导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第五章 平面向量 5-2 Word版
必修二《平面向量的概念》教案、导学案、同步练习
《6.1平面向量的概念》教案小和方向怎样表示？字母表示法：大写字母和小写字母。
箭头表示向量的方向，线段的长度表示大小。
知识探究（三）：向量的模和两类特殊向量思考：有什么含义？向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作||.两类特殊向量：零向量和单位向量。
思考：1. 与0有区别吗？为什么？2. 零向量和单位向量的方向呢？3. 平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？判断1.向量的模是一个正实数。
（）2.若|a|>|b| ，则a > b。
（）注:向量不能比较大小例1. 如图，分别用向量表示A地至B、C两地的位移,并根据图中的比例尺，求出A地至B,C两地的实际距离（精确到1km）知识探究（四）：向量之间的关系思考：观察图象，探究发现平行向量。
平行向量：方向相同或相反的叫做平行向量. 记作 //.共线向量：平行向量又称为共线向量.思考：是相同的向量吗？学生根据动态变化图，观察探究的出向量之间的关系。
利用例题引导学生掌握本节课知识,并能够灵活运用.利用数形结合的思想，化抽象为具体，提高学生的抽象能力和逻辑思维能力。
例题的3问三种类型，加深学生对基础知识理解，并能够灵活运用基础知识解决具体问题。
ABABABa b,AB BA《6.1 平面向量的概念》导学案【学习目标】一、向量的概念和表示方法1．向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． 2．向量的表示(1)表示工具——有向线段．有向线段包含三个要素： ， ， ． (2)表示方法：向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a ，b ，c ，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.AB →AB →AB →CD →思考（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？（2）两个向量可以比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？ （3）两个向量的长度可以比较大小吗？ 二、向量的模及两个特殊向量(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的______ (或称模)，记作______． (2)零向量：长度为______的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于__________________的向量． 思考（1）零向量的方向是什么？ （2）两个单位向量方向相同吗？ 三、相等向量与共线向量1. 且 的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，记作a ＝b .2.方向 的非零向量叫做平行向量，如果向量a ，b 平行，记作a ∥b .任一组 向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做 ．3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.( ) (2)向量就是有向线段．( )(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上．( ) (4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( ) (6)任意两个单位向量都相等.( )2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有 。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习配套课件-第五章 平面向量 5-2
→ ＝2DB →， 跟踪训练 1 已知△ABC 中， 点 D 在 BC 边上， 且CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则 r＋s 的值是( CD 2 A.3 4 B.3 C．－3 ) D．0
→ ＝(x－7，y－1)，CB → ＝(1－x，4－y)， (2)设 C(x，y)，则AC
x － 7 ＝ 2 （ 1 － x ） x＝3 → → ∵AC＝2CB，∴ ，解得 . y－1＝2（4－y） y＝3
1 1 ∴C(3，3)．又∵C 在直线 y＝2ax 上，∴3＝2a·3，∴a＝2.
k→ → ＝(1－k)AB＋4AC，
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第五章 平面向量
2→ k 2 → → 且AP＝mAB＋11AC，所以 1－k＝m，4＝11， 8 3 解得 k＝11，m＝11. 3 【答案】 (1)D (2)11
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第五章 平面向量
【思维升华】 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实
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第五章 平面向量
【解析】 由已知得 a＝(5， －5)，b＝(－6， －3)，c＝(1， 8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
θ
， 若
a∥b，
【答案】 (1)×
(2)×
高三数学复习教案第五章平面向量新人教版必修409
第九教时教材：向量平行的坐标表示目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三)2．平面向量的坐标运算法则练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MP MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC =(-3,-3)3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。
解：∵AB =(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴AB =2DC ∴AB ∥DC 且 |AB |≠|DC | ∴四边形ABCD 是梯形二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b ρ=λa ρ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？2．推导：设a ρ=(x 1, y 1) b ρ=(x 2, y 2) 其中b ρ≠a ρ由a ρ=λb ρ (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2-x 2y 1=0结论：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ρ≠0∴x 2, y 2中至少有一个不为02︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为03︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、应用举例例一（P111例四） 例二（P111例五）例三 若向量a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2)共线且方向相同，求x 解：∵a ρ=(-1,x)与b ρ=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a ρ与b ρ方向相同 ∴x=2例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量AB 与CD 平行吗？直线AB与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) CD =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴AB ∥CD又：AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) AB =(2, 4) 2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD2．证明下列各组点共线：1︒ A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2︒ P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)3．已知向量a ρ=(-1,3) b ρ=(x,-1)且a ρ∥b ρ 求x五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示）六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题。
高三数学复习教案第五章平面向量新人教版必修401
第五章 平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
二、 提出课题：平面向量1． 意义：既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法： 1︒几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）2︒字母表示法：AB 可表示为a P95 例 用1cm 表示5n mail 3． 模的概念：向量AB 记作：|AB | 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。
0的方向是任意的。
注意0与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例：AB 与BA 是否同一向量？A BA(起点)B（终点）a答：不是同一向量。
例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。
三、 向量间的关系：1． 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a ∥b ∥c规定：0与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a =b规定：0=0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
高三数学复习教案第五章平面向量新人教版必修418
第十八教时教材：余弦定理目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。
过程：一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。
