曲边梯形面积与定积分
曲边梯形的面积和定积分的概念和微积分基本定理
定积分与微积分基本定理说课案 曾应洪
1 4.5.1曲边梯形的面积
【教学目标】
1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求
曲面梯形的一般步骤。
2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。通过类比体会从具
体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义
思想处理数学问题的积极态度。
【教学重难点】
教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。
教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学过程】
（一）情景导入、展示目标
教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。但基本是规则的平面图形，
如矩形、三角形、梯形。而现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们
该如何求面积？比如我们重庆市的国土面积？
通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形
的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。
（二）合作探究、精讲点拨
（1）提出概念
概念：如图，由直线,,xaxbx
轴，曲线
yfx
所围成的图形称为曲边梯形。
（2）引导探究
问题：对于由
2
101yxx
,x
轴所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边梯形，
教材第54页）
（3）自主探究
探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割）
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。（近似代替）、（求和）
探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限）
由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导，最
a
b x y
O y=f(x) 定积分与微积分基本定理说课案 曾应洪
2 后归纳、总结，讲评。（教材第55-57页）
（三）反馈测评
练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2
定积分求曲边梯形面积的步骤
定积分求曲边梯形面积
1. 概述
曲边梯形是一种特殊的梯形，其上底和下底的长度不同，且两个底之间的边是一条曲线。要计算曲边梯形的面积，可以通过定积分来实现。本文将介绍使用定积分求解曲边梯形面积的步骤。
2. 基本原理
定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积。在本问题中，我们需要将曲边梯形划分为无穷多个无限小的矩形区域，并计算这些矩形区域的面积之和。通过取极限，我们可以得到曲边梯形的面积。
3. 求解步骤
步骤一：确定曲线方程
首先需要确定曲线方程，以便后续计算。假设曲线为y=f(x)，其中f(x)为定义在[a, b]上的函数。
步骤二：确定上下底边界
将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。根据题目给定条件或要求，确定上底和下底的边界。
步骤三：确定高度函数
高度函数h(x)定义为上底和下底之间的距离，即h(x) = f(x) - g(x)，其中g(x)为下底的方程。
步骤四：计算矩形面积
将[a, b]区间划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。计算每个小区间内的矩形面积，即ΔA = h(x) * Δx。
步骤五：求和
将所有矩形面积ΔA相加，得到曲边梯形的近似面积S：
S ≈ Σ(ΔA)
步骤六：取极限
当n趋向于无穷大时，Δx趋向于0，曲边梯形的近似面积逐渐接近真实面积。通过取极限得到定积分公式： S = ∫[a, b] h(x) dx
4. 实例演示
假设我们要计算曲边梯形的面积，其中上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x，且x的范围为[0, 1]。
步骤一：确定曲线方程
曲线方程为y = x^2。
步骤二：确定上下底边界
上底为曲线y = x^2，下底为直线y = 2x。
步骤三：确定高度函数
高度函数h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 2x。
步骤四：计算矩形面积
将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间宽度为Δx。计算每个小区间内的矩形面积ΔA = h(x) * Δx。
曲边梯形面积与定积分学案
1.4.1曲边梯形面积与定积分
【学习目标】
通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念。
【学习重点】定积分的概念，体会如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。
【自主学习】
我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积，还会经常遇到计算平面曲线围成的“曲边图形”的面积，如何解决这个问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”的面积来解决呢 ？为此，我们需要学习新的数学知识—定积分。
曲边梯形的定义： 。
【合作探究】
1、曲边梯形的面积问题：
求曲线y=x2与直线x=1，y=0所围成的区域面积。
① 分割：
② 近似代替：
③ 求和：
④ 取极限：
2、 定积分的概念：
设函数y=f（x）定义在区间[a,b]上用分点a=x0
，记作
即： 其中 叫做被积函数， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数f（x）在区间
