第01讲 集合(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第01讲 集合(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
高频考点二：集合的基本关系
高频考点三：集合的运算
高频考点四：venn图的应用
高频考点五：集合新定义问题
第五部分：高考真题感悟
第六部分：集合(精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N或N Z Q R
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A，可知1A,在该集合中，6A,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合{,,}Aabc应满足abc.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合{1,2,3,4,5}A和{1,3,5,2,4}B是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）.读作“A真包含于B ”或“B真包含A ”.
（3）相等：如果集合A是集合B的子集（AB，且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即{|,}ABxxAxB且．
（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB，即{|,}ABxxAxB或．
（3）补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UCA，即{|,}UCAxxUxA且．
4、集合的运算性质
（1）AAA，A，ABBA．
（2）AAA，AA，ABBA．
（3）()UACA，()UACAU，()UUCCAA．
5、高频考点结论
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有21n个，非空子集有21n个，非空真子集有22n个．
（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．
（3）UUABABAABBCBCA．
（4）()()()UUUCABCACB,()()()UUUCABCACB．
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合,,,Aabcd的子集共有8个 ( )
【答案】错误
集合,,,Aabcd的子集共有4216个，
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合1,2,3,4,5和5,4,3,2,1表示同一个集合( )
【答案】√
由集合相等的定义可知，集合1,2,3,4,5和5,4,3,2,1表示同一集合.
故答案为：√.
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件11,2,3M的集合M的个数是2个.( )
【答案】正确
因11,2,3M，则{2,3}M或{1,2,3}M， 第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
所以的集合M的个数是2个.
故答案为：正确
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合20Mxxx∣，则1M.( )
【答案】正确
因为200,1Mxxx∣
所以1M
5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件11,2,3M的集合M的个数是3 ( )
【答案】错误
因集合M满足11,2,3M，于是得{2,3}M或{1,2,3}M，即符合条件的集合M有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误
二、单选题
1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合21Axyx，集合21Byyx，则AB（ ）
A．0 B．|1xx C．|1xx D．R
【答案】B
由题意，集合AR，|1Byy，∴|1xxAB.
故选：B.
2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合22,531,Aaa，，5,9,1,4Baa，若4AB，则实数a的取值的集合为（ ）
A．1,2,2 B．1,2 C．1,2 D．1
【答案】D
集合22,531,Aaa，，5,9,1,4Baa，
又4AB∴314a或24a，解得1a或2a或2a，
当1a时，{2,5,4,1A，{6,9,0,4B，4AB，符合题意；
当2a时，{2,5,7,4A，{7,9,1,4B，7,4AB，不符合题意；
当2a时，{2,5,5,4A，{3,9,3,4B，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
1a，则实数a的取值的集合为1.
故选：D.
3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合1Axx，260Bxxx，则RAB（ ）
A．13xx B．12xx C．3xx D．2xx
【答案】C
二次不等式求出集合B，进而求出BR，RAB.
【详解】
由题意可得:23Bxx，则2RBxx或3x，故R3ABxx．
故选：C
4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A．(UB)A B．(UA)B C． UAB D．(UAB)
【答案】A
由图可知阴影部分属于A，不属于B，
故阴影部分为 UBA，
故选：A.
高频考点一：集合的基本概念
1．（2020·重庆·一模（理））已知集合2|280,AxZxx2|BxxA，则B中元素个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
2|280|42{3,2,1,0,1}AxZxxxZx，
2|{0,1,4,9}BxxA，B中元素个数为4个.
故选:A.
本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.
2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合2,(R)Axxx，若1A，则x___________.
【答案】1
2,(R)Axxx，1A，
则1x或21x，
解得1x或1x， 第四部分：典 型 例 题 剖 析
当1x时，集合A中有两个相同元素，（舍去），
所以1x.故答案为：1
3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
共6 个．故选B
4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合2*|70,AxxxxN，则*6|,ByNyAy中元素的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.
考点：集合的表示
5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合1,0,1A，,|,,xBxyxAyAyN，则集合B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
因为xA，yA，xyN，
所以满足条件的有序实数对为1,1，0,1，0,1，1,1．
故选:B.
【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.
6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：,,ABzzxyxAyB，设{1,2}A，{1,2,3}B，则集合AB的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
由题设知：{1,2,3,4,6}AB，
∴所有元素之和1234616.故选：A.
研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后
再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.
