2018年鲁教版数学8年级下第9章《图形的相似》单元测试4

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鲁教版初中数学八年级下册《图形的相似》单元测试4测试卷练习题

EB=3∶2，AD,CE 相交于 F，则 AF∶FD=( )
A.3∶1
B.3∶2
C.4∶3
D.9∶4
9. 如图 7，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点 B′重合，若
AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG 的面积之比为（）
A.9∶4
B.3∶2
C.4∶3
D.16∶9
相似时，运动的时间是（）
A.3 s 或 4.8 s
B.3 s
C.4.5 s
D.4.5 s 或 4.8 s
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
11.若
x
是
m,n
的比例中项，则
m2
1
x2
n2
1
x2
1 x2
=
.
12.如图 9，小明在 A 时测得某树的影长为 2 m，B 时又测得该树的影长为 8 m，
TB:小初高题库
添加一个条件，不正确的是（）
A.∠ABD=∠C
C.
AB BD
CB CD
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B.∠ADB=∠ABC
D.
AD AB
AB AC
图3
图4
6. 如图 4，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 AB 在地面上的影长 DE=1.8
m，窗户下檐到地面的距离 BC=1 m，EC=1.2 m，那么窗户的高 AB 为（）形，则 t 的值为.TB:小初高题库
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图 12
图 13
16.〈山东威海〉如图 13，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为
（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1 的两个顶点的坐标分别为（1，3），

鲁教版(五四制)数学八年级下册第九章图形的相似测试题

第九章图形的相似测试题（时间：90分钟满分：120 分）班级：姓名：得分：一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，其中是相似图形的组数是（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组2.下列各组四条线段中，长度不成比例的是（）A ．1cm ，43cm ，821cm ，27cm B ．12cm ， 14cm ，4cm ，42cmC ．15cm ， 3cm ，7.5cm ，9cm D．10cm ，34cm ，3cm ，52cm3.某一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长是0.4 m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m ，则该旗杆的高度是（）A. 1.25 mB. 10 mC. 20 mD. 8 m4.如图,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（）A．10 B．20 C．30 D．40第4题图第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图5．三角形的一条中位线将三角形分成的两部分面积之比是（）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:46. 如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（）A ．AB 2=BC?BD B ．AB 2=AC?BD C ．AB?AD=BD?BC D ．AB?AD=AD?CD7.如图，A ，B ，C ，D ，E ，G ，H ，M ，N 都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF 与△ABC 相似，则点F 应是G ，H ，M ，N 四点中的（）A ．H 或NB ．G 或HC ．M 或ND ．G 或M 8.如图，在?ABCD 中，E ，F 分别是AD ，CD 边上的点，连接BE ，AF ，他们相交于G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9.如图, D,E 是AB 的三等分点, DF ∥EG ∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3等于（ )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:410. 如图，将△DEF 缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P ，连接DP ，取DP 的中点A ，再连接EP ，FP ，取它们的中点B ，C ，得到△ABC.则下列说法:①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比是1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比是1∶2，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共24分）。

鲁教版数学八年级下《第九章图形的相似》单元测试卷含答案

第九章图形的相似单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题(每题3分,共30分)1.若=,则等于( )A. B. C. D.2.若两个相似多边形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为( )A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.4∶13.如图,在△ABC中,若DE∥BC,AD=3,BD=6,AE=2,则AC的长为( )A.4B.5C.6D.84.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形与△ABC相似的是( )5.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( )A.AB2=BC·BDB.AB2=AC·BDC.AB·AD=BD·BCD.AB·AD=AD·CD6.如图,为估算某河的宽度(河两岸平行),在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D 在同一条直线上,若测得BE=20 m,CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( )A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m7.如图,△ABO是由△A'B'O经过位似变换得到的,若点P'(m,n)在△A'B'O上,则点P'经过位似变换后的对应点P的坐标为( )A.(2m,n)B.(m,n)C.(m,2n)D.(2m,2n)8.如图,点E为▱ABCD的边AD上一点,且AE∶DE=1∶3,点F为AB的中点,EF交AC于点G,则AG∶GC等于( )A.1∶2B.1∶5C.1∶4D.1∶39.如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC 内,顶点D,G分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为( )A.1B.2C.12-6D.6-610.如图,在钝角三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC的中点D,AC的中点N,连接DN,DE,DF.下列结论:①EM=DN;②S△CND=S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(每题3分,共24分)11.假期,爸爸带小明去A地旅游.小明想知道A地与他所居住的城市的距离,他在比例尺为1∶500000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm,则小明所居住的城市与A地的实际距离为_____________.12.已知=,则的值是_____________.13.如图,已知点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC.若S1表示以BC 为边的正方形的面积,S2表示长为AD(AD=AB)、宽为AC的矩形的面积,则S1与S2的大小关系为_____________.14.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(0,1),则点E的坐标是.15.如图,已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE∶SAE∶AC=.四边形DBCE=1∶8,那么16.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB= .17.如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足是点B,若在射线BF上找一点M,使以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似,则BM的长为.18.如图,正△ABC的边长为2,以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1,△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1,再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2,△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2,…,以此类推,则S n= .(用含n的式子表示)三、解答题(19,21题每题8分,24题14分,其余每题12分,共66分)19.如图,多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列),∠A=∠D1=135°,∠B=∠E1=120°,∠C1=95°.(1)求∠F的度数;(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5,且CD=15 cm,求C1D1的长度.20.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2;(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=________.(不写解答过程,直接写出结果) 21.如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD 和CB交于点G.(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.22.如图,一条河的两岸BC与DE互相平行,两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯),每排相邻两景观灯的间隔都是10 m,在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC,看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住.河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯,河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯,求这条河的宽度.23.如图,在矩形ABCD中,已知AB=24,BC=12,点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动;点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动.如果E,F同时出发,用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间.请解答下列问题:(1)当t为何值时,△CEF是等腰直角三角形?(2)当t为何值时,以点E,C,F为顶点的三角形与△ACD相似?24.如图,E,F分别是正方形ABCD的边DC,CB上的点,且DE=CF,以AE为边作正方形AEHG,HE与BC交于点Q,连接DF.(1)求证:△ADE≌△DCF.(2)若E是CD的中点,求证:Q为CF的中点.(3)连接AQ,设S△CEQ=S1,S△AED=S2,S△EAQ=S3,在(2)的条件下,判断S1+S2=S3是否成立?并说明理由.参考答案一、1.【答案】D 2.【答案】B3.【答案】C解：因为DE∥BC,所以AE∶AC=AD∶AB=3∶9=1∶3,则AC=6.4.【答案】A5.【答案】A解：因为△ABC∽△DBA,所以==.所以AB2=BC·BD,AB·AD=AC·DB.6.【答案】B解：∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠ABC=∠DCE=90°.又∵∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE.∴=,即=.∴AB=40 m.7.【答案】D解：将△A'B'O经过位似变换得到△ABO,由题图可知,点O是位似中心,位似比为A'B'∶AB=1∶2,所以点P'(m,n)经过位似变换后的对应点P 的坐标为(2m,2n).8.【答案】B解：延长FE,CD交于点H,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,易证△AFE∽△DHE,∴=,即=,∴HD=3AF.易证△AFG∽△CHG,∴===.故选B.9.【答案】D解：如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点H.∵AB=AC,AD=AG,∴AD∶AB=AG∶AC.又∠BAC=∠DAG,∴△ADG∽△ABC.∴∠ADG=∠B.∴DG∥BC.∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方形,∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.∵AB=AC=18,BC=12,∴BM=BC=6.∴AM==12.∵=,即=,∴AN=6.∴MN=AM-AN=6.∴FH=MN-GF=6-6.故选D.10.【答案】D解：∵△ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,∴EM是AB边上的中线.∴EM=AB.∵点D、点N分别是BC,AC的中点,∴DN是△ABC的中位线.∴DN=AB,DN∥AB.∴EM=DN.①正确.∵DN∥AB,∴△CDN∽△CBA.∴==.∴S△CND=S四边形ABDN.②正确.如图,连接DM,FN,则DM是△ABC的中位线,∴DM=AC,DM∥AC.∴四边形AMDN是平行四边形.∴∠AMD=∠AND.易知∠ANF=90°,∠AME=90°,∴∠EMD=∠FND.∵FN是AC边上的中线,∴FN=AC.∴DM=FN.∴△DEM≌△FDN.∴DE=DF,∠FDN=∠DEM.③正确.∵∠MDN+∠AMD=180°,∴∠EDF=∠MDN-(∠EDM+∠FDN)=180°-∠AMD-(∠EDM+∠DEM)=180°-(∠AMD+∠EDM+∠DEM)=180°-(180°-∠AME)=180°-(180°-90°)=90°.∴DE⊥DF.④正确.故选D.二、11.【答案】160 km解：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km,根据题意可列比例式为=,解得x=160.12.【答案】解：∵=,∴设a=13,b=5,则==.13.【答案】S1=S2解：∵C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC,∴BC2=AC·AB,又∵S1=BC2,S2=AC·AD=AC·AB,∴S1=S2.14.【答案】(,)解：∵点A的坐标为(0,1),∴OA=1.∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,位似比为1∶,∴=.∴OD=OA=×1=.∵四边形ODEF是正方形,∴DE=OD=.∴点E的坐标为(,).15.【答案】1∶316.【答案】5.5 m解：由已知得△DEF∽△DCB,∴=,∵DE=40 cm=0.4 m,EF=20cm=0.2 m,CD=8 m,∴=.∴CB=4 m.∴AB=4+1.5=5.5(m).17.【答案】或3解：∵∠ABC=∠FBP=90°,∴∠ABP=∠CBF.当△MBC∽△ABP时,BM∶AB=BC∶BP,得BM=4×4÷3=;当△CBM∽△ABP时,BM∶BP=CB∶AB,得BM=4×3÷4=3.18.【答案】×解：在正△ABC中,AB1⊥BC,∴BB1=BC=1.在Rt△ABB1中,AB1===,根据题意可得△AB2B1∽△AB1B,记△AB1B的面积为S,∴=.∴S1=S.同理可得S2=S1,S3=S2,S4=S3,….又∵S=×1×=,∴S1=S=×,S2=S1=×,S3=S2=×,S4=S3=×,…,S n=×.三、19.解:(1)∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似,又∠C和∠C1,∠D和∠D1,∠E和∠E1是对应角,∴∠C=95°,∠D=135°,∠E=120°.由多边形内角和定理,知∠F=720°-(135°+120°+95°+135°+120°)=115°.(2)∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5,且CD=15 cm,∴C1D1=15×1.5=22.5(cm).20.分析:(1)根据关于x轴对称的两点的坐标特征得出对应点的位置,进而得出答案;(2)将△A1B1C1三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2得出各点坐标,进而得出答案;(3)利用位似图形的性质得出位似比,进而得出答案.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.(2)如图,△A2B2C2即为所求.(3)1∶421.(1)证明:∵AB∥FC,∴∠A=∠ECF.又∵∠AED=∠CEF, 且DE=FE,∴△ADE≌△CFE.(2)解法一:∵AB∥FC,∴∠GBD=∠GCF,∠GDB=∠GFC.∴△GBD∽△GCF.∴=.∴=.∴CF=3.由(1)得△ADE≌△CFE.∴AD=CF=3,∴AB=AD+BD=3+1=4.解法二:如图,取BC的中点H,连接EH.∵△ADE≌△CFE,∴AE=CE.∴EH是△ABC的中位线.∴EH∥AB,且EH=AB. ∴∠GBD=∠GHE,∠GDB=∠GEH.∴△GBD∽△GHE.∴=.∴=.∴EH=2.∴AB=2EH=4.22.解:由题意可得DE∥BC,所以=.又因为∠DAE=∠BAC,所以△ADE∽△ABC.所以=,即=.因为AD=16 m,BC=50 m,DE=20 m,所以=.解得DB=24 m.答:这条河的宽度为24 m.23.解:(1)由题意可知BE=2t,CF=4t,CE=12-2t.因为△CEF是等腰直角三角形,∠ECF是直角,所以CE=CF. 所以12-2t=4t,解得t=2.所以当t=2时,△CEF是等腰直角三角形.(2)根据题意,可分为两种情况:①若△EFC∽△ACD,则=,所以=,解得t=3,即当t=3时,△EFC∽△ACD.②若△FEC∽△ACD,则=,所以=,解得t=1.2,即当t=1.2时,△FEC∽△ACD.因此,当t为3或1.2时,以点E,C,F为顶点的三角形与△ACD相似.24.(1)证明:由AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°,DE=CF,得△ADE≌△DCF.(2)证明:因为四边形AEHG是正方形,所以∠AEH=90°.所以∠QEC+∠AED=90°.又因为∠AED+∠EAD=90°,所以∠EAD=∠QEC.因为∠ADE=∠C=90°,所以△ECQ∽△ADE.所以=.因为E是CD的中点,所以EC=DE=AD.所以=.因为DE=CF,所以==.即Q是CF的中点.(3)解:S1+S2=S3成立.理由:因为△ECQ∽△ADE,所以=.所以=.因为∠C=∠AEQ=90°,所以△AEQ∽△ECQ.所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.所以=,=.所以+=+=. 在Rt△AEQ中,由勾股定理,得EQ2+AE2=AQ2,所以+=1,即S1+S2=S3.。

