北京市101中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试卷(理科)
2010-2011年北京市第101中学初二下期末数学试题及答案
北京一零一中2010－2011学年度第二学期期末考试初二数学试题及答案考试时间：120分钟 满分：140分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请把你认为正确的选项填入表格内。
本大题共10小题，共40分。
1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A.B.C.D.2. 在平面直角坐标系中，点P (2，-3)关于原点对称的点'P 的坐标是（ ） A. (-2，3) B. (3，-2) C. (-2，-3) D. (2，3)3. 关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为( )A. 1B. -1C. 1或-1D. 04. 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰梯形 B. 正三角形 C. 平行四边形 D. 菱形5. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 2D. 1，16. 如图1所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB =2米，则树高为（ ）A.5米 B. 3米 C. (5+1)米 D. 3 米7. 如图2，在正方形ABCD 的外侧作等边ADE △，则AEB ∠的度数为（ ） A. 10° B. 12.5° C. 15° D. 20°8. 如图3，△ABC 中，AB DE //交AC 于D ，交BC 于E ，若AD =2，CD =3，DE =4，则AB =（ ）A.83B.203C.125D. 69. 如图4，等边三角形ABC 的边长为3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且2AD AE ==，将ADE △沿直线DE 折叠，点A 的落点记为A '，则四边形ADA E '的面积1S 与ABC △的面积2S 之间的关系是（ ）A.1212S S = B. 1278S S = C. 1234S S = D. 1289S S = A E D BCA '图410. 如图5，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N 。
2011--2012学年第二学期期中考理科数学参考答案
∴数列
∴
2 2 (n 1) 1 n 1 （12 分） an
an 2 （14 分） n 1
从而
20、解： （1） f ' ( x) 3x 2 2ax b
1 ' 2 12 4 f ( ) 0 a b 0 a 依题意有： 9 3 3 2 （3 分） f ' (1) 0 3 2a b 0 b 2 ' 2 （2）由（1）可得 f ( x) 3x x 2 (3x 2)( x 1) ， 2 ' ' 由 f ( x) 0 x 或x 1 （4 分） 。当 x 变化时， f ( x), f ( x) 变化情况如下表： 3 2 2 2 ( ,1) (, ) x 1 (1, ) 3 3 3 0 0 f ' ( x) 单调递增 f ( x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 2 2 （7 分）所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (, ) ， (1, ) ,递减区间是 ( ,1) ； 分） （9 3 3 1 2 3 （3） f ( x) x x 2 x c, x [ 1, 2] ， 2 1 2 22 3 c ， f (1) c ， f (2) 2 c ， 又 f ( 1) c ， f ( ) 2 3 27 2
∴
CD AB
… …(6 分)
C A D B
∵ PD AD D
∴ AB 平面 PCD ……(8 分)
（2）由（1）得 AB 平面 PCD ，而 PC 平面 PCD ∴ AB PC 16、解： （1） y ln x 1
'
… …(12 分)
北京市西城区2011年1月高二数学试题(理科)
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科） 2011.1本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块2-1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 下列命题中的真命题是（ ）A ．10x x ∀∈+>R ，B ．21x x ∀∈-R ，≥0C ．||10x x ∃∈+<R ，D ．2x x ∃∈R ，≤02. 设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是（ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3. 已知向量(1,,2)m =a ，(2,1,2)=--b ，且1cos ,3〈〉=a b ，那么实数m =（ ）A ．4-B ．4C ．14D ．14-4. “0mn <”是“方程221mx ny +=表示双曲线”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 若椭圆221y x k+=的离心率是12，则实数k 的值是（ ）A ．3或13B ．43或34C ．2或12D ．23或326. 在长方体1111ABCD A BC D -中，AB =11AA =，那么11A B CC ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7. 已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==2BC =，则二面角A BC D --的大小是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8. 已知命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，给出下列四个结论：① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题； ③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题. 其中正确的结论为（ ） A ．①、③ B ．②、③C ．①、④D ．②、④9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,2)A ，(0,2,1)B .点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD 的最小值是（ ）A ．5B ．5C ．2D10.设椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且121PF PF ⋅=，那么点P 到椭圆中心的距离是（ ）A ．32BC D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是：__________________． 12．已知向量(3,4,5)=a ，(0,0,1)=b ，那么,〈〉=a b _______.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同， 那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为___________．