专题04分式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案04 分式考点课标要求考查角度1分式的概念①了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会确定使分式有意义的字母的取值范围；②会求分式值为零时x的值．考查分式的意义和分式值为零的情况．常以选择、填空题为主．2分式的运算①掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分；②能熟练地进行分式的加、减、乘、除运算及混合运算，并能解决相关的化简求值问题．考查分式的基本性质和分式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1．分式：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．分式AB中，A叫做分子，B叫做分母．三个条件缺一不可：①是形如AB的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．特别说明：11aa-+也可以表示为(a-1)÷(a+1)，但(a-1)÷(a+1)不是分式，因为它不符合AB的形式．判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．比如，4aa就是分式．2．有意义的条件：分母B的值不为零(B≠0).3. 分式的值为零的条件：当分子为零，且分母不为零时，分式的值为零．(A=0且B≠0)【例1】（2022•怀化）代数式25x，1π，224x+，223x-，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式AB叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：22 4x+，1x，12xx++，整式有：25x，1π，223x-，分式有3个，故选：B．知识点1：分式的相关概念知识点梳理典型例题【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键，注意π是数字． 【例2】（2022•凉山州）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3B ．x ≠－3C ．x ≠3D ．x ≠0【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3＋x ≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 3＋x ≠0， ∴x ≠－3， 故选：B ．【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【例3】（2022•广西）当x ＝ 时，分式22xx +的值为零． 【考点】分式的值为零的条件【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x ＝0且x ＋2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2x ＝0且x ＋2≠0， ∴x ＝0且x ≠－2， ∴当x ＝0时，分式22xx +的值为零， 故答案为：0．【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．1．分式的基本性质：A A MB B M⨯=⨯，A A M B B M ÷=÷ （M 为不等于零的整式）． 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．知识点2：分式的基本性质知识点梳理3．最简分式：分子与分母没有 公因式 的分式叫做最简分式．4．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的同分母的分式，叫做分式的通分．5. 最简公分母：几个分式中，各分母的所有因式的最高次幂的积．6. 变号法则：A A A AB B B B--=-=-=--．【例4】（3分）（2020•河北7/26）若a ≠b ，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a a b b+=+ B ．22a ab b-=- C ．22a ab b= D ．1212aa b b = 【考点】分式的基本性质【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵a ≠b ， ∴22a ab b+≠+，故选项A 错误； 22a ab b-≠-，故选项B 错误； 22a ab b≠，故选项C 错误； 1212aa b b =，故选项D 正确； 故选：D ．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【例5】若把分式3xyx y-（x ，y 均不为0）中的x 和y 都扩大3倍，则原分式的值是（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小至原来的13C ．不变D ．缩小至原来的16典型例题【分析】若把分式3xyx y-（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3，故原分式的值扩大了3倍．故选A．【答案】A．【例6】下列分式变形中，正确的是（）A．22a ba ba b+=++B．1x yx y-+=-+C．a amb bm=D．32()()n mn mm n-=--【例7】约分：2332415a ba b-=（）A．85baB．285ba-C．85ba-D．283ab11112242222(2)(2)(2)(2)x x B x x x x x x x x ---=+=-==-+-+-+-+-， 故A ＝-B. 【答案】C ．1．分式的乘除法： （1）乘法法则：(0)a c acbd b d bd=≠； （2）除法法则：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝adbc .(bcd ≠0)2．分式的加减法： （1）同分母分式相加减：a b a bc c c±±=(c ≠0) （2）异分母分式相加减：a b ±c d ＝ad ±bcbd.(bd ≠0)3. 分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (n 为整数，b ≠0)4. 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，如果有括号，先算括号里面的．①实数的各种运算律也适用于分式的运算；②分式运算的结果要化成最简分式或整式．【例9】（2022•济南）若m －n ＝2，则代数式222m n mm m n-⋅+的值是（ ） A ．－2B ．2C ．－4D ．4【考点】分式的乘除法【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把m －n 的值代入计算即可． 【解答】解：原式()()2m n m n mm m n+-=⋅+ ＝2(m －n )．知识点3：分式的运算知识点梳理典型例题当m －n ＝2时．原式＝2×2＝4． 故选：D ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【例10】（2022•山西）化简21639a a ---的结果是（ ） A ．13a + B ．a －3 C ．a ＋3 D ．13a - 【考点】分式的加减法【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：21639a a --- 36(3)(3)(3)(3)a a a a a +=-+-+- 36(3)(3)a a a +-=+-3(3)(3)a a a -=+-13a =+， 故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键． 【例11】（3分）（2021•包头14/26）化简：2211()422m m m m +÷=--+ ． 【考点】分式的混合运算【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式2(2)(2)(2)(2)m m m m m -+=⋅++-2=12m m -=-．故答案为1．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【例12】（5分）（2021•重庆B 卷19（2）/26）计算：22293()211x x x x x x --÷++++． 【考点】分式的混合运算【分析】先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．【解答】解：原式222(3)(3)3()(1)11x x x x x x x x +-+-=÷++++2(3)(3)3(1)1x x x x x +-+=÷++ 2(3)(3)1(1)3x x x x x +-+=⋅++ 31x x -=+． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．【例13】（6分）（2020•安徽17/23）观察以下等式： 第1个等式：121(1)2311⨯+=-，第2个等式：321(1)2422⨯+=-，第3个等式：521(1)2533⨯+=-，第4个等式：721(1)2644⨯+=-．第5个等式：921(1)2755⨯+=-．