曲边梯形面积和定积分
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曲边梯形的面积和定积分的概念和微积分基本定理
4.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重难点】教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。
教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学过程】（一）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。
而现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们重庆市的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。
（二）合作探究、精讲点拨 （1）提出概念概念：如图，由直线,,x a x b x ==轴，曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
（2）引导探究问题：对于由()2101y x x =+≤≤,x 轴所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边梯形，教材第54页） （3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
（近似代替）、（求和） 探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。
老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。
（教材第55-57页）（三）反馈测评练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
练习2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
（四）课堂总结思考：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
曲边梯形面积及定积分
a
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
1.4.1曲边梯形的面积与定积分
1. 曲边三角形或梯形的面积
S= nlim f ( xi ) x
i 0 n 1
2.克服弹簧拉力的变力所做的功
W= nlim f ( xi ) x
i 0
n 1
类似地问题还很多，它们都可以归结为 求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦 心研究，得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。
作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，记作
b
a
f ( x)dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
利用积分的定义，前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 a f ( x)dx
1 2
1 于是例1的结果可以写作 S 0 x dx 3
kb W kxdx 0 2
b 2
例2中克服弹簧拉力的变力所做的功
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是一条 连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x) 在[a，b]一定是可积的。
f ( )x
i 1 i
i
．
ba S lim f ( i ) n n i 1
n
（类似方法求变力做功）
弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
定积分
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
O
2 1 4
(2) (cos x sin x)dx;
0
4
1 (3) (2 x 2 )dx; 1 x
3
1 (4) ( x 4 )dx; 1 x
2 2
(5)
0
(cos x e x )dx.
先化简再求定积分
3.计算下列定积分：
2 x 2 (1) sin dx; 0 2
b a b a a b
性质1： a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx. 性质2： a kf ( x )dx k a f ( x )dx.
b c b a a c b b
b
b
b
可推广到多项
性质3： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx.
a
b
x
b
f ( x)dx ． ，
a f
b
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x
a f
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x)dx。
yf (x)
定积分的几何意义
f x 既有正值又有负值时，
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
3.3定积分的概念与性质、计算(一)
0
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
22 定积分的概念与性质
a | f ( x) | dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b b b b b
b
b
即
| a f ( x)dx | a | f ( x) | dx .
b
b
20
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铃
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f ( x)dx 0 (a<b).
12
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铃
•定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3
A5
A2
A4
b x
a f ( x) d x = A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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13
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铃
例2 求0 1 x dx
2
1
y
1
解
1
0
1 x dx = 4
lim
x2
2 = lim arct an 1 = .
26
t arctan t dt t 1
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课后练习
习题51 (P234) 3，4，7，10.
27
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7
f (i )xi ———积分和.
i =1
n
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二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi a f (x)dx = 0
b b b b b
b
b
即
| a f ( x)dx | a | f ( x) | dx .
b
b
20
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f ( x)dx 0 (a<b).
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•定积分的几何意义 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
y
A1 a
b
A3
A5
A2
A4
b x
a f ( x) d x = A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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例2 求0 1 x dx
2
1
y
1
解
1
0
1 x dx = 4
lim
x2
2 = lim arct an 1 = .
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t arctan t dt t 1
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课后练习
习题51 (P234) 3，4，7，10.
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7
f (i )xi ———积分和.
