(八年级数学教案)第四册一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教案
本节内容旨在帮助学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系，为解决实际问题和进行后续学习打下基础。
最后，我感到欣慰的是，尽管存在一些挑战，但大多数学生还是能够跟上课程的节奏，并在小组讨论和实践中展现出积极的学习态度。我会根据今天的反思，调整教学方法，以期在下一节课中更好地帮助学生理解和掌握一元二次方程的根与系数关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的意义及其与根的关系。
-举例解释：重点讲解判别式Δ的应用，如何通过判别式判断方程有几个实数根、无实数根或有重根，以及如何利用根与系数的关系求出方程的根的和与积。
-核心内容强调：
a.判别式Δ的计算方法及其与一元二次方程根的数量的关系。
-难点突破方法：
a.通过具体的例子，逐步引导学生理解判别式的计算过程，并解释其在判断根的性质时的作用。
b.设计不同类型的实际问题，指导学生如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
c.采用直观的图表或动画辅助教学，帮助学生形象理解根与系数之间的关系。
d.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决难点问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。这是指在ax²+bx+c=0的一元二次方程中，根x1、x2与系数a、b、c之间的数学关系。这种关系在数学分析和问题解决中具有重要地位。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
一元二次方程的根与系数的关系优秀教案
课题：一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
（一）知识与技能
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
（二）过程与方法
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
（三）情感态度与价值观
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养孩子观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、重点难点
1、重点一元二次方程根与系数的关系
2、难点对根与系数关系的理解和推导
三、教学过程。
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
初中数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系一、教学目标知识与技能：理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，并能够运用该性质求解一元二次方程根的相关问题。
过程与方法：学生通过小组讨论、自主探究等过程，培养学生的创新意识和探究能力。
情感态度与价值观：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系——韦达定理。
难点：方程中两个根之间关系的归纳探究过程。
三、教学过程（一）导入新课【教师活动】通过复习导入的形式询问学生有关一元二次方程的一般形式是怎样的？求根公式是什么？【学生活动】学生通过思考很容易得出一元二次方程的一般形式和求根公式42b x a -=。
【教师活动】顺势提出问题“对于一元二次方程如果有2个根，那么这两个根在数值上是否存在某种特殊的关系呢”？进而导入新课。
【设计意图】复习原有的一元二次方程的求根公式，为接下来研究根与系数的关系，奠定了知识基础，有利于新课的探究。
（二）新课讲授1.感知新知【教师活动】教师出示一元二次方程2340--=x x ，组织学生求解，猜想这两个根在数值上与方程的各项的系数有什么关系”【学生活动】独立求解，得到方程的两个根。
【设计意图】通过一个简单的例子，学生可以先感知，两个根与系数的关系，提高数学抽象能力。
2.生成新知【教师活动】引导学生将()()120x x x x --=进行展开，然后合并同类项，学生通过化简从而得到()212120x x x x x x -++=。
【教师活动】引导学生用p -表示12x x +，用q 来表示12x x 并结合之前学习的有关一元二次方程的求根公式通过小组讨论探究两个根与一元二次方程的系数之间的关系。
【学生活动】学生通过小组讨论最终不难发现1212b c x x x x a a+=-=，即韦达定理。
【设计意图】经历特殊到一般的腿到过程，发展学生的合情推理能力。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标(一)知识与技能通过观察、归纳、类比、讨论等活动，探索并掌握一元二次方程的根与系数的关系．(二)过程与方法通过对方程的求解过程进行回顾，渗透从特殊到一般的数学思想，并培养学生的观察、探究能力．(三)情感态度与价值观通过一元二次方程根与系数的关系的探究，培养学生初步形成对数学整体性的认识以及前后一致的逻辑推理能力．二、教学重难点教学重点：掌握一元二次方程的根与系数的关系．教学难点：将根的判别式由数值计算推广到字母运算，正确理解判别式的意义．三、教学过程(一)导入新课，明确目标师：同学们，上一节课我们学习了如何解一元二次方程，并且通过几道例题对解法进行了具体的阐述。
今天我们将在此基础上，探究一元二次方程的根与系数的关系。
那么什么是一元二次方程的根与系数呢？如何用数学语言描述呢？带着这些问题，我们一起学习今天的课题“一元二次方程的根与系数的关系”。
(二)自主探究，掌握新知定义一元二次方程的根与系数。
师：首先请同学们思考一下，一元二次方程的根是什么？系数又是什么？他们之间存在什么样的关系呢？现在我们一起来探讨一下。
假设ax²+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，那么x1,x2是它的两个实数根。
其中a、b、c分别是方程的系数。
那么，根与系数之间存在什么样的关系呢？我们可以通过以下步骤进行探究：(1)分别计算出x1+x2和x1x2的值；(2)根据计算结果，总结根与系数的关系。
通过实例探究根与系数的关系。
师：现在我们通过一个具体的实例来探究一元二次方程的根与系数的关系。
例如，方程2x²-4x-6=0的两个根分别为x1=x2=1，则x1+x2=2，x1x2=-3。
那么我们可以发现，对于任何一个一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，它的根与系数之间都满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
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第四册一元二次方程根与系数的关系八年级数学教案一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。
教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2=得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。
然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。
韦达定理是初中代数中的一个重要定理。
这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。
出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
（三）教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
二、设计理念根据教材内容和本人研究的课题《初中数学问题引探教学实验研究》，在教学中渗透新课标的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。
三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。
2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。
引导学生发现问题，师生共同解决问题。
3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。
4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。
（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、课时划分及教学过程（一）课时划分共分3课时第一课时1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
第二课时1、已知两数求作新方程。
2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
第三课时方程判别式、根与系数的关系的综合应用。
第一课时一元二次方程根与系数的关系（1）一、教学目标1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
●二、重难点根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。
●三、教学过程（一）问题引探问题在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？问题3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-2=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠）的根x1，x2与a、b、之间的关系：____________.问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
若方程ax2+bx+c=0（a≠）的两根为x1=x2=,则x1+x2= +=;x1 x2= ·==即：如果ax2+bx+c=0 （a≠）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。
这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠）中，a、、c的作用吗？（引导学生反思性小结）①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠时，b=0，ac异号，方程两根互为相反数；③当a≠时，△=b2-4ac可判定根的情况；④当a≠，b2-4ac ≥时，x1+x2=，x1x2=⑤当a≠，c=0时，方程有一根为。
说明：1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。
（二）尝试发展试一试：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0x1+x2=________ x1x2=_________2）3x2+5x=0x1+x2=________ x1x2=__________（3）5x2+x-2=0x1+x2=_________x1x2=__________（4）5x2+kx-6=0x1+x2=_________x1x2=__________（此试一试作为巩固知识而用）尝试题、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。
组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。
学生练习：P32 2。
尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;.(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)（三）拓展创新1、在尝试2中能否求（x1－x2）的值？2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠，能否求a+b与ab的值？说明：1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。
2、尝试题、2让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。
3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。
（四）归纳小结本课主要研究了什么？1、方程的根是由系数决定的。
2、a≠时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。
3、a≠，且b2-4ac≥时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2=4、b2-4ac的值可判定根的情况。
5、a≠，△≥时，x1+x2=，x1x2=。
6、方程根与系数关系的有关应用。
（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。
（五）布置作业P33A 1、2B1（1）练习：１．已知三角形的两边长a、是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。
2、已知关于x的方程x2－2mx+m2=0.其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的长（1）求征这个方程有两个不相等实数根.（2）若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积．3、已知二次函数y=x2+2ax －2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的图象都经过x轴上两个不同的点,求这两个函数的解析式.。