高中数学选修2-2人教A版 曲边梯形的面积和定积分的概念
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.5定积分的概念
第一章导数及其应用
其中 a 与 b 分别叫做_积__分__下__限__与_积__分__上__限__，区间[a，
b] 叫做 __积__分__区__间___ ， 函数 f(x) 叫做 __被__积__函__数__ ，x 叫 做
__积__分__变__量___，f(x)dx 叫做_被__积___式___．
讲一讲
2．汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h) 为 v(t)＝t2＋2，那么它在 1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的 路程为多少？
[尝试解答] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间，第 i 个小区间 为1＋i－n 1，1＋ni (i＝1,2，…，n)．
第 i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi≈Δξi′＝v(t)·n1＝v1＋i－n 1·n1＝n3＋2in－2 1＋i－n312，
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
练一练
2．已知作自由落体运动的物体的运动速度 v＝gt，求在 时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解：①分割． 将时间区间[0，t]等分成 n 个小区间，其中第 i 个区间 为i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段 Δt ＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间内物体下落的距离，记作 ΔSi.
b
故 f(ξi)·Δxi<0，从而定积分af(x)dx<0，这时它等于图中 所示曲边梯形面积的相反数，
b
b
即af(x)dx<0＝－S 或 S＝－af(x)dx<0.
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
2
(7)
0
4－x2dx 的几何意义是什么？
提示：是由直线 x＝0，x＝2，y＝0 和曲线 y＝ 4－x2所
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
人教A版高中数学选修2-2课件1.5.1定积分,曲边梯形面积
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1.5定积分
思考：如何求曲线下方“曲线梯形”的面积？
直线
几条线段连成的折线
曲线？
直边梯形
图形
曲边梯形
图形
1.5.1曲边梯形的面积
如图所示:直线，x 0 x 1 ，y 0 ，和曲线 y x2围成的图形（曲边三角形）面积S是
多少？
B
O
A
y=f(x) y
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）以直代曲
Si
f (i 1)x n
(i 1)2 n
1 n
（3）作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）逼近
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n 1)
小曲边梯形的面积S＝
f (x )x f(x )x f(x )x
1
2
n
表示了曲边梯形面积的近似值
S
lim
x0
f
(xi )x
An
Oa
bx
将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积
高中数学人教课标版选修2-2《曲边梯形的面积》课件
n
n
1 1 f (i ) n 3
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探究一:求曲边梯形的面积
例1.求直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积. 解析:令f(x)＝x2
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为: 2 4 x0＝0,x1＝ , x2＝ ,…,xn－1＝ n n 2i 2 2i 第i个区间为 , (i＝1,2,…,n),
a1n a0 ak b1n b0 bk
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探究一:求曲边梯形的面积
曲边梯形的概念
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线
x a , x b (a b) , y 0 和曲线y=f(x)所围成的图形称曲边梯形.
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探究一:求曲边梯形的面积
活动6:在求小矩形的面积时,我们提到了可以取 f ( x) x 2在区间
i 1 i [ , ] 上任意一点 i 处的值 f ( i ) 作为小矩形的高,会有怎样 n n
的结果?
S lim f (i )x lim
n n
n
2
4 3 1 8 S S 2 (3)取极限 , lim n lim 3 2 n n 3 n n 8 即所求曲边梯形的面积为 3 .
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探究一:求曲边梯形的面积
高三数学曲边梯形的面积课件
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用第五节(第一课时)曲边梯形的的面积和定积分的概念(共19张
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
10
S第1个黄色矩形
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
凡 事 都是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看 到 不 同 的 结果 。 若 能 把 一 些 事 看 淡 了 ，就 会 有 个 好 心 境 ， 若 把 很 多事 看 开 了 ， 就 会有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹 如 月 缺 月 圆那 样 寻 常 ， 让 得 失 利 弊 犹 如花 开 花 谢 那 样 自 然 ， 不 计 较， 也 不 刻 意 执 着； 让 生 命 中 各 种 的 喜 怒 哀 乐 ， 就 像 风 儿一 样 ， 来 了 ， 不 管 是 清 风 拂面 ， 还 是 寒 风 凛 冽 ， 都 报 以自 然 的 微 笑 ， 坦然 的 接 受 命 运 的 馈 赠 ， 把 是 非 曲 折 ， 都当 作 是 人
n
i 1
f i x
n i 1
ba n
f i
当n→∞时,上式无限接近某个常数,这个常数叫做函数
f
(x)在区间[a,b]上的定积分
记作 b a
f
xdx
b a
f xdx lim n
n i 1
ba n
f i
定积分的定义：即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间［a,b ］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将［a,b ］等分成n 个小区间:［a,a+n a b -］,［a+n a b -,a+na b )(2-］,…,［a+n a b n ))(1(--,b ］.第i 个区间为［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］.分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f ［a+na b i ))(1(--］Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间［a,b ］等分成n 个小区间,在每个小区间［x i -1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b ］上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b ］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b ］上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b ］有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b ］上有界.因此,当函数f(x)在区间［a,b ］上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间［a,b ］上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间［a,b ］上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间［a,b ］上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间［0,10］等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间［a,b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间［0,1］等分成n 个小区间［n i n i ,1-］(i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==［1+2+…+(n -1)］=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间［0,t 0］分成n 等份:［nit n i ,10-t 0］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［00,1t nit n i -］上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t 0］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t 0］上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在［0,t 0］这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间［00,1t n i t n i -］上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间［0,2］分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是［n i n i 2,)1(2-］,习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。
