第七章 拟合优度检验
合集下载
拟合优度检验步骤
拟合优度检验步骤以拟合优度检验步骤为标题，本文将从拟合优度的概念和意义入手，详细介绍拟合优度检验步骤及其常见方法。
一、拟合优度的概念和意义拟合优度是指统计模型中观测值与模型预测值之间的接近程度，通常用拟合优度系数来衡量。
拟合优度系数越接近于1，说明模型的拟合程度越好；越接近于0，说明模型的拟合程度越差。
拟合优度检验的意义在于对于一个给定的数据集，评估模型的拟合程度，进而判断模型是否可信。
如果拟合优度系数很低，说明模型不适合该数据集，需要重新调整模型；如果拟合优度系数很高，说明模型能够很好地描述数据，可信度较高。
1. 提出假设拟合优度检验的假设是：H0：该模型和数据集拟合较好；H1：该模型和数据集拟合较差。
2. 计算拟合优度系数拟合优度系数的计算方法根据不同的模型而异。
例如，对于线性回归模型，可以使用R平方值来计算拟合优度系数；对于逻辑回归模型，可以使用ROC曲线下面积（AUC）来计算拟合优度系数。
3. 确定显著性水平显著性水平决定了判断拟合优度系数是否足够显著的标准。
通常显著性水平被设定为0.05或0.01，意味着只有当拟合优度系数的概率小于0.05或0.01时，才能拒绝原假设。
4. 计算p值p值是指在原假设成立的情况下，观测到当前拟合优度系数或更极端情况的概率。
如果p值小于显著性水平，就可以拒绝原假设，认为模型拟合程度较差。
5. 判断结果根据p值的大小和显著性水平的设定，判断拟合优度系数是否显著。
如果p值小于显著性水平，就拒绝原假设，认为模型拟合程度较差；如果p值大于显著性水平，就接受原假设，认为模型拟合程度较好。
三、常见的拟合优度检验方法1. R平方R平方是线性回归模型中最常用的拟合优度系数之一，其值介于0和1之间。
R平方越接近于1，说明模型的拟合程度越好。
但是R 平方只适用于线性回归模型，对于其他类型的模型不适用。
2. 残差分析残差分析是一种通过分析模型残差的方法来评估模型拟合程度的方法。
第七章 拟合优度检验
• 1.拟合优度检验的一般原理（※）
• 2.拟合优度检验 • 3.独立性检验
难点
统计学家推荐的拟合检验方法是： Shapiro-Wilk检验 Kolmogorov-Smirnov检验
7.3 独立性检验
难点
一、列联表的独立性检验
原理：Pearson定理
用途：检验事物之间的独立性
1. 2×2列联表检验 2. r×c列联表检验
四格表资料的基本形式
处理组
甲 乙 合计
阳性事件发 阳性事件未发
生数
生数
a
b
c
d
a+c
b+d
合计
a+b c+d
n
四格表的前提条件：双边固定
1 . 2 2列联表（四格表 fourfold table）
处理 方式
口服
效 有效 a
果 无效 b
2 2列联表
注射 c
d
自由度 df = 1
四个表资料 检验的专用公式：
和前面的结果 一样
2
(ad bc)2 n
(a b)(c d)(a c)(b d)
需要解决的问题：
1.用古典概型求2 2列联表出现某一组数值的概率 2.离散分布尾区建立的方法。
1. 2 2列联表概率的计算方法
a
b
a+bcdc+da +c b +d
N
2.离散分布尾区概率的计算方法：
从实际观测值开始，把对 成立不利的方向上 的概率全加起来，作为尾区概率。
3. 2 2列联表的精确检验
Goodness Of Fit Test
※7.1 拟合优度检验的一般原理 7.2 拟合优度检验 7.3 独立性检验（难点）
拟合优度检验
计算上例的χ 值并做推断。先计算各理论数Ti。
2
给药方式 口服
（B ）
有效（ A ）
O1=58 ( 98)(122 ) = 61.95 T1 = 193 O3=64 ( 95)(122 ) = 60.05 T3 = 193
无效（ A ）
总数
T2
( 98)( 71) = 36.5 =
193
O4=31 ( 95)( 71)
列联表中的数据可以用以下符号表示： a c a+c b d b+d a+b c+d N
在行总数和列总数及N都保持不变的情况下，a、b、c、d的各种组合 的概率可以由下式给出：
P=
( a + b )!( c + d )!( a + c )!( d + b )!