鲁教版(五四制)八年级下册数学单元试卷第九章图形的相似

…………○装…………○学校姓名：___________………装…………○…………○…………绝密★启用前鲁教版（五四制）八年级下册数学单元试卷第九章图形的相似注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．本卷25题，答卷时间100分钟，满分120分 1．（本题3分）若234==，则a等于（）A. 8B. 9C. 10D. 112．（本题3分）如图所示，ABC ∆中，DE ∥BC ，若12AD DB =，则下列结论中不正．．确．的是( )A.12AE EC = B. 12DE BC = C.1=3ADE ABC ∆∆的周长的周长 D. 1=9ADE ABC ∆∆的面积的面积 3．（本题3分）如图，在 ABCD 中，G 是BC 延长线上的一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交与点F ，则图中相似三角形共有（）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对 4．（本题3分）已知点M 将线段AB 黄金分割（AM ＞BM ），则下列各式中不正确的是（） A. AM ：BM=AB ：AB AB D. AM ≈0.618AB………○…装…………………订………………线…※※※※要※※在※※装※※※线※※内※※答※※…○………………○5．（本题3分）黄金分割比在实际生活中有广泛的应用，比如在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为2m，它的下部为x米，则下列关于x的方程正确的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣2x﹣4=0C. x2﹣6x+4=0D. x2﹣6x﹣4=06．（本题3分）如图，利用标杆BE测量楼的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为（）A. 10.5 mB. 9.5 mC. 12 mD. 14 m7．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，EF AB，:2:3DE EA=，4EF=，则CD的长（）．A. 6B. 8C. 10D. 168．（本题3分）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.454D.3659．（本题3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A. 1：9 C. 2：3 D. 1：210．（本题3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）外…………○………装………○…………订…………………○……学__________姓名：_______班级：___________考号：_________○…………装……………………订…………○………线…………○……………………○………装…………○…A. （2，7）B. （3，7）C. （3，8）D. （4，8）二、填空题（计32分）11．（本题4分）若52n n +=，则mn等于_____． 12．（本题4分）如图(8)，火焰的光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的高度为，，则火焰的高度是_____．13．（本题4分）如图，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD ，AB=4，BC=2，则△ACD 的面积=_______.14．（本题4分）如图，AB 、CD 相交于点0，OC=2，OD=3，AC ∥BD ．EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，则AC 的长为___________15．（本题4分）如图，已知△ABC ∽△DBE ，AB ＝6，DB ＝8，则ABCDBES S ∆∆＝_________．……○……………○…………订○…………………○……※※请※在※※装※※订※※线※※内○……线……○……16．（本题4分）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是_____米（平面镜的厚度忽略不计）．17．（本题4分）在坐标系中，已知A （2，0），B （－3，－4），C （0，0），则△ABC 的面积为（）A. 4B. 6C. 8D. 318．（本题4分）如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AF 平分BAC ∠，交DE 于点G ，交BC 于点F ，若AED B ∠=∠，且:2:1AG GF =，则:DE BC =__________．三、解答题（计58分）19．（本题8分）如图，已知DE ∥BC ， AE ＝50cm ， EC ＝30cm ， BC ＝70cm ，∠BAC ＝45°，∠ACB ＝40°.求（1）∠AED 和∠ADE 的度数；（2） DE 的长．………外…………订…………○………_____考号：___________内…………○…………装…○……………………○…………内… 20．（本题8分）如图，是一个照相机成像的示意图，像高MN ，景物高度AB 、 CD 为水平视线，根据物体成像原理知：AB ∥MN ，CD ⊥MN ．（1）如果像高MN 是35mm ，焦距CL 是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，拍摄点离景物的距离LD 是多少？（2）如果要完整的拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？21．（本题8分）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，点E 为BC 的中点，AE ⊥DE ．（1）求证：△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2＝AB ·AD ；（3）若AB ＝1，CD ＝4，求线段AD ，DE 的长．○…………外…………○…………○…※※※答※※题※※ ………○………22．（本题8分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和点C ，使AB ⊥BC ，然后再选点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为D ，如图．测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？23．（本题8分）已知：Rt OAB 的直角坐标系中的位置如图所示．()3,4P 为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．……订…………○________考号：___________…○……………………○…… 24．（本题9分）（1）如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．求证2CD AD BD =⋅．（2）如图②，已知线段a 、b ，用直尺和圆规作线段c ，使得c 是a 、b 的比例中项．（保留作图的痕迹，不写作法）…○…………线……※※ ……○…25．（本题9分）如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离BC 为30m ，一天晚上，当小丽走到距路灯乙底部5m 处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部，已知小丽的身高DE 为1.5m ，求路灯甲AB 的高度．参考答案1．C【解析】试题解析：设234a b ck =＝＝，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，即2322334201022a b c k k k ka k k+++⨯+⨯===，故选C ．2．B【解析】解：∵DE ∥BC ，∴12AE AD EC DB ==，故A 正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴D E A D B C A B =.∵12AD DB =，∴13D E A DB C A B==，故B 不正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴周长之比=1：3，面积比=1：9．故C 、D 正确．故选B ．点睛：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比不要搞错． 3．D【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴△ABD ∽△CDB ，△GFC ∽△GAB ，△DEF ∽△BEA ，△AED ∽△GEB ，△ADF ∽△GCF ，△ADF ∽△GBA.即图中有6对相似三角形. 故选D. 4．B【解析】∵点M 将线段AB 黄金分割(AM>BM)， ∴AM 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB:AM=AM:BM ，AB ≈0.618AB ，故选：C.5．A【解析】试题分析：设它的下部为x 米，利用雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比可得22x xx -=，整理得x 2＋2x －4＝0．故选A ． 6．C【解析】由题意可知：BE ⊥AC 于点B ，DC ⊥AC 于点C ， ∴BE ∥CD,∴△ABE ∽△ACD ， ∴BE AB DC AC =，即1.52214CD =+，解得：CD=12. 故选C. 7．C【解析】试题解析：∵DE :EA =2:3， ∴DE :DA =2:5，又∵EF //AB ， ∴△DEF ∽△DAB ，DE EF DA AB ∴=，即245AB=，解得AB =10，由平行四边形的性质，得CD =AB =10. 故选C. 8．C【解析】试题解析：∵四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1， ∴1111AB CDA B C D =， ∵AB=12，CD=15，A 1B 1=9， ∴C 1D 1=91545124⨯=．故选C ．9．B【解析】试题解析：∵四边形EFNM 是正方形， ∴EF=MN ，∴13EF AC =， ∴EF=13AC ，∵12CG AC =， ∴CG=12AC ，∴123132ACEF CG AC ==，易证：△DEF ∽△HCG ， ∴S 1：S 2=4：9；故选B ． 10．A【解析】过C 作CE ⊥y 轴于E ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，∠ADC =90°， ∴∠ADO +∠CDE =∠CDE +∠DCE =90°， ∴∠DCE =∠ADO ，∴△CDE ∽△ADO ， ∴CE DE CDOD OA AD==， ∵OD =2OA =6，AD ：AB =3：1，∴OA =3，CD ：AD =13，∴CE =13OD =2，DE =13OA =1， ∴OE =7，∴C （2，7），故选A ．11．32【解析】试题分析：设n=2x ，则m=3x ，即3322m x n x ==． 12．4.5【解析】如图，连接AB 、CD ，由题意可知：AB ∥CD ，CD=1.5cm ，∴△OCD ∽△OAB ， ∴161483CD OC AB OA ===，即1.513AB =， ∴AB=4.5（cm ），即火焰的高度为4.5cm. 故答案为：4.5.13．5【解析】∵∠ABC =90°，AB=4，BC=2，∴=∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD ，∴△ACD ∽△ABC ， ∴AC CD AB BC=，2CD =，∴△ACD 的面积=12⨯=5.故答案为：5.14．83【解析】∵EF 是△ODB 的中位线，且EF=2，∴BD=2EF=4.∵AC ∥BD ，∴△OAC ∽△OBD ， ∴23AC OC BD OD ==， ∴243AC =， ∴AC=83. 故答案为：83. 15．916 【解析】∵△ABC ∽△DBE ，AB ＝6，DB ＝8， ∴2269816ABC DBE S AB S DB ∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 故答案为：916. 16．8【解析】试题解析：由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB=∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴AB CD BP PD＝， ∴CD=1.2121.8⨯=8（米）．故答案为：8．17．A【解析】由题意点B 坐标的纵坐标的绝对值即为△ABC 底边AC 的高，∴AC=|2−0|=2，∴S △ABC =12×AC ×|−4|=12×2×4=4. 故选：A.点睛：本题考查了三角形面积的计算，确定三角形ABC 的底边AC ，以及该底边上的高点B 的纵坐标即可求得.18．2:3【解析】∵AED B ∠=∠，而DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB ∽， ∴DE AG BC AF=，∵:2:1AG GF=，∴23 DE AGBC AF==，故答案为：2:3．19．（1）∠AED=40°，∠ADE=95°（2）DE= 3508．【解析】试题分析：（1）在△ABC中，由∠ BAC＝45°，∠ ACB＝40°易得∠B=95°，结合DE∥BC可得∠AED=∠ACB=40°，∠ADE=∠B=95°；（2）由AE=50cm，EC=30cm可得AC=80cm；由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，结合BC=70cm即可由相似三角形对应边成比例即可求得DE的长.试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ BAC＝45°，∠ ACB＝40°，∴∠B=180°-45°-40°=95°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=40°，∠ADE=∠B=95°；（2）∵AE=50cm，EC=30cm，∴AC=80cm.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴505808 DE AEBC AC===，又∵BC=70cm，∴DE=35017584=cm.20．（1）7（2）70【解析】试题分析：根据AB和MN平行，从而得出MN LCAB LD=，两个题目中分别将各个数字代入等式中，从而求出未知的量得出答案．试题解析：∵AB∥MN，∴△LMN∽△LBA，∴=．（1）∵像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，∴=，解得LD=7，∴拍摄点距离景物7米；（2）拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，∴=，解得LC=70，∴相机的焦距应调整为70 mm．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义和直角三角形的性质，求出∠BAE=∠CED，然后利用两角对应相等的两三角形相似可证；（2）根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，以及两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证明结论；（3）根据相似三角形的性质，由（2）的结论△ABE ∽△AED 得到对应边成比例，然后根据勾股定理求解.试题解析：(1)证明：∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠AEB +∠CED =180°-90°=90°， ∵∠ABC ＝90°，∴∠BAE +∠AEB =90°，∴∠BAE =∠CED .又∵∠ABC ＝∠BCD ，∴△ABE ∽△ECD ．(2) ∵△ABE ∽△ECD ，∴AB AE EC ED=． ∵点E 为BC 的中点，∴BE ＝EC ． ∴AB BE AE ED=．又∵∠ABC ＝∠AED ＝90°，∴△ABE ∽△AED ， ∴AB AE AE AD=，∴AE 2＝AB ·AD ． (3)∵△ABE ∽△ECD ，∴AB BE EC CD =． ∵AB ＝1，CD ＝4，BE ＝EC ，∴BE 2＝AB ·CD ＝4．由勾股定理，得AE 2＝AB 2+ BE 2=5． ∵AE 2＝AB ·AD ，∴2551AE AD AB ===．由勾股定理，得DE =22．100【解析】试题分析：由题意易证Rt △ABD ∽Rt △ECD ，结合题中的已知数据即可利用相似三角形对应边成比例解得AB 的长.试题解析：∵AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，∴∠ABD ＝∠ECD=90°，又∵∠ADB ＝∠EDC ，∴Rt △ABD ∽Rt △ECD ， ∴AB BD EC CD =，即1205060AB =， ∴AB ＝100.答：两岸之间AB 的大致距离为100米．23．见解析．【解析】试题分析：按照公共锐角进行分类,可以分为两种情况:当∠BOC 为公共锐角时,只存在∠PCO 为直角的情况;当∠B 为公共锐角时,存在∠PCB 和∠BPC 为直角两种情况.如图,()13,0C ,()26,4C ,376,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：过P 作1PC OA ⊥，垂足为1C ，则1OC P OAB ∽，点1C 的坐标为()3,0，过P 作2PC AB ⊥，垂足为2C ，则2P C B O A B ∽，点2C 的坐标为()6,4，过P 作3PC OB ⊥，垂足为P （如图），则3C PB OAB ∽，易知10OB =，5BP =，8BA =，∴3254BC =，3257844AC =-=，∴376,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．符合要求的点C 有三个，其连线段分别为1PC ，2PC ，3PC （如图）．24．见解析【解析】试题分析:(1)根据90ACB ∠=︒,CD AB ⊥可证得CDA BDC ∽,根据对应边成比例可得BD CD CD AD=即可求证2CD BD AD =⋅,(2)利用尺规,以a+b 为直径作圆,再以a 和b 的交点为圆心,c 为半径作圆弧交圆于一点,过一这点作a 的垂线即可.（1）∵90DCA BCD ∠+∠=︒,90DCA A ∠+∠=︒,∴BCD A ∠=∠,∵CDA BDC ∠=∠,∴CDA BDC ∽, 即BD CD CD AD=, 整理则有2CD BD AD =⋅.（2）法一：法二：25．9m【解析】试题分析:根据题意可得A,D,C 三点共线,先根据DE AB 可得ABC DEC ∽,根据相似三角形的性质:对应边成比例即可求解.试题解析:由题意可知30m BC =,5m EC =, 1.5m DE =,∵DE AB ,∴ABC DEC ∽,AB BC DE EC=, ∵30m BC =,5m EC =, 1.5m DE =, ∴301.55AB =, 1.5309m 5AB ⨯==．故路灯甲的高度为9m .。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似练习(含答案)