⋯按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的等式表示），并证明． 【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；（2）把上面发现的规律用字母n 表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【解答】解：（1）第6个等式：1121(1)2866⨯+=-； （2）猜想的第n 个等式：2121(1)22n n n n-⨯+=-+． 证明：∵左边21221122n n n n n n n-+-=⨯==-=+右边， ∴等式成立． 故答案为：1121(1)2866⨯+=-；2121(1)22n n n n-⨯+=-+．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．1. 分式的化简求值：分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0．灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式．化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义．2. 分式的自选代值：分式的化简求值题型中，自选代值多会设“陷阱”，因此代值时要注意：当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为0；当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为0，还要使除式不为0．【例14】（2022•内蒙古）先化简，再求值：2344(1)11x x x x x -+--÷--，其中x ＝3． 【考点】分式的化简求值【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可． 【解答】解：原式223(1)11(2)x x x x ---=⋅-- 2(2)(2)11(2)x x x x x +--=-⋅-- 22x x +=--， 当x ＝3时， 原式3232+=-- ＝－5． 【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简． 【例15】（2022•菏泽）若a 2－2a －15＝0，则代数式244()2a a aa a --⋅-的值是 ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再把相应的值代入运算即可．知识点4：分式的化简求值知识点梳理典型例题【解答】解：244()2a a a a a --⋅- 22442a a a a a -+=⋅- 22(2)2a a a a -=⋅- 22a a =-，∵a 2－2a －15＝0， ∴a 2－2a ＝15， ∴原式＝15． 故答案为：15．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【例16】（2022•黄石）先化简，再求值：2269(1)11a a a a +++÷++，从－3，－1，2中选择合适的a 的值代入求值． 【考点】分式的化简求值【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式23(3)11a a a a ++=÷++ 2311(3)a a a a ++=⋅++ 13a =+， 由分式有意义的条件可知：a 不能取－1，－3， 故a ＝2， 原式11235==+． 【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例17】（3分）（2019·河北省13/26）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1+441x x x x +-++的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【考点】分式的加减法，化简求值．【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x 为正整数，从所给图中可得正确答案．【解答】解：∵22(2)+44x x x ++﹣11x +＝22(2)(2)x x ++﹣11x +＝1﹣11x +＝1x x +又∵x 为正整数，∴12≤1xx +＜1 故表示22(2)+44x x x ++﹣11x +的值的点落在②故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa +4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅= 巩固训练C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a ba- C ．aa b+ D ．224aa b -7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )AB ．CD ．10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 ． 11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 ． 12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 ． 13．（2022•襄阳）化简分式：ma mba b a b+=++ ． 14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- ． 15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = ．16．（2022•包头）计算：222a b aba b a b -+=-- ． 17．（2022•苏州）化简2222x xx x ---的结果是 ． 18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ ．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ ． 20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= ．21．（2022•黔西南州）计算：2x y yx y x y+-=-- ． 22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 ． 23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- ． 24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- ． 25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x --⋅=+ ．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ ．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -． （2）化简：21111a a a -+-+． 29．（2022•临沂）计算： （1）34112()963-÷⨯-；（2）1111x x -+-． 30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）． （2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--．32．（2022•重庆）计算： （1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒； （2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+（2）22244(1)x x x x +++÷．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+；（2）化简：11(1)()a a a-÷-．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务． 212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ． ②第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果． 38．（2022•南通）（1）计算：22242a a aa a a -⋅+-+；（2）解不等式组：211418x x x x ->+⎧⎨-+⎩．39．（2022•西藏）计算：222242a a a a a a +⋅---． 40．（2022•兰州）计算：21()(1)x x x x ++÷．41．（2022•大连）计算：2224214424x x x x x x x -+÷--+-．42．（2022•十堰）计算：2222()a b b aba a a--÷+．43．（2022•常德）化简：231(1)22a a a a a +--+÷++． 44．（2022•陕西）化简：212(1)11a aa a ++÷--． 45．（2022•泰安）（1）化简：244(2)24a a a a ---÷--； （2）解不等式：5231234x x -+->． 46．