N !a !b !c !d !
零假设：不存在处理效应。若P > α 则接受零假设；反之则拒绝。 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，则直接用该概率值作为判断标 准。若无，则应当将这个组合的概率以及从最接近于0的哪个观测值到 0的各种组合的概率都计入。这样才能构成一个尾区的概率。
将以上数据列成下表：
Y_R_ 实际观测数O 理论频率p 理论数T O-T (O-T) 2/ T 315 9/16 312.75 2.25 0.016
Y_rr 101 3/16 104.25 -3.25 0.101
yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 0.218
2. 总体参数未知 例 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以10人为一组，记录每组女性的人数，共得到
100组，列入下表的第2列中。问女性家长人数是否符合二项分布。 解：人群中男女比率各 占一半，但去接小孩的 家长中是否也是这个比 率就不一定。因此二项 分布的参数ϕ 是未知 的，需从样本数据估 计。
拟合优度检验-
对性状杂 交 二 代
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9∶3∶3∶1 的遗传比例。
例7.1；7.2（P93;94）
• 总体参数未知 例P95，表7-1 不同之处：要由样本估计出总体参数。
7.2.3 对正态分布的检验（P96） 7.2.4 其他类型问题的检验（P97）
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
§7.3、独立性检验
7.3.1 列联表2 检验（P97）
一、独立性检验的意义
对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究 两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先 将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组 用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数 和未治愈头数。
当自由度大于1时，原公式的2分布与连续型随机
变量2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小 于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理 论次数大 于5 为止。
• 统计量：
(Oi Ti ) Ti i 1
2 r
2
• 使用条件：
– 各理论值均大于5。 – 若自由度为1，则应作连续性矫正：
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9∶3∶3∶1 的遗传比例。
例7.1；7.2（P93;94）
• 总体参数未知 例P95，表7-1 不同之处：要由样本估计出总体参数。
7.2.3 对正态分布的检验（P96） 7.2.4 其他类型问题的检验（P97）
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
§7.3、独立性检验
7.3.1 列联表2 检验（P97）
一、独立性检验的意义
对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究 两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先 将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组 用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数 和未治愈头数。
当自由度大于1时，原公式的2分布与连续型随机
变量2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小 于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理 论次数大 于5 为止。
• 统计量：
(Oi Ti ) Ti i 1
2 r
2
• 使用条件：
– 各理论值均大于5。 – 若自由度为1，则应作连续性矫正：
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
第7章 拟合优度检验
第七章 拟合优度检验