A．18.75 米
B．18.8பைடு நூலகம்米
C．21.3 米
D．19 米
8．如图，菱形 ABCD 中，EF⊥AC 于点 H，分别交 AD 及 CB 的延长线交于点 E、F，且 AE： FB=1：2，则 AH：HC 的值为（）
A． 1 3
2 / 11
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
B． 1 5
6．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则 AC 的长为（）
A． 5 -1
B． 5 +1
C． 5 -2
D．3- 5
7．如图，小明为了测量高楼 MN 的高度，在离 N 点 20 米的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退 1.5 米到 C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的 M 点，已知小明的眼睛（点 B）到地面的高度 BC 是 1.6 米，则大楼 MN 的高度（精确到 0.1 米）约是（）
根据题意得， AF = 1 , 4.6 0.8
解得，AF=5.75 米， ∴AB=5.75+0.3=6.05 米. 答：乙树的高度是 6.05 米.
10 / 11
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
11 / 11
三、解答题 15．如图，a∥b∥c，直线 m，n 交于点 O，且分别与直线 a，b，c 交于点 A、B、C 和点 D、 E、F，已知 OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5，求 DE 的长度是？
16．已知：如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 上（点 D 不与 A，C 重合）．若再添加一个条件， 4 / 11
B． BC = DF CE AD
3．下列说法正确的是（）