提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？2．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b a c += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、提出课题：余弦定理1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, cAC =AB +BC AC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=| AB |2+2|AB |•|BC |cos(180︒- B)+|BC |2=22cos 2a B ac c +-即：B ac c a b cos 2222-+=同理可得：A bc c b a cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1︒熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2︒知三求一3︒当夹角为90︒时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4︒变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+= acc b a C 2cos 222-+= 三、余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角2．已知三边和它们的夹角求第三边例一、(P130例4) 在△ABC 中，已知a =7, b =10, c =6 求A,B,C （精确到期1︒） 解略A B Cc a b例二、(P131例5) 在△ABC 中，已知a =2.730, b =3.696, C=82︒28’解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）解略例三、设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) a 与b 的夹角为θ （0≤θ≤π），求证：x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ证：如图：设a , b 起点在原点，终点为A ，B则A=(x 1, y 1) B=(x 2, y 2) AB =b -a在△ABC 中，由余弦定理|b -a |2=|a |2+|b |2-2|a ||b | cos θ ∵|b -a |2=|AB |2=|(x 2-x 1, y 2-y 1)|2=(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2|a |2=x 12+y 12 |b |2= x 22+y 22∴(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2= x 12+y 12+ x 22+y 22-2|a ||b | cos θ ∴x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ 即有a •b = x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ四、小结：余弦定理及其应用五、作业：P131练习 P132 习题5.9 余下部分O B A a b。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第五章 平面向量 5-4 Word版
5-4A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →【解析】 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点， 所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →， 故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 【答案】 D2．(2016·广东“十校”第一次联考)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形【解析】 AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．【答案】 D3．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形． 【答案】 C4．已知点A (－2，0)、B (3，0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6. 【答案】 D5．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76π D.73π 【解析】 由题意知M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫712π，－A ， 又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.【答案】 B6．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________．【解析】 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角， 又S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154.∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°.【答案】 150°7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________．【解析】 由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， 故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1，2)． 【答案】 (1，2)8．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．【解析】 ∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1，1)，ON →＝(0，1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识， 当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3. 【答案】 39．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .【证明】 建立如图所示的直角坐标系，设A (a ，0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫0，a2. 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a .∵AD →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2－(a ，0)＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝⎛⎭⎫a 3，23a ，∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0.∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2.(1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．【解析】 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝（cos α－3）2＋sin 2 α＝10－6cos α， |BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴α＝54π.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23>0.由于π2<α<3π2，∴3π4<α＋π4<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－73.故tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－147.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2【解析】 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.【答案】 D12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 先利用向量的加法法则求出AC →，再利用数量积坐标运算求解． 由四边形ABCD 为平行四边形， 知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)， 故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5. 【答案】 A13．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【解析】 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m )．若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12.由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m )． ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0， 可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →.故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－34，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 14．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．【解析】 方法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →.∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )·DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】 515．如图所示，已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．【解析】 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1，0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得 y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，所以λ1＋λ2＝－2－2m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2 ＝－2－2m ·4m－4＝0.。