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
上一张 下一张 主 页 退 出
7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
上一张 下一张 主 页 退 出
7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
拟合优度检验样本数据与理论分布的拟合程度判别
拟合优度检验样本数据与理论分布的拟合程度判别拟合优度检验是统计学中常用的一种分析方法，用于评估样本数据与理论分布之间的拟合程度。
在许多实际应用中，我们需要确定样本数据是否符合某种理论分布，以便更好地理解和解释数据的特征和规律。
本文将介绍拟合优度检验的概念、常用方法以及应用实例。
一、拟合优度检验的概念和目的拟合优度检验是一种用于评估样本数据与理论分布之间的差异程度的统计方法。
其基本思想是比较样本数据的经验分布与理论分布之间的差异，通过计算适当的统计量来评估二者之间的拟合程度。
拟合优度检验的目的是判定样本数据是否与理论分布一致，进而评估理论模型的适用性和准确性。
二、拟合优度检验方法的选择对于不同的样本数据和理论分布，可以选择不同的拟合优度检验方法。
常见的方法包括卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验、Anderson-Darling检验等。
下面将分别介绍几种常用方法的基本原理和适用场景。
1. 卡方检验卡方检验是一种比较观察频数和期望频数之间差异的方法。
其基本原理是通过计算观察频数与理论分布的差异，进而推断样本数据是否来自于所假设的理论分布。
卡方检验适用于样本数据为分类变量的情况，且理论分布是已知的离散概率分布。
2. Kolmogorov-Smirnov检验Kolmogorov-Smirnov检验是一种基于累积分布函数的拟合优度检验方法。
其基本原理是通过比较样本数据的经验分布函数与理论分布的累积分布函数之间的差异，来评估二者之间的拟合程度。
Kolmogorov-Smirnov检验适用于样本数据为连续变量的情况，且理论分布可以是任意已知连续概率分布。
3. Anderson-Darling检验Anderson-Darling检验是一种基于累积分布函数的改进型拟合优度检验方法。
与Kolmogorov-Smirnov检验相比，Anderson-Darling检验更加敏感，尤其适用于较小样本量和尾部分布的拟合程度判断。
《拟合优度检验》课件
柯克伦科夫勒检验
总结词
柯克伦科夫勒检验是一种基于概率的拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著。
详细描述
柯克伦科夫勒检验基于二项分布，通过计算观测频数与期望频数的离差平方和，得到柯克伦科夫勒统计量。在样 本量足够大的情况下，柯克伦科夫勒统计量近似服从正态分布。通过比较柯克伦科夫勒统计量与临界值，可以判 断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
03
拟合优度检验的步骤
Chapter
确定检验假设
零假设（H0）
样本数据与理论分布无显著差异。
对立假设（H1）
样本数据与理论分布存在显著差异。
计算检验统计量
统计量计算
根据样本数据和理论分布的性质，计 算相应的统计量，如卡方统计量、熵 值统计量等。
统计量性质
了解统计量的分布特性，以便后续的 临界值判断。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显著 。
详细描述
斯皮尔曼秩检验基于秩次，通过将观测频数与期望频数按照大小排序，并计算秩次之差得到秩次统计 量。在自由度等于分类数减一的情况下，秩次统计量服从F分布。通过比较秩次统计量与临界值，可 以判断观测频数与期望频数是否存在显著差异。
Chapter
皮尔逊卡方检验
总结词
皮尔逊卡方检验是最常用的拟合优度检验方法之一 ，用于检验观测频数与期望频数之间的差异是否显 著。
详细描述
皮尔逊卡方检验基于卡方分布，通过计算观测频数 与期望频数的离差平方和，得到卡方统计量。在自 由度等于分类数减一的情况下，卡方统计量服从卡 方分布。通过比较卡方统计量与临界值，可以判断 观测频数与期望频数是否存在显著差异。
第七章 拟合优度检验
例7.2
用正常翅的野生型果蝇（vg+ vg+ ）与残翅（vg
vg ）的果蝇杂交，F1代均表现正常（ vg+
vg ）。 F1自交，所得F2代中311个正常翅和
81个残翅。问这一分离比是否符合孟德尔
3:1的理论比。
正常翅
实际观测值 理论频率 311 3/4
残翅
81 1/4
总 数
392
理论数（未矫正）
第七章
第一节
拟合优度检验
拟合优度检验的一般原理
什么是拟合优度检验