难点解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似达标测试试卷

八年级数学下册第九章图形的相似达标测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点1,0A ，()1,2B ，C 在''A B 上，则'C 点坐标为（）A ．()2,4B ．()2,2C ．()4,2D ．()4,42、如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，若A 点坐标为（1，2），C 点坐标为（2，4），AB =CD 长为（）A．2 B．4 C D．3、如图，已知直线a b c∥∥，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若8AC=，12CE=，6BD=，则DF的值是（）A．15 B．10 C．14 D．94、已知12ab=，则a bb+的值为（）A．23B．32C．35D．15、如图，点D，E 分别在△ABC 的边AB，AC 上，且满足△ADE∽△ACB，∠AED =∠B ，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则CE 的长是（）A．2 B．3 C．4 D．56、若点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，则AC 的长是（）A ． 4B ．9－C ．3或9－D ．4或12－7、如图，已知△ABC ∽△DEF ，若∠A ＝35°，∠B ＝65°，则∠F 的度数是（）A ．30°B ．35°C ．80°D ．100°8、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，位似比为1：2，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ′的横坐标是（）．A ．21a -+B ．22a -+C ．23a -+D ．22a --9、如图，矩形ABCD 被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH ~矩形HDFP ~矩形PEBG ，AE AH >，AC 交HG ，EF 于点M ，Q ，若要求APQ 的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（）A ．矩形AEPH 和矩形PEBGB ．矩形HDFP 和矩形AEPHC ．矩形HDFP 和矩形PEBGD ．矩形HDFP 和矩形PGCF10、若32b a =，则a b a +的值等于（） A ．12 B ．52 C ．53 D ．54第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且:3:4CD CE =．将CDE △绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是ABC ∠的平分线，此时线段CD 的长是_____．2、如图，将ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''的位置，已知ABC 的面积为18，阴影部分三角形的面积为2．若2A D '=，则AA '等于______．3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝4．若D 是BC 边上的黄金分割点，则△ABD 的面积为_____．4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若ADE 的面积为23cm ，则四边形BDEC 的面积为 _____．5、如图，四边形ADEF为菱形，且6AB=，4AC=，那么DE=______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．(1)在图中画出小明的位置(用线段FG表示)．(2)若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．2、如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，1），B（1，2），C（4，3）．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍得到△A1B1C1，作出△A1B1C1，写出A 1，B 1，C 1的坐标；(2)四边形AA 1B 1B 的面积为．3、菱形ABCD 的边长为6，∠D ＝60°，点E 在边AD 上运动．(1)如图1，当点E 为AD 的中点时，求AO ：CO 的值；(2)如图2，F 是AB 上的动点，且满足BF +DE ＝6，求证：△CEF 是等边三角形．4、如图，ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒，点P 是直线BC 上一动点，连接AP ，分别过B 、C 做直线AP 的垂线，垂足分别为点E 、F ，取BC 的中点Q ，连接QE 、QF ．(1)如图1，若点P 在BC 的延长线上且30P ∠=︒，2PC =，求BC 的长；(2)如将2，若P 是BC 的延长线上任意一点，求证：CE BF +=；(3)如图3，作点C 关于直线AP 的对称点C '，连接QC '，若1AC =，请直接写出当QC 取得最大值时PC 的长．5、如图1，已知等边ABC 的边长为8，点D 在AC 边上，2AD =，点P 是AB 边上的一个动点．(1)连接PC 、PD ．①当AP =______时，APD ACP ∽△△； ②若APD △与BPC △相似，求AP 的长度；(2)已知点Q 在线段PB 上，且2PQ =．①如图2，若APD △与BQC 相似，则ACQ ∠与PDC ∠之间的数量关系是______；②如图3，若E 、F 分别是PD 、CQ 的中点，连接EF ，线段EF 的长是否是一个定值，若是，求出EF 的长，若不是，说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接CD ，由等腰直角三角形的性质及A 、B 的坐标，可求得点C 的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点'C 的坐标．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形∴CD ⊥AB∵()1,0A ，()1,2B∴AB ⊥x 轴∴CD ∥x 轴∴D (1，1)∵等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1 ∴2,0A ，()2,4B '∴A B x ''⊥轴∵C 在''A B 上∴C (2，1)由位似比为2：1，则'C 点坐标为(4，2)故选：C【点睛】本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．2、D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△OCD ∽△OAB ，且相似比为2∶1，根据相似比等于位似比计算即可．解：∵以原点O 为位似中心，∴将△OCD 放大得到△OAB ，点A 的坐标为（1，2）点C 的坐标为（2，4），∴△OCD ∽△OAB ，且相似比为2∶1， ∴12AB CD =，∵AB =∴CD =故选：D ．【点睛】本题考查位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或-k ．3、D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵a b c ∥∥， ∴AC BD CE DF= ， ∵8AC =，12CE =，6BD =， ∴8612DF= ，解得：9DF = ．故选：D本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．4、B【解析】【分析】根据12ab=求得b=2a，代入计算即可．【详解】解：∵12ab=，∴b=2a，∴2322a b a ab a++==，故选：B．【点睛】此题考查了比例的性质，代数式的化简求值，正确掌握比例的性质是解题的关键．5、B【解析】【分析】首先利用相似三角形的性质可求出AE的长，即可求解．【详解】解：∵△ADE∽△ACB， AED  B ，∴AB：AE=AC：AD，而AB＝10，AC＝8，AD＝4∴10：AE =8：4，∴AE =5∴853CE AC AE =-=-= ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．6、D【解析】【分析】叫做黄金数，当AC BC >时，AC AB =AC BC <时BC AB =，即AB AC AB - 【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，AB =8，当AC BC >时，AC AB = ，84AC ==；当AC BC <时，BC AB =，即AB AC AB -8]8AC -84)12AC =-=-综上，AC的长为4或12-故选D．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是要不重不漏，分情况讨论AC和BC之间的长度关系．7、C【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【详解】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C=80°，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．8、C【解析】【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．【详解】解：设点B ′的横坐标为x ，则B 、C 间的水平距离为a -1，B ′、C 间的水平距离为-x +1，∵△ABC 的位似图形是△A ′B ′C ，且位似比为1：2，∴2（a -1）=-x +1，解得：x =-2a +3，故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．9、B【解析】【分析】设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，根据相似多边形的性质与相似三角形的性质与判定，分别求得矩形AEPH 的面积为：ab ，矩形HDFP 的面积为：3a b ，矩形PEBG 的面积为：3b a，以及APQ 的面积，HDFP AEPH S S -矩形矩形，进而比较可【详解】解：∵矩形ABCD 被分割成4个小矩形，设,AE a EP b ==，则HP DF a ==，矩形AEPH ~矩形HDFPAE HD EP HP∴= 2AE HP a PF HD EP b⋅∴===222a ab AD BC EP PF b b b+∴==+=+= 矩形AEPH ~矩形PEBG ，AE EP EP EB∴= 22EP b EB AE a∴== 2b FC EB a∴== ∴矩形AEPH 的面积为：ab矩形HDFP 的面积为：3a b矩形PEBG 的面积为：3b a∴HDFP AEPH S S -=矩形矩形3a b -ab 32a ab b-= EQ BC ∥AEQ ABC ∴∽2222EQ AE a a b BC AB a b a a∴===++ 2222222222a a a b a a EQ b a b b a b b b⎛⎫+∴=⨯+=⨯= ⎪++⎝⎭ 11=22APQ AEQ AEP S S S AE EQ AE EP ∴-=⋅-⋅△△ ()1=2AE EQ EP ⋅- 22232111=222a a b a ab a b a b b b ⎛⎫--=⨯-=⨯⨯ ⎪⎝⎭()1=2HDFP AEPHS S -矩形矩形故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的性质与判定，进行的性质，题中相等量两较多，关系复杂，设参数是解题的关键．10、B【解析】【分析】根据32b a =可设2,3(0)a k b k k ==≠，再代入计算即可得．【详解】解：由题意，可设2,3(0)a k b k k ==≠，则23522a b k k a k ++==，故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．二、填空题1、6【解析】【分析】设3CD x =，则4,124CE x BE x ==-，先根据相似三角形的判定证出ACB DCE △△，根据相似三角形的性质可得DEC ABC ∠=∠，再根据平行线的判定与性质、角平分线的定义可得EBF BFE =∠∠，等腰三角形的判定可得124EF BE x ==-，然后根据旋转的性质可得3DF CD x ==，从而可得12DE x =-，最后在Rt DCE 中，利用勾股定理求出x 的值，由此即可得出答案．【详解】解：如图，设3CD x =，则4CE x =，124BE x =-，34CD CA CE CB ==，90DCE ACB ∠=∠=︒， ACB DCE ∴，DEC ABC ∴∠=∠，AB DE ∴，ABF BFE ∴∠=∠，又BF 平分ABC ∠，ABF EBF ∴∠=∠，EBF BFE ∴∠=∠，124EF BE x ∴==-，由旋转的性质得：3DF CD x ==，12DE EF DF x ∴=+=-，在Rt DCE 中，222CD CE DE +=，即222(3)(4)(12)x x x +=-，解得2x =或3x =-（不符题意，舍去），3326CD x ∴==⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．