高二数学定积分曲边梯形面积(教案)
曲边梯形的面积和定积分的概念和微积分基本定理
4.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重难点】教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。
教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学过程】（一）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们重庆市的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。
（二）合作探究、精讲点拨 （1）提出概念概念：如图，由直线,,x a x b x ==轴，曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
（2）引导探究问题：对于由()2101y x x =+≤≤,x 轴所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边梯形，教材第54页） （3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
（近似代替）、（求和） 探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。
老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。
（教材第55-57页）（三）反馈测评练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
练习2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（四）课堂总结思考：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
(完整版)1.5.1曲边梯形的面积(优秀教案)
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
曲边梯形面积,定积分求体积以及在物理中应用教学设计25
学 科
数学
年 级
高三
教学形式
教 师
单 位
课题名称
学情分析
建议
1.学生的学习特征，能力基础。
2.学生对之前相关知识的掌握程度，知识基础。
3.学生形成本节课知识时可能存在非科学或前科学概念的干扰。
4.学生对所学内容的兴趣、情感、态度、愿望、需求、重视等状况。
教材分析
本节课在整本教材中的地位和作用，知识结构或新旧知识的关联等。
③由两条曲线 与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积： （如图（3））；
（2） 型区域：①由一条曲线 与直线 以及 轴所围成
总结
板书设计提示：设计一套测试或练习题，用于检验通过微课学习，学生是否化解了“重难点”。这套题分：易、中、难三个层次，每个层次一道题（三道题围绕该重难点）
易1求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
复习旧知，产生碰撞
过程
例1．计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解： ，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S= ，所以 =
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
教学目标
知识目标、能力目标、情感态度与价值观目标。
教学重难点
重点：曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
难点：曲边梯形、面积、体积
教学策略：
建议：
1、信息技术手段的使用
2、通过实例体会定积分在几何中及物理中的应用
教学过程与方法
曲边梯形的面积(教案)
《曲边梯形的面积》教学设计
课题：曲边梯形的面积
教材：人教A版选修2-2第1章第5节第1课时
课程标准
通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．
教学目标
虽然函数的导数和积分可以用极限概念“纯数量”地去定义，但在中学阶段新课标强调在实际背景下直观地、实质地去给出导数和积分的描述，因而我们宁愿把两个概念看成是数形结合的产物．作为定积分概念的背景课，让学生在感受数学文化的同时获得数学思想方法．（1）认知目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念及几何意义奠定基础．（2）能力目标：通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力．（3）情感目标：让学生感受数学文化，体验认识数学本质的快乐，收获探究活动的乐趣．
教学重点、难点
重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤——“四步曲”．
难点：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑．
教学基本流程
教学过程
板书设计
教学后记
今天（2007年12月25日）上午的公开课有幸请到三水区数学特级教师卢肇荣点评．以下是卢老师的点评：
（1）本堂课充分体现了新课标的理念，以学生为主体；
（2）驾驭课堂的能力很强；
（3）计算机多媒体使用恰当，没有喧宾夺主；
（4）时间把握准确；
（5）以问题的形式小结，值得肯定；
（6）难点重点把握得当；
（7）可能没有布置学生预习，如果让学生预习，本节课的效果还会更好．。
高中数学1.4.1曲边梯形的面积与定积分教案理新人教B版选修2_2
1.4.1曲边梯形的面积与定积分【教学目标】1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—分割、以直代曲、求和、取极限；了解定积分的概念及几何意义；2.体会化曲为直的极限思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定积分的概念 【教学难点】以曲代直一、课前预习：阅读教材36页—38页，完成下列问题例1：求曲线2x y =与直线0,1==y x 所围成区域的面积.（1）分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间，第一个小区间为[0,n 1]，第二个小区间为[nn 2,1]，第三个小区间为 …，第个i 小区间为 ，…，第n 个小区间为 .每个小区间的长度为=∆x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为 ，第二个小矩形的高为 ，第三个小矩形的高为 ，…，第i 个小矩形的高为 ，…，第n 个小矩形的高为 .它们的面积分别为 .（3）近似求和：所有个小矩形的面积的和记为n S ，则n S =（4）取极限：==→∆n x S S lim 0 二、课上学习：1.定积分的概念： 设函数)(x f y =定义在区间],[b a 上，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210...思考：将教材例1，例2的结果用定积分如何表示？2.定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3.（1）⎰⎰=b a b a dx x f c dx x cf )()( （c 为常数）（2）设)(),(x g x f 可积，则=±⎰dx x g x f ba )]()([ 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
高中数学定积分第一课时曲边梯形的面积学案新人教A版选修Word版
定积分第一课时曲边梯形的面积学案一、学习目标1、知识与技能：通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲2、过程与方法：了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；3、情感态度与价值观：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力。
二、学习重难点重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点: 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、学法指导：阅读教材38---41页四、知识链接1你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？2如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