拟合优度检验是用来检验实际观测数与依照某种假
设或模型计算出来的理论数之间的一致性，以便判 断假设或模型是否与观测数相配合。 包括两种类型，第一种是检验观测数与理论数之间 的一致性，第二种是通过检验观测数与理论数之间 的一致性来判断事件之间的独立性。
Y_R_
实际观测值 理论频率 理论数 O-T (O-T)2 (O-T)2/T 315 9/16 312.75 2.25 5.0625 0.016
Y_rr
101 3/16 104.25 -3.25
yyR_
108 3/16 104.25 3.75
yyrr
32 1/16 34.75 -2.75
10.5625 14.0625 7.5625 0.101 0.135 0.218
1、对数据进行分组
2、根据总体分布类型和样本含量计算理论数 3、有时需用样本数据估计总体参数。计所估计参数的 个数为a 4、分别合并两个尾区的理论数，使之不小于5，合并 后的组数计为k 5、相应于2的自由度为k-1，相对于3的自由度为k-1-a
6、零假设：因为拟合优度检验不是针对总体参数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
去幼儿园接小 孩的家长中男女 性是否各占一半 并不一定。因此 二项分布中的φ 未知，需由样本 数据估计，则接 小孩的家长中女 性 比 例 为 ： φ= 590/1000=0.59
展开二项式(0.41+0.59)10得到第4列，再计算出理论数，其前4个数都小于5，合 并。最后两个数也都小于5，合并后仍小于5，所以合并最后三个数。相应的观
34.75
0.016 0.101 0.135 0.218
0.470
从附表中查出23, 0.05＝7.815， 2 < 20.05。结论是接受H0，
杂交结果符合9∶3∶3∶1的分离比。
❖ 当df=1时一定要做矫正，否则可能会得到错误结论。
例7.2 用正常翅的野生型果蝇与残翅的果蝇杂交，F1代均表现 为正常翅。F1代自交，所得F2代中包括311个正常翅和81个残 翅。问这一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比。
类型 色盲(B) 非色盲
合计
聋(A) 3 47 50
非聋 797 9153 9950
合计 800 9200 10000
P(A)P(B)＝0.0050×0.0800 ＝0.0004＝P(AB)
拟合优度检验：
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。统计某羊场 一年所产的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按 1:1的性别比例计算，公、母羔均应为438只。以O表示实 际观察次数，T 表 示 理 论次数，可将上述情况列成下表。
Oi－Ti
6
104
13.70
90.3
5
191
89.04
101.96
4
217
241.15
-24.15
3
164
348.32
-184.32
2
99
283.01
-184.01
1
83
122.64
-39.64
0
262
22.14
239.86
(Oi－Ti)2/Ti 595.189 116.755 2.419 97.536 119.641 12.825 2598.592
次数小于5的组，则需加大样本容量，或将理论次 数小于5的组与邻组合并。
7.2 拟合优度检验
7.2.1 一般程序
➢ 对数据进行分组，组数为k。 ➢ 计算理论数Ti
• 根据总体参数计算理论数Ti。这时df＝k－1 • 由样本数据估计参数并理论数Ti。这时df＝k－1－a。a为由
样本所估计参数的个数。
➢ 合并理论数小于5的各组，并修改合并后的组数k。
从上表可以看到，实际观察次数与理论次数存在一定的 差异，这里公、母各相差10只。 这个差异是属于抽样误差、 还是羔羊性别比例在养殖过程中发生了实质性的变化?
7.1.2 拟合优度检验的统计量
例1.1 黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代分离数目如下：
黄圆
绿皱
绿圆 绿皱 总计
实测数(Oi) 315(O1) 101（O2） 108(O3) 32(O4) 556 理论数(Ti) 312.75(T1) 104.25(T2) 104.25(T3) 34.75(T4) 556
③求k个[(Oi－Ti)/Ti]2之和，但仍有问题。如：Oi＝8、Ti＝5以及Oi ＝80、Ti＝50时Oi－Ti/Ti都等于0.6。
④为解决上述问题，以Ti为权求加权值。
i
k 1
Ti
Oi Ti Ti
2
k i 1
Oi T Ti
2
由上式所定义的统计量也称2 。近似服从2分布，可由2分布
第七章 拟合优度检验