2、4【解析】【分析】根据平移的性质，，得A EF ABC '∠=∠，A FE ACB '∠=∠，BAD EA D '∠=∠，CAD FA D '∠=∠，根据相似三角形的性质，通过证明A ED ABD '∽△△，A FD ACD '△∽△，推导得2A EF ABC A D S S AD ''⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，A EF ABC '∠=∠，A FE ACB '∠=∠，BAD EA D '∠=∠，CAD FA D '∠=∠，如下图∴A ED ABD '∽△△，A FD ACD '△∽△ ∴2A ED A FD ABD ACD S S A D AD S S '''⎛⎫== ⎪⎝⎭△△△△ ∴()22A EF A ED A FD ABD ACD ABC A D A D S S S S S S AD AD '''''⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△ ∵2A EF S '=△，18ABC S =∴13A D AD '= ∴36AD A D '==∴4AA AD A D ''=-=故答案为：4．【点睛】本题考查了平移、相似三角形、三角形中线的知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．3、5 5【解析】【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，先由等腰三角形的性质得2BE =，由勾股定理求出AE =ABC ∆的面积=BD BC =或BD BC = 【详解】解：过A 作AE BC ⊥于E ，如图所示：AB AC =，122BE CE BC ∴===，AE ∴=ABC ∴∆的面积11422BC AE =⨯=⨯ D 是BC 边上的黄金分割点，∴当BD CD >时，BD BC =，1212BD AEABD BDABC BCBC AE⨯∆==∆⨯的面积的面积ABD∴∆的面积5=当BD CD<时，12CDBC=，∴BDBC1212BD AEABD BDABC BCBC AE⨯∆==∆⨯的面积的面积，ABD∴∆的面积5=；故答案为：55．【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义和等腰三角形的性质．4、29cm【解析】【分析】根据三角形中位线定理可得12DE BC=，DE∥BC，从而得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质，可得212cmABCS=△，即可求解．【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴12DE BC=，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ， ∵ADE 的面积为23cm ，∴212cm ABC S =△ ，∴四边形BDEC 的面积为21239cm ABC ADE SS -=-=．故答案为：29cm【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的性质是解题的关键．5、2.4##125【解析】【分析】由菱形的性质可得,AD DE DE AC =∥，进而得出BDE BAC ∽△△，列出比例式，代入数值进行计算即可．【详解】四边形ADEF 是菱形,AD DE DE AC ∴=∥BDE BAC ∴∽△△DE BD AC AB∴= 4DE AB AD AB-∴= 646DE DE -∴=解得 2.4DE=故答案为：2.4【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质得出相似比是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)路灯高3.75米【解析】【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的位置；（2）易得小明的影长，利用EFG EDC∽可得路灯CD的长度．∆∆(1)解：如图，FG就是所求作的线段.(2)上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，∴==，CG FG23FG CD，//∠=∠，EFG D∴∠=∠，EGF ECD∽，∴∆∆EFG EDC∴FG EG=，CD EC∴1.52=，CD5CD=，解得 3.75∴路灯高3.75米．【点睛】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．2、 (1)图见解析，A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）(2)7.5【解析】【分析】（1）两条位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把四边形面积看成矩形面积减去周围四个三角形面积即可．(1)解：如图，△A1B1C1即为所求作．观察图形得：A1（6，2），B1（2，4），C1（8，6）；(2)解：四边形AA1B1B的面积=3×5-12×1×2-12×1×3-12×2×4-12×1×2=7.5．故答案为：7.5．【点睛】本题考查作图-位似变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．3、 (1)12(2)见解析【解析】【分析】（1）先由菱形的性质得BC＝AD＝6，AD∥BC，再证△AOE∽△COB，即可得出答案；（2）先证△ABC是等边三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再证△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后证∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出结论．(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝12AD＝3，∵AD∥BC，∴△AOE∽△COB，∴3162 AO AECO BC===；(2)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D ＝60°，∴∠CAE ＝∠ACB ，△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝60°＝∠B ，∵AE +DE ＝AD ＝6，BF +DE ＝6，∴AE ＝BF ，在△ACE 和△BCF 中，AE BF CAE B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴CE ＝CF ，∠ACE ＝∠BCF ，∴∠ACE +∠ACF ＝∠BCF +∠ACF ＝∠ACB ＝60°，即∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．4、 (1)BC=2；(2)见详解；(3)PC【解析】【分析】（1）在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，根据∠COE =30°，CE ⊥PG ，得出∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，根据等腰直角三角形性质得出∠ACB =∠ABC =45°，证明△PCE ≌△GCE （SAS ），再证CG =AG =2，利用勾股定理即可求解；（2）证明：连结AQ ，先证△QCA 等腰直角三角形；再证△CEA ≌△AFB （AAS ），得出CE =AF ，EA =BF ，可证△CEA ≌△AFB （AAS ），最后证明△QEF 为等腰直角三角形即可；（3）当QC′⊥AC 时QC′最大，根据QC =AQ ，可得QC′为AC 的垂直平分线，再证△C′CA 为等边三角形，可求∠ABF =90°-∠BAF =90°-60°=30°，得出AF =12AB ，BFAB =，根据AB =AC =1，求出BCAF =1122AB =，BFAB ==PC 为m ，PB =PC +BC =mPCE ∽△PBF ，得出PC CE PB BF=1= (1)解：在EA 上截取GE =PE ，连结CG ，∵∠CPE =30°，CE ⊥PG ，∴∠PCE =90°-∠CPE =90°-30°=60°，∵ABC 是等腰直角三角形，90CAB ∠=︒∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ECA =180°-∠PCE -∠ACB =180°-60°-45°=75°，在△PCE 和△GCE 中，CE CE PEC GEC PE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PCE≌△GCE（SAS），∴∠PCE=∠GCE=60°，CP=GC=2，∴∠GCA=∠ECA-∠GCE=75°-60°=15°，∵∠CGE=90°-∠GCE=90°-60°=30°，∴∠GAC=∠CGE-∠ECG=30°-15°=15°，∴CG=AG=2，在Rt△CEG中，EG=∴EA=EG+AG2，==；∴BC2，(2)证明：连结AQ，∵点Q为BC中点，AB=AC，∠BAC=90°，∴QC=QA=QB，∠QCA=∠QAB=45°，AQ⊥BC，∵CE⊥EF，BF⊥EF，∠CAB=90°，∴∠CEA=∠AFB=∠CAB=90°，∴∠ECA +∠CAE =∠CAE +∠FAB =90°，∴∠ECA =∠FAB ，在△CEA 和△AFB 中，CEA AFB ECA FAB AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴CE =AF ，EA =BF ，∴EF =AE +AF =BF +EC ，∵∠ECA +45°=∠FAB +45°，即∠QCE =∠QAF ，在△CEQ 和△AFQ 中，QC QA ECQ FAQ CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEA ≌△AFB （AAS ），∴QE =QF ，∠CQE =∠AQF ，∵∠EQA +∠AQF =∠EQA +∠CQE =90°，∴△QEF 为等腰直角三角形，∴EF，∴CE BF +=；(3)当QC′⊥AC 时QC′最大，∵QC =AQ ，∴QC′为AC 的垂直平分线，∴CC′=C′A =AC =1，∴△C′CA 为等边三角形，∵点C 关于直线AP 的对称点C '，∴AP 平分∠CAC′，CE =CE =12，∴∠CAE =30°，∴∠BAF =180°-∠CAE -∠BAC =180°-30°-90°=60°，∵BF ⊥EF ，∴∠ABF =90°-∠BAF =90°-60°=30°，∴AF =12AB ，BF AB =， ∵AB =AC =1，∴BC=AF =1122AB =，BF AB ==设PC 为m ，PB =PC +BC =m ，∵BF ⊥EF ，CE ⊥EF ，∴CE∥BF ，∴△PCE ∽△PBF ， ∴PC CE PB BF=1=解得m = 经检验符合题意．【点睛】本题考查30°直角三角形性质，等腰直角三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，解分式方程，轴对称性质，掌握以上知识是解题关键．5、 (1)①4；②4或1.6(2)①120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒【解析】【分析】（1）①根据相似三角形的判定，列出比例式求解即可；②分类讨论，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；（2）①根据相似三角形对应角相等，得出BCQ APD ∠=∠或BCQ ADP ∠=∠，再结合等边三角形的性质求解即可；②连接QE 并延长，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，求出CG 长即可．(1)解：①∵A A ∠=∠，当AP AD AC AP=时，APD ACP ∽△△； ∵等边ABC 的边长为8，2AD =，28AP AP=，解得，4AP =（负值舍去），故答案为：4；②当APD BPC ∽△△时， AP AD BP BC=，即288AP AP =-，解得， 1.6AP =；当APD BCP ∽△△时， AP AD BC BP =，即288AP AP=-，解得，4AP =； AP 的长度为4或1.6．(2)解：①当APD BQC ∽△△时，BCQ ADP ∠=∠，∴180PDC BCQ ∠+∠=︒，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120PDC ACQ ∠-∠=︒；当APD BCQ ∽△△时，BCQ APD ∠=∠，∵60PDC APD ∠=︒+∠，∴60PDC BCQ ∠=︒+∠，∵60BCQ ACQ ∠=︒-∠，∴120ACQ PDC ∠+∠=︒；故答案为：120ACQ PDC ∠+∠=︒或120PDC ACQ ∠-∠=︒；②线段EF 的长是一个定值，理由如下：连接QE 并延长至G ，使QE =EG ，连接DG ，CG ，作AH ⊥BC 于H ，GI ⊥BC 于I ，∵QE =EG ，PE =DE ，∠PEQ =∠DEG ，∴△PEQ ≌△DEG ，∴DG =PQ =2，∠QPE =∠GDE ，∴DG =AD =2，QP ∥GD ，∴∠DAP =∠GDA =60°，∴△GDA 是等边三角形，∴∠DAG =∠ACB =60°，GA =2，∴GA ∥BC ，∵AH ⊥BC ，GI ⊥BC ，∴HA ∥GI ，∴四边形HAGI 是平行四边形，∴GA = HI =2，∵∵AH ⊥BC ，∴HC =4，HI =2，AH==GI=CG∵F分别是CQ的中点，∴GC=2EF，∴EF=【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用全等三角形和相似三角形的判定与性质进行推理计算．。