14．已知椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，则2PF =______. 15．已知平面α的一个法向量是(1,1,1)=-n ，且平面α经过点(1,2,0)A .若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________________.16．已知两点(10)A ，，(0)B b ，．如果抛物线24y x =上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形， 那么实数b =________．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-，直线20x y --=与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥， 12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小； （2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.19．（本小题满分12分）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线1C 上的动点P 满足1212PF PF F +=.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，当1C 和2C 有四个不同的交点时，求实数m 的取值范围.0.04分数0.030.020.01B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 1． 对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年 的平均身高是cm ．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175 cm 的概率为 ．2．期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计， 全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分 之间. 将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为 ．若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90100]，内的学生中抽取的人数应为 ．3．阅读如图所示的程序框图，当输出结果为6时，在处理框中 ① 处的数值应该是 ．4．一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号 为n ，那么随机事件“m n ≤1”的概率是 ． 5．已知圆的半径是1，A 为圆周上的一个定点，在该圆周上随机 取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率是 ．6．已知n 次多项式()nin i i S x a x==∑．① 当0x x =时，求0()n S x 的值通常要逐项计算，如：计算22020100()S x a x a x a =++共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算0()n S x 的值共 需要 次运算．② 我国宋代数学家秦九韶在求0()n S x 的值时采用了一 种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示， 依此算法计算0()n S x 的值共需要 次运算．二、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，E 是SD 的中点，AD2DC SD ==.（1）证明：SB ∥平面ACE ； （2）求二面角A SB C --的余弦值； （3）设点F 在侧棱SC 上，60ABF ∠=，求SFFC. 8．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当1m =-时，求△MAB 的面积； （3）求△MAB 的内心的横坐标．北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科）参考答案及评分标准2011.1A 卷 [选修 模块2-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．B ； 10．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x ∀∈R ，21x x --≤0； 12．45︒； 13．(4,0)±，y =；14．215．30x y z +--=； 16．5或13-．注：13题每空2分；16题少解给2分，有错解不给分．三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）（1）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 1p =，所以抛物线的方程为22y x =. ……………… 5分（2）证明：将2x y =+代入22y x =，消去x 整理得2240y y --=. ……………… 7分设11(,)M x y ，22(,)N x y .因为点M ，N 的纵坐标1y 与2y 是上述方程的两个根，所以124y y =-.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得2212124y y x x =，所以 21212()44y y x x ==. ……………… 10分因为 12120OM ON x x y y ⋅=+=，所以 OM ON ⊥，即 OM ON ⊥. ……………… 12分18．（本小题满分12分）解：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又AC BC ⊥，故CA ，CB ，1CC 两两垂直.如图，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系. ………… 1分 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B . 所以1(2,0,2)AC =-，11(2,2,0)AB =-. ………… 3分 因为 1111111111cos ,2AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉==， ……………… 5分所以直线1AC 和11A B 所成角的大小是60︒. ……………… 6分（2）设平面11ABB A 的一个法向量是(,,)a b c =n ，则110AB ⋅=n ，10AA ⋅=n ，即 220,20,a b c -+=⎧⎨=⎩ 取1a =，得(1,1,0)=n . ………………8分设直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为θ，其中0θ︒<≤90︒. 因为 111||1sin cos 2||||AC AC AC θ⋅=〈〉==，n n n ， ………………11分所以 30θ=，即直线1AC 与平面11ABB A 所成角的大小是30. ……………… 12分19．