7.1 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
用来检验实际观测数与依照某种假设或模型计算 出来的理论数之间的一致性的方法。可分为两种 类型： （1）拟合优度检验：检验观测数与理论数之间的 一致性。 （2）独立性检验：通过检验实际观测数与理论数 之间的一致性来判断事件之间的独立性。
解：计算过程见下表
（1）不矫正
正常翅
残翅
总数
实际观测数 理论数 O－T （O－T）2 （O－T）2/T
311
81
392
294
98
392
17
17
289
289
0.893
2.949
2 =0.893+2.949=3.932
H0: O－T=0, α=0.05, df=1, 2 0.05=3.841， 2 > 2 0.05
测数也合并。合并后k=6，自由度为k-1-a=6-1-1=4，从附表中查出2 4，0.05=9.488 ＞ 2 =1.539，接受H0。结论是女性家长人数符合二项分布。
动物的性别比例是否为1:1 ？
a=1，df =2－0－1=1
k
2
Oi Ti 0.5 2 ( 428 438 0.5)2 2 0.4121
i 1
Ti
438
2 1,0.05
3.841
∴2 < 20.05。结论是接受H0，动物性比符合1∶1。
例：随机播种棉籽1120穴，每穴6粒，共下种6720粒，统计 发芽数为3200粒频数分布见下表。问发芽情况是由于棉籽质 量原因还是另有其它原因造成。
解：H0：设发芽情况符合二项分布，O－T=0
每穴发芽数 实际穴数 理论穴数
10295
3570 3616 3814 11000
注射
O3=64
O4=31
95
T3=(95)(122)/193=60.05 T4=(95)(71)/193=34.95
总数
122
71
193
H0 : O T 0, 0.05,
4
2
Oi Ti 0.5 2
i 1
Ti
df 2 12 1 1
61.95 58 0.52 40 36.05 0.52 64 60.05 0.52 34.95 31 0.52
结论：正常翅与残翅的分离比符合3∶1
可见，同一问题矫正与不矫正所得结论不同。 因矫正后的结果比矫正前低，若未矫正已接受了H0，可不 再矫正；若未矫正时拒绝H0，则一定要矫正。
2.总体参数未知
例：调查到幼儿园接小孩家长的性别，10人为一组，记录每组女性人数，
共100组数据，列在表7-1中。问女性家长人数是否符合二项分布？
合计
1120
1120.00
3542.94
df=7－1－1=5， 2 5，0.01=15.086< 2 。拒绝H0，不符合二项分布。
可见，理论与实际差异极显著，这说明棉籽的每穴发芽数除由于棉
籽的质量原因外尚有其它原因影响了棉籽的发芽。也就是说仅棉籽本 身的原因并不会出现该分布情况。至于何原因造成很难判定，很可能 是客观因素，如土壤不均，水分不均，有的地方适合发芽有的不适合。 因此，欲种植该棉籽首先要加强平整试验田、合理灌溉。
7.3 独立性检验
7.3.1 列联表2检验
列联表2检验属独立性检验，或者说检验处理之间的差异
显著性。
例7.3 下表给出不同给药方式与给药效果
给药方式
有效
无效
总数
有效率
口服
58
40
98
59.2%
注射
64
31
95
67.4%
总数
122
71
193
列联表2检验的原理
现在要考虑的是给药方式与给药效果有无关联，如果有关联，
即不同的给药方式产生不同的效果；反之，如果无关联，即不 同的给药方式的治疗效果没有不同。从另一个角度讲，我们要 考虑的是不同的给药方式与给药效果之间是否相互独立，因此 列联表χ2检验又称为独立性检验。
列联表2检验的步骤
1、提出零假设：假设实测数与给药方式和给药效果并无关联的前 提下所计算出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。
3297
3616
γ3
194
3620
3814
解：计算出的理论数如下表
处理方式 有桥细胞数 无桥细胞数
总数
γ1 γ2 γ3
总数
O1=192 T1=228.8 O3=319 T3=231.8 O5=194 T5=244.4
705
O2=3378 T2=3341.2 O4=3297 T4=3384.2 O6=3620 T6=3569.6
➢ 零假设是观测数与理论数符合，拟合优度2检验为非
参数统计，零假设可形象地记为：H0：O－T＝0。
➢ 计算出2值，与临界值比较，当2 > α2时拒绝H0。 注意：Pearson 2检验查上侧表。
7.2.2 二项分布的检验
1. 总体参数φ已知时
注意：计算理论数时，由于
参数φ=3/4是已知的，并不需要 用 样本 数去估 算 ， 因此a=0， df=4－1=3。
4+)T第3 +i类T4的=n理。论数Ti =npi, k个理论数之和等于n。如上例中的T1 +T2
