导数练习题带答案

导数及其应用一、选择题1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件2.已知点P1,2是曲线y=2x 2上一点,则P 处的瞬时变化率为A ．2B ．4C ．6D ．213.设函数()f x ＝x3﹣x 2,则)1(f '的值为A ．－1B ．0C ．1D ．54.已知函数⎩⎨⎧>+<+=)0()0(1)(x a x x a x f x ,若)(lim 0x f x →存在,则=-)2('f A.2ln 4 B.45 C.2- D.2ln 415.设球的半径为时间t 的函数()Rt ;若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比,比例系数为CB. 成正比,比例系数为2CC.成反比,比例系数为CD. 成反比,比例系数为2C6.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为43215243s tt t =-+,那么速度为零的时刻是A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末8.下列等于1的积分是A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx⎰1219.11lim 100-+→x x x 的值是A.不存在10.dx e ex x⎰-+1)(=A ．ee 1+ B ．2e C ．e2 D ．ee 1-二、填空题11.设56)1()1()(x x x f -+=,则函数)('x f 中3x 的系数是______________;12.过原点作曲线xey =的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 .13. 曲线y=x 3在点1,1切线方程为 .14.函数x ax ax x f ++=23231)(在R 上单调递增,则实数a 的取值范围为_________．三、解答题15.设函数22)1ln()1()(x x x f +-+= 1求函数)(x f 的单调区间；2若当]1,11[--∈e ex 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围；3若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围;16.设函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>．1若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的取值范围；2若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点,求a 的取值范围；3若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围．17.已知函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.1若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值； 2求函数()f x 的单调区间与极值点; 18.求函数()()()y x a x b x c =---的导数;20.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km 的B 处,乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元,问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省答案一、选择题5.解析:由题意可知球的体积为34()()3V t R t π=,则'2'()4()()c V t R t R t π==,由此可得'4()()()cR t R t R t π=,而球的表面积为2()4()S t R t π=, 所以'2'()4()8()()v S t R t R t R t ππ==表＝, 即''''228()()24()()()()()()c c v R t R t R t R t R t R t R t R t ππ⨯表＝＝＝＝,故选D解析：'2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立,二、填空题12.1,e, e－y －2=014.]41,0[ 三、解答题15.解析：因为xx x f x x x f +-+='+-+=12)1(2)()1ln()1()(22所以1令0120]11)1[(212)1(2)(2>++⇒>+-+=+-+='xx x x x x x x f 12-<<-⇒x 或x >0,所以fx 的单调增区间为－2,－1和0,+∞；…3分令0120]11)1[(212)1(2)(2<++⇒<+-+=+-+='xxx x x x x x f )(,201x f x x 所以或-<<<-⇒的单调减区间－1,0和－∞,－2;……5分 2令201)1(0)(2-==⇒=+⇒='x x x x f 或舍,由1知,fx 连续, 因此可得：fx <m 恒成立时,m>e 2－2 9分3原题可转化为：方程a =1+x －ln1+x 2在区间0,2上恰好有两个相异的实根;且2－ln4<3－ln9<1,∴)(x g 的最大值是1,)(x g 的最小值是2－ln4;所以在区间0,2上原方程恰有两个相异的实根时实数a 的取值范围是： 2－ln4<a ≤3－ln9 ………………… 14分16.解析：1当1a =时32()f x x x x m =+-+,∵()f x 有三个互不相同的零点,∴32()0f x x x x m =+-+=即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根． 令32()g x x x x =--+,则/2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+ ∵()g x 在(,1)-∞-和1(,)3+∞均为减函数,在1(1,)3-为增函数, ∴15()(1)1,()()327g x g g x g =-=-==极小极大 所以m 的取值范围是5(1,)27- ………………4分 2由题设可知,方程/22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根,∴/2/2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-<⎪-=--<⎨⎪>⎩,解得3a > ………8分 3∵/22()323()(),3af x x ax a x x a =+-=-+又0a >,∴当x a <-或3a x >时,/()0f x >；当3aa x -<<时,/()0f x <．∴函数()f x 的递增区间为(,)(,),3a a -∞-+∞和单调递减区间为(,)3a a - 当[]3,6a ∈时, []1,2,33a a ∈-≤-, 又[]2,2x ∈-,∴{}max ()max (2),(2)f x f f =- 而2(2)(2)1640f f a --=-<,∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++, 又∵()1f x ≤在[]2,2-上恒成立,∴2max ()18421f x a a m ≤-+++≤即, 即[]29423,6m a a a ≤--∈在上恒成立．∵2942a a --的最小值为87-, ∴87.m ≤- ………13分17.解析：Ⅰ()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩…………………5分 Ⅱ∵()()()'230f x x a a =-≠,当0a <时,()'0f x >, ()f x 在(),-∞+∞上单调递增,此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.……………12分18.解析：''''()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+---20.解法一：根据题意知,只有点C 在线段AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设C 点距D 点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－x ,∴BC=222240+=+x CD BD又设总的水管费用为y 元,依题意有：y =3a 50－x+5a 2240+x (050)x <<y ′=－3a +22405+x ax ,令y ′=0,解得x =30在0,50上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在x =30km 处取得最小值,此时AC=50－x =20km∴供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省. 解法二：设∠BCD=θ,则BC=θsin 40,CD=)20(,cot 40πθθ<<, θcot 4050-=AC设总的水管费用为f θ,依题意,有fθ=3a 50－40·cot θ+540sin a θ⋅=150a +40a ·θθsin cos 35- ∴f 'θ=40a 22(53cos )sin (53cos )(sin )35cos 40sin sin a θθθθθθθ''-⋅--⋅-⋅=⋅ 令f 'θ=0,得cos θ=53根据问题的实际意义,当cos θ=53时,函数取得最小值,此时sin θ=54,∴cot θ=43,∴AC=50－40cot θ=20km,即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省.。