（本小题满分12分）解：（1）依题意12PF PF +=124FF =，且12F F <所以 曲线1C 是以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点，长轴长为. ……………… 2分设椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其半焦距为(0)c c >.因为2a =24c =，2224b a c =-=，所以 曲线1C 的方程为22184x y +=. ……………… 5分（2）因为 曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，所以 当0,x y >≥0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m +=>；当x ≤0,0y >时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -+=>； 当0,x y <≤0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m --=>； 当x ≥0,0y <时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -=>.所以 曲线2C 是以(,0)m ，(0,)m ，(,0)m -，(0,)m -四个点为顶点的正方形. ……………… 7分因为 曲线1C 和2C 有四个不同的交点，且曲线1C 、2C 均是关于x 轴、y 轴对称的曲线， 所以 曲线 (0)x y m x m +=<≤与1C 有且仅有一个交点.所以 方程组22(0),184x y m x m x y +=<≤⎧⎪⎨+=⎪⎩有且仅有一组解，即关于x 的方程2234280x mx m -+-=在区间(0,]m 内有且仅有一个实数根0x . ……………… 9分设22()3428f x x mx m =-+-.情形 ① 22012(28)0,0,m m x m ∆⎧=16--=⎨<≤⎩解得m = ………………10分情形 ② 0,(0)0,()0,m f f m >⎧⎪>⎨⎪<⎩解得2m <<………………11分所以 实数m的取值范围是m =2m << ……………… 12分注：如果学生通过数形结合，画图得出正确结果，请相应给分.B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．1．173，15； 2．350，18； 3．10； 4．58； 5．1π； 6．(3)2n n +，2n ．注：1、2、6题每空2分．二、解答题：本大题共2小题，共26分．（如有其它方法，仿此给分） 7．（本小题满分13分）因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ，DC ，DS 两两垂直.如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. …………………1分则 (0 0 0)D ，，， 0)B ，(0,0,2)S ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E .（1）证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，连接EO ， 所以O . 因为 2(1)2EO =-，(2 2 2)SB =-，，， 所以 2SB EO =， 所以 SB ∥EO . 因为 EO ⊂平面ACE ，SB ⊄平面ACE ， 所以SB∥平面A. …………………4分（2）解：设111(,,)a b c =u 是平面CBS 的一个法向量，则0BC ⋅=u，0SC ⋅=u ，因为(BC =，(0,2,2)SC =-， 所以1110,220,b c ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 取11b =，则(0=u . …………………6分设222(,,)a b c =v 是平面ABS 的一个法向量，则0AB ⋅=v ，0SA ⋅=v ， 因为0 0)A ， 所以 (0,2,0)AB =，(2,0,2)SA =-，所以22220,20.b c =⎧⎪-=取21a =，则(,0,)=v . …………………8分 设二面角A SB C --的大小是θ，θ为钝角.因为cos θ⋅==u v u v ， 所以二面角A S--的余弦值是6-. …………………9分（3）证明：设(0)SF FC λλ=>. …………………10分 则 22(0,,)11F λλλ++，22(,)11BF λλ-=++， 又 (0,2,0)BA =-，,60BA BF 〈〉=， 故 cos60BF BA BF BA ⋅=，即41λ=+ 解得 1λ=. 所以1SFFC=. …………………13分高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 11 页（共8页） 武警印刷厂印制8．（本小题满分13分）解：（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ．所以 2222222314c a b b a a a -==-=， 即2a b =． …………………2分 由222,411,a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22182x y +=． …………………4分 （2）将12y x m =+代入22182x y +=， 消去y 整理得 222240x mx m ++-=．令2244(24)0m m ∆=-->，解得20m -<<．设点1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x m +=-，21224x x m =-． …………………6分当1m =-时，122x x +=，122x x =-．此时AB === …………………7分点(2,1)M 到直线220x y --=的距离为d ==， …………………8分所以 △MAB的面积是12S AB d =⋅=．…………………高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 12 页（共8页）武警印刷厂印制 9分（3）设直线MA ，MB 的斜率分别是1k ，2k ，△MAB 内切圆的圆心是I ， 则12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)yy y x y x k k x x x x ----+--+=+=----，由（2）得 1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+-- 122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++--1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+--224(2)(2)4(1)m m m m =-+----0=，…………………12分又 0m <， 所以 AMB ∠的平分线MI 垂直于x 轴，因此 △MAB 的内心的横坐标是2．…………………13分。
2011—2012学年度第二学期考高二数学(选修2-2)期中考试卷
2011—2012学年度第二学期期中考高二年数 学（理科） 试 卷(完卷时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分。