(5)Oi与Ti不符合程度的计算：
①求k个Oi－Ti之和，显然它们恒等于0。
②求k个(Oi－Ti)2之和，得不出相对的不符合程度。如Oi＝9、Ti＝6， Oi－Ti＝3；Oi＝49、Ti＝46，Oi－Ti＝3。前者的不符合程度远大于 后者。
例7.1 检验上一节给出的例子。理论数均大于5，df=3， φ
已知，H0：O－T = 0，α = 0.05。将数据代入公式
k
2
Oi Ti 2
i 1
Ti
2 315 312.752 101 104.252 108 104.252 32 34.752
312.75
104.25
104.25
61.95
36.05
60.05
34.95
展开二项式(0.41+0.59)10得到第4列，再计算出理论数，其前4个数都小于5，合 并。最后两个数也都小于5，合并后仍小于5，所以合并最后三个数。相应的观
34.75
0.016 0.101 0.135 0.218
0.470
从附表中查出23, 0.05＝7.815， 2 < 20.05。结论是接受H0，
杂交结果符合9∶3∶3∶1的分离比。
❖ 当df=1时一定要做矫正，否则可能会得到错误结论。
例7.2 用正常翅的野生型果蝇与残翅的果蝇杂交，F1代均表现 为正常翅。F1代自交，所得F2代中包括311个正常翅和81个残 翅。问这一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比。
类型 色盲(B) 非色盲
合计
聋(A) 3 47 50
非聋 797 9153 9950
合计 800 9200 10000
P(A)P(B)＝0.0050×0.0800 ＝0.0004＝P(AB)
拟合优度检验：
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。统计某羊场 一年所产的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按 1:1的性别比例计算，公、母羔均应为438只。以O表示实 际观察次数，T 表 示 理 论次数，可将上述情况列成下表。
Oi－Ti
6
104
13.70
90.3
5
191
89.04
101.96
4
217
241.15
-24.15
3
164
348.32
-184.32
2
99
283.01
-184.01
1
83
122.64
-39.64
0
262
22.14
239.86
(Oi－Ti)2/Ti 595.189 116.755 2.419 97.536 119.641 12.825 2598.592
次数小于5的组，则需加大样本容量，或将理论次 数小于5的组与邻组合并。
7.2 拟合优度检验
7.2.1 一般程序
➢ 对数据进行分组，组数为k。 ➢ 计算理论数Ti
• 根据总体参数计算理论数Ti。这时df＝k－1 • 由样本数据估计参数并理论数Ti。这时df＝k－1－a。a为由
样本所估计参数的个数。
➢ 合并理论数小于5的各组，并修改合并后的组数k。
从上表可以看到，实际观察次数与理论次数存在一定的 差异，这里公、母各相差10只。 这个差异是属于抽样误差、 还是羔羊性别比例在养殖过程中发生了实质性的变化?
7.1.2 拟合优度检验的统计量
例1.1 黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代分离数目如下：
黄圆
绿皱
绿圆 绿皱 总计
实测数(Oi) 315(O1) 101（O2） 108(O3) 32(O4) 556 理论数(Ti) 312.75(T1) 104.25(T2) 104.25(T3) 34.75(T4) 556
③求k个[(Oi－Ti)/Ti]2之和，但仍有问题。如：Oi＝8、Ti＝5以及Oi ＝80、Ti＝50时Oi－Ti/Ti都等于0.6。
④为解决上述问题，以Ti为权求加权值。
i
k 1
Ti
Oi Ti Ti
2
k i 1
Oi T Ti
2
由上式所定义的统计量也称2 。近似服从2分布，可由2分布
第七章 拟合优度检验
7.1 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
用来检验实际观测数与依照某种假设或模型计算 出来的理论数之间的一致性的方法。可分为两种 类型： （1）拟合优度检验：检验观测数与理论数之间的 一致性。 （2）独立性检验：通过检验实际观测数与理论数 之间的一致性来判断事件之间的独立性。
解：计算过程见下表
（1）不矫正
正常翅
残翅
总数
实际观测数 理论数 O－T （O－T）2 （O－T）2/T
311
81
392
294
98
392
17
17
289
289
0.893
2.949
2 =0.893+2.949=3.932