五、学习过程（一）连续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x =为在区间I 上的连续函数．问题2：在图1.5－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．问题3：画出由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲在由2y x =与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得n 个小区间的长度x ∆=（ ）A ．1nB ．2nC ．3nD ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．问题5：在区间1[,]i i n n-上，函数2()f x x =的值()f x ≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．问题6：求图1.5－4中阴影部分面积n S （写出过程）．问题7：2222123n ++++=__________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++=___________．（2）2222135(21)n ++++-=____________．问题8：从图 1.5－5及表1－1中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________． 问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i i i n n n-=上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()i f n ，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意1[,]i i i n n ξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情况又怎么样？ （三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积．解：在区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它n 等分，第i 个小区间为________，区间长度x ∆=___．'i i S S ∆≈∆=111'n n n n i i i i i S S S ===∴=∆≈∆==∑∑∑_____________________________________lim n S →+∞∴==．六、达标训练求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．七、【课堂小结】1．求曲边梯形面积的四步曲是________________．2．0lim lim ()n i n x S S f x ξ→∞∆→==∆=_____________．八、课后反思曲边梯形的面积当堂检测1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．()f x =D ．1()f x x= 2．在区间[2,5]上等间隔地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（ ）A ．3n B ．5n C ．31n + D ．51n + 3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是（ ） A ．1[,]i i n n- B ．1[(),()]i i b a b a n n--- C ．1[,]i i a a n n-++ D ．1[(),()]i i a b a a b a n n -+-+- 4计算： 21[2(1)3]ni i =-+=∑________；5求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
选修2-2第一章1.4.1曲边梯形面积与定积分-教案
1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分【提出问题】如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。
问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13.曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。
我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。
下面我们举例来研究这个问题。
【解决问题】求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．将区间[0,1] 等分为n个小区间，0＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝1，其中x i＝in(i＝0,1,2，…，n)，Δx i＝1n(i＝1,2,3，…，n)，在每个小区间[x i－1，x i]上取右端点ξi＝x i(i＝1,2，…，n)．于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21n (i ＝0，1,2，…，n-1)所以曲线之下小矩形的面积和为S n =(0n ) 2∙1n +(1n ) 2∙1n +(2n ) 2∙1n +…+(n−1n ) 2∙1n=02+12+22+⋯+(n−1)2n 3=16(1−1n )(2−1n )由此得到S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞16(1−1n)(2−1n)＝13.从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将13视为此曲边三角形的面积。
曲边梯形面积,定积分求体积以及在物理中应用教学设计22
学 科
数学
年 级
高三
教学形式
教 师
单 位
课题名称
曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
学情分析
建议
1.学生的学习特征，能力基础。
2.学生对之前相关知识的掌握程度，知识基础。
3.学生形成本节课知识时可能存在非科学或前科学概念的干扰。
4.学生对所学内容的兴趣、情感、态度、愿望、需求、重视等状况。
教材分析
本节课在整本教材中的地位和作用，知识结构或新旧知识的关联等。
教学目标
知识目标、能力目标、情感态度与价值观目标。
教学重难点
重点：曲边梯形面积，定积分求体积以及在物理中应用
难点：曲边梯形、面积、体积
教学策略：
建议：
1、信息技术手段的使用
2、通过实例体会定积分在几何中及物理中的应用
教学过程与方法
教学环节
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
（3）确定被积函数；
（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1） 型区域：①由一条曲线 与直线 以及 轴所围成的曲边梯形的面积： （如图（1））；
易1求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
中2求由抛物线 及其在点M（0，－3）
和N（3， 0）处的两条切线所围成的图形的面积。
难3求曲线 与曲线 以及 轴所围成的图形面积。
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
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曲边梯形的面积（教案）
杭州市源清中学徐骋【教学目标】
1、知识与技能目标：
通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：
通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：
体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】
求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】
对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】
多媒体电脑、课件等。
【教学过程】
此问题在学生九年级中已有涉及，在九
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，提出房屋面积的测量问题。
概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)
y
y=f(x)
曲边梯形的面积（学案）
杭州市源清中学徐骋【学习目标】
1、理解“以直代曲”的意义；
2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；
3、了解“近似代替”时取点的任意性。
【课堂程序】
问题一：我们在小学、初中就学习求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积，比如浙江省的面积？
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，这样的面积又该怎样得出？
概念：如图，由直线x=a,x=b,x 轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
问题三：对于由y=x 2与x 轴及x=1所围成的面积该怎样求？
【知识应用】
1、求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
x
y
O y=x 2
图3
图4
2、求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
【总结归纳】
1、对于一般曲边梯形，如何求面积？
2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？ 【曲边梯形的面积 作业】
1、求由y=x 2＋1,和x=0,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
2、求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。
特别帮助：12+22+32+…+n 2=16
n(n+1)(2n+1)。