)1、函数2x y =在区间[1,2]上的平均变化率为（ ） A 、4 B 、5 C 、2 D 、32、i i i 5)3()5(----等于（ ）A 、i 5B 、i 52-C 、i 52+D 、2 3、命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（ ） A 、有两个角为钝角 B 、有三个有为钝角 C 、至少有两个角为钝角 D 、没有一个角为钝角 4、已知23)(23++=x ax x f ，若4)1(/=-f ，则a 的值为（ ）A 、310 B 、313 C 、316 D 、319 5、函数51232)(23+--=x x x x f 在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ）A 、5 ，－15B 、5 ，－4C 、－4 ，－15D 、－5 、－15 6、下列积分值等于1的是（ ） A 、⎰1xdx B 、⎰101dx C 、⎰+1)1(dx x D 、⎰1021dx 7、若bi a ii+=-+271 ),(R b a ∈，则b a ∙的值是（ ） A 、－15 B 、3 C 、－3 D 、158、若曲线01),02=+-++=y x b b ax x y 处的切线方程是在点（，则（ ） A 、1,1-=-=b a B 、1,1=-=b a C 、1,1-==b a D 、1,1==b a 9、曲线)0(cos π≤≤=x x y 与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、210、已知函数在62)(2+-=ax x x f 区间），（－3∞是减函数，则（ ）A 、3≥aB 、0>aC 、3≤aD 、3<a 11、设)(21312111)(+∈+∙∙∙++++++=N n nn n n n f 则=-+)()1(n f n f （ ）A 、121+n B 、221121+-+n n C 、221121+++n n D 、221+n12、对于函数233)(x x x f -=，给出下列四个命题：①)(x f 是增函数，无极值。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意；对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意；对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.计算log416+等于（ ）A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【详解】log416+=2+3=5．【点睛】本题考查指数与对数运算性质，属于基础题．4.函数＝＋的定义域为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题，故选考点：函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f（x）的值域可得a＞1，然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）；∴a＞1；又f（-4）=a3，f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．【点睛】本题考查指数函数的单调性，并且会根据单调性比较函数值的大小．8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（ ）【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，由题知y=f（x）与y=m恰有3个交点，观察图像即可得到答案．【详解】由已知a•b=得f（x）=（2x-1）•（x-2）= ，其图象如下：因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，所以0＜m＜，故选：C．【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁U A=___．【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x＜1或x＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．【点睛】本题考查集合的补集的运算，属基础题.10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第___象限．【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故答案为:一．【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换．11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a，解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=，解得lg5=．log56=b=，∴lg6=blg5=．故答案为：．【点睛】本题考查了对数运算性质，重点考查对数换底公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.函数y=（x≤0）的值域是______．【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域．【详解】y=∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．【点睛】考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数值域的求法，属基础题．13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．【答案】（2，3]【解析】【分析】根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，可得f（x）在R上为单调递增，则即解得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2，3]．【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；②存在x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．【答案】①②③【解析】【分析】在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[（）x+（）x-1]＞c x（+-1）=c x•＞0，故①正确；在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【答案】（1）4 ；（2）见解析.【解析】【分析】(1)将点（，2）代入函数解析式，即可得到a值；（2）按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况，分类讨论，求得f（x）的值域．【详解】（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（，2），∴=2，∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1，当a＞1时，单调递增，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=，故函数的值域为[，+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1，当0＜a＜1时，单调递减，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=，又f（x）＞0，故函数的值域为．