4曲边梯形面积与定积分
2014-2015学年高二数学复习学案 编号：04 使用时间：2015.4.24 编制人： 审核人： 领导签字： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：
专题四 曲边梯形面积与定积分
【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材选修2-2，P38-P59,再思考知识梳理所提问题，有针对性的
二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方
法。
【课程核心】定积分的几何意义及用定积分求曲边梯形面积
重点：定积分的概念及几何意义。 难点：用定积分求曲边梯形面积。
【学习目标】
1.了解定积分的概念的实际背景及几何意义，会用定积分求曲边梯形面积。
2.探究用定积分求曲边梯形面积的方法步骤。
3.养成扎实严谨的科学态度。
一、基础知识梳理：
1．写出定义法求定积分的四个步骤：
2．你如何理解：被积函数、积分下限、积分上限、被积式，试举例说明。
3.定积分的性质是什么？
4.写出微积分基本定理：
5.曲边梯形的面积与定积分的符号有什么关系？
6.请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：
二、梳理自测
1.由0,2,1,3yxxxy给出的边界围成的区域面积等于
2. 求由曲线y=sinx（22x）和直线2x，y=0所围成图形的面积是 。
3.已知dxxaaxaf1022)26()(，则af的最大值是
4.dxx-111-2= .
5. 若函数f(x)，g(x)满足－11f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三
组函数：①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1，1]上的正交函数是
探究一：求定积分
【例1】（1）dxx5212；（2）dxx11e，（3）sinxdx，（4）dxx01。
拓展：计算20(sincos)xxxdx。
规律总结：
知识树： 我的疑问：
我的收获与发现：
2014-2015学年高二数学复习学案 编号：04 使用时间：2015.4.24 编制人： 审核人： 领导签字： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：
探究二：求曲边梯形的面积
【例2】求曲线2xy与直线0,1yx所围成的区域的面积.
拓展：求曲线3xy与曲线xy所围成的区域的面积=
规律总结：
【高考在线】
1. （2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度25731vttt(
t
的单位:s,v 的单位:/ms)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m)是（ ）
A．125ln5 B．11825ln3 C．425ln5 D．
450ln2
2. [2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫2π30f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( )
A．x＝5π6 B．x＝7π12 C．x＝π3 D
．x＝
π
6
3.[2014·江西卷] 若f(x)＝x2＋201f(x)dx，则01f(x)dx＝( )
A．－1 B．－13 C.13 D．1
4.[2014·山东卷] 直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 4
5.[2014·陕西卷] 定积分01(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1
6.
（2013江西）若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123SSS的大小关系为
7.（2013湖南）
若209,TxdxT则常数的值为_________.
8.[2014·福建卷] 如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部
分的概率为________．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结
（2）我对数学思想及方法的总结
定积分概念与性质
x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割
6.1 定积分的概念及性质
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
高中数学新湘教版选修2-2 定积分与微积分基本定理
4．5定积分与微积分基本定理[读教材·填要点]1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线y ＝f (x )(a ≤x ≤b )和x 轴之间的图形，叫作函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的“曲边梯形”．(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形．2．计算变力所做的功的方法 化整为零，以直代曲． 3．定积分的概念设f (x )是在区间[a ，b ]上有定义的函数，在a ，b 之间取若干分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b .记小区间[x k －1，x k ]为Δk ，其长度x k －x k －1记作Δx k ，Δx k 中最大的记作d ，再在每个小区间Δk z k ，作和式：∑k ＝1nf (z k )Δx k . ①如果(不论如何取分点x k 和代表点z k )当d 趋于0时和式①以S 为极限，就说函数f (x )在[a ，b ]上可积，并且说S 是f (x )在[a ，b ]上的定积分，记作S ＝⎠⎛a bf (x )d x .4．微积分基本定理如果f (x )是在[a ，b ]上有定义的连续函数，F (x )在[a ，b ]上可导并且F ′(x )＝f (x )， 则⎠⎛a bf (t )d t ＝F (b )－F (a )．[小问题·大思维]1．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．2．求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．(2)求解的方法步骤相同．3．由定积分的定义可知，⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a bf (x )d x 的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a bf (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .4．如图所示，如何用阴影面积S 1，S 2，S 3表示定积分⎠⎛a bf (x )d x 的值？