（2022•江西）以下是某同学化简分式2113()x +-÷的部分运算过程： （1）上面的运算过程中第 步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程．47．（2022•甘肃）化简：22(3)3322x x x x x x ++÷-++．48．（2022•泸州）化简：22311(1)m m m m m-+-+÷． 49．（2022•重庆）计算： （1）2(2)(4)x x x ++-；（2）22(1)2a a b b b--÷．50．（2022•阜新）先化简，再求值：22691(1)22a a a a a -+÷---，其中4a =．51．（2022•辽宁）先化简，再求值：22221124()11x x x x x x x -+--÷-++，其中6x =． 52．（2022•福建）先化简，再求值：211(1)a a a-+÷，其中21a =+．1．（2022•德阳）下列计算正确的是( ) A ．222()a b a b -=- B ．2(1)1-= C ．1a a a a÷⋅= D ．233611()26ab a b -=-【考点】算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；分式的乘除法【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．【解答】解：A ．222()2a b a ab b -=-+，故A 选项错误，不符合题意；2.(1)11B -==，故B 选项正确，符合题意；C ．1111a a a a a÷⋅=⨯=，故C 选项错误，不符合题意； D ．233611()28ab a b -=-，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算． 2．（2022•天津）计算1122a a a ++++的结果是( ) A ．1B ．22a + C ．2a + D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：原式112a a ++=+ 22a a +=+ 1=．故选：A ．【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．巩固训练解析3．（2022•眉山）化简422a a +-+的结果是( ) A ．1B ．22a a +C ．224a a -D ．2aa + 【考点】分式的加减法【分析】先通分，根据分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：422a a +-+ 24422a a a -=+++ 22a a =+． 故选：B ．【点评】本题考查了分式的加减法，把2a -看成分母是1的分数进行通分是解题的关键． 4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式111()v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像)到镜头的距离．已知f ，v ，则(u = )A ．fvf v- B ．f vfv- C ．fvv f- D ．v ffv- 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的基本性质，把等式111()v f f u v=+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【解答】解：111()v f f u v=+≠， 111f u v =+， 111u f v =-， 1v fu fv -=， fvu v f=-． 故选：C ．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 5．（2022•内蒙古）下列计算正确的是( ) A ．336a a a +=B ．1a b a b÷⋅=C ．22211a a a -=--D ．3325()b b a a=【考点】合并同类项；分式的混合运算【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可． 【解答】解：3332a a a +=，故A 错误，不符合题意； 2111aa b a b b b b÷⋅=⋅⋅=，故B 错误，不符合题意； 22222(1)21111a a a a a a a ---===----，故C 正确，符合题意； 3326()b b a a=，故D 错误，不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．6．（2022•威海）试卷上一个正确的式子11()a b a b +÷+-★2a b=+被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) A ．aa b- B ．a b a- C ．aa b+ D ．224aa b- 【考点】分式的混合运算【分析】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+，再根据分式的运算法则进行计算即可； 【解答】解：11()a b a b +÷+-★2a b=+， ∴被墨汁遮住部分的代数式是112()a b a b a b+÷+-+ ()()2a b a b a ba b a b -+++=⋅+- 212a a b =⋅- aa b=-； 故选：A ．【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．7．（2022•玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【考点】数轴；分式的化简求值【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断． 【解答】解：原式22(2)(2)2(2)x x x x x +-=-++ 2222x x x x -=-++ 2(2)2x x x --=+222x x x -+=+22x x +=+ 1=，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在如图数轴上的范围是②． 故选：B ．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．（2022•河北）若x 和y 互为倒数，则11()(2)x y y x+-的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】分式的化简求值【分析】根据x 和y 互为倒数可得1xy =，再将11()(2)x y y x+-进行化简，将1xy =代入即可求值． 【解答】解：x 和y 互为倒数，1xy ∴=， 11()(2)x y y x +-1212xy xy=-+-21121=⨯-+- 2121=-+-2=．故选：B ．【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．9．（2022•南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111()()a b a b+÷-的值是( )A B ．C D ．【考点】分式的化简求值【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由223a b ab +=，得出2()5a b ab +=，2()a b ab -=，由0a b >>，得出a b +a b -=可得出答案．【解答】解：2221111()()a b a b+÷-2222222()a b b a a b a b +-=÷ 22222()()()a b a b a b b a b a +=⋅+- a ba b+=--， 223a b ab +=，2()5a b ab ∴+=，2()a b ab -=， 0a b >>，a b ∴+a b -=a b a b +∴-===-， 故选：B ．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是解决问题的关键． 10．（2022•南通）分式22x -有意义，则x 应满足的条件是 2x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可． 【解答】解：分母不等于0，分式有意义，20x ∴-≠，解得：2x ≠，故答案为：2x ≠．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．11．（2022•湖北）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 1x ≠ ． 【考点】分式有意义的条件【分析】根据分式有意义的条件可知10x -≠，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．12．（2022•湖州）当1a =时，分式1a a+的值是 2 ． 【考点】分式的值【分析】把1a =代入分式计算即可求出值．【解答】解：当1a =时， 原式1121+==． 故答案为：2．【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022•襄阳）化简分式：ma mb a b a b+=++ m ． 【考点】分式的加减法【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式ma mb a b +=+ ()m a b a b +=+ m =，故答案为：m ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算，本题属于基础题型．