高中数学导学案全套第五章 平面向量
第五章 平面向量§5.1 平面向量的概念及其线性运算【典题导引】例1．如图，在平行四边形OADB 中，设OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，13BM BC =，13CN CD =.试用a r ， b r 表示OM uuu r ，ON uuu r ，MN uuu r ．例2．设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =-．求证：,,A B D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线．O A B M N C （例1图）例3．已知,,O A B 是不共线的三点，且OP mOA nOB =+(,)m n R ∈．(1)若1m n +=，求证：,,A P B 三点共线；(2)若,,A P B 三点共线，求证：1m n +=.例4．已知点G 是ABO ∆的重心，M 是AB 边的中点．（1）求GA GB GO ++；（2）若PQ 过ABO ∆的重心G ，且O A a =，OB b =，OP ma =，OQ nb =，求证：113m n+=.§5.2 平面向量的基本定理与坐标表示【典题导引】例1．已知(1,1)A 、(3,1)B -、(,)C a b ．（1）若,,A B C 三点共线，求,a b 的关系式；（2）若2AC AB =，求点C 的坐标．例2．（2016⋅淮安四模）已知()()()cos ,sin ,3,1,0,m n ααα==-∈π． （1）若m n ⊥，求角α的值；（2）求||m n +的最小值．例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)p =-u r ，(8,0)A ，(,)B n t ，(sin ,)C k t θ，其中02πθ≤≤．（1）若AB p ⊥u u u r u r ，且AB =uu u r ，求向量OB uu u r ；（2）若向量//AC p uuu r u r ，当k 为大于4的某个常数时，sin t θ取最大值4，求此时OA uur 与OC uuu r夹角的正切值．例4．（2017⋅苏锡常镇二模改编）在ABC ∆中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是ABC ∆所 在平面内一点，若4||||AB AC AP AB AC =+，求PBC ∆面积的最小值．§5.3 平面向量的数量积【典题导引】例1．（2017⋅苏锡常镇二模）已知向量m ,1)x =-,n 2(sin ,cos )x x =．（1）当π3x =时，求⋅m n 的值；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅m n 12=，求cos 2x 的值．例2．（1）已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 ．（2）点M 的边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值是________；（3）若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为________．例3．如图，平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AB a =，DC b =．（1）求证：AD BC a b -=-；（2）若4AB =，CD =， 3EF =．①求a b ⋅的值；②若15AD BC ⋅=，求AC BD ⋅的值．例4．已知ABC ∆中，2AB =，BC =3AC =. （1）求AC AB ⋅的值；（2）设点O 是ABC ∆的外心.①求证：212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=； ②当AO pAB qAC =+时，求实数p 、q 的值.§5.4 平面向量的综合应用【典题导引】例1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）．（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值； （2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-．例2．已知向量1(cos cos )x x m =，，1(sin )222x x n =，[0,]x π∈． （1）设函数()f x m n =⋅，求函数()f x 的最大值和最小值以及对应的x 值；（2）若//m n ，求tan x 的值．例3．(2015⋅扬州期末)已知点(1,0)A -，(0,1)B ，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角； （2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅u u u r u u u r 的值.例4．在ABC ∆中，已知(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=．（1）求角A 的大小；（2）设D 为BC 的中点，O 为ABC ∆的外心（三角形各边中垂线的交点）．①当BC =ABC ∆的面积为AO AD ⋅uuu r uuu r 的值；②设AD 为ABC ∆的中线，当BC =时，求AD 长的最大值．。
最新高考数学一轮复习-第五章-平面向量及其应用、复数【导学案】
第五章｜平面向量及其应用、复数第一节平面向量的概念及其线性运算课程标准1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面向量的几何表示和基本要素．3．掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．4．掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．5．了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．[由教材回扣基础]1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，可在平面内自由平移零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±a |a |平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算叫做向量的加法(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b )＋c＝a ＋(b＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差a－b＝a＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa )＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b )＝λa＋λb3．共线向量定理向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa .澄清微点·熟记结论(1)设P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)若G 是△ABC 的重心，D 是BC 边的中点，则①GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0；②AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→)；③GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16(AB ―→＋AC ―→)．(3)在四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB ―→＋DC ―→＝2EF ―→.(4)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.(5)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)若向量AB ―→与向量CD ―→是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(3)当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)×(3)√二、练牢教材小题1．(湘教版必修②P11T3)化简：AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→＝________.答案：AB―→2．(人教B 版必修②P143例2改编)已知|a |＝1，|b |＝2，则|3a＋2b |的最大值和最小值分别为________．答案：7,13．(人教A 版必修②P14例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA ―→＝a，OB ―→＝b，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a，b 表示)答案：b－a－a－b4．(人教A 版必修②P15T2)点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC ―→＝________AB ―→，BC ―→＝________AB ―→.答案：57－27三、练清易错易混1．(忽视零向量)下列命题中，正确的是()A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．两个共同起点且相等的向量，其终点必相同D ．零向量与任意数的乘积都为零答案：C2．(忽视向量相等的条件)若四边形ABCD 满足AD ―→∥BC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，则四边形ABCD 的形状是______________．解析：当|AD ―→|＝|BC ―→|时，四边形ABCD 是平行四边形；当|AD ―→|≠|BC ―→|时，四边形ABCD 是等腰梯形．答案：平行四边形或等腰梯形命题视角一平面向量的基本概念(自主练通)1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|a 解析：选B对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a 的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(多选)下列命题为真命题的是()A ．若a 与b 为非零向量，且a∥b，则a＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a∥e，则a＝|a |eC ．两个非零向量a，b，若|a－b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案：ACD3.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是()A ．AD ―→＝BC ―→B ．AC ―→＝BD ―→C ．