2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)
2021年新高考数学一轮专题复习
第01讲集合
一、考情分析
1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语
言的基础上，用符号语言刻画集合；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含
义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个
子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的
基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
二、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
文字语言符号语言
集合间的
基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B
子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集
合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA
空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集
符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A
的补集为∁
UA
图形表示
集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁
UA)＝，A∪(∁
UA)＝U，∁
U(∁
UA)＝A.
[方法技巧]
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n
个，真子集有2n
－1个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁
UA⊇∁
UB.
4.∁
U(A∩B)＝(∁
UA)∪(∁
UB)，∁
U(A∪B)＝(∁
UA)∩(∁
UB).
三、经典例题
考点一集合的基本概念
【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题35：空间直线、平面的平行(含详解)
专题35：空间直线、平面的平行
精讲温故知新
一、直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号： ////abaab
例1：（2022·全国·高考真题）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E是PB的中点．
(1)证明：//OE平面PAC；
举一反三
1.（多选）（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是（ ）
A．B．C． D．
2.（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB平面11ABBA，2ABBC，M，N分别为11AB，AC的中 点．
(1)求证：MN∥平面11BCCB；
二．直线和平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: aaabb
例2：（2020·全国·高考真题（文））如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
举一反三
1．（2011·福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． 2.（2014·安徽·高考真题（文））如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面. 证明：
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题52：列联表独立性检验(讲解版)
专题52：列联表独立性检验
精讲温故知新
1. 数值变量与分类变量
数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．
分类变量：这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．
注意点：
分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1,0表示，学生的班级可以用1,2,3来表示．这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义．分类变量是相对于数值变量来说的．
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量才是分类变量．
2：列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1 y2 总计
x1 a b
a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 分类变量与列联表的实际应用
利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将aa＋b与cc＋dba＋b与dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．4. 独立性检验的理解 1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
2．χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.
注意点：
(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．
(2)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
2023年高考数学一轮复习精讲精练第18练 等差数列及其求和(解析版)
第18练 等差数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．在公差不为零的等差数列na中，若1233++maaaa，则m（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
∵2132+aaa，则12323++3maaaaa
∵2m
故选：B．
2．2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
【答案】D
【详解】
设每秒钟通过的路程构成数列na，
则na是首项为2，公差为2的等差数列，
由求和公式有221380nnnnn，
解得19n．
故选：D.
3．已知在等差数列na中，4820aa,712a，则9a=（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【详解】
设公差为d，
则1113720612adadad，解得102ad，
所以91816aad.
故选：D.
4．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（ ）
A．2022年10月底 B．2022年9月底
C．2022年8月底 D．2022年7月底
【答案】B
【详解】
由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40，
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题08：函数值域的常见求法(讲解版)
专题08：函数值域的常见求法
精讲温故知新
一 求函数值：特别是分段函数求值
例1 已知函数11,1()2,1xfxxxax在R上满足：对任意12xx，都有12fxfx，则实数a的取值范围是（ ）
A．(,2] B．(,2] C．[2,) D．[2,)
【答案】C
【分析】
根据题意，得到11,1()2,1xfxxxax在R上单调递减，进而可求出结果.
【详解】
由题意，得到11,1()2,1xfxxxax在R上单调递减，
因此只需112a，解得2a.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.
二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法 （4）配方法
（5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）
（7）分离常数法 （8）判别式法
（9）复合函数法 （10）不等式法
（11）平方法等等
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 1.利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；
二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，
当a>0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a<0时，值域为{abacyy4)4(|2}.
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题33：空间几何体(练习版)
专题33：空间几何体
精讲温故知新
一．空间几何体的结构
1. 多面体
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2. 旋转体
一条平面曲线，包括直线，绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面。封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。
3. 棱柱
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形，其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形，相邻两边的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱。
一般地，我们把侧面垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧面不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的，直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱，也叫做平行六面体。
4. 棱锥
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，相邻两边的公共边叫做棱锥的侧棱，这侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。棱锥，用表示顶点和各面各顶点的字母来表示，其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。
5. 棱台
用一个平行于圆锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台。在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面面，类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱和顶点。
6. 圆柱
与矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面，叫做圆柱的底面，平行的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，平行于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：基本不等式(含新定义解答题) (分层精练)
基本不等式(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·山西长治·高一校联考期末）当0x时，2
21
x
x的最小值为（）
A．1
2B．1C．2D．22
【答案】C
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由0x，可得20x，则22
2211
22xx
xx，
当且仅当2
21
x
x时，即1x时，等号成立，故2
21
x
x的最小值为2．
故选：C．
2．（2024上·广东潮州·高一统考期末）设0x，则函数225xx
y
x
的最小值为（）
A．6B．7C．10D．11
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解可得答案.
