数值积分和微分方法
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
1_数值分析4-数值积分与微分
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x
xk
)(x
xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0
fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn
n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1
xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
C语言用六种方法求定积分
C语言用六种方法求定积分C语言中求定积分的方法主要有以下六种：基本公式法、数值积分法、Laplace变换法、微积分概念法、数值积分法和Monte Carlo方法。
下面将详细介绍每种方法的原理和实现。
1.基本公式法：基本公式法是求解定积分的最基本方法，根据不同函数的特点和性质，利用已知的积分公式进行求解。
例如，对于一次函数和常数函数，可以使用基本公式法求解。
2.数值积分法：数值积分法是通过将定积分转化为数值计算问题来求解。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
这些方法基于将求积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上近似计算出函数的积分值，再将这些积分值加总得到最终结果。
3. Laplace变换法：Laplace变换法是一种利用Laplace变换求解微分方程的方法，也可以用来求解定积分。
通过将被积函数进行Laplace变换，然后利用Laplace变换公式求解积分，最后再求出反变换得到结果。
4.微积分概念法：微积分概念法是通过将定积分定义为函数曲线下的面积来求解。
具体做法是将被积函数图像与坐标轴围成的面积分为若干个小的矩形、梯形或曲线段以及一个小的区域。
然后根据图形的几何性质进行近似计算，将这些小面积相加得到最终结果。
5.数值积分法：数值积分法也是一种基于数值计算的方法，但与前面提到的数值积分法不同，它通过构造一系列特定形式的插值函数对被积函数进行逼近，然后计算插值函数的积分值来近似求解定积分。
常用的数值积分法有牛顿-科特斯公式和高斯-勒让德公式。
6. Monte Carlo方法：Monte Carlo方法是一种基于统计随机性的数值积分方法，它通过随机抽样来进行数值求解。
具体做法是在被积函数图像下随机抽取一系列点，根据这些随机点的坐标和函数值来估计函数的积分值。
通过对多次随机抽样的结果取平均可以得到定积分的近似值。
以上六种方法都可以用C语言来实现，具体的实现方法可以根据具体问题的特点和要求选择合适的算法和数据结构，然后编写相应的代码实现。
第4章 数值积分与数值微分
1 (a b).得到的求积公式就是中 矩形公式。再令 2 f ( x) x 2 , 代入(1.4)式的第三式有
b ab 2 ba 2 1 2 A x (b a)( ) (a b ) x 2 dx (b 3 a 3 ), a 2 4 3 说明中矩形公式对 ( x) x 2不精确成立，故它的代 f 数精确度为 . 1
定 理 1 求积公式 f ( x)dx Ak f k 至少具有n次代数精度
a k 0
它是插值型求积公式 .
四、求积公式的余项 若求积公式(1.3)的代数精确度为m，则由求积 公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk ) Kf ( m1) ( ), (1.8)
k 0 n
Hale Waihona Puke 第4章 数值积分与数值微分
~ 定 义 3 若 0, 0,只要 f ( xk ) f k (k 0,, n), 就有 ~ | I n ( f ) I n ( f ) |
《 数 值 分 析 》
~ Ak [ f ( xk ) f ( xk )] ,
此求积公式的余项。
第4章 数值积分与数值微分
1 A1 B0 2 1 1 《 A1 0 x 2 dx 3 1 2 数 1 1 A1 , A0 , B0 于是有 f ( x)dx 2 f (0) 1 f (1) 1 f ' (0) 值解得 3 3 6 3 3 6 分 0 1 1 析当 3时 x 3 dx . 而上式右端为1/3，故公式对 f ( x) x 》 4 0
k 0
n
则称求积公式 (1.3) 是稳定的 .