H0: O－T=0, α=0.05, df=1, 2 0.05=3.841， 2 > 2 0.05
测数也合并。合并后k=6，自由度为k-1-a=6-1-1=4，从附表中查出2 4，0.05=9.488 ＞ 2 =1.539，接受H0。结论是女性家长人数符合二项分布。
动物的性别比例是否为1:1 ？
a=1，df =2－0－1=1
k
2
Oi Ti 0.5 2 ( 428 438 0.5)2 2 0.4121
i 1
Ti
438
2 1,0.05
3.841
∴2 < 20.05。结论是接受H0，动物性比符合1∶1。
例：随机播种棉籽1120穴，每穴6粒，共下种6720粒，统计 发芽数为3200粒频数分布见下表。问发芽情况是由于棉籽质 量原因还是另有其它原因造成。
解：H0：设发芽情况符合二项分布，O－T=0
每穴发芽数 实际穴数 理论穴数
10295
3570 3616 3814 11000
注射
O3=64
O4=31
95
T3=(95)(122)/193=60.05 T4=(95)(71)/193=34.95
总数
122
71
193
H0 : O T 0, 0.05,
4
2
Oi Ti 0.5 2
i 1
Ti
df 2 12 1 1
61.95 58 0.52 40 36.05 0.52 64 60.05 0.52 34.95 31 0.52
结论：正常翅与残翅的分离比符合3∶1
可见，同一问题矫正与不矫正所得结论不同。 因矫正后的结果比矫正前低，若未矫正已接受了H0，可不 再矫正；若未矫正时拒绝H0，则一定要矫正。
2.总体参数未知
例：调查到幼儿园接小孩家长的性别，10人为一组，记录每组女性人数，
共100组数据，列在表7-1中。问女性家长人数是否符合二项分布？
合计
1120
1120.00
3542.94
df=7－1－1=5， 2 5，0.01=15.086< 2 。拒绝H0，不符合二项分布。
可见，理论与实际差异极显著，这说明棉籽的每穴发芽数除由于棉
籽的质量原因外尚有其它原因影响了棉籽的发芽。也就是说仅棉籽本 身的原因并不会出现该分布情况。至于何原因造成很难判定，很可能 是客观因素，如土壤不均，水分不均，有的地方适合发芽有的不适合。 因此，欲种植该棉籽首先要加强平整试验田、合理灌溉。
7.3 独立性检验
7.3.1 列联表2检验
列联表2检验属独立性检验，或者说检验处理之间的差异
显著性。
例7.3 下表给出不同给药方式与给药效果
给药方式
有效
无效
总数
有效率
口服
58
40
98
59.2%
注射
64
31
95
67.4%
总数
122
71
193
列联表2检验的原理
现在要考虑的是给药方式与给药效果有无关联，如果有关联，
即不同的给药方式产生不同的效果；反之，如果无关联，即不 同的给药方式的治疗效果没有不同。从另一个角度讲，我们要 考虑的是不同的给药方式与给药效果之间是否相互独立，因此 列联表χ2检验又称为独立性检验。
列联表2检验的步骤
1、提出零假设：假设实测数与给药方式和给药效果并无关联的前 提下所计算出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。
3297
3616
γ3
194
3620
3814
解：计算出的理论数如下表
处理方式 有桥细胞数 无桥细胞数
总数
γ1 γ2 γ3
总数
O1=192 T1=228.8 O3=319 T3=231.8 O5=194 T5=244.4
705
O2=3378 T2=3341.2 O4=3297 T4=3384.2 O6=3620 T6=3569.6
➢ 零假设是观测数与理论数符合，拟合优度2检验为非
参数统计，零假设可形象地记为：H0：O－T＝0。
➢ 计算出2值，与临界值比较，当2 > α2时拒绝H0。 注意：Pearson 2检验查上侧表。
7.2.2 二项分布的检验
1. 总体参数φ已知时
注意：计算理论数时，由于
参数φ=3/4是已知的，并不需要 用 样本 数去估 算 ， 因此a=0， df=4－1=3。
4+)T第3 +i类T4的=n理。论数Ti =npi, k个理论数之和等于n。如上例中的T1 +T2
(5)Oi与Ti不符合程度的计算：
①求k个Oi－Ti之和，显然它们恒等于0。
②求k个(Oi－Ti)2之和，得不出相对的不符合程度。如Oi＝9、Ti＝6， Oi－Ti＝3；Oi＝49、Ti＝46，Oi－Ti＝3。前者的不符合程度远大于 后者。
例7.1 检验上一节给出的例子。理论数均大于5，df=3， φ
已知，H0：O－T = 0，α = 0.05。将数据代入公式
k
2
Oi Ti 2
i 1
Ti
2 315 312.752 101 104.252 108 104.252 32 34.752
312.75
104.25
104.25
61.95
36.05
60.05
34.95