[a,b]上可积。
3、定积分的几何意义：
当函数f（x）在区间[a,b]上恒为正时，定积分()bafxdx的几何意义是： 【知识应用】
例1、利用定积分定义计算：
（1）10xdx （2）baCdx，C为常数
例2、利用定积分的几何意义计算：
（1）2224xdx （2）1201xdx
【总结反思】
【当堂检测】
曲边梯形的面积与定积分学案
实验中学高二数学（理科）学案 编制人：孙凯 日期： 2014.2 审核人： 姜东波 班级：_________ 姓名：_________ 等级：
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1.4.1曲边梯形的面积与定积分
一． 学习目标：
通过实例，从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念。
二．【使用说明及学法指导】
1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画，再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答提出的问题；
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A层完成所有题目，对于选做部分BC层可以不做；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；
三．自学指导：
1、 定积分的概念：
设函数y=f（x）定义在区间[a,b]上用分点a=x0
当→0时，如果和式的极限存在，把和式In的极限叫做
，记作
即： 其中 叫做被积函数， 叫积分下限，
叫积分上限， 叫做被积式，此时称函数f（x）在区间
[a,b]上可积。
2、定积分的几何意义：
当函数f（x）在区间[a,b]上恒为正时，定积分()bafxdx的几何意义是：
【预习自测】
（1）10xdx 120xdx （2）10xdx 21xdx （3）2204xdx 202dx
§1.4.1曲边梯形的面积与定积分(2)
1.4.1定积分
一：教学目标
知识与技能目标
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
能用定积分的定义求简单的定积分；
理解掌握定积分的几何意义；
过程与方法
借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
情感态度与价值观
二：教学重难点
重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
难点 定积分的概念、定积分的几何意义
三：教学目标：
1．创设情景
复习：
1．
回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
2．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点
0121iinaxxxxxxb
将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iin，作和式：11()()nnniiiibaSfxfn
如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx
其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。
说明：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n等分区间,ab； ②近似代替：取点1,iiixx；
③求和：1()niibafn；
④取极限：1()limnbianibafxdxfn
（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；
1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)教师版
1 / 3
1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
一、基础过关
1．下列命题不正确的是 ( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃa－af(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃa－af(x)dx＝2ʃa0f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则ʃbaf(x)dx>0
D．若f(x) 在[a，b]上连续且ʃbaf(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
2．定积分ʃ31(－3)dx等于 ( )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
3．已知定积分ʃ60f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)dx等于 ( )
A．0 B．16 C．12 D．8
4．定积分ʃ20x2dx的值等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．计算ʃ4016－x2dx等于 ( )
A．8π B．16π C．4π D．32π
6．下列等式不成立的是 ( )
A．ʃba[mf(x)＋ng(x)]dx＝mʃbaf(x)dx＋nʃbag(x)dx
B．ʃba[f(x)＋1]dx＝ʃbaf(x)dx＋b－a
C．ʃbaf(x)g(x)dx＝ʃbaf(x)dx·ʃbag(x)dx
D．ʃ2π－2πsin xdx＝ʃ0－2πsin xdx＋ʃ2π0sin xdx
二、能力提升
7．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
8．计算定积分ʃ1－14－4x2dx＝________.
2 / 3
9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝________(如图1)； (2)S2＝________(如图2)；
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