难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第九章图形的相似专题测评练习题(含详解)

八年级数学下册第九章图形的相似专题测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若AE ：AB ＝1：3，则S △AEF ：S △ADC ＝（）A ．1：12B ．1：9C ．1：6D ．1：32、如图，在△ABC 中，点D 、E 在边AB 上，点F 、G 在边AC 上，且DF ∥EG ∥BC ，AD ＝DE ＝EB ，若Δ1ADF S =，则EBCG S =四边形（）A．3 B．4 C．5 D．63、如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'∶OA'＝2∶3，则△ABC 的面积与△A'B'C'的面积比是（）A．25∶9B．9∶4C．25∶3D．5∶34、如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．已知AB＝4，BC＝6，DE＝2，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．4.55、如图，在ABCD中，点E、F分别在AD、CD边上，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE、CD，相交于点H，下列结论中正确的是（）A．EG AEBG BC=B．AE BEED EH=C ．=EH DH EB CHD ．=AG BG FG FH6、如图，ABC 和DEF 中，A D ∠=∠，则添加下列条件后无法判定ABC DEF ∽△△的是（）A ．B E ∠=∠ B ．C F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =D ．BA BC ED EF= 7、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1，点1,0A ，()1,2B ，C 在''A B 上，则'C 点坐标为（）A ．()2,4B ．()2,2C ．()4,2D ．()4,48、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为()3,2-、()2,3-，以原点O 为位似中心，在原点的异侧按1∶3的相似比将OAB 放大，则点B 的对应点B '的坐标为（）．A ．()6,9-B ．()9,6-C ．()6,4-D ．()4,6-9、将一个三角形的各边都缩小到原来的12后，得到三角形与原三角形（）A ．一定不相似B ．不一定相似C ．无法判断是否相似D ．一定相似 10、如图所示，在直角坐标系中，1,0A ，()0,2B ，以A 为位似中心，把ABC 按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C ''△，则B '的坐标为（）．A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,4--D ．()1,4-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，BD ⊥DE 交AC 的延长线于点E ，则DE ＝_____．2、已知30x y x -=，则y x=______． 3、已知75x y =．则x y x +＝___． 4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的延长线上的一点，DE 与边BC 相交于点F ，27BE AE =，那么BF FC的值为________________．5、两个相似多边形的周长比是3：4，其中较小的多边形的面积为236cm ，则较大的多边形的面积为______cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC 中，∠ABC ＝80°，∠BAC ＝40°，AB 的垂直平分线分别与AB ，AC 交于点E ，D 两点．(1)用圆规和直尺在图中作出AB 的垂直平分线DE ，并连接BD ；(2)找出一组相似三角形（不用说明理由）．2、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，连结AF 、CE ．(1)试判断四边形AFCE 的形状，并说明理由；(2)若5AB =，23AE BF =，求EF 的长；(3)连结BE ，若BE CE ⊥，求BF AE的值． 3、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ．(1)求证：AC 2=AB •AD ；(2)若BD=9，AC=6，求AD 的长．4、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．(1)请作出△OAB 关于直线CD 对称的△O 1A 1B 1；(2)请以点P 为中心，相似比为2，作出△OAB 的同向位似图形△O 2A 2B 2．5、感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽； ②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】先判断出△AEF 与△DCF 是相似，利用性质可求面积比，再由△AEF 与△ADF 是等高的三角形，也可得出面积比，最后根据S △ADC =S △CDF +S △ADF 计算比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵AE ：AB ＝1：3，∴AE ：CD ＝1：3，∵AE ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF ， ∴21()9AEF CDF S AE S CD ==，13EF AE DF CD ， ∴S △CDF =9S △AEF ，S △ADF =3S △AEF ，∵S △ADC =S △CDF +S △ADF ， ∴19312AEF AEF ADC AEF AEF S S S S S ==+，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似和平行四边形的基本知识，属于中考常考题型．2、C【解析】【分析】利用////DF EG BC ，得到ADF ABC ∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽，利用AD DE EB ==，得到13AD AB =，12AD AE =，利用相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，分别求得AEG ∆和ABC ∆的面积，利用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形即可求得结论．【详解】解：AD DE EB ==，∴13AD AB =，12AD AE =． ////DF EG BC ，ADF ABC ∴∆∆∽，ADF AEG ∆∆∽． ∴2()ADF ABC S AD S AB ∆∆=，2()ADF AEG S AD S AE ∆∆=． 99ABC ADF S S ∆∆∴==，44AEG ADF S S ∆∆==．945ABC AEG EBCG S S S ∆∆∴=-=-=四边形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，用ABC AEG EBCG S S S ∆∆=-四边形解答．3、A【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△A B C '''∽△ABC ，A B ''∥AB ，进而得到△O A B ''∽△OAB ，根据相似三角形的性质得到A B AB''，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵△A B C '''是△ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，∴△A B C '''∽△ABC ，A B ''∥AB ，∴△O A B ''∽△OAB ， ∴A B AB ''＝OA OA '＝35， ∴ABC A B C S S '''∆∆＝（AB A B ''）2＝259，故选：A ．【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．4、B【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】解：123l l l，AB DEBC EF∴=，4,6,2AB BC DE===，426EF∴=，解得3EF=，经检验，3EF=是所列分式方程的解，故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5、B【解析】【分析】根据相似三角形的性质和平行四边形的性质可以判断各个选项中的比值是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图可知，EG AEBG BC≠，故选项A错误；∵AB∥CD，∴△ABE∽△DHE，∴AE BEED EH⋅=，故选项B正确；∵DE∥BC，∴EH DH EB DC=，故选项C 错误； ∵AB ∥CD ，∴△ABG ∽△FHG ， ∴AG BG FG HG=，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：∵A D ∠=∠，B E ∠=∠，∴ABC DEF ∽△△ ，故选项A 不符合题意；∵A D ∠=∠，C F ∠=∠，∴ABC DEF ∽△△，故选项B 不符合题意；∵A D ∠=∠，AB AC DE DF=， ∴ABC DEF ∽△△，故选项C 不符合题意； ∵BA BC ED EF=，但,B E ∠∠不一定相等， ∴,ABC DEF 不一定相似，则添加BA BC ED EF=条件后无法判定ABC DEF ∽△△；故选项D 符合题意．故选D ．【点睛】本题考查条件条件使两个三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，夹角对应相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似是解题关键．7、C【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接CD ，由等腰直角三角形的性质及A 、B 的坐标，可求得点C 的坐标，再根据两个三角形的位似比即可求得点'C 的坐标．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形∴CD ⊥AB∵()1,0A ，()1,2B∴AB ⊥x 轴∴CD ∥x 轴∴D (1，1)∵等腰直角'''A B C ∆是等腰直角△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为2：1 ∴2,0A ，()2,4B '∴A B x ''⊥轴∵C 在''A B 上∴C (2，1)由位似比为2：1，则'C 点坐标为(4，2)故选：C【点睛】本题考查了三角形位似的定义及性质，等腰三角形的性质等知识，掌握三角形位似的定义是关键．8、A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质以及结合B 点坐标直接得出点B ′的坐标．【详解】解：∵以点O 为位似中心，在原点的异侧按1：3的相似比将△OAB 放大，点B 的坐标分别为(−2，3)．∴点B的对应点B′的坐标为（6，-9），故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k．