) b b- a b- a f ( b) - f ( a ) ( a - b) = 0 F ( a ) - F ( b) = f ( a ) - f ( b) b- a 得 F ( a ) = F ( b). 8) 取 f ( b) - f ( a ) (x - A ) F (x ) = f (x ) b- a
(Ν ) = f ′
f ( b) bf (a ) a
( 2)
证明 ∵ ( 2) 式可以写作
(Ν ) f ′
f ( b) bf (a ) = 0 a f (a ) x a
( 3)
依此作辅助函数
F (x ) = f (x ) f ( b) b-
( 4)
显然, 函数 F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b) 内可导, 而且 F ( a ) = F ( b) , 于是由罗尔中值定理 知道, 存在一点 Ν∈ ( a , b) , 使得 f ( b) - f ( a ) (Ν (Ν ) = f′ ) ( 5) F′ = 0 b- a 这就是所要证明的 ( 3) 式. ① 本文要给出的是 L ag range 中值定理证明中所需之辅助函数的多种作法所得的不同形 式的函数 F ( x ) , 皆能满足证明之需. ( ii). 这里的函数 f 皆满足定理中的条件 ( i) 、
( 12)
( 13)
10 期
李君士: 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法
167
( ii) 及 ( iii) , ∵ 由 其中 A 为任意常数. 则 F ( x ) 满足 Ro lle 定理条件 ( i) 、 f ( b) - f ( a ) f ( b) - f ( a ) ( a - A ) , F ( b) = f ( b) (b - A ) F (a ) = f (a ) b- a b- a f ( b) - f ( a ) ( a - b) = 0 F ( a ) - F ( b) = f ( a ) - f ( b) b- a 得 F ( a ) = F ( b). 91 取
摘要: 在数学分析中, 三个微分中值定理极为重要. 在证明L ag range 中值定理和 Cauchy 中值定理时, 都
少不了作辅助函数, 各种版本的 《数学分析》 或 《高等数学》 书本中, 都只给出了一种形式的辅助函数. 为了扩 展思路, 给出了多种形式的辅助函数, 并得出了一般形式.
关键词: 中值定理; 辅助函数
1 Laguange 中值定理辅助函数的作法
Rolle 中值定理 若函数 f 满足如下条件: ( i) f 在闭区间 [ a , b ] 上连续; ( ii) f 在开区间 ( a , b) 内可导; ( iii) f ( a ) = f ( b) , 则在 ( a , , 使得 b) 内至少存在一点 Ν (Ν ) = 0 ( 1) f ′ L ag range 中值定理 若函数 f 满足如下条件: ( i) f 在闭区间 [ a , b ] 上连续; ( ii) f 在开区间 (a , b) 内可导; 则在 ( a , b) 内至少存在一点 Ν , 使得
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证明 作辅助函数
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数 学 的 实 践 与 认 识
34 卷
F (x ) = f (x ) -
f ( b) g ( b) -
f (a ) g (x ) g (a )
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显然, F 在 [ a , b ] 上连续, 在 ( a , b) 内可导, 且有 F (a ) = F ( b) , 故由 Ro lle 中值定理, 存在 Ν∈ ( a , b) , 使得