综上:当a＞1时，值域为[，+∞）．当0＜a＜1时，值域为．【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用，主要考查函数的单调性和函数值域问题．16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=-3或a=1；（2）{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}.【解析】【分析】（1）根据A∩B={2}，可知B中有元素2，带入求解a即可；（2）根据A∪B=A得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围．【详解】（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞；当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，若只有一个实数根，x=1或x=2，则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a=，∴a=-3．若只有两个实数根，x=1、x=2，△＞0，则-3＜a＜；则（a-1）=-3，可得a=-2，a2-5=2，可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并，交集及其运算，考查数学分类讨论思想.17.函数f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断并用定义证明f（x）在（+∞）的单调性．【答案】（1）a=5，b=0；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，则f（-1）=-f（1）=-1，则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f（x）=，设＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．18.已知二次函数满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2；（2）t＞10；（3）m＜-10或m≥-2.【解析】【分析】（1）用待定系数法设二次函数表达式，再代入已知函数方程化简即可得答案；（2）分离参数后求f(x)的最大值即可；（3）先求无零点时m的范围，再求补集．【详解】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4，∴a=2，b=-6∴f（x）=2x2-6x+2；（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，所以x=-1时，取最大值10，t＞10；（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10或m≥-2．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题，属于基础题.19.设a为实数，函数f（x）=+a+a．（1）设t=，求t的取值范图；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．【答案】（1）[，2]；（2）h（t）=at+，≤t≤2；（3）g（a）=．.【解析】【分析】（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．【详解】（1）t=，可得t2=2+2，由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，又t≥0可得≤t≤2，即t的取值范围是[，2]；（2）由（1）可得=，即有h（t）=at+，≤t≤2；（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，则g（a）=（-2）a-1；当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，则g（a）=（2-）a+1；当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，可得g（a）=2+2a+a2；若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，可得g（a）=a+1+a2；综上可得g（a）=．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．。
北京市一零一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
北京市一零一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．10B ．9C ．8D ．7三、解答题17．已知数列{}na 的前n 项和为n S ，且满足1232,n n a a S a +=+=．等式()0f x ¢<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.19．(1)10x y ++=(2)()1,-+¥(3)3a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导()()2e 2x f x x a x +¢=-，由函数()f x 在()3,0-上存在单调递减区间，可得()()2e 02x f x x a x ¢-+=<在()3,0-上有解，即220x x a +-<在()3,0-上有解，从而可得出答案；（3）先利用导数分1a £-和1a >-两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可求得函数的最小值，再结合题意即可得出答案.【详解】（1）当1a =时，()()2e 1x f x x =-，则()()2e 21x f x x x ¢=+-，故()()01,01f f ¢=-=-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()1y x --=-，即10x y ++=；（2）()()2e 2x f x x a x +¢=-，因为函数()f x 在()3,0-上存在单调递减区间，所以()()2e 02x f x x a x ¢-+=<在()3,0-上有解，即()221021x a x a x -=+-+-<在()3,0-上有解，所以10a --<，解得1a >-，（3）确定11b =，232b b ==，依此类推，发现规律，得出q b ，从而求出 12q b b b +++L 的值．【详解】（1）由使得1n n a a +<成立的n 的最大值为m b ，数列{}n a 为1,4,7,10,L ，得1n a £，则11b =，2n a £，则21b =，3n a £，则31b =，4n a £，则42b =，所以12342,,11,1b b b b ====；（2）由题意，得1231n a a a a L L =<<<<<，结合条件*N n a Î，得n a n ³，又因为使得n a m £成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m £+成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1(N )m m b b m +£Î.