9、D【解析】【分析】，再由三边对应成比例的两个三角形相根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为12似，即可求解．【详解】，解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的12∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为1，2∴得到三角形与原三角形一定相似．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．10、D【解析】【分析】根据位似得到AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，证得△B'BD≌△ABO，求出B'D=AO=1，AD=4，得到B'的坐标．【详解】解：∵把ABC按相似比1∶2放大，放大后的图形记作AB C''△，∴12 ABAB='，∴AB BB'=，过B'作B'D⊥y轴于D，则∠B'DB=∠AOB=90°，∵∠B'BD=∠ABO，∴△B'BD≌△ABO，∴B'D=AO=1，BD=BO=2，∴AD=4，∴B'（-1,4），故答案为（-1,4）．【点睛】此题考查了位似图形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握位似的性质及全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．二、填空题1、120 7【解析】【分析】由勾股定理可求AC 的长，由矩形的性质可得5OD OB ==，由面积法可求DH 的长，通过证明OD DE OH DH=，即可求解．【详解】解：如图：过点D 作DH AC ⊥于H ，6AB =，8BC =，10AC ∴=，四边形ABCD 是矩形，152AO CO BO DO AC ∴=====， 11··22ADC S AD CD AC DH ==， 6810DH ∴⨯=，245DH ∴=，75OH ∴=， ∵=90DOH ODH ∠+︒∠，=90DOH E ∠+︒∠，∴ODH E ∠=∠90DHO EHD ∠=∠=︒，ODH DEH ∴∆∆∽， ∴OD DE OH DH =，∴572455DE =，1207DE ∴=，故答案为：1207．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．2、13【解析】【分析】利用比例的基本性质，进行计算即可．【详解】解：30x y x -=， 30x y ∴-=，3x y ∴=， ∴13=y x ，故答案为：13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质．3、125【解析】【分析】根据比例的性质求解即可，设7,5x k y k ==，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵75x y = 设7,5x k y k ==， ∴x y x +751275k k k +== 故答案为：125【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．4、25【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，CD ＝AB ，即可证得△BEF ∽△CDF ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CD ＝AB ，∴△BEF ∽△CDF ， ∵27BE AE =，∴25 BE BEAB CD==，∴25 BF BEFC CD==．故答案为：25．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5、64【解析】【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4，∴两个相似多边形的相似比是3：4，∴两个相似多边形的面积比是9：16，∵较小多边形的面积为36cm2，∴较大多边形的面积为64cm2，故答案为：64．【点睛】本题考查了相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．三、解答题1、 (1)见解析(2)△CBD∽△CAB【解析】【分析】（1）以大于二分之一AB的长度为半径，分别以A，B两点为圆心在线段AB的两侧画弧，分别交于一点，连接两个交点即可；（2）根据角平分线的性质求出角之间的等量关系，进而根据相似三角形的相似的条件判断即可．(1)解：如图，直线DE即为所求．(2)解：△CBD∽△CAB．理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝40°∵∠A＝40°，∴∠∠CBD＝∠A＝40°，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB．【点睛】本题考查尺规作图作线段的垂直平分线，以及相似三角形的判定，能够熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键．2、 (1)四边形AFCE 是菱形．理由见解析(2)EF =(3)BF AE 【解析】【分析】（1）由矩形的性质及线段垂直平分线的性质，可证得AEO CFO △△≌，从而得AE =CF ，即可证得四边形AFCE 是平行四边形，进而可得四边形AFCE 是菱形；（2）设3AE m =，2BF m =，由四边形AECF 是菱形及勾股定理可求得m ，从而可得BC 的长，由勾股定理可求得AC 的长，从而可得OC 的长，再由勾股定理求得OF 的长，最后求得EF 的长；（3）设AE a =，BF b =，由矩形的性质及BE ⊥CE ，易得CDE BEC △△∽，由相似三角形的性质可得关于a 、b 的方程，即可求得b a的值，从而求得结果． (1)四边形AFCE 是菱形．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴EAO FCO ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO CO =，90EOA FOC ∠=∠=︒，在AEO △和CFO △中， EAO FCO AO CO EOA FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEO CFO ASA △△≌，∴AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形，又∵AC EF ⊥，∴四边形AFCE 是菱形；(2)∵23AE BF =，∴设3AE m =，2BF m =，∵四边形AECF 是菱形，∴3AF AE m ==，EF =2 OE =2OF ，12OC AC =，AC ⊥EF ，在Rt ABF 中，∵222AB BF AF +=，∴222549m m +=，∴m =∴AF FC ==BF =∴BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∴AC =∴12OC AC ==，在Rt △OCF 中，由勾股定理得：∴OF =，∴2EF OF ==(3)设AE a =，BF b =，则AF CF EC a ===，BC a b =+，BF DE b ==．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD CB ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵BE CE ⊥，∴90BEC D ∠=∠=︒，∴CDE BEC △△∽， ∴DE EC EC BC=， ∴b a a a b =+， ∴220b ab a +-=， ∴210b b a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴b a =，∴BF AE =．本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解方程等知识，熟练运用这些知识是解决问题的关键．根据问题的特点设元是本题的特点．3、 (1)见解析(2)AD的长为3．【解析】【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论；（2）由AC2=AB•AD得到62=（AD+9）•AD，则可求出AD=3．(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD；(2)解：∵AC2=AB•AD，BD=9，AC=6，∴62=（AD+9）•AD，整理得AD2+9AD-36=0，解得AD=-12（舍去）或AD=3，∴AD的长为3．本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1在CD的右侧，对应点到CD的距离相等，所此描点、连线即可得；（2）根据位似图形的性质求作即可．(1)如图所示. △O1A1B1即为所求(2)如图所示，△O2A2B2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．5、感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AEDE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BP PC CD =，即1066CD=，解得：CD =3.6；拓展：（3）当PA =PD 时，△ABP ≌△PCD ，∴PC =AB =10，∴BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

八下第9章图形的相似专题四相似三角形的四大模型习题鲁教版五四制

模型2 8字型【模型解读】两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”，则出现“8”字型相似．没有说明对应角的关系时，需分 ∠B＝∠C或∠B＝∠D两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：AB∥CD．结论：△AOB∽△DOC．
条件：∠A＝∠C或∠B＝∠D．结论：△AOB∽△COD．
2 【2023·济南期末】如图，AD，BC相交于点P，连接 AC，BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求 BD的长．
第九章图形的相似
专题(四) 相似三角形的四大模型
模型1 A字型【模型解读】两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”，则出现“A”字型相似，没有说明对应角的关系时，需分 ∠AED＝∠B或∠AED＝∠C两种情况讨论．
模型展示
结论
条件：DE∥BC．结论：△AED∽△ACB．
模型展示
结论条件：∠AED＝∠B 或AADC＝AAEB. 结论：△ AED∽△ABC．
【证明】∵∠ACD＝∠BCA，∠DAC＝∠B， ∴△ACD∽△BCA，∴CADD＝AACB. ∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∴∠ADB＝∠CEA. ∵∠DAC＝∠B，∴△ADB∽△CEA， ∴AACB＝BADE，∴CADD＝BADE，∴CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论条件：∠C＝∠ABD 或AADB＝AABC. 结论：△ ABD∽△ACB．条件：CD⊥AB，AC⊥BC．结论：①△ADC∽△CDB； ②△ADC∽△ACB；③△CDB∽△ACB．
4 【2023·泰安肥城市开学】如图，E为AD上一点，若 ∠DAC＝∠B，CD＝CE，求证：CD·BD＝AD·AE.
模型展示
结论
条件：∠C＝∠ABD＝∠E＝90°. 结论：△ABC∽△BDE.