14．（2022•益阳）计算：2211a a a -=-- 2 ． 【考点】分式的加减法 【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式221a a -=- 2(1)1a a -=- 2=．故答案为：2【点评】本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．15．（2022•张家界）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S = 201182． 【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 25511131234242212222a ===⨯+-⨯⨯⨯++； 37711131345602331232a ===⨯+-⨯⨯⨯++； ⋯，2111131(1)(2)2122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++， 当12n =时， 原式11111113111(1...)(...)(...)22312231323414=++++++++-⨯+++ 201182=， 故答案为：201182． 【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．16．（2022•包头）计算：222a b ab a b a b-+=-- a b - ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，分子分解因式后，一定要约分．【解答】解：原式222a ab b a b-+=- 2()a b a b-=- a b =-，故答案为：a b -．【点评】本题考查了分式加减法，熟练运用同分母分式加减法法则是解题关键．17．（2022•苏州）化简2222x x x x ---的结果是 x ． 【考点】分式的加减法【分析】依据同分母分式的加减法法则，计算得结论．【解答】解：原式222x x x -=- (2)2x x x -=- x =．故答案为：x ．【点评】本题考查了分式的减法，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．18．（2022•衡阳）计算：2422a a a +=++ 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的加法计算即可．【解答】解：2422a a a +++ 242a a +=+ 2(2)2a a +=+ 2=，故答案为：2．【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．19．（2022•怀化）计算5322x x x +-=++ 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：原式532x x +-=+ 22x x +=+ 1=．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2022•温州）计算：22x xy xy x xy xy+-+= 2 ． 【考点】分式的加减法【分析】根据同分母分式的运算法则运算即可．【解答】解：原式22x xy xy x xy++-=， 2xy xy=， 2=．故答案为：2．【点评】本题主要考查了分式的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．21．（2022•黔西南州）计算：2x y y x y x y+-=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】利用分式的减法法则，化简得结论．【解答】解：原式2x y y x y +-=- x y x y -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查了分式的减法，题目比较简单，掌握分式的减法法则是解决本题的关键．22．（2022•武汉）计算22193x x x ---的结果是 13x + ． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再加减．【解答】解：原式23(3)(3)(3)(3)x x x x x x +=-+-+- 23(3)(3)x x x x --=+-3(3)(3)x x x -=+- 13x =+． 故答案为：13x +． 【点评】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减法法则，是解决本题的关键．23．（2022•淄博）计算：2211x x x+=-- 2- ． 【考点】分式的加减法【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．【解答】解：原式2211x x x =--- 221x x -=- 2(1)1x x --=- 2=-，故答案为：2-．【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．24．（2022•湘西州）计算：111x x x -=-- 1 ． 【考点】分式的加减法【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．【解答】解：原式11x x -=- 1=．故答案为：1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．25．（2022•沈阳）化简：211(1)1x x x--⋅=+ 1x - ． 【考点】分式的混合运算【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：211(1)1x x x--⋅+11(1)(1)1x x x x x +-+-=⋅+ (1)(1)1x x x x x+-=⋅+ 1x =-，故答案为：1x -．【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．26．（2022•自贡）化简：223424432a a a a a a --⋅+=++-+ 2a a + ． 【考点】分式的混合运算【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．【解答】解：223424432a a a a a a --⋅+++-+ 23(2)(2)2(2)32a a a a a a -+-=⋅++-+ 2222a a a -=+++ 2a a =+， 故答案为：2a a +． 【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确因式分解的方法和分式加法的运算法则．27．（2022•台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 5 ．【考点】合并同类项；分式的化简求值【分析】先将题目中的分式化简，然后令化简后式子的值为1-，求出相应的x 的值即可．【解答】解：314x x -+-344x x x -+-=- 14x=-， 当114x =--时，可得5x =， 检验：当5x =时，40x -≠，∴图中被污染的x 的值是5，故答案为：5．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．28．（2022•衢州）（1）因式分解：21a -．（2）化简：21111a a a -+-+． 【考点】分式的加减法；因式分解-运用公式法【分析】（1）应用因式分解-运用公式法，平方差公式进行计算即可得出答案；（2）运算异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进行计算即可得出答案．【解答】解 （1）21(1)(1)a a a -=-+；（2）21111211111a a a a a a -+=+=-++++． 【点评】本题主要考查了分式的加减法及因式分解-运用公式法，熟练掌握分式的加减法及因式分解-运用公式法的方法进行求解是解决本题的关键．29．（2022•临沂）计算：（1）34112()963-÷⨯-； （2）1111x x -+-． 【考点】有理数的混合运算；分式的加减法【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式9128()466=-⨯⨯- 91846=⨯⨯3=；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x --+=+- 221x -=- 221x =-． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．30．（2022•舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，⋯⋯ （1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【考点】规律型：数字的变化类；分式的加减法【分析】（1）观察已知等式，可得规律，用含n 的等式表达即可；（2）先通分，计算同分母分式相加，再约分，即可得到（1）中的等式．【解答】解：（1）观察规律可得：1111(1)n n n n =+++； （2）111(1)n n n +++ 1(1)(1)n n n n n =+++ 1(1)n n n +=+ 1n=， ∴1111(1)n n n n =+++． 