高中数学总结归纳 定积分与曲边梯形的面积
定积分与曲边梯形的面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.当函数f(x)在区间〔a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．那么在一般情形下，定积分⎰badx x f )(的几何意义是曲线y=f(x)，两条直线x ＝a,x ＝b 与x 轴所围成的各部分面积的代数和.本文主要探讨定积分与曲边梯形面积的关系.一. 利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1.利用定积分的定义求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积． 分析:画出草图,形象直观,帮助解题.对定积分定义的理解程度决定了解题的成败. 解：（1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点把区间［1,2］等分成n个小区间每个小区间的长度为过各分点作x 轴的垂线，把曲线梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作△S 1 ,△S 2，…,△S n ．（2)近似代替取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长△x=n1为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即（4）求极限当分点数目愈多，即△x 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S.因此∞→n 即△x →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积点评: (1)据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． (2)独立研究一个这种例题，是学习定积分过程中必需的，重点在于体验其中的数学思想．二、利用微积分基本定理求曲边梯形的面积 1.以x 为积分变量例2.求由抛物线y=x 2-1，直线x=2,y=0所围成的图形的面积． 分析：首先要较准确地画出图形，尤其是公共点． 解：首先画出如图所示的阴影部分就是所求作的图形． 由x 2-1=0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)和(1,0)所求图形分成两块，分别用定积分表示面积为：因为1)3(,1)3(2323-='--='-x x x x x x ，所以 dx x dx x ⎰⎰---+-112112)1(|1|=dx x dx x ⎰⎰-+--212112)1(|1|=213113|)3(|)3(x x x x -+-- =1-31+1-31+38-2-(31-1)=38, 即所围成的三角形面积为38．点评：在[-1,1]上, 抛物线在x 轴下方,这时有两种办法表示，其面积表示其一是dx x ⎰--112|1|,其二是dx x ⎰---112)]1(0[．2. 以y 为积分变量例3求曲线y=2x 与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x ，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由⎩⎨⎧-==,4,22x y x y 解得⎩⎨⎧-==,2,2y x 和⎩⎨⎧==.4,8y x 即A,B 两点的纵坐标分别是-2和4. 因此所求的面积为因为,24)642(232y y y y y -+='-+所以 S=4232422|)642(]2)4[(---+=-+⎰y y y dy y y =18.点评：由本题可看出，如果采用x 作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．三、逆用曲边梯形的面积求定积分 例4.求定积分⎰---12))1(1(dx x x 的值.解析:⎰---12))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积，因此⎰---12))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评: 本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---12))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y ≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
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三.问题引导下的再学习
问题一：“以直代曲”是怎么回事？你能举出一个例子吗？
利用圆内接正多边形逼近圆的方法求圆的面积
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
P 放大
P
再放大
P
问题二：通过以直代曲的方法如何分割曲边梯 形化为直边图形？
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分
（2）近似代替
割（3）求面积的和 （4）取极限n
n
(2)取近似求和:任取i[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
高为f(i)而宽为x的小矩形面积
y
f(i)x近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (i )x i1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
lim n
i1
f (i )x
Oa
xi i xi+1
分，记作 b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f ( i)x
即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y f (x)
f(x) ——叫做被积函数，
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
几何画板
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴
所围成的曲边梯形的面积为
b
S
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间
[a, b]内运动的距离s为
v
v v(t)
b
s
v(t)dt。
a
t
Oa
b
根据定积分的定义右边图形的面积为
S
1
f (x)dx
1 x2dx 1
0
0
3
y
S1
f(x)=x2 3
1
O
x
定积分的几何意义：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
n 1 n nn
x
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
曲边梯形的面积和定积分的概念
一. 预习检测
1.如何求封闭曲线围成的图形的面积？
分割求和
y
x=a
Oa
x=b
b
x
一. 预习检测
2.如何求封闭曲线围成的图形的面积？
与1题比较两个图形有什么不同？
y
1题为直边图形，
y=f (x)
2题又是什么图形
呢？
x=a
Oa
x=b
bx
曲边梯形：
在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
任意的函数值 f (i )可以吗？
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[ａ,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2, xi1, xi , ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
b
x
x
问题三： 如何理解定积分的概念
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
分小割矩--形-近面似积代和替为S-=--in-1求f 和(i-)---x--取i极n1 f限(得i )到 b解n a决.
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数叫做函数f(x)在区间[a, b]上的定积
（2） 以直代曲
y
Si
f (i
1)x n
(i
1)2 n
Hale Waihona Puke 1 n（3）作和n O 12 nn
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
y x2
k n
n 1 n x
nn
（4）逼近 12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1) 6
线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲
边梯形。
y
y=f (x)
能否将曲边 梯形求面积 问题转化为 直边图形问 题解决？
x=a
x=b
Oa
bx
二.问题引入及学习目标
在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线 围成的平面“曲边图形“的面积、变速直线运动物 体的位移、变力做功的问题。这些都涉及到求曲边 图形的面积问题。 学习目标： 1.了解用直边形逼近曲边梯形的方法-------以直代曲； 2.会用“分割、近似代替、求和、取极限”的思想 求曲边梯形面积； 3.理解定积分的概念及其几何意义。
常用用矩形代替曲边梯形
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
将f (i 1)换成f ( i ),用这种方法能求出s的值吗?
n
n
n
S S1 S2 Sn Si
i1
n f( i ) 1 n ( i )2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[12
22
(n
1)2
n2
]
1 n(n 1)(2n 1)
n3
6
将f (i 1)换成区间【 i 1,i】内的 n