PE ―→＝PF ―→D ．EP ―→＝PF―→解析：选D根据相等向量的定义，A 中，AD ―→与BC ―→的方向不同，故A 错误；B 中，AC―→与BD ―→的方向不同，故B 错误；C 中，PE ―→与PF ―→的方向相反，故C 错误；D 中，EP ―→与PF ―→的方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故D 正确．[一“点”就过]解决向量问题的关键点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(4)a |a |是非零向量a 方向上的单位向量，因此单位向量a |a |与a 方向相同．命题视角二平面向量的线性运算考法(一)平面向量的线性运算[例1](1)(2020·新高考Ⅱ卷)若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB ―→＝()A ．2CD ―→－CA ―→B ．2CA ―→－CD ―→C ．2CD ―→＋CA―→D ．2CA ―→＋CD―→(2)在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE ―→等于()A.23AB ―→＋12AD ―→B.12AB ―→＋23AD ―→C.56AB ―→＋13AD ―→D.13AB ―→＋56AD ―→[解析](1)∵D 为△ABC 的边AB 的中点，∴CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)，∴CB ―→＝2CD ―→－CA ―→.故选A.(2)由BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－23AB ―→＋AD ―→，得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝AB ―→＋12―→－23AB ―→＝23AB ―→＋12AD ―→.故选A.[答案](1)A(2)A[方法技巧]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考法(二)利用向量的线性运算求参数[例2](2022·韶关模拟)在△ABC 中，点M 为AC 上的点，且AM ―→＝12MC ―→，若BM ―→＝λBA―→＋μBC ―→，则λ－μ的值是()A ．1 B.12C.13D.23[解析]由AM ―→＝12MC ―→，得AM ―→＝13AC ―→，所以BM ―→＝BA ―→＋AM ―→＝BA ―→＋13AC ―→＝BA ―→＋13(BC ―→－BA ―→)＝23BA ―→＋13BC ―→，又因为BM ―→＝λBA ―→＋μBC ―→，所以λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13.故选C.[答案]C[方法技巧]利用向量的线性运算求参数的方法与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数．[针对训练]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB ―→＝4EC ―→，则ED ―→＝()A.56AB ―→－43AC ―→B.43AB ―→－56AC ―→C.56AB ―→＋43AC ―→D.43AB ―→＋56AC ―→解析：选A∵D 为AB 的中点，点E 满足EB ―→＝4EC ―→，∴BD ―→＝12BA ―→，EB ―→＝43CB ―→，∴ED ―→＝EB ―→＋BD ―→＝43CB ―→－12AB―→＝43(AB ―→－AC―→)－12AB ―→＝56AB ―→－43AC ―→.2．设M 是△ABC 所在平面上的一点，MB ―→＋32MA ―→＋32MC ―→＝0，D 是AC 的中点，t MB―→＝DM ―→，则实数t 的值为()A ．12B ．13C ．2D ．1解析：选B因为D 是AC 的中点，所以MA ―→＋MC ―→＝2MD ―→，又因为MB ―→＋32MA ―→＋32MC―→＝0，所以13MB ―→＋12(MA ―→＋MC ―→)＝13MB ―→＋MD ―→＝0，即13MB ―→＝DM ―→，又因为t MB ―→＝DM ―→，所以t ＝13.3．在正六边形ABCDEF 中，对角线BD ，CF 相交于点P ，若AP ―→＝x AB ―→＋y AF ―→，则x ＋y ＝________.解析：如图，记正六边形ABCDEF 的中心为点O ，连接OB ，OD ，易证四边形OBCD 为菱形且P 恰为其中心．∴FP ―→＝32FO ―→＝32AB ―→，∴AP ―→＝AF ―→＋FP ―→＝AF ―→＋32AB ―→，∵AP ―→＝x AB ―→＋y AF ―→，∴x ＝32，y ＝1，∴x ＋y ＝52.答案：52命题视角三共线向量定理的应用[典例](1)已知a，b 是不共线的向量，AB ―→＝λa＋b，AC ―→＝a＋μb (λ，μ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A ．λμ＝1B ．λμ＝－1C ．λ－μ＝－1D ．λ＋μ＝2(2)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．[解析](1)∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴若A ，B ，C 三点共线，则存在一个实数t 使AB―→＝t AC ―→，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，λ＝t ，μt ＝1，消去参数t 得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB ―→＝1μa＋b ，此时存在实数1μ使AB ―→＝1μAC ―→，故AB ―→和AC ―→共线．∵AB ―→与AC ―→有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．故选A.(2)由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB ―→＝λBD ―→.又AB ―→＝3e 1＋2e 2，CB ―→＝k e 1＋e 2，CD ―→＝3e 1－2k e 2，所以BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.[答案](1)A(2)－94[方法技巧]平面向量共线定理的3个应用证明向量共线若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与非零向量b 共线证明三点共线若存在实数λ，使AB ―→＝λAC ―→，AB ―→与AC ―→有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值[针对训练]1．已知两个非零向量a，b 互相垂直，若向量m＝4a＋5b 与n＝2a＋λb 共线，则实数λ的值为()A ．5B ．3C.52D ．2解析：选C∵a ，b 是非零向量，且互相垂直，∴4a ＋5b≠0，m≠0.∵m ，n 共线，∴n ＝μm ，即2a ＋λb ＝μ(4a ＋5b )，＝4μ，＝5μ.解得λ＝52.2．在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 上的点，BE 与CF 交于点Q ，且AE ―→＝2EC ―→，AF ―→＝3FB ―→，AQ 交BC 于点D ，AQ ―→＝λQD ―→，则λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C因为B ，Q ，E 三点共线，所以可设AQ ―→＝x AB ―→＋(1－x )AE ―→＝x AB ―→＋23(1－x )AC ―→.因为C ，Q ，F 三点共线，所以可设AQ ―→＝y AC ―→＋(1－y )AF ―→＝y AC ―→＋34(1－y )AB ―→，＝34(1－y )，＝23(1－x )，＝12，＝13.所以AQ ―→＝12AB ―→＋13AC ―→＝λ1＋λAD ―→，所以AD ―→＝1＋λ2λAB ―→＋1＋λ3λAC ―→.因为B ，D ，C 三点共线，所以1＋λ2λ＋1＋λ3λ＝1，解得λ＝5.3．已知O 为△ABC 内一点，且2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为________．解析：设线段BC 的中点为M ，则OB ―→＋OC ―→＝2OM ―→.因为2AO ―→＝OB ―→＋OC ―→，所以AO ―→＝OM ―→，则AO ―→＝12AM ―→＝14(AB―→＋AC ―→)→＋1tAD ―→＝14AB ―→＋14t AD ―→.由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.答案：13巧用性质·练转化思维——三点共线定理的妙用已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R )，则A ，P ，B 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.1．(求参数值)如图，在△ABC 中，AN ―→＝13AC ―→，P 是BN 上的一点，若AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→，则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211解析：选B 注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP ―→＝m AB ―→＋211AC ―→＝m AB ―→＋611AN ―→，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.2．(求参数范围)在△ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点．若AB ―→＝x AC ―→＋y AD ―→，则()A ．x >1B ．y >1C ．x ＋y >1D ．xy >1解析：选B设BD ―→＝λBC ―→(0<λ<1)，所以AD ―→－AB ―→＝λAC ―→－λAB ―→，所以(1－λ)AB ―→＝AD ―→－λAC ―→，所以AB ―→＝11－λAD ―→－λ1－λAC ―→，所以x ＝－λ1－λ<0，y ＝11－λ＝1－λ＋λ1－λ＝1＋λ1－λ>1，x ＋y ＝1－λ1－λ＝1，xy ＝－λ(1－λ)2<0.故选B.3．(与数列结合求值)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，OA ―→＝a 3OB ―→＋a 2020OC ―→，且AB ―→＝d BC ―→，则S 2022＝()A ．0B ．1011C ．2020D ．2022解析：选B由AB ―→＝d BC ―→可知，A ，B ，C 三点共线，故由OA ―→＝a 3OB ―→＋a 2020OC ―→，可得a 3＋a 2020＝1，于是S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝2022(a 3＋a 2020)2＝1011，故选B.4．(与基本不等式结合求最值)在△ABC 中，点P 满足BP ―→＝2PC ―→，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→(m ＞0，n ＞0)，则m ＋2n 的最小值为()A ．3B ．