i =1
n
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铃
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi a f (x)dx = 0
定积分概念与性质
0
n
n
（4）取极限
S lim V ( t i) i
i 1
n
( mxa { t i})
1 i n
分割，取近似，求和，取极限
二.定积分的定义 1.定义 在[a, b]中任意插入若干个 分点
设函数f(x)在[a , b]上有界，
a x x x x x b 0 1 2 n 1 n
对于c在区间 则 m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) [a,b]之内或之外, a 结论同样成立
b
7设 M .m 分别是 f (x )在 [a ,b ] 上的最大值与最
0
8 定积分中值定理
0
设函 f( 数 x ) 在闭区 [ a ,b 间 ] 上连续，
则在 [a, b] 上 至少存在一个点 ，
在 [ a , b ] 上 , f ( x ) 0 , f ( x ) 单调
2 2 2 故 最大值 M f () , 最小值 m f () 4 2
1 2sin x 2 即 dx 2 x 2
4
定积分与原函数的关系
一.变上限的定积分及其导数
设函数 f(x ) 在区间 [ a ,b ] 上连续，
在时间间隔 [T 内任意插入若干个分 1,T 2]
[ t , t ], [ t , t ], [ t , t ] 0 1 1 2 n 1 n
每个小时间段的长度分 别为 ti ti ti 1
（2）取近似
在每个小时间段上任取 i [ti ti1]
以 时的 V ( 速 来 度 近[ 似 t , t 代 ] 上 替 i i) i 1 i
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3
2
2
4 x 2 dx
小结：曲边梯形的面积和定积分的关系： 小结：总结利用定积分的定义求曲边梯形面积的步骤：
三、课堂小结 1.知识方面 2.数学思想方法
b
a
f ( x)dx 的几何意义？
高二数学选修 2-2 导学案
编制人：张志华
班级：
姓名：
三、质疑探究——质疑解惑、合作探究
【例 1】用定积分的定义求由直线 y=x，x=1，x=2，y=0 所围成梯形的面积。
【探究二】利用定积分的几何意义计算： （1）
2
2
xdx
Hale Waihona Puke （2） 【拓展】用定积分的定义求由曲线 y x 与直线 y=0，x=-1,x=1 所围成的曲边形的面积。
高二数学选修 2-2 导学案
编制人：张志华
班级：
姓名：
1.41 曲边梯形面积与定积分
【使用说明及学法指导】 1. 仔细阅读课本 P36—P38，完成预习学案，如遇不会问题再回去阅读课本，对于选作部分 BC 层可以不做。 2. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 3. 必须掌握的内容：用定积分的定义求曲边梯形的面积。 【学习目标】 1.了解定积分的实际背景及几何意义，会用定积分求曲边梯形面积。 2.自主学习、合作交流，探究用定积分求曲边梯形面积的方法步骤。 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
2．把积分区域等分为 3 份、5 份，用小矩形的面积和求定积分
1
2
x 3dx 的近似值。
2
) 和直线 x
2
, y 0 所围成图形的面积写成定积分的形式。
我的疑惑： （请你将预习中未能解决和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决） 问题三. 当函数 f（x）在区间[a,b]上恒为正时，说明定积分
思考 1：
a cf ( x)dx ca f ( x)dx （ c 为 常 数 ）；
c b a c
b
b
a [ f ( x) g ( x)]dx a f ( x)dx a g (x)dx ；
b
b
b
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 是否成立？
思考 2： （1）曲线 y x 与直线 y=0, x=0,x=1 所围成的三角形的面积与定积分 （2）曲线 y x 与直线 y=0, x=-1,x=0 所围成的三角形的面积与定积分 （3）曲线 y x 与直线 y=0, x=-1,x=1 所围成的三角形的面积与定积分
1
0
xdx 有什么关系？
一、课前预习
问题一.阅读课本自主研究曲边梯形的面积问题： 2 结合例 1 研究曲线 y=x 与直线 x=1，y=0 所围成的区域面积。 ① 分割：
0
1 1
xdx 有什么关系？ xdx 有什么关系？
1