提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.计算下列定积分：(1) ⎠⎛－13(4x －x 2)d x; (2)⎠⎛12(x －1)5 d x ； (3)⎠⎛12(t ＋2)d x; (4)⎠⎛121x (x ＋1)d x . [自主解答] (1)取F (x )＝2x 2－x 33，因为F ′(x )＝4x －x 2，所以⎠⎛－13(4x －x 2)d x ＝F (3)－F (－1)＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203. (2)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛12(x －1)5d x ＝F (2)－F (1)＝16×(2－1)6－16×(1－1)6＝16. (3)取F (x )＝(t ＋2)x ，因为F ′(x )＝t ＋2， 所以⎠⎛12(t ＋2)d x ＝F (2)－F (1) ＝2(t ＋2)－(t ＋2)＝t ＋2.(4)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝ln x x ＋1， 则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝F (2)－F (1)＝ln 43.运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．1．计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ； (2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ； (3) ⎠⎛0π (sin x －cos x )d x ； (4) ⎠⎛02|1－x |d x . 解：(1)取F (x )＝x 3－x 2＋x ， 则F ′(x )＝3x 2－2x ＋1.∴⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝F (3)－F (－1)＝24.(2)取F (x )＝12x 2－ln x ，则F ′(x )＝x －1x .∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝F (2)－F (1)＝32－ln 2. (3)取F (x )＝－cos x －sin x ， 则F ′(x )＝sin x －cos x .∴⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(4)∵|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，0＜x ＜1，x －1，1＜x ＜2，∴取F 1(x )＝x －12x 2,0＜x ＜1，F 2(x )＝12x 2－x,1＜x ＜2，则F 1′(x )＝1－x ，F 2′(x )＝x －1.∴⎠⎛02|1－x |d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝1.已知函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．[自主解答] 因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 取F (x )＝a3x 3＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝F (1)－F (0)＝a 3＋c ＝ax 20＋c . 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0＝33.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限．2．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 取F 1(x )＝12ax 2＋bx ，∴F 1′(x )＝f (x )．则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＝12a ＋b ， ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ， 取F 2(x )＝13ax 3＋12bx 2且F 2′(x )＝ax 2＋bx ，则⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝F 2(1)－F 2(0)＝13a ＋12b ，由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176.解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以直线y ＝－x ＋2与抛物线 y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛－32[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛－32(6－x －x 2)d x ，取F (x )＝6x －12x 2－13x 3，则F ′(x )＝6－x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (－3)＝1256.若将本例中“直线y ＝－x ＋2”换为“抛物线y ＝3－34x 2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S ，S ＝⎠⎛－22⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3－34x 2－()x 2－4d x ＝⎠⎛－22⎝⎛⎭⎫7－74x 2d x ， 取F (x )＝7x －712x 3，则F ′(x )＝7－74x 2，∴S ＝F (2)－F (－2)＝563.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．3．求曲线y ＝e x ，y ＝e－x及直线x ＝1所围成的图形的面积．解：由图可知，积分区间为[0,1]，面积S ＝⎠⎛10()e x －e －x d x ，取F (x )＝e x ＋e －x ， 则F ′(x )＝e x －e －x ， ∴S ＝F (1)－F (0)＝e ＋1e－2.变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．[自主解答] 当0≤t ≤1时，v (t )≥0， 当1≤t ≤2时，v (t )<0. 所以前2秒钟内所走的路程 S ＝⎠⎛01v (t )d t ＋⎠⎛12[－v (t )]d t＝⎠⎛01(1－t 2)d t ＋⎠⎛12(t 2－1)d t取F 1(t )＝t －13t 3，F 2(t )＝13t 3－t ，S ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝2.2秒末所在的位置：x 1＝x 0＋⎠⎛02v (t )d t ＝1＋⎠⎛02(1－t 2)d t ＝13. 即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x 1＝13.1．