4C.83D.103解析：选A如图，易知AP ―→＝AB ―→＋BP ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→＝13m AM ―→＋23n AN ―→.∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＝n 3n －2，则m ＋2n ＝n 3n －2＋2n ＝6n 2－3n 3n －2＝23(3n －2)2＋53(3n －2)＋233n －2＝23[(3n －2)＋1(3n －2)]＋53≥23×2＋53＝3，当且仅当(3n －2)＝1(3n －2)，即m ＝n ＝1时等号成立．[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．设a，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充要条件是()A ．a∥bB ．θ＝π2C ．a＝2bD ．θ＝π解析：选Ca |a |＝b |b |等价于非零向量a 与b 同向共线，即θ＝0，故B 、D 错误．对于选项C ，a ＝2b ，则a 与b 同向共线，故C 正确．2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝()A ．AD―→ B.12AD ―→ C.12BC ―→D ．BC―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.3．设平面向量a，b 不共线，若AB ―→＝a＋5b，BC ―→＝－2a＋8b，CD ―→＝3(a－b )，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线解析：选A∵AB ―→＝a ＋5b ，BC ―→＝－2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )，∴AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD―→＝(a ＋5b )＋(－2a ＋8b )＋3(a －b )＝2(a ＋5b )＝2AB ―→，∴AD ―→与AB ―→共线，即A ，B ，D 三点共线．4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ―→＋CD ―→＋EF ―→＝()A ．0B ．BE ―→C ．AD ―→D ．CF―→解析：选D由题图知BA ―→＋CD ―→＋EF ―→＝BA ―→＋AF ―→＋CB ―→＝CB ―→＋BF ―→＝CF ―→.5．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP ―→＝2OA ―→＋BA ―→，则()A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 因为2OP ―→＝2OA ―→＋BA ―→，所以2AP ―→＝BA ―→，所以点P 在线段AB 的反向延长线上．二、综合练——练思维敏锐度1．设向量a，b 不共线，AB ―→＝2a＋p b，BC ―→＝a＋b，CD ―→＝a－2b，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为()A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.2．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE ―→＝λAB ―→＋μAD ―→(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.58B.14C ．1D.516解析：选ADE ―→＝AE ―→－AD ―→＝14AC ―→－AD ―→＝14(AB ―→＋AD ―→)－AD ―→＝14AB ―→－34AD ―→，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.3．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有()A ．AE ―→＝12AB ―→＋13AC―→B ．AB ―→＝2EF ―→C ．CP ―→＝13CA ―→＋13CB―→D ．CP ―→＝23CA ―→＋23CB―→解析：选C如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝AB ―→＋12(AC ―→－AB ―→)＝12(AC ―→＋AB ―→)，A 错误；因为EF 是中位线，所以AB ―→＝2FE ―→，B 错误；设AB的中点为G ，则根据三角形重心性质知，CP ＝2PG ，所以CP ―→＝23CG ―→＝23×12(CA ―→＋CB―→)＝13(CA ―→＋CB―→)，所以C 正确，D 错误．4．已知向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(－2,1)，OC ―→＝(t ＋3，t －8)，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 不可能为()A ．－2B.12C ．1D ．－1解析：选C若点A ，B ，C 能构成三角形，则A ，B ，C 三点不共线，故向量AB ―→，BC―→不共线．由于向量OA ―→＝(1，－3)，OB ―→＝(－2,1)，＝(t ＋3，t －8)，故AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(－3,4)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(t ＋5，t －9)，若A ，B ，C 三点不共线，则－3(t －9)－4(t ＋5)≠0，所以t ≠1.5.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝45AB ―→，连接AC ，MN 交于点P ，若AP ―→＝411AC ―→，则点N 在AD上的位置为()A ．AD 中点B ．AD 上靠近点D 的三等分点C ．AD 上靠近点D 的四等分点D ．AD 上靠近点D 的五等分点解析：选B设AD ―→＝λAN ―→，因为AP ―→＝411AC ―→＝411(AB ―→＋AD ―→)＝41154AM ―→＋λAN ―→511AM ―→＋4λ11AN ―→，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN ―→＝23AD ―→，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点．6．已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，得OA ―→＋OB ―→＝OC ―→，由O 是△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故∠CAB ＝30°，故选A.7．已知向量a，b 不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为()A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得，λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得，2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|＝________.解析：因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.答案：39.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则1x ＋4y的最小值为________．解析：易知x ，y 均为正数，设AD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∵B ，C ，D 共线，∴m ＋n ＝1，同理，λ＋μ＝1.∵AD ―→＋AE ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＝(m ＋λ)AB ―→＋(n ＋μ)AC ―→，∴x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2.∴1x ＋4y ＝121x ＋4y x ＋y )＝125＋y x ＋4x y ≥125＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当y ＝2x 时等号成立，则1x ＋4y 的最小值为92.答案：9210．已知向量OA ―→＝a，OB ―→＝b，P 1，P 2，…，P n －1(n ∈N ，n >1)是线段AB 上依次从A 到B 排列的n 等分点，若OP 5―→＝x a＋y b，则x ＋y ＝________，OP 1―→＋OP 2―→＋…＋OP n －1―→＝________(a＋b )．解析：由三点共线定理知x ＋y ＝1.由题知OP 1―→＋OP 2―→＋…＋OP n －1―→＝a ＋1n (b －a )＋a ＋2n (b －a )＋…＋a ＋n －1n(b －a )＝(n －1)a ＋n －12(b －a )＝n －12(a ＋b )．答案：1n －1211．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意，得AD ＝1，CD ＝3，∴AB ―→＝2DC ―→.∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)．∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是0，12.答案：0，12第二节平面向量基本定理及坐标表示课程标准1.了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．[由教材回扣基础]1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，则a＋b＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a－b＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.澄清微点·熟记结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (3)已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，其重心G 的坐标为(4)a ∥b 的充要条件不能表示为x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能为0.(5)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b 不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，则a∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、练牢教材小题1．(新教版必修②P25例1改编)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，设AB ―→＝a，AD ―→＝b，则EF ―→＝()A ．12(a＋b )B ．