（4）曲线 y f ( x) 与直线 y=0, x=a,x=b 所围成的曲边梯形的面积与定积分 吗？若不相等，有怎样的关系？
b
a
f ( x)dx 的值一定相等
② 近似代替：
二、学始于疑——我思考、我收获
③ 求和：
b b 1．求 cdx, c为常数，当 积分记为 dx ，说明它的几何意义。 c 1 时， a a
④ 取极限： 问题二.结合课本研究定积分的概念： 设函数 y=f（x）定义在区间[a,b]上用分点 a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b，把区间[a,b]分为 n 个小区间， 其长度依次为△xi=xi＋1－xi，i=0,1,2，…，n－1，记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时， 所有的小区间长度都趋近于 0，在每个小区间内任取一点 ，此时说明何为函数的定积分，并研究出 定积分的写法及相关的定义： 3．将由曲线 y sin x(0 x
2
2
4 x 2 dx
小结：曲边梯形的面积和定积分的关系： 小结：总结利用定积分的定义求曲边梯形面积的步骤：
三、课堂小结 1.知识方面 2.数学思想方法
b
a
f ( x)dx 的几何意义？
高二数学选修 2-2 导学案
编制人：张志华
班级：
姓名：
三、质疑探究——质疑解惑、合作探究
【例 1】用定积分的定义求由直线 y=x，x=1，x=2，y=0 所围成梯形的面积。
【探究二】利用定积分的几何意义计算： （1）
2
2
xdx
Hale Waihona Puke （2） 【拓展】用定积分的定义求由曲线 y x 与直线 y=0，x=-1,x=1 所围成的曲边形的面积。
高二数学选修 2-2 导学案
编制人：张志华
班级：
姓名：
1.41 曲边梯形面积与定积分
【使用说明及学法指导】 1. 仔细阅读课本 P36—P38，完成预习学案，如遇不会问题再回去阅读课本，对于选作部分 BC 层可以不做。 2. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 3. 必须掌握的内容：用定积分的定义求曲边梯形的面积。 【学习目标】 1.了解定积分的实际背景及几何意义，会用定积分求曲边梯形面积。 2.自主学习、合作交流，探究用定积分求曲边梯形面积的方法步骤。 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
2．把积分区域等分为 3 份、5 份，用小矩形的面积和求定积分
1
2
x 3dx 的近似值。
2
) 和直线 x
2
, y 0 所围成图形的面积写成定积分的形式。
我的疑惑： （请你将预习中未能解决和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决） 问题三. 当函数 f（x）在区间[a,b]上恒为正时，说明定积分
思考 1：
a cf ( x)dx ca f ( x)dx （ c 为 常 数 ）；
c b a c
b
b
a [ f ( x) g ( x)]dx a f ( x)dx a g (x)dx ；
b
b
b
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 是否成立？
思考 2： （1）曲线 y x 与直线 y=0, x=0,x=1 所围成的三角形的面积与定积分 （2）曲线 y x 与直线 y=0, x=-1,x=0 所围成的三角形的面积与定积分 （3）曲线 y x 与直线 y=0, x=-1,x=1 所围成的三角形的面积与定积分
1
0
xdx 有什么关系？
一、课前预习
问题一.阅读课本自主研究曲边梯形的面积问题： 2 结合例 1 研究曲线 y=x 与直线 x=1，y=0 所围成的区域面积。 ① 分割：
0
1 1
xdx 有什么关系？ xdx 有什么关系？
1
（4）曲线 y f ( x) 与直线 y=0, x=a,x=b 所围成的曲边梯形的面积与定积分 吗？若不相等，有怎样的关系？
b
a
f ( x)dx 的值一定相等
② 近似代替：
二、学始于疑——我思考、我收获
③ 求和：
b b 1．求 cdx, c为常数，当 积分记为 dx ，说明它的几何意义。 c 1 时， a a
④ 取极限： 问题二.结合课本研究定积分的概念： 设函数 y=f（x）定义在区间[a,b]上用分点 a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b，把区间[a,b]分为 n 个小区间， 其长度依次为△xi=xi＋1－xi，i=0,1,2，…，n－1，记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时， 所有的小区间长度都趋近于 0，在每个小区间内任取一点 ，此时说明何为函数的定积分，并研究出 定积分的写法及相关的定义： 3．将由曲线 y sin x(0 x