2014高二下学期学案 编号:
9
1 1.4.1 曲边梯形面积与定积分
(一)学习目标：
了解定积分的实际背景和概念，会由概念求曲边梯形的面积。
(二)知识梳理：
1.曲边梯形与求曲边梯形面积的步骤：
（1）曲线与平行于 的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形。
（2）求曲边梯形面积的步骤：
分割 近似代替 求和 取极限。
2.定积分的定义：
设函数()yfx定义在区间,ab上(如图)。用分点121nnaxxxxxb把区间,ab分为n个小区间，其长度依次为1,0,1,2,,1.iiixxxin记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点,i作和式10().nniiiIfX当0时，如果和式的极限存在，我们把和式nI的 叫做函数()fx在,ab上的 ，记作 ，即dxxfba)(0limx10().niiifX其中()fx叫做
a叫积分下限，b叫做 ， 叫做被积式，此时称函数()fx在区间,ab上可积。
3. 定积分的性质：
（1）bacfxdx （c为常数）；
（2）设()fx，()gx可积，则[]bafxgxdx 。
(三)典型例题：
1.求曲线 2yx与直线x=1，y=0所围成的区域的面积。
2014高二下学期学案 编号:
9
2 2.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力
(),(x)Fxkxk是常数，是伸长量。求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。
定积分求曲边梯形面积公式
定积分求曲边梯形面积公式
定积分求曲边梯形面积的公式是一个较为复杂的问题，它涉及到曲线的函数表达式、积分的概念以及曲线与横轴所围成的面积等知识。在解答这个问题前，我们先来了解一下什么是定积分。
定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求函数在某一区间上的面积。对于一个给定的函数f(x)，它在区间[a,b]上的定积分可以表示为：
∫[a,b]f(x)dx
其中，∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。定积分的运算过程即求解被积函数在[a,b]区间上与x轴之间的面积。
现在我们来讨论如何使用定积分来求解曲边梯形的面积。曲边梯形是指在平面内，上底和下底平行，且一边为曲线的梯形。为简化问题，假设我们要求解的曲边梯形位于x轴上，并且曲线可以用一个函数f(x)表示。
我们将曲边梯形分成无数个微小的矩形条，并将它们的面积加起来，即可得到曲边梯形的面积。假设曲边梯形的底边长为a，顶边长为b，宽度为dx（即微小矩形条的宽度），则每个微小矩形条的面积可以表示为(a+kb)dx，其中k表示微小矩形条的位置。
将上述微小矩形条的面积加起来，即得到曲边梯形的面积：
∫[a,b](a+k(x)b)dx
接下来，我们将这个定积分进行求解。首先将被积函数展开：
∫[a,b](a+bk(x))dx = a∫[a,b]dx + b∫[a,b]k(x)dx
其中，a∫[a,b]dx表示在[a,b]区间上的积分，由于dx仅与x有关，所以其结果为(a+b)(b-a)。b∫[a,b]k(x)dx表示曲线所围成的面积，即曲边梯形的面积。
综上所述，曲边梯形的面积可以表示为：
面积 = (a+b)(b-a) + b∫[a,b]k(x)dx
这就是曲边梯形面积的定积分求解公式。 需要注意的是，该公式仅适用于曲边梯形位于x轴上，且曲线函数f(x)可求解的情况。对于非x轴上的曲边梯形，可以通过变量换元或者函数变换的方法将其转化为在x轴上的曲边梯形，然后使用上述公式求解。
用定积分求曲边梯形的面积的四个步骤
用定积分求曲边梯形的面积的四个步骤
要用定积分求曲边梯形的面积，可以按照以下四个步骤进行：
步骤 1: 确定积分区间
首先，确定曲边梯形的横坐标的积分区间。该区间应该是曲线在横坐标上的起点和终点之间的范围。
步骤 2: 设定积分表达式
根据曲边梯形的形状，设定积分表达式。考虑曲线的方程和上下底边之间的距离。根据曲边梯形的特点，积分表达式应该包括纵向的高度差和横向的微小宽度差。
步骤 3: 进行积分计算
对于设定的积分表达式，进行积分计算。根据具体的函数表达式和积分区间，进行积分运算。可以使用相关的积分规则和技巧进行计算。
步骤 4: 计算结果
根据积分计算的结果，得到曲边梯形的面积。确保检查单位和精度，以适应具体问题的要求。
用定积分求面积的两个重要公式
1 用定积分求面积的两个常用公式
求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．
一、两个常用公式
公式一：由连续曲线y＝f，直线＝a，＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为
A＝|()|bafxdx．
特别地，（1）当f≥0时如图1，A＝()bafxdx；
（2）当f≤0时如图2，A＝－()bafxdx；
⑶当f有正有负时如图3，A＝()cafxdx－()bcfxdx．
公式二：由连续曲线y＝f，y＝g，f≥g及直线＝a，＝b所围成的图形如图4的面积A为
A＝[()()]bafxgxdx．
二、应用举例
例1由y＝3，＝0，＝2，y＝xyoxyo()yfx()yfxaabbcxyoab()yfx1图2图3图xyoab()yfx()ygx4图xyo21图0围成的图形面积．
分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．
解：（1）如图1，由公式1，得
S＝230xdx＝42440111|204444x．
评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．
例2（1）由曲线y＝2，y2＝所围成图形的面积．
（2）由y＝142－1，y＝12，y＝34x在第一象限所围成图形的面积．
分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．
解：（1）如图2，所求面积为阴影部分．
解方程组22yxyx，得交点0，0，1，1，由公式2，得
S＝120()xxdx＝331202211()|33333xx． （2）如图3，解方程组211412yxyx和211434yxyx，
得＝0，＝1＋5负的舍去，＝4．