12(a－b )C ．12(b－a )D ．12a＋b答案：A2．(新教A 版必修②P29例4改编)已知a＝(3,6)，b＝(x ，y )，若a＋3b＝0，则b＝()A ．(1,2)B ．(－1，－2)C ．(－1,2)D ．(1，－2)答案：B3．(新教B 版必修②P166T4改编)已知向量OA ―→＝(1，－2)，OB ―→＝(2，－3)，OC ―→＝(3，t )，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝________.答案：－4三、练清易错易混1．(混淆基底的选择)在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ的值为()A.12B ．－12C ．1D ．－1解析：选A因为E 为DC 的中点，所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝12AB ―→＋12AB ―→＋AD ―→＝12AB―→＋DE ―→＋AD ―→＝12AB ―→＋AE ―→，即AE ―→＝－12AB ―→＋AC ―→，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.2．(混淆单位向量的方向)已知A (－5,8)，B (7,3)，则与向量AB ―→反向的单位向量为________．解析：由已知得AB ―→＝(12，－5)，所以|AB ―→|＝13，因此与AB ―→反向的单位向量为－113AB―→－1213，－1213，3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a ∥b ，a 与c 不共线，b 与c 不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：2命题视角一平面向量的坐标运算(自主练通)1．(2022·福州模拟)已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为()A.－12，5 B.12，5C.－12，－5 D.12，－5解析：选C因为在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，所以CO ―→＝－AO ―→＝－12(AD ―→＋AB ―→)－12，－5故选C.2.向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO ―→＝(－1,1)，b ＝OB ―→＝(6,2)，c ＝BC ―→＝(－1，－3)．∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b |＝()A.2B ．2C ．52D ．50解析：选A∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a －b |＝(－1)2＋12＝ 2.4．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a ＝________.解析：设C (x ，y )，则AC ―→＝(x －7，y －1)，CB ―→＝(1－x ，4－y ).∵AC ―→＝2CB ―→，∴x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，x ＝3，y ＝3，∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.答案：25．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a，BC ―→＝b，CA ―→＝c，且CM ―→＝3c，CN ―→＝－2b .(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝m b＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，所以OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M (0,20)．又因为CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，所以ON ―→＝OC ―→－2b ＝(－3，－4)＋(12,6)＝(9,2)，所以N (9,2)．所以MN ―→＝(9，－18)．[一“点”就过]求解向量坐标运算问题的一般思路巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数命题视角二平面向量基本定理及其应用[典例](1)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝()A ．23AB ―→－13AD―→B ．13AB ―→－23AD―→C ．－23AB ―→＋13AD―→D ．－13AB ―→＋23AD―→(2)如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ＋μ＝()A.12B ．－12C ．2D ．－2[解析](1)如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC ―→＝GD ―→＝AD ―→－AG ―→＝AD ―→－12AB ―→，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23―→－12AB ―→＝23AB ―→＋23AD ―→，于是BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12AE ―→－AB ―→＝1223AB ―→＋23AD ―→－AB ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，故选C.(2)因为点D 在边BC 上，所以存在t ∈R，使得BD ―→＝t BC ―→＝t (AC ―→－AB ―→)(0≤t ≤1)．因为M 是线段AD 的中点，所以BM ―→＝12(BA ―→＋BD ―→)＝12(－AB ―→＋t AC ―→－t AB ―→)＝－12(t ＋1)AB―→＋12t AC ―→.又BM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，所以λ＝－12(t ＋1)，μ＝12t ，所以λ＋μ＝－12.故选B.[答案](1)C(2)B[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[针对训练]1．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心．若BO ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，则λ－2μ＝()A ．－12B ．－1C ．43D ．－43解析：选D 如图，延长BO 交AC 于点M ，∵点O 为△ABC 的重心，∴M 为AC 的中点，∴BO ―→＝23BM ―→＝2312BA ―→＋12BC ―→＝－13AB ―→＋13BC ―→＝－13AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝－23AB ―→＋13AC ―→，又知BO ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，∴λ＝－23，μ＝13，∴λ－2μ＝－23－2×13＝－43，故选D.2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a，BD ―→＝b，则AF ―→＝()A ．14a＋12bB ．23a＋13bC ．12a＋14bD ．13a＋23b解析：选B如图所示，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴DF ―→＝13DC ―→＝13(OC ―→－OD ―→)＝16(AC ―→－BD ―→)，AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝12BD ―→＋12AC ―→.则AF ―→＝AD ―→＋DF ―→BD ―→＋12AC ―→＋16(AC ―→－BD ―→)＝13BD ―→＋23AC ―→＝23a ＋13b .故选B.命题视角三平面向量共线的坐标表示[典例](1)已知向量a＝(2,1)，b＝(x ，－1)，且a－b 与b 共线，则x 的值为________．(2)已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．[解析](1)由题意得a －b ＝(2－x,2)．又∵a －b 与b 共线，∴2x ＝－2＋x ，解得x ＝－2.(2)由O ，P ，B 三点共线，可设OP ―→＝λOB ―→＝(4λ，4λ)，则AP ―→＝OP ―→－OA ―→＝(4λ－4,4λ)．由AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,6)，AP ―→与AC ―→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP ―→＝34OB ―→＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．[答案](1)－2(2)(3,3)[方法技巧](1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，则a∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a∥b (b≠0)，则a＝λb .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[针对训练]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb )∥c，则λ＝()A.14B.12C ．1D ．2解析：选B ∵向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，∴a ＋λb ＝(1＋λ，2)．∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－6＝0，∴λ＝12.2．设向量OA ―→＝(1，－2)，OB ―→＝(2m ，－1)，OC ―→＝(－2n,0)，m ，n ∈R，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：选A由题意易知，AB ―→∥AC ―→，其中AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(2m －1,1)，AC ―→＝OC―→－OA ―→＝(－2n －1,2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，解得2m ＋1＋2n ＝1.又2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，当且仅当2m ＋1＝2n ，即m ＋1＝n 时取等号，所以2m＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3.3．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋k c )∥(2b－a )，求实数k ；(2)若d 满足(d－c )∥(a＋b )，且|d－c |＝5，求d 的坐标．