有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s 1分别为 (1)若v (t )≥0(a ≤t ≤b )，则s ＝⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . (2)若v (t )≤0(a ≤t ≤b )， 则s ＝－⎠⎛a bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t .(3)在区间[a ，c ]上，v (t )≥0，在区间[c ，b ]上，v (t )<0， 则s ＝⎠⎛a cv (t )d t －⎠⎛c bv (t )d t ；s 1＝⎠⎛a bv (t )d t . 2．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．[注意] 将力与位移的单位换算为牛顿(N)与米(m)，功的单位才为焦耳(J)．4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°角的方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433JD ．2 3 J解析：W ＝⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x ＝32⎝⎛⎭⎫5x －13x 3⎪⎪⎪21＝433(J)． 答案：C求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积．[解] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．法一：选x 作为积分变量，由图可看出S ＝A 1＋A 2.在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以S A 1＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x .取F 1(x )＝23x 32，∴S A 1＝22[F 1(2)－F 1(0)]＝163. S A 2＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x ， 取F 2(x )＝4x －12x 2＋223x 32.∴S A 2＝F 2(8)－F 2(2)＝383. ∴S ＝163＋383＝18.法二：选y 作积分变量， 将曲线方程写为x ＝y 22及x ＝4－y .S ＝2-4⎰⎣⎡⎦⎤(4－y )－y 22d y . 取F (y )＝4y －y 22－y 36，∴S ＝F (2)－F (－4)＝30－12＝18.1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：取F (x )＝x 2＋e x，则F ′(x )＝2x ＋e x，⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝F (1)－F (0)＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e.答案：C2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：取F (x )＝12gt 2，则F ′(x )＝gt ，所以电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝F (2)－F (1)＝2g －12g ＝32g . 答案：C3．s 1＝⎠⎛01x d x ，s 2＝⎠⎛01x 2d x 的大小关系是( )A ．s 1＝s 2B ．s 21＝s 2C ．s 1>s 2D ．s 1<s 2解析：⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛01x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x ∈[0,1]内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2的上方，所以s 1>s 2.答案：C4.⎠⎛－12x 4d x ＝________.解析：∵⎝⎛⎭⎫15x 5′＝x 4，取F (x )＝15x 5， ∴⎠⎛－12x 4d x ＝F (2)－F (－1)＝15[25－(－1)5]＝335. 答案：3355．若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________. 解析：取F (x )＝x 2＋kx ，则F ′(x )＝2x ＋k ， ∴⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝F (1)－F (0)＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 答案：16．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．解：作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝⎛⎭⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)， 故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)，故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛131⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3.一、选择题1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2解析：⎠⎛241x d x ＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D2．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12C. 1D.32解析：曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12即为这段时间内物体所走的路程．答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323D.353解析：S ＝⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ，即F (x )＝3x －13x 3－x 2， 则F (1)＝3－13－1＝53，F (－3)＝－9＋9－9＝－9. ∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.答案：C4．定积分⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2， 取F 1(x )＝13x 3－x 2，F 2(x )＝－13x 3＋x 2， 则F 1′(x )＝x 2－2x ，F 2′(x )＝－x 2＋2x .∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20 (x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝F 1(0)－F 1(－2)＋F 2(2)－F 2(0)＝8.答案：D二、填空题5．函数y ＝x －x 2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________．解析：由x －x 2＝0，得x ＝0或x ＝1.因此所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x . 取F (x )＝12x 2－13x 3， 则F ′(x )＝x －x 2，∴面积S ＝F (1)－F (0)＝16. 答案：166．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：⎠⎛0af ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：17．计算⎠⎛02(2x －e x )d x ＝________. 解析：取F (x )＝x 2－e x ，则F ′(x )＝2x －e x ，所以⎠⎛02(2x －e x )d x ＝F (2)－F (0)＝5－e 2. 答案：5－e 28．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x . 取F (x )＝ln x ＋x 2＋e 2x ，则F ′(x )＝1x ＋2x ＋2e 2x ，所以⎠⎛1e⎝⎛⎭⎫1x ＋2x ＋2e 2x d x ＝F (e)－F (1)＝e 2e . 答案：e 2e三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛14⎝⎛⎭⎫2x －1x d x ； (2)⎠⎛01x 1＋x 2d x .解：(1)取F (x )＝2xln 2－2x ， 则F ′(x )＝2x －1x . ∴原式＝F (4)－F (1)＝⎝⎛⎭⎫16ln 2－2ln 2－(24－2)＝14ln 2－2. (2)取F (x )＝12ln(1＋x 2)，则F ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛01x 1＋x 2d x ＝F (1)－F (0)＝12ln 2.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)． 取F (x )＝x 2－13x 3，则F ′(x )＝2x －x 2， ∴S ＝F (2)－F (0)＝43.。
4-2定积分
无穷限积分的几何意义 若f ( x) 0, x [a, ), f ( x)dx收敛的几何意义 :
a
曲线y f ( x),直线x a与x轴之间向右无限
延伸的阴影区域有面积,并以 lim A f ( x)dx极 A a
i 1
极限存在,并且其极限值与[a, b]的分割法
以及 i的取法无关, 则该极限值称为函数
f ( x)区间在[a, b]上的定积分,记作 :积分和
积分上限
即
b a
n
f ( x)dx lim
n ( 0)
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积
积分
表变
达 式
量
[a, b] 为积分区间
反常积分,简称无穷限积分,
记作
J f ( x)dx, a
并称 f ( x)dx收敛.否则称 f ( x)dx发散.
a
a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
a
A a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
注意：
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关.
b f (x)dx b f (t)dt b f (u)du
a
a
a
(2)在定义中区间的分法和i的取法是任意的.
(3)当函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时, 称f ( x)在区间[a, b]上可积.
lim[
0
f
(1
)x1
f
(2 )x2
定积分的概念和性质公式
DDY整理1. 曲边梯形的面积及曲线、设在区间上，则由直线、所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分成在区间分割求近似：中任意插入若干个分点将n 个小区间DDY整理，小区间的长度，上任取一点作乘积在每个小区间取极限则面积求和取极限：，即小区间长度最大者趋于零。
其中2.变速直线运动的路程，设某物体作变速直线运动，速度的连续函数，且是上求在这段时间内物体所经过的路程。
将其分成分割求近似：在内插入若干分点。
任取，小区间长度，，n 个小区间做取极限则路程求和取极限：DDY整理中任意插入若干个分点设函数在上有界，在定义，在每个小区间，其长度为n 个小区间将分成，作乘积，并求和，上任取一点上的，如果不论对怎样分法，也不论小区间记总趋于确定的极限，则称这个极限点时，和怎样取法，只要当为函数上的定积分，记作，即在区间，（*）叫积分变量，叫积分下限，叫被积函数，其中叫被积表达式，叫积分和式。
叫积分上限，叫积分区间。
说明：可积，下面两类函数在区间在区间）式右边极限存在，称1.如果（*上连续，则在区可积。
（2在区间（可积，1））在上可积。
在间上有界且只有有限个间断点，则2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以DDY整理规定3. ,时两条直线、时 , 表示曲线在上、轴所围成的曲边梯形的面积；与、、两条直线在上时, 表示曲线轴的下方）曲边梯形在轴所围成的曲边梯形的面积（此时，；与DDY整理例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值2））（1（半圆面积）（三角形面积）（DDY整理可积设 1性质2性质，有对任何三个不同的数性质3 （定积分对区间的可加性）性质4，则上，性质5 如果在区间推论上的最大在区间M 设及 m 分别是函数（定积分的估值）性质6值及最小值，则（定积分中值定理）性质7上至少有一点，上连续，则在在区间如果函数成立使DDY整理例2 比较下面两个积分的大小与，设解单调增 0，1）内，在（即有当，时，5由性质，的值3例估计积分设，只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
定积分的概念(1.5.1-1.5.3)
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细， 各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大， 这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
微积分 第六章 第一节 定积分的概念与性质
b
b
| f ( x) |dx a f ( x)dx a | f ( x) | dx ,
b
b
即 | a f ( x)dx | a | f ( x) |dx .