【点评】本题考查探索规律及分式的运算，解题的关键是观察得到已知等式中的规律．31．（2022•连云港）化简221311x x x x -+--． 【考点】分式的加减法【分析】先通分，再计算通分母分式加减即可．【解答】解：原式213(1)(1)(1)(1)x x x x x x x +-=++-+- 221(1)(1)x x x x -+=+- 2(1)(1)(1)x x x -=+-11x x -=+． 【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的通分是解题关键．32．（2022•重庆）计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244(1)24m m m m m -+-÷+-． 【考点】单项式乘多项式；平方差公式；分式的加减法【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）()()(2)x y x y y y +-+-2222x y y y =-+-22x y =-；（2）原式22(2)2(2)(2)m m m m m m +--=÷+-+ 2222m m m +=⋅+- 22m =-． 【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．33．（2022•德州）（1）化简：52(2)23m m m m -+-⋅--； （2）解方程组：43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩． 【考点】解二元一次方程组；分式的混合运算【分析】（1）先通分，把能分解的因式进行分解，再进行约分即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【解答】解：（1）52(2)23m m m m -+-⋅-- 245223m m m m ---=⋅-- (3)(3)223m m m m m -+-=⋅-- 3m =+；（2）43253x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ②2⨯得：4106x y -=-③，①-③得：99y =，解得1y =，把1y =代入①得：413x -=，解得1x =，故原方程组的解是：11x y =⎧⎨=⎩． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握．34．（2022•淮安）（1）计算：0|5|(32tan 45-+-︒；（2）化简：23(1)93a a a ÷+--． 【考点】零指数幂；分式的混合运算；实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法；（2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法．【解答】解：（1）原式5121=+-⨯512=+-4=；（2）原式(3)(3)3a a a a a =÷+-- 3(3)(3)a a a a a -=⨯+- 13a =+． 【点评】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．35．（2022•徐州）计算：（1）202211(1)3|()3--+-+ （2）22244(1)x x x x +++÷．【考点】负整数指数幂；实数的运算；分式的混合运算【分析】（1）根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；（2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．【解答】解：（1）202211(1)3|()3--+-1333=++4=；（2）22244(1)x x x x +++÷ 222(2)x x x x +=⋅+ 2x x =+． 【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022•镇江）（1）计算：11()tan 451|2--︒+； （2）化简：11(1)()a a a-÷-． 【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】（1）利用负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则计算即可；（2）利用分式的混合运算来做即可．【解答】解：（1）原式211=-=（2）原式211()()a a a a a a=-÷- 211a a a a -=⨯- 1(1)(1)a a a -=-+ 11a =+． 【点评】本题考查了实数的运算和分式的混合运算，做题关键要掌握负整数指数幂的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的法则、通分、约分．37．（2022•宁夏）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅⋯--第一步 22242x x x x ---=⋅⋯-第二步 22(2)(2)2x x x --=⋅⋯+-第三步 12x =-⋯+第四步 任务一：填空①以上化简步骤中，第 一 步是通分，通分的依据是 ．②第 步开始出现错误，错误的原因是 ．任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．【考点】分式的混合运算；通分【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质． ②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．故答案为：①一，分式的性质．②二，去括号没有变号．任务二：212()422x x x x -÷-+- 2222()442x x x x x --=-⋅-- 22242x x x x -+-=⋅- 22(2)(2)2x x x -=⋅+- 12x =+． 【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．38．（2022•南通）（1）计算：22242a a a a a a -⋅+-+；。
第04讲 分式及其运算(解析版)-备战2021年中考数学考点精讲精练(全国通用)
第四讲 分式及其运算考点1 分式的概念及性质1.分式的定义：形如A B(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B≠0)的式子叫分式，其中A 叫分子，B 叫分母． 2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式．3．有理式：整式和分式统称为有理式．4 分式基本性质a×m b×m ＝a b ，a÷m b÷m ＝a b(m≠0)． 5．通分的关键是确定几个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式． 考点2 分式的运算和化简1. 同分母分式加减b a ±c a ＝b±c a. 2. 异分母分式加减通过通分转化为同分母分式加减，即b a ±d c ＝bc±ad ac. 2.分式的乘除：b a ×d c ＝bd ac ，b a ÷d c ＝bc ad ，⎝⎛⎭⎫a b n ＝a n b n . 3．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的．分式运算的结果要化成整式或最简分式．分式的概念及性质与分式有关的“五个条件”的字母表示：(1)分式A B无意义时，B ＝0； (2)分式A B有意义时，B≠0； (3)分式A B的值为零时，A ＝0且B≠0； (4)分式A B 的值为正时，A ，B 同号，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＞ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＜ 0； (5)分式A B 的值为负时，A ，B 异号，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＜ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＞ 0. 【例1】（2020•太原二模）阅读材料，完成下列任务：任务： （1）将部分分式分解；（2）已知部分分式分解的结果是，则的值为 1 ．【解答】解：（1）24(4)x x x x -=-，设，去分母，得，整理，得，所以，，解得，，所以，，即．（2）(1)(2)(2)(1)M x N x x x -++=+- ，，，1M N ∴+=，故答案为：1．【变式1-1】（2020•东海县二模）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 ．【解答】解：要使代数式在实数范围内有意义，必须，解得：，故答案为：．【变式1-2】（2020•雅安）分式，则的值是A．1B．C．D．0【解答】解：分式，且，解得：．故选：．【变式1-3】（2020•市中区二模）若分式的值为0，则的值为2．【解答】解：由题意可知：，解得：，故答案为：2．【变式1-4】（2020•河北）若，则下列分式化简正确的是A．B．C．D．【解答】解：，，故选项错误；，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；故选：．【变式1-5】（2019•淄川区二模）下列运算中，不正确的是A．B．C．D．