解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，(x －4)－2(y －1)＝0，x －4)2＋(y －1)2＝5，＝3，＝－1＝5，＝3.∴d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．数学建模·练抽象思维——平面向量线性运算中的创新应用问题1．(创新学科情境)若，是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底，下的坐标，现已知向量a 在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．2．(走向生产生活)渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|v 1|＝10km/h ，水流速度的大小为|v 2|＝6km/h.设v 1与v 2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应()A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定解析：选A建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得v 1＝(－5，53)，v 2＝(6,0)，所以v 1＋v 2＝(1，53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧，故选A.3．(创新学科情境)如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若DB ―→＝x DC ―→＋y DA ―→，则()A ．x ＝3，y ＝1B ．x ＝1＋3，y ＝3C ．x ＝2，y ＝3D ．x ＝3，y ＝1＋3解析：选B过B 作BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E (图略)，由∠ACD ＝45°，∠BCA ＝90°，得∠BCE ＝45°，则CE ＝BE ，设CE ＝BE ＝mCD ，则(2mCD )2＋(2DA )2＝(22DA )2，又DA ＝DC ，解得m ＝3，故DB ―→＝DC ―→＋CE ―→＋EB ―→＝DC ―→＋3DC ―→＋3DA ―→＝(1＋3)DC ―→＋3DA ―→，故x ＝1＋3，y ＝ 3.4．(创新学科情境)写出一个与向量a＝(2,1)共线的向量b＝________.解析：与向量a ＝(2,1)共线的向量为λa ＝λ(2,1)．取λ＝2，可得出一个与向量a ＝(2,1)共线的向量为b ＝(4,2)(答案不唯一，满足λa (λ∈R )即可)．答案：(4,2)(答案不唯一)[课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度1．已知点M (5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN ―→＝－3a，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，解得x ＝2，y ＝0.2．已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，若向量AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则AD ―→＝()A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D因为AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，所以BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(－1，－1)，即AD―→＝BC ―→＝(－1，－1)．3．(2022·西安八校联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(5,4)，则以向量a 与b 为基底表示向量c 的结果是()A.135a－65b B.133a－143b C ．－72a－92bD.143a＋133b 解析：选A 设c ＝x a ＋y b－2y ＝5，x ＋y ＝4，＝135，＝－65，所以c ＝135a －65b .故选A.4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.解析：因为a ∥b ，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝85.答案：855．已知点A (8，－1)，B (1，－3)，若点C (2m －1，m ＋2)在线段AB 上，则实数m ＝________.解析：由题意，AB ―→＝(－7，－2)．因为点C 在线段AB 上，故AC ―→与AB ―→同向．又AC ―→＝(2m －9，m ＋3)，故2m －9－7＝m ＋3－2，所以m ＝－13.答案：－13二、综合练——练思维敏锐度1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是()A ．－23B.43C.12D.13解析：选AAB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→，AC ―→共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.2.如图，已知AB ―→＝a，AC ―→＝b，BC ―→＝4BD ―→，CA ―→＝3CE ―→，则DE ―→＝()A.34b－13a B.512a－34b C.34a－13b D.512b－34a 解析：选D DE ―→＝DC ―→＋CE ―→＝34BC ―→＋13CA ―→＝34(AC ―→－AB ―→)－13AC ―→＝512AC ―→－34AB―→＝512b －34a .故选D.3．已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，设向量m＝(sin B －sin A ，3a ＋c )，n＝(sin C ，a ＋b )，且m∥n，则B 的大小是()A.π6B.5π6C.π3D.2π3解析：选B 因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin B －sin A )＝sin C (3a ＋c )．由正弦定理得，(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32.又0<B <π，所以B ＝5π6.4．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点．若AB ＝2，则|AM ―→＋BN ―→|＝()A ．2 B.10C ．4D ．25解析：选B以AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ＝2，所以A (0,0)，B (2,0)，M (2,1)，N (1,2)，所以AM ―→＝(2,1)，BN ―→＝(－1,2)，所以AM ―→＋BN ―→＝(1,3)，故|AM ―→＋BN ―→|＝12＋32＝10.故选B.5．已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为()A.52B.102C.5D.10解析：选C 设OC ―→＝(x ，y )．∵OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→，∴x ＝3m ＋n ，y ＝m －3n ，∴|OC ―→|＝(3m ＋n )2＋(m －3n )2＝10(m 2＋n 2)≥10×(m ＋n )22＝10×12＝5，当且仅当m ＝n 时取等号，此时|OC ―→|取得最小值5，故选C.6．在△OAB 中，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则1λ＋1μ＝()A.13B.23C.29D.92解析：选D在△OAB 中，∵AC ―→＝2CB ―→，∴OC ―→－OA ―→＝2(OB ―→－OC ―→)，即3OC ―→＝OA―→＋2OB ―→，∴OC ―→＝13OA ―→＋23OB ―→.又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92.故选D.7.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：选D由题意得，OC ―→＝k OD ―→(k <0)，又|k |＝|OC ―→||OD ―→|<1，∴－1<k <0.又∵B ，A ，D三点共线，∴OD ―→＝λOA ―→＋(1－λ)OB ―→，∴m OA ―→＋n OB ―→＝kλOA ―→＋k (1－λ)OB ―→，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．8．在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC ―→＝4AD ―→，P 为BD 上一点，向量AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为()A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选A由AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→及AC ―→＝4AD ―→，得AP ―→＝λAB ―→＋4μAD ―→，又点P 在BD 上，∴λ＋4μ＝1.∴4λ＋1μ＝4λ＋1μλ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ，又λ>0，μ>0，∴16μλ＋λμ≥216＝8，当且仅当16μλ＝λμ，即λ＝4μ时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16，故选A.9．已知点A (1,3)，B (4，－1)，写出一个与向量AB ―→共线的向量坐标为________．解析：因为A (1,3)，B (4，－1)，AB ―→＝(3，－4)，所以与向量AB ―→共线的向量的坐标可以是(3λ，－4λ)，λ∈R .答案：(6，－8)(答案不唯一)10．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成45°角的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP ―→＝x e 1＋y e 2，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP ―→在坐标系xOy 中的坐标．在此坐标系下，假设OA ―→＝(－2，22)，OB ―→＝(2,0)，OC ―→＝(5，－32)，则|OA ―→|＝______，OA ―→与BC ―→______(填“平行”或“不平行”)．解析：由余弦定理可知|OA ―→|＝4＋8－2×2×22×cos 45°＝2，∵BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(3，－32)＝－32OA ―→，∴OA ―→∥BC ―→.答案：2平行11．已知向量AC ―→＝(1，sin α－1)，BA ―→＝(3,1)，BD ―→＝(2，cos α)，若B ，C ，D 三点共线，则tan(2022π－α)＝________.