【详解】0x>，2252525
12111xx
yxx
xxx
，
当且仅当25
x
x，即5x时，等号成立，
所以函数225xx
y
x
的最小值为11，
故选：D.
3．（2024上·山东青岛·高一统考期末）已知x，y为正实数，则2yx
xy的最小值为（）
A．1B．2C．2D．22
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为x，y为正实数，则22
222yxyx
xyxy，
当且仅当2yx
xy，即2xy时，等号成立，
所以2yx
xy的最小值为22.
故选：D.
4．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知正数a，b满足21ab，则（）
A．1
8abB．1
8abC．1
0
8abD．1
0
8ab
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【详解】由题意得，0,0ab，则0ab，2122abab，即1
0
8ab，
当且仅当2ab，即11
,
24ab时等号成立.
故选：C
5．（2024上·山东滨州·高三统考期末）若不等式240xax对任意1,3x恒成立，则实
数a的取值范围是（）
A．0,4B．,4C．13
,
3D．,5
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题22：常见数列的通项求法(讲解版)
专题22：常见数列的通项求法
精讲温故知新
一、知能要点
1、求通项公式的方法：
(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；
(2)利用前n项和与通项的关系an＝ S1Sn－Sn－1 n＝1，n≥2；
(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；
(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)， 累积法，如an＋1an＝f(n)；
(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．
一，观察法求通项
例1：（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）数列1，3，5，7，9，，的一个通项公式为（ ）
A．21nan B．(1)(12)nnan
C．(1)(21)nnan D．1(1)(21)nnan
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列每项的绝对值组成等差数列进行求解即可.
【详解】
∵数列{an}各项值为1，3，5，7，9，，
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1
又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）.
故选：C
举一反三
（2022·陕西咸阳·三模（文））观察下列等式
111341359135716照此规律，第n个等式为______．
【答案】213521nn【解析】 【分析】
由已知等式结合等差数列的定义写出左侧表达式，再由右侧与行数的关系写出右侧表达式，即可确定第n个等式.
【详解】
由已知等式，对于第n行有：
左侧是首项为1，公差为2的等差数列前n项和，左侧可写为1...(21)n，
右侧随行数n增大依次为2222211,42,93,164,...,n，
所以第n个等式为21...(21)nn.
故答案为：21...(21)nn
二，公式法求通项
1、等差数列公式 11naand 推论公式：
第03讲 基本不等式(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第03讲 基本不等式 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
②“1”的代入法
③二次与二次（一次）商式（换元法）
④条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第03讲 基本不等式 （精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果0a，0b，2abab，当且仅当ab时，等号成立．
②其中ab叫做正数a，b的几何平均数；2ab叫做正数a，b的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①222abab（,abR）当且仅当ab时，等号成立．
②2()2abab（,abR）当且仅当ab时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知x，y是正数，如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy时，和xy有最小值2P；
②已知x，y是正数，如果和xy等于定值S，那么当且仅当xy时，积xy有最大值24S；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：1123xxaaaxaxaxa；
凑系数，例：2112121112212022282xxxxxxx；
②拆：例：224444224244822223xxxxxxxxx；
③除：例：2221011xxxxx；
④1的代入：例：已知0,0,1abab，求11ab的最小值.
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题50：正态分布(练习版)
专题50：正态分布
精讲温故知新
1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫做密度函数；
身高/cm频率/组距0.080.040.020.06150155160165170175180显然，如果连续型随机变量x的密度函数是()fx，则：
()()baPaxbfxdx；()1fxdx；
()()aPxafxdx；()()aPxafxdx；
2、正态分布的定义：如果连续型随机变量x的密度函数是：22()21()2xfxe；则称随机变量x服从正态分布，记为：2(,)xN；
3、正态分布曲线的特点：
（1）整条曲线都在x轴的上方，即()0fx对xR恒成立；
（2）x是他的对称轴，当,x时，函数()fx单调递增；当[,)x时，函数()fx单调递减；在x时取得最大值；
（3）正态分布曲线的两个主要参数,的几何学意义：
参数决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数
决定数据的离散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是：越大，数据越离散，曲线越矮越胖；越小，数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数称为形状参数；
1、 正态分布的期望与方差：若2(,)xN
期望：()Ex； 方差：2()Dx；
2、 正态分布的3原则：
（1）()0.6826Px；
（2）(22)0.9544Px；
（3）(33)0.9974Px；
3、标准正态分布：若(0,1)xN，则称随机变量x服从标准正态分布；
4、正态分布2(,)xN与标准正态分布之间的转化关系：