23
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
于是 f (x) 单调增加, f ( x) f (0) 0，
x ln(1 x)， x 0 .
于是
1
1
x dx ln(1 x)dx .
0
0
25
性质5（估值定理）
设 M及m 分别是 f ( x) 在区间[a, b] 上的最大值及
最小值，则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a) .
a
a
进一步，若 f (x) g(x) ，且 f ( x) 和g(x) 不恒等，则有
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx .
证 令 h( x) g( x) f ( x) 即可.
22
b
b
推论2 | f ( x)dx | | f ( x) |dx (a b)
a
a
证 | f (x)| f (x) | f (x)| ,
f ( x)dx lim 0
i 1
f (i )xi
可直接得出.
18
b
b
b
性质2 (1) a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
b
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx
(k为常数)
证略.
《曲边梯形的面积》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.5.1课时)
有什么思路吗？
课前导入
能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变
速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——
.
新知探究
一般地，如果函数 y = f(x) 在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们 就把它称为区间 I上的连续函数.例如
积零为整 取极限
精确值——定积分
课堂练习
“求曲边梯形的面积”的思想方法有哪些？
开动脑筋想想吧！ “以直代取”、“以不变代变”、“逼近”、极限、分割、近似求值、化规……
课堂小结
求曲边梯形面积的方法： （1）分割
把区间[a,b]分成n个小区间 [xi-1 , xi ] ，长度为 Δxi = xi - xi-1
字词积累
冲
chōng
冲动
冲刺
激烈的比赛 中 ，选手们正在做最后的 冲 刺。
字词积累
议
yì
会议
议论
大家都认为班级会 议 开得很有意 义 。
字词积累
杆
gǎn
枪杆 笔杆
老师为了 赶 着帮我们批改作业，丝毫没有注意到笔 杆 上沾满了墨 水。
字词积累
官
guān
官员 官兵
古代皇宫 里保护皇上的 官 兵可多了。
其中
λ = max{Δx1, Δx2 ,Δxn }
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
语文 二年级 上册 配人教版
定积分的概念
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
解决步骤 :
1) 分割
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
83
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
93
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
103
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
113
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
23
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
33
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
x i ． ， 为 xi xi xi 1 (i 1, , n)，记 max 1 i n
近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
作乘积 f ( i )x i ,
求和：作和式 S = f ( i )xi
பைடு நூலகம்
y
o a x1
xi 1 xi
i
A lim f ( i )x