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第九章过关自测卷（120分,90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各组中的四条线段是比例线段的是（）A.1 cm,2 cm,20 cm,40 cmB.1 cm,2 cm,3 cm,4 cmC.4 cm,2 cm,1 cm,3 cmD.5 cm,10 cm,15 cm,20 cm2. 若a、b、c、d是互不相等的正数，且ab=cd，则下列式子错误的是（）A.a b c db d--= B.a b c da b c d--=++C.2222a cb d= D.1111a cb d++=++3. 如图1所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（）A.CE B.DEC.CE或DED.无法确定图1 图24. 如图2所示，将△ABO的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A.（－4，－3）B.（－3，－3）C.（－4，－4）D.（－3，－4）5.〈海南〉如图3，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC. AB CBBD CD= D. AD ABAB AC=图3 图46. 如图4，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m，窗户下檐到地面的距离BC=1 m，EC=1.2 m，那么窗户的高AB为（）A.1.5 mB.1.6 mC.1.86 mD.2.16 m7. 如图5，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果23 AEEC=,那么ABAC=（）A. 13B.23C.25D.35图5 图68. 如图6，在△ABC中，点D在BC上，BD∶DC=1∶2，点E在AB上，AE∶EB=3∶2，AD,CE相交于F，则AF∶FD=( )A.3∶1B.3∶2C.4∶3D.9∶49. 如图7，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点B′重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）A.9∶4B.3∶2C.4∶3D.16∶9图7 图810. 如图8，在△ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（）A.3 s 或4.8 sB.3 sC.4.5 sD.4.5 s 或4.8 s 二、填空题（每题4分，共24分） 11.若x 是m ,n 的比例中项，则22222111m x n x x++--= . 12.如图9，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，B 时又测得该树的影长为8 m ，若两次太阳的光线互相垂直，则树的高度为 .图9 图1013.如图10，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，如果AB =8，BE =4，DH =3，则△HEC 的面积为 .14.如图11，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR ∽△ABC ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的 .图1115.〈湖北黄冈，有改动〉如图12，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6 cm,动点P 从点A 出发，沿AB 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为 .图12 图1316.〈山东威海〉如图13，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A 1B 1C 1的两个顶点的坐标分别为（1，3），（2，5），若△ABC 与△A 1B 1C 1位似，则△A 1B 1C 1的第三个顶点的坐标为 . 三、解答题（17题9分，21，22题每题12分，其余每题11分，共66分） 17. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足438324a b c +++==,a +b +c =12，试求a 、b 、c 的值，并判断△ABC 的形状.18. 如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－1,3），B （－1,1），C （－3,2）. （1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到 △A 2B 2C 2，求出112212.C C A B A B S S △△：的值19.〈湖南株洲〉已知在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3,BC =4，点Q 是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图（1））或线段AB的延长线（如图（2））于点P.（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.20. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过点C 作CE垂直BD交BD的延长线于E，如图（1）.（1）若BD是边AC上的中线，如图（2），求BDCE的值；（2）若BD是∠ABC的平分线，如图（3），求BDCE的值.21.〈黑龙江龙东地区〉如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x 轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2－25x+144=0的两个根（OA＜OB）,点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C 重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E.（1）求点C的坐标；（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD对应的函数关系式；（3）若点N在直线DE上，在坐标平面内，是否存在这样的点M，使得以C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.22.〈湖北武汉〉已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G.（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DE AD CF CD=;（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，DE ADCF CD=成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出DE CF的值.参考答案及点拨第四章过关自测卷一、1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. A7. B 点拨：易得△CDE ∽△CBA ，∴DE EC =ABAC.又由AD 平分∠BAC ，DE ∥AB 可得∠DAE =∠EDA ，∴AE =DE ，∴AB AC =AEEC=23.8. D 点拨：作DG ∥CE 交AB 于G .∴BD DC =BG GE =12,又AE EB =32，∴AEEG=94=AFFD. 9. D 点拨：本题运用方程思想，设CF =x ，则BF =3－x ，易得CF 2+CB ′2=FB ′2，即x 2+12=(3－x )2,解得x =43.由已知可证得Rt △FC B '∽Rt △B 'DG ，所以S S DGB B FC ''△△=(CF DB ') 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1342=169.10. A 方法规律：本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解. 二、11. 0点拨：易得x 2=mn ,∴221m -x +221n -x +21x =21m -mn +21n -mn +1mn=()n m m n mn m n -+-- =0.12. 4 m13. 503 点拨：设CE =x ，由△CEH ∽△CBA 得EH AB =CE CB ，即838-=4xx +,∴x =203，∴S △HEC =12×203×5=503.14. 乙点拨：∵△PQR ∽△ABC ，∴PQ AB =24=PQ AB 上的高上的高=3PQ 上的高，∴PQ 上的高=6.故应是乙点.15. 2 点拨：连接PP ′交BC 于O ，∵四边形QPCP ′为菱形，∴PP ′⊥QC ，∴∠POQ = 90°.∵∠ACB =90°，∴PO ∥AC ，∴AP AB =COCB.∵点Q 运动的时间为t s ，∴AP=t cm,QB =t cm,∴QC =（6－t ）cm,∴CO =32t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-cm.∵AC =CB =6 cm ，∠ACB =90°，∴AB326t -,解得t =2.16. (3,4)或（0,4）三、17. 解：设43a+=32b+=84c+=k ≠0,∴a =3k －4,b=2k －3,c=4k －8.又a +b +c =12.将a =3k －4,b =2k －3,c =4k －8代入得：3k －4+2k －3+4k －8=12.∴9k =27,即k =3.∴a =5,b =3,c =4.由于b 2+c 2=9+16=25,a 2=52=25,∴b 2+c 2=a 2.∴△ABC 是直角三角形. 18. 解：（1）如答图1所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）易得△A 1B 1C 1的面积为12×2×2=2.答图1∵将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴1122A B A B =12.∴SSC B A C B A 222111△△=⎪⎭⎫⎝⎛212=14.∴S C B A 222△S CB A 4111=△=4×2=8.即SC B A 111△=2，S C B A 222△=8.19.（1）证明：∵∠A +∠APQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠APQ = ∠C .在△APQ 与△ABC 中，∵∠APQ =∠C ，∠A =∠A ，∴△AQP ∽ △ABC .（2）解：在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，由勾股定理得：AC =5.①当点P 在线段AB 上时，∵△PQB 为等腰三角形，∴PB =PQ .由（1）可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC =PQ BC .即35PB -=4PB ，解得PB =43，∴AP =AB －PB =3－43=53; ②当点P 在线段AB 的延长线上时，∵△PQB 为等腰三角形. PB =BQ ,∴∠BQP =∠P ,∵∠BQP +∠AQB =90°，∠A +∠P =90°， ∴∠AQB =∠A ，∴BQ =AB ，∴AB =BP ,即点B 为线段AP 的中点，∴AP =2AB =2×3=6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20. 解：（1）设AD =x ，则AB =2x ,根据勾股定理，可得BDx .由题意可知△ABD∽△ECD ，∴BD CD =AB EC ,可得EC=x ，∴BD CE =52.(2)设AD =y ，根据角平分线定理及∠ACB =45°，可知AC+y ，由勾股定理可知BD==.由题意可知△ABD ∽△ECD ，∴ABAD=EC ED=11+,在Rt △DEC 中，由勾股定理可得EC=,∴BDCE =2.21. 解：（1）解方程x 2－25x +144=0，得：x 1=9,x 2=16.∵OA ＜OB ，∴OA =9，OB =16.在Rt △AOC 中，∠CAB +∠ACO =90°，在Rt △ABC 中，∠CAB +∠CBA =90°.∴∠ACO =∠CBA ,∵∠AOC =∠COB =90°，∴△AOC ∽△COB .∴OC 2=OA ·OB =9×16=144，∴OC =12，∴C （0，12）. （2）在Rt △AOC 和Rt △BOC 中，∵OA =9，OC =12，OB =16，∴AC =15，BC =20，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD =∠BAD .∵DE ⊥AB ，∴∠ACD =∠AED =90°.∵AD =AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴AE =AC =15,∴OE =AE －OA =15－9=6.∴BE =10.∵∠DBE =∠ABC ,∠DEB =∠ACB =90°，∴△BDE ∽△BAC ，∴DE AC =BE BC .∴15DE =1020,∴DE =152,∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2156，.设直线AD 对应的函数关系式为y =kx +b ，∵A （－9,0），D ⎪⎭⎫⎝⎛2156，，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,2156,09b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,29,21b k ∴直线AD 对应的函数关系式为y =12x +92.（3）存在.M 1（28,16），M 2（14,14），M 3（－12，－4），M 4(2，－2). 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠ADC =90°，又∵DE ⊥CF ，∴∠ADE =∠DCF ,∴△ADE ∽△DCF ,∴DE CF =ADCD.(2) 解：当∠B +∠EGC =180°时，DE CF =ADCD成立，证明如下：在AD 的延长线上取点M ，使CM =CF ，则∠CMF =∠CFM .∵AB ∥CD ，∴∠A =∠CDM ，∵∠B +∠EGC =180°，∴∠AED =∠FCB ,∴∠CMF =∠AED .∴△ADE ∽△DCM ，∴DE CM =AD CD,即DE CF =AD CD .(3) 解：DE CF =2524.。