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
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数值积分与微分 摘要本文首先列举了一些常用的数值求积方法，一是插值型求积公式，以Newton Cotes -公式为代表，并分析了复合型的Newton Cotes -公式；另一个是Gauss Ledendre -求积公式，并给出几个常用的Gauss Ledendre -求积公式。
其次，本文对数值微分方法进行分析，主要是差分型数值微分和插值型数值微分，都给出了几种常用的微分方法。
然后，本文比较了数值积分与微分的关系，发现数值积分与微分都与插值或拟合密不可分。
本文在每个方法时都分析了误差余项，并且在最后都给出了MATLAB 的调用程序。
关键词：插值型积分Gauss Ledendre -差分数值微分插值型数值微分 MATLAB一、常用的积分方法计算积分时，根据Newton Leibniz -公式，()()()baf x dx F b F a =-⎰但如果碰到以下几种情况：1）被积函数以一组数据形式表示；2）被积函数过于特殊或者原函数无法用初等函数表示 3）原函数十分复杂难以计算这些现象中，Newton Leibniz -公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法，数值积分是常用的近似计算的方法。
1.1 插值型积分公式积分中的一个常用方法是利用插值多项式来构造数值求积公式，具体的步骤如下： 在积分区间上[,]a b 上取一组节点：01201,,,,()n n x x x x a x x x b ≤<<≤。
已知()k x f 的函数值，作()x f 的n 次插值多项式，则(1)()10()()()()()(1)!n nx n n k k n k f f L x R x f x l x w x n ++==+=++∑其中，()k l x 为n 次插值基函数，则得(1)+10()(()())1 =[()]()[()](1)!bbn n aa nbb n k k n aa k f x dx L x R x dxl x dx f x f x w x dx n ξ+==+++⎰⎰∑⎰⎰（）公式写成一般形式：()()[]nbk k n ak f x dx A f x R f ==+∑⎰其中，01100110()()()()()()()()()bbk k k k aa k k k k k k x x x x x x x x A l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰(1)+11[][()](1)!b n n n aR f f x w x dx n ξ+=+⎰（） 显然，当被积函数f 为次数小于等于n 的多项式时，其相应的插值型求积公式为准确公式，即：()()nbk k ak f x dx A f x ==∑⎰1.1.1 求积公式的代数精度定义：求积公式对于任何次数不大于m 的代数多项式()f x 均精确成立，而对于1()m f x x +=不精确成立，则称求积公式具有m 次代数精度。
定理：含有1n +个节点(0,1,,)k x k n =的插值型求积公式的代数精度至少为n 。
1.2 Newton Cotes -公式 1.2.1 Newton Cotes -公式将积分区间等分，并取分点为求积公式，这样构造出来的插值型求积公式就是Newton Cotes -公式。
()0()()nbn k k ak f x dx b a C f x ==-∑⎰（）其中，()0()nn k k b a b a C =-=-∑且Cotes 系数满足重要的关系式：()0 1 (k=0,1,2,,n)nn kk C==∑1n =时，求积公式为梯形公式（两点公式）： ()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰ 梯形公式具有1阶代数精度，余项为：3()[]() [,]12T b a R f f a b ηη-''=-∈n =2时，求积公式为Simpson 公式(三点公式)：()[()4()()]62b ab a a b f x dx f a f f b -+≈++⎰ Simpson 公式具有3阶代数精度，余项为：5(4)1[]()() [,]902S b a R f f a b ηη-=-∈n =4时，求积公式为Cotes 公式（五点公式）：01234()[7()32()12()32()7()]90b ab a f x dx f x f x f x f x f x -≈++++⎰ 其中，4k b ax a k -=+ Cotes 公式具有5次代数精度，余项为：7(6)8[]()() [,]9454C b a R f f a b ηη-=-∈ 1.2.2 复合Newton Cotes -公式当积分区间过大时，直接使用Newton Cotes -公式所得的积分的近似值很难得到保证，因此在实际应用中为了既能够提高结果的精度，又使得算法简便且容易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。
所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并从每个小区间上用低阶Newton Cotes -公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。