【解答】解：、，故原题计算错误；、，故原题计算正确；、，故原题计算正确；、，故原题计算正确；故选：．分式的运算和化简分式化简求值题的一般步骤：(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为0)．【例2】（2020•扬州）计算或化简：（1）112sin 60()2-︒+ （2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式1(1)(1)(1)x x x x x x -+=-+ ．【变式2-1】（2020•海宁市一模）在解答“化简：”时，明明的解答过程如下：．明明的解答从第几步开始出错的？请写出正确的解答过程．【解答】解：明明的解答从第②步开始出错．．【变式2-2】（2020•桥西区模拟）如图，数轴上的点，，表示三个连续的整数，对应的数分别为，，．（1）若与互为相反数，则的值为 ；（2）若，先化简，再求值：．【解答】解：（1）根据题意得：，由，，为三个连续的整数，得到，，，则的值为；故答案为：；（2）由，，为连续的整数，，得到，代入得：，解得：，则原式．【变式2-3】（2020•莱西市一模）（1）化简：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式组的解集是．【变式2-4】（2020•信阳一模）已知分式．（1）请对分式进行化简；（2）如图，若从13m -中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第 ② 段上．（填写序号即可）【解答】解：（1）原式 11(1)(1)m m m m m-=-+-；（2）原式，为整数且，0，所以可取2，3，该分式的值应落在数轴的②处，故答案为：②．【变式2-5】（2020•南通）计算：（1）2(23)(2)(2)m n m n m n +-+-；（2）．【解答】解：（1）原式22224129(4)m mn n m n =++--222241294m mn n m n =++-+；（2）原式222x y x xy y x x--+=÷．【变式2-6】（2020•山西）（1）计算：231(4)()(41)2-⨯---+． （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．第一步32132(3)x x x x -+=-⋯++第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-⋯++第三步 第四步第五步第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 ．或填为： ；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【解答】解：（1）231(4)()(41)2-⨯---+；（2）①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；任务二：第一步32132(3)x x x x -+=-⋯++第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-⋯++第三步 第四步第五步第六步；任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．【变式2-7】（2020•济宁）已知，则分式22(2)m n m n n m m+--÷-的值是 ． 【解答】解：原式22(2)m n m mn n m m+-++=÷，当时，原式故答案为：【变式2-8】（2020•金凤区模拟）先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式2(1)21(2)(2)12a a a a a a --=++--+，当时，原式．【变式2-9】（2020•芝罘区一模）先化简，再求值：，其中的值从解集的整数解中选取．【解答】解：原式22(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+=⨯++-，其整数解为，0，1，2，只有2符合题意．当时，原式．【变式2-10】（2020•巴中）（1）计算：．（2）解一元二次方程：(4)6x x x -=-．（3）先化简：，再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值．【解答】解：（1）原式132(3)1=+---1331=+- ；（2）方程整理得：2560x x -+=，分解因式得：，可得或，解得：，；（3）原式2(1)(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x --+-=⋅-- ，由不等式的整数解为，，0，1，2，其中，0，1，2时，原式都没有意义，当时，原式．22．（2020•贵港）（1）计算：；（2）先化简再求值，其中．【解答】解：（1）原式；（2），当时，原式．【变式2-11】（2020•西宁）先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式2222(1)(1)()(1)a a a a a a a a a a ++-=-÷+++22(1)(1)(1)(1)a a a a a a +=⋅++- ，当时，原式．【变式2-12】（2020•朝阳）先化简，再求值：32212(1)11x x x x x x --++÷+-，其中． 【解答】解：32212(1)11x x x x x x --++÷+- 21(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x -++-=÷++- 22(1)(1)1(1)x x x x x x +-=+- ，当时，原式．【变式2-13】（2020•荆州）先化简，再求值：，其中是不等式组的最小整数解． 【解答】解：原式21(1)(1)(1)a a a a a -+=+- ．解不等式组中的①，得．解不等式②，得．则．所以的最小整数值是2，所以，原式． 【变式2-4】（2020•盐田区二模）先化简：，再从，，0，1中选出合适的数代入求值．【解答】解：原式2222(2)a a a a a +-+=⨯+- 22(2)a a a a a +=⨯+- ，，(2)0a a -≠，，0，2，当时，原式；当时，原式．。
专题05 二次根式(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案05 二次根式考点课标要求考查角度1乘方与开方了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．常以选择、填空题为主．2二次根式的概念和性质了解二次根式、最简二次根式的概念．考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：123+，2323+-的化简与运算（分母有理化）．常以选择、填空题、解答题的形式命题．3二次根式的运算了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．考查二次根式的运算．常以选择、填空题、解答题的形式命题．中考命题说明思维导图1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．（2）若3b a ，则b 叫做a 的立方根．【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ） A ．2 B ．－2C ．16D ．±2【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：∵(±2)2＝4，知识点1：数的乘方与开方知识点梳理典型例题∴4的平方根是±2，故选：D．【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．【例2】（2022•凉山州=（）A．±2B．－2C．4D．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．＝2，故选：D．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．【例3】（3分）（2021•上海9/253=，则x= ．【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a=，3∴x+4=9∴x=5．故答案为：5．【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是．【考点】立方根【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．故答案为3．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ． 【考点】平方根；立方根【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值；将a 、b 的值代入计算得出a + b 的值，再求其立方根即可．【解答】解：∵一个正数a 的两个平方根是2b -1和b +4， ∴2b -1+b +4=0， ∴b =-1． ∴b +4=-1+4=3， ∴a =9．∴a +b =9+(-1)=8， ∵8的立方根为2， ∴a +b 的立方根为2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．【例6】若a 满足3a a =，则a 的值为（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【分析】∵3a a =，∴a 为0或1．