，设2a k =，则2k ³，假设2k >，即22a k =>，则当2n ³时，2n a >，当3n ³时，1n a k ³+，所以21b =，2k b =，因为{}n b 为等差数列，所以公差210d b b =-=，所以1n b =，其中*N n Î，这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =，又因为123n a a a a <<<<<L L ，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*N n Î，因为使得n a m £成立的n 的最大值为m b ，所以n a n £，由n a n ³，得n a n =；（3）设2(1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<L L ，所以1211k b b b -====L ，且 2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个，设3()a l l k =>，则112k k l b b b +-====L ，且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个，以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个.，所以1221321()2()(1)()q p p b b b a a a a p a a p-+++=-+-++--+L L121(1)p p a a a p a p-=----+-+L 121()p p p pa p a a a a -=+-++++L (1)p q A =+-，即12(1)q b b b p q A +++=+-L .【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.。
北京市101中学2010
北京市101中学2010-2011学年上学期初中九年级第二次月考数学试卷考试时间：120分钟 满分：120分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 4的平方根为（ ）A. 4B. 2C. 2±D. 16 2. 下列运算中正确的是（ ）A. ()222b ab a b a ++=+ B. 632623a a a =⋅C.b a ab ⋅= C. aaa 4122123=÷3. 若032=-++y x ，则xy 的值为（ ）A. 1B. －6C. 5D. 64. 若两圆的半径分别是1㎝和5㎝，圆心距为6㎝，则这两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离5. 抛物线()3122-+=x y 的顶点坐标是（ ）A. (－1,3)B. (1,－3)C. (－1,－3)D. (1,3)6. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，A 、B 是格点，将ABO ∆绕点O 按顺时针方向旋转90°，得O B A ''∆，则点A 的对应点A '的坐标为（ ）A. （1，3）B. （－1，－3）C. （2，1）D. （3，1）7. 函数xx y 2+=中，自变量x 的取值范围是（ ）A. 2-≥xB. 02≠-≥x x 且C. 02≠->x x 且D. 2->x8. 已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线),(),,(,1222211y x P y x P x -=是抛物线上的点，),(333y x P 是直线l 上的点，且2131x x x <<-<，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A. 321y y y <<B. 213y y y <<C. 132y y y <<D. 312y y y <<9. 如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⋂EF 上，若OA=3，21∠=∠，则扇形OEF 的面积为（ ）A. 3πB. 2πC. πD.无法计算10. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数ac b bx y 42-+=与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）二、填空题：本大题共6小题，每空4分，共28分。
2011年高二下学期期中考试数学试题(理科)
2011年高二期中考试数学试题（理科）满分：150分 答题时间：120分钟一、 选择题：（每个小题有且只有一个答案正确，每题5分， 计60分）1． 曲线323y x x =-在点1(1,)3-处的切线的倾斜角为（ ） A ．1 B.4π C.34π D.54π 2已知向量18,b a b b →→→→→∙==与=（2，-1，2）共线，且满足a 则向量 （ ）A ．(2,-4,5) B.(3,-2,5) C. (5,-2,3) D.(4,-2,4) 3.下列推理是归纳推理的是：（ ）A ．若A 、B 为两个定点，动点P 满足2,(PA PB a AB a +=>为常数）， 则得点P 的轨迹是椭圆。
B ．由1231,31,,,n a a n S S ==-1求出S 猜出数列{}n a 的前n n S 项和的表达式。
C ．由圆22222222,1.x y x y r r ab a bππ+=+=的面积猜出椭圆的面积是D ．科学家用鱼的沉浮原理制造潜艇。
4．若函数32()33(2)1f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞. B.(,1)-∞- C. (2,)+∞ D.(,1][2.)-∞-+∞ 5．下列说法正确的有（ ）个①演绎推理是由一般到特殊的推理。
②由演绎推理得到的结论一定是正确的。
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式。
④演绎推理的结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关。
A ．1 B.2 C.3 D.46.设()ln f x x x ='00且f(x )=2.则x =（ ）A ．2e B.e C.ln 22D.ln2 7.计算：22(1cos )x dx ππ-+⎰ = （ ）A ．π B2 C.2π+ D.2π-8．函数y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A ．3(,)22ππB.35(,)22ππC.(2,3)ππD.(,2)ππ 9．设直线1ln 2y x b y x b =+=是函数的一条切线，则的值为（ ） A ．ln 21- B.ln 2 C.ln32- D.ln31- 10．在数列{}n a 中，12,n n n a a a ++=-且1252,5,a a a ===则A ．-3 B.19 C.-11 D.511已知：111ABC A B C -在三棱柱中， 侧棱与底面边长相等，1A 顶点在底 面上的射影为BC 的中点，则异面直线1AB CC 与所成的角的余弦为 （ ）A．4 B。
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北京市101中学2011-2012学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若i R b a ,,∈是虚数单位，且i i b a +=-+1)2(，则b a -的值为（ ）
A. －2
B. －4
C. 2
D. 4
2. 在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的距离为（ ） A.