解析：∵B ，C ，D 三点共线，∴BD ―→＝x BC ―→＝x (BA ―→＋AC ―→)，即(2，cos α)＝x (4，sin α)，2＝4x ，cos α＝x sin α，解得x ＝12，即cos α＝12sin α，得tan α＝2，则tan(2022π－α)＝－tan α＝－2.答案：－212．已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R )，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12x ＝14.答案：14第三节平面向量的数量积及其应用课程标准1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第1课时系统知识牢基础——平面向量的数量积知识点一平面向量的数量积[由教材回扣基础]1．平面向量数量积的有关概念向量的夹角已知两个非零向量a和b，记OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积2．平面向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a结合律λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c澄清微点·熟记结论(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.(2)有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．(3)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.(4)对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )不一定成立．[练小题巩固基础]1．已知a ·b＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |的值为()A ．12B ．6C ．33D ．3解析：选B 因为a·b ＝|a||b|cos 135°＝－122，所以|b |＝－1224×－22＝6.2．已知向量a，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a－b )＝()A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.3．(新人教A 版必修②P24T19改编)设向量a，b 满足|a |＝|b |＝1且|3a－2b |＝7，则a，b 的夹角为()A.π3B.π6C.π4D.2π3解析：选A设a 与b 的夹角为θ，由题意得(3a －2b )2＝7，所以9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，又|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝12，所以|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以a ，b 的夹角为π3.4．已知向量a，b 满足a ·(b＋a )＝2，且a＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为()A.55B ．－55C ．－255D ．－355解析：选D 由a ＝(1,2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2，∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.5.如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边BC 的中点，则AD ―→·BC―→。
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5-2A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4) D ．(1，4)【解析】方法一：设出点C 坐标，并利用AC →＝(－4，－3)求出点C 坐标，然后计算BC →的坐标． 设C (x ，y )，则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.方法二：利用BC →＝AC →－AB →求解． AB →＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A. 【答案】A2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】方法一：将(2a ＋b )·a 展开后再进行坐标运算． ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.方法二：将2a ＋b 看做一个向量并求出其坐标后再与a 计算数量积． ∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C. 【答案】C3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3，故选B. 【答案】B4．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14【解析】由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →， 所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 【答案】A5．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【解析】依据共线向量定理列方程组求解． ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.【答案】126．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．【解析】AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.【答案】127．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．【解析】若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线． ∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 【答案】k ≠18．(2015·江西南昌一模)已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【解析】因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°， 所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →， 又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎫AB →＋34BC → ＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos 150°＋34×4×433cos 150°＋34t ×42 ＝4t －23，因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－23，103. 【答案】⎣⎡⎦⎤－23，103 9．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．【解析】(1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)． 10．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示； (2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值．【解析】(1)OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →) ＝(1－λ)OP →＋λOQ →. (2)证明：一方面，由(1)，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，∴由①②，得⎩⎨⎧（1－λ）x ＝13，λy ＝13.解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y＝3λ.∴1x ＋1y ＝3(定值)．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知a ，b 是不共线的向量，AB→＝λa ＋b ，AC→＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1【解析】∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数t ，满足AB →＝tAC →，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t 1＝μt ，∴λμ＝1. 【答案】D12．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫0，13C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫－13，0 【解析】依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 【答案】D13．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【解析】利用平面向量的加、减法的运算法则将DE →用AB →，AC →表示出来，对照已知条件，求出λ1，λ2的值即可．由题意得DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】1214．设OA→＝(－2，4)，OB→＝(－a ，2)，OC→＝(b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．【解析】由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ（b ＋2），－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2a b ＋b a ≥12⎝⎛⎭⎫3＋2 2a b ·b a ＝3＋222.(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)． 【答案】3＋22215．(2015·湖北襄阳阶段测试)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值． 【解析】(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12(0≤t ≤1)， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )， 则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.。