故选C ．【答案】C ．1. 二次根式：形如(a ≥0)的式子叫做二次根式．2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件： （1）被开方数不含分母；知识点2：二次根式的概念和性质知识点梳理（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 如：5，21x +是最简二次根式，而8，12，22a 都不是最简二次根式． 4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 5. 二次根式的性质：（1）(a )2= a (a ≥0) ． （2）2a =|a|=(0)(0).aa aa ⎧⎨-<⎩≥，（3）ab ab =(a ≥ 0，b ≥ 0) ．（4）a ab b=(a ≥ 0，b > 0) ．【例7】（2022•贵阳）代数式3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3B ．x ＞3C ．x ≤3D ．x ＜3【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式的定义得出x －3≥0，进而求出答案． 【解答】解：∵代数式3x -在实数范围内有意义， ∴x －3≥0， 解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x －3的取值范围是解题关键． 【例8】（2022•雅安）使2x -有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．典型例题C．D．【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．∴x－2≥0，∴x≥2，故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．有意义时，x应满足的条件为（）【例9】（2022•广州【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．有意义时，x＋1＞0，解得：x＞－1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．【例10】（3分）（2020•上海1/25（）A B C D【考点】同类二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：AB3=C=D故选：C ．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【考点】实数；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【解答】解：A 、1222=，不是有理数，不合题意； B 、1333=，不是有理数，不合题意； C 、1142=，是有理数，符合题意； D 、1555=，不是有理数，不合题意； 故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a 2，a (a ≥0)．2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零． 如：若a 2+|b|+c =0，则a 2=0，|b|=0，c =0，可得a =b =c =0．【例12】（2022•贺州）若实数m ，n 满足|5|240m n m n --++-=，则3m ＋n ＝ ． 【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组 【分析】根据非负数的性质求出m 和n 的值，再代入3m ＋n 计算可得． 【解答】解：∵|5|240m n m n --++-=， ∴m －n －5＝0，2m ＋n －4＝0，知识点3：非负性 知识点梳理典型例题∴m ＝3，n ＝－2， ∴3m ＋n ＝9－2＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．【例13】（2022•黔东南州）若2(25)0x y +-=，则x －y 的值是 ． 【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根【分析】根据非负数的性质可得250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩，应用整体思想①－②即可得出答案．【解答】解：根据题意可得， 250240x y x y +-=⎧⎨++=⎩①②， 由①－②得， x －y ＝9． 故答案为：9．【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b +（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．（2a +3b ﹣13）2＝0，∴235023130a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得：23a b =⎧⎨=⎩， 当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7； 当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8， ∴等腰三角形的周长为7或8． 故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 乘除运算：=ab ab (a ≥0，b ≥0)；=a ab b(a ≥0，b > 0) ． 3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式． 4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法： （1）1=a aa a a a=； （2）1=()()a b a ba b a b a b a b ++=---+．【例15】（2022•六盘水）计算：1223-= ． 【考点】二次根式的加减法【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．知识点4：二次根式的化简与运算知识点梳理典型例题=．故答案为0．【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．【例16】（2022•哈尔滨的结果是．【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式3===故答案为：【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．【例17】（2022•山西的结果为．【考点】二次根式的乘除法【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解答】解：原式3==．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=【例18】（2022•青岛）计算的结果是（）A B．1C D．3【考点】二次根式的混合运算【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：11=⨯-⨯271233=-94＝3－2＝1，故选：B．【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．【例19】（2022•天津）计算(191)(191)+-的结果等于．【考点】平方差公式；二次根式的混合运算【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式22=-＝19－1＝18，(19)1故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．【例20】（2022•济宁）已知25b=-，求代数式a2b＋ab2的值．a=+，25【考点】二次根式的混合运算；代数式求值【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．【解答】解：∵25b=-，a=+，25∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)=+-++-(25)(25)(2525)＝(4－5)×4＝－1×4＝－4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．知识点5：二次根式的估值一般步骤：1. 一般先对根式进行平方，如2(5)5=；2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；3. 对以上两个整数开方，如42=，93=；4. 这个根式的值在这两个相邻整数之间，如253＜＜．【例21】（3分）（2021•天津6/25）估计17的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 【考点】估算无理数的大小．【分析】本题需先根据17的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵17 4.12≈， ∴17的值在4和5之间． 故选：C ．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题． 