22 B. 1 C. 2 D. 2 3. ⎰π
π-+22)cos 1(dx x 等于（ ）
A. π
B. 2
C. 2-π
D. 2+π 4. 从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 和PCD ，AB 是圆O 的直径，若3,5,4===CD PC PA ，则=∠CBD （ ）
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
5. 若X ～Y B ),3,0,5(～N )4,1(，则=+)()(Y E X E （ ）
A. 2.5
B. 2.05
C. 6
D. 9
6. 现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（ ）
A. 16
B. 18
C. 24
D. 32
7. 从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则==)3(X P （ ） A. 103 B. 107 C. 4021 D. 40
7 8. 1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（ ）
A. 0.01
B. 0.19
C. 0.1
D. 0.2
二、填空题共6小题。
9. 若n x
x )1(+展开式中第二项与第六项的系数相等，则=n ；展开式中
间一项的系数为 。
10. 从如图所示的长方形区域内任取一个点),(y x M ，则点M 取自阴影部分的概率为 。
11. 复数z 满足2=-++i z i z ，则1++i z 的最小值是 。
12. 将5位志愿者分成3组，分赴三个不同的地区服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
13. 在极坐标系中，曲线θ=ρsin 32和1cos =θρ相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是 。
14. 已知ABC ∆中，4,3,90==︒=∠BC AC c ，一个圆心为M ，半径为2
1的圆在ABC ∆内，沿着ABC ∆的边滚动一周回到原位。
在滚动过程中，圆M 至少与ABC ∆的一边相切，则点M 到ABC ∆顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 。
三、解答题共5小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 已知复数1,34)43()3)3(231=+-+=z i
i i z 。
（1）求1z ；
（2）求21z z -的最大值。
16. 已知7
722107)23(x a x a x a a x ++++=- ，求（请写出最后结果）：
（1）721a a a +++ ；
（2）6420a a a a +++；
（3）7210a a a a ++++ 。
17. 将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5）和一个正四面体（四个面分别标有数字1，2，3，4）同时抛掷一次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”。
设复数bi a z +=。
（1）若集合=A {z z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；
（2）求事件“复数在复平面内对应的点（a ，b ）满足9)6(22≤-+b a ”的概率。
18. 某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，决出胜负即停止比赛。
按以往的比赛经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为
32。
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率；
（3）设比赛的局数为X ，求X 的分布列和数学期望。
19. 在数列}{},{n n b a 中，4,211==b a ，且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈。
（1）求432,,a a a 及432,,b b b ，由此猜测}{},{n n b a 的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：12
51112211<++++++n n b a b a b a 。
【试题答案】
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. D
8. B
9. 6；20
10. 3
1 11. 1
12. 150
13. 2
14. 6,2
2 15. （1）化简i z 36361+=，所以661=z ；
（2）21z z -表示复数1z 和2z 对应的点之间的距离，所以661max 21+=-z z 。
16. （1）由已知得1)123(,3771070=⨯-=+++=a a a a ，所以=+++721a a a 2186317-=-；
（2）另原式中的1-=x ，得7732105=-+-+-a a a a a ，所以420(2a a a ++ 7651)+=+a ，所以390636420=+++a a a a ；
（3）依题意得展开式中偶数项的系数都小于零，所以=++++7210a a a a 781255773210==-+-+-a a a a a 。
17. （1）}9,8,7,6{i i i i A =；
（2）基本事件空间中基本事件的个数为24。
设满足“复数在复平面内对应的点（b a ,）满足9)6(2
2≤-+b a ”为事件B 。
当0=a 时，9,8,7,6=b 满足9)6(22≤-+b a ；
当1=a 时，8,7,6=b 满足9)6(22≤-+b a ；
当2=a 时，8,7,6=b 满足9)6(22≤-+b a ；
当3=a 时，6=b 满足9)6(22≤-+b a 即B 包含的基本事件为：
)6,3(),8,2(),7,2(),6,2(),8,1(),7,1(),6,1(),9,0(),8,0(),7,0(),6,0(共11个。
所以24
11)(=B P 。
18. （1）27
8)32
(31==P ； （2）81
6432)31()32(3231)32()32(222422332=⋅⋅+⋅⋅+=C C P ； （3）X 的分布列如下：
27
107)(=X E 。
19. （1）25,20,16,12,9,6443322======b a b a b a ，
猜想2)1(),1(+=+=n b n n a n n ，
用数学归纳法证明：
①当1=n 时，由上述可得结论成立；
②假设当k n =时，结论成立，即2)1(),1(+=+=k b k k a k k ，
当1+=k n 时，k k k k k k b a b k k k k k a b a 22121),2)(1()1()1(22+++=++=+-+=-= 2)2(+=k 。
所以当1+=k n 时，结论也成立。
由①②，可知2)1(),1(+=+=n b n n a n n 对一切正整数都成立。
（2）当1=n 时，,12
561111<=+b a 当2≥n 时，由（1）知)1(2)12)(1(+>++=+n n n n b a n n ，所以
221111b a b a +++ 1254161)1121(2161)1(1431321(21611=+<+-+=+++⨯+⨯+<+++n n n b a n n ，综上，原不等式成立。