0
曲边梯形的面积教学案例
《曲边梯形的面积》教学案例八中高中数学组兰北平“曲边梯形的面积”是定积分的内容，定积分在高中的教材里曾经几进几出，原因可能是这部分内容实在是太有用同时又存在不小的难度，就像是一种美味好吃却不易吃，会使人觉得弃之可惜。
新课程把其加进来，采用了不同于高等数学的处理方式，即不介绍不定积分，而直接通过一个几何问题和一个物理问题引入定积分的概念。
这充分体现新课程返璞归真，回归本质的理念。
不过这样无论对学生还是教师，都将是一个不小的挑战。
对于本节课的设计，笔者将重心放在如何使新课引入自然以及如何突破难点上。
一、对本节课的认识“曲边梯形的面积”是“定积分的概念”的第一课时。
定积分的思想方法是高等数学里的重要思想方法，是微积分的重要组成部分，在求解不规则图形的面积，变速运动的路程，变力做功等问题方面有着广泛的应用。
而求解曲边梯形面积的过程与思想恰恰是定积分概念的核心内容，所以本节课在定积分的学习中有着至关重要的地位和作用。
本节课内容较为单一，目标也比较明确，就是用“以直代曲，无限逼近”的思想求曲边梯形的面积。
然而，这种思想方法给学生带来的理解上的难度却不小，因为要真正理解这种方法必须对极限的思想要有比较清晰的认识。
不过，新课程似乎为了避免增加学生的负担，而不要求深入介绍极限的概念，其旨在用最易于让学生接受的手段，使学生获得最有价值的数学知识。
这节课亦是如此。
基于以上原因，备课时认为本节课有两大难点：一是如何使学生获得“无限分割，以直代曲”的思路；二是对“极限”“无限逼近”的理解，即理解为什么将近似值取极限正好是面积的精确值。
二、教学设计I、教学目标1.知识与技能：（1）了解定积分的实际背景；（2）会用分割-近似代替-求和-取极限的四步曲求曲边梯形的面积；2.过程与方法：（1）体会以直代曲的数学思想方法；（2）体会无限逼近的数学思想；3.情感、态度与价值观：通过以直代曲求曲边梯形面积的过程感受数学化归思想化难为易，化不可计算为可以计算的妙处；II、重点、难点1.重点：以直代曲的思想方法；求曲边梯形的四步曲；2.难点：以直代曲的思想方法；III、教学教法讲授与启发相结合，采用几何画板制作课件IV、教学过程（一）引入问题引入：这是浙江省地图，怎样求其面积？意图：用网格法求面积时边缘往往是不规则的图形，引出曲边梯形及求曲边梯形的面积问题. （二）新课问题1：我们会求正方形、三角形、平行四边形、梯形等“直边图形”的面积，现实生活中遇到的大量“曲边图形”，如何求“曲边图形”的面积？回答问题1：通过将曲边梯形分割成等宽的多个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积用高为左端点函数值矩形代替，求和，取极限得到面积.2、板书分割-近似代替-求和-取极限四步曲的详细步骤；3、用几何画板表格展示当n逐渐增大时，矩形面积和的值的变化趋势，验证计所得结果，并且发现面积和会从小于的方向逐渐接近1/3,思考为什么，引出下面探究问题. 探究：如果认为y=f(x)在每个小区间上的函数值近似地等于右端点的函数值，是否也能求出S=1/3?为什么？2、结合表格数据说明取区间右端点函数值得到的是过剩近似值，是从大于的方向趋近1/3；3、进一步说明取区间中的任何一点来近似也是可以的从而得到求面积的一般表达式01111lim ()lim ()3n n i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑为引出定积分的概念做铺垫. 练习：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x(^2)所围成的曲边梯形的面积.38,21111382212→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n n i n S n n n n n i S意图：用一个与例题相仿，只是区间不同的例子进一步体验“分割—求和—近似—取极限”的方法.（三）小结：这节课我们学到了什么？1.求曲边梯形的面积的方法和步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2.以直代曲，无限逼近的思想V 、布置作业作业本B 本P51，1、2、3、4、6、7、10三、教学片断实录及反思片断一：新课的引入师（提出问题）：这是浙江省地图，怎样求其面积？生：思考片刻，有的一脸茫然，有的在迟疑，个别窃窃私语：“用割补法”.师：“怎么割补？能否说得具体点？”生：不敢说或者不知道，不能给出答案.师：有一种近似求不规则图形面积的方法——“网格法”，接着介绍这种方法的具体做法。