将[,]a b 区间n 等分，记分点为(0,1,,)k x a kh k n =+=，其中，b ah n-=称为步长，然后在每个小区间利用梯形公式，即可导出复合梯形公式：1111()()[()()]2kk nnbx k k ax k k h f x dx f x dx f x f x --===≈+∑∑⎰⎰若将所得积分近似值记为n T ，并注意到0,n x a x b ==，则复合梯形公式为：11()=[()2()()]2n bn k ak hf x dx T f a f x f b -=++∑⎰其余项为：221()()()= () [,]1212n n k T k f b a h b a h R f a b n ηηη-=''--''=--∈∑类似可得复合Simpson 公式：111012()[()4()2()()]6n n bn k ak k k hf x dxS f a f x f x f b --+===+++∑∑⎰其中，1/212k k x x h +=+.其余项为：4(4)()= ()() [,]1802n S b a h R f a b ηη--∈1.2.3 Newton Cotes -公式在MATLAB 中的实现1）复合梯形数值积分：调用形式：Z=trapz(X,Y)其中，X,Y 分别代表数目相同的向量或者数值，Y 与X 的关系可以是函数形态或者离散形态；Z 代表返回的积分值。
2）自适应Simpson 公式基本调用格式：q=quad （fun ，a ，b ，tol ，trace ，p1，p2）其中：fun 代表被积函数；a ，b 为积分的上下限； q 为积分结果；tol 为默认误差限，默认了1.e-6；trace 表示取0表示不用图形显示积分过程，非0表示用图形显示积分过程； p1，p2为直接传递给函数fun 的参数3）自适应Lobatto 法数值积分：quadl （）Quadl 是高阶的自适应Newton Cotes -数值积分法函数，比quad 函数更有效，精度更高，使用方法与quad 完全相同。
1.3 Gauss Ledendre -求积公式1、精度较高Gauss Ledendre -公式（1）Ledendre 多项式。
以Gauss 点k x为零点的n 次多项式：12()()()()n n p x x x x x x x =---上式称为Ledendre 多项式 （2）Gauss Ledendre -求积公式。
以Ledendre 多项式的n 个实根为节点的插值求积公式为Gauss Ledendre -求积公式。
考虑在[1,1]-上Gauss 求积公式的构造 1）一个节点11()2(0)f x dx f -≈⎰2）两个节点二次Ledendre 正交多项式221()(31)2p x x =- 所以两点的Gauss Ledendre -求积公式为：11()f x dx f f -≈⎰对于一般区间的积分，可以用22a b b ax t +-=+将[,]a b 区间转化为[1,1]-，即1111()()222b a a b b af x dx f t dt ---+-=+⎰⎰然后用相应的Gauss Ledendre -求积公式计算。
（3）一般形式的Gauss Ledendre -求积公式为：1()()()nbj j aj w x f x dx A f x =≈∑⎰其中()w x 是一个权重函数，j A 为系数，j x 为横坐标上的节点。
因为()1w x =，所以，一个n 点的求积公式具有如下形式：111()()nj j j f x dx A f x -=≈∑⎰其中，()j f x 是函数()f x 在节点j x 处的值，节点j x 是Ledendre 正交多项式的根。
222[()](1)j nj j A p x x ='-给出x 和A 的表格：2、在MATLAB 中的实现MATLAB 没有提供Gauss Ledendre -的有关计算函数，此处给出一部分的编程代码：function q=gaussL （f ，a ，b ，x ，A ） N=length （x ）； T=zeros （1，N ）； T=（a+b ）/2+((b-a)/2)*x; q=((b-a)/2)*sum(A.*feval(‘f ’.T));其中，f 为被积函数；x 和A 的值可有上表查到。
二、数值微分数值微分的建立常用的三种思路： 1、 直接从微分的定义出发，通过近似的处理（泰勒展开），得到数值微分的近似公式；2、 利用插值的基本思想，采用插值近似公式，对插值公式的近似求导得到原数值微分的近似公式3、根据已知数据，利用最小二乘拟合的方法，得到近似的函数，然后对此近似函数求微分就可以得到数值微分的近似公式。
2.1 差分法近似微分1、计算公式在微积分中，一阶微分的计算可以在相邻点x h +和x 间函数取得极限求得。
000()()()()()()22()lim lim lim h h h h h f x f x f x h f x f x f x h f x h h h→→→+--+---'=== 所以给出下列差分近似式子： 一阶向前差分：()()()f x h f x f x h+-'=一阶向后差分：()()()f x f x h f x h--'=精度较高的一阶中心差分：()()22'()h h f x f x f x h+--=2、在MATLAB 中的实现 调用形式：Y=diff(X,n)其中：X 表示求导变量，可以是向量或者矩阵。