【例22】（2022•安顺）估计1(2552)5+⨯的值应在（ ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案． 【解答】解：原式210=+， ∵3104<<， ∴52106<+<， 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题知识点梳理典型例题关键．【例23】（2022•荆州）若32+⋅的-的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(22)a b值是．【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算【分析】根据2的范围，求出32-的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵122<<，∴1322<-<，∵若32-的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，32122b=--=-，∴(22)(22)(22)2a b+⋅=+-=，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．【例24】（2分）（2021•北京7/28）已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜2021＜n+1，则n的值为（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】估算无理数的大小．【分析】先写出2021所在的范围，再写2021的范围，即可得到n的值．【解答】解：∵1936＜2021＜2025，∴44＜2021＜45，∴n＝44，故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．巩固训练1．（2022•攀枝花）2的平方根是()A ．2B ．2±CD ．2．（2022(= )A ．2±B ．2C ．D3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为()A ．5B ．6C ．5D ．64．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．25.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．212．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.715．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+ 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=25．（2022 ．26．（2022= ． 27．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．28．（2022= ． 29．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．30．（2022x 的取值范围为 ． 31．（2022有意义，则实数x 的取值范围是 ．32．（2022a 的取值范围是 ．33．（2022x 的取值范围是 ．34．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．35．（20221x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．36．（2022在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 ．37．（2022x 的取值范围为 ．38．（2022= ．39．（2022的结果是 ．40．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|1|a + ．41．（2022= ；2(2)-= ．42．（2022•随州）已知m 为正整数，若是整数，则根据可知m 有最小值3721⨯=．设n 于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 ．43．（2022 ．44．（2022 ．45．（2022•衢州）计算2= ．46．（2022= ． 47．（2022•大连）下列计算正确的是( )A 2=B 3=-C ．D ．21)3+=48．（2022•湖北）下列各式计算正确的是( )A =B ．1=C 2÷D =49．（2022|4|-= ．50．（2022 ．51．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足18y =，则xy 的值是 ．52．（2022•襄阳）先化简，再求值：2(2)(2)(2)2()a b a b a b a b a +++-+-，其中a =b =53．（2022•河池）计算：10|22|342(5)π----⨯+-． 54．（2022•泰州）（1）计算：21833-⨯； （2）按要求填空： 小王计算22142x x x --+的过程如下： 解：22142x x x --+ 21(2)(2)2x x x x =-⋯⋯+-+第一步 22(2)(2)(2)(2)x x x x x x -=-⋯⋯+-+-第二步22(2)(2)x x x x --=⋯⋯+-第三步2(2)(2)x x x -=⋯⋯+-第四步12x =+．⋯⋯第五步 小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解” )，计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ． 55．（2022•甘肃）计算：2324⨯-．1．（2022•攀枝花）2的平方根是( ) A ．2 B ．2±C ．2D ．2±【考点】平方根【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：因为2(2)2±=， 所以2的平方根是2±， 故选：D ．【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键． 2．（2022•兰州）计算：4(= ) A ．2±B ．2C ．2±D ．2巩固训练解析【考点】算术平方根【分析】利用算术平方根的性质求解．==．【解答】解：2故选：B．【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．3．（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，⋯，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( )A．5B．6C．5D．6【考点】算术平方根；规律型：图形的变化类【分析】1个正方形的边长为1，其对2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为n-所以，第6个正方形的边2，其对角线长为3；⋅⋅⋅；第n个正方形的边长为1.长5．【解答】解：由题知，第1个正方形的边长1AB=，根据勾股定理得，第2个正方形的边长ACCF=，根据勾股定理得，第3个正方形的边长2GF=，根据勾股定理得，第4个正方形的边长3GN=，根据勾股定理得，第5个正方形的边长4=．根据勾股定理得，第6个正方形的边长5故选C．【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、⋅⋅⋅、第6个正方形的边长．4．（2022•泸州）(= ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【考点】算术平方根【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解答】解：2=-． 故选：A ．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．5.（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x <C ．2xD ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【解答】解：360x -，2x ∴，故选：D ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022•常州）若二次根式x 的取值范围是( ) A ．1xB ．1x >C ．0xD ．0x >【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：10x -，据此求出实数x 的取值范围即可．【解答】解：10x ∴-，解得：1x ． 故选：A ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．7.（20222x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >-B ．1x -C ．1x -且0x ≠D ．1x -且0x ≠【考点】负整数指数幂；二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，1(0)p pa a a -=≠即可得出答案． 【解答】解：10x +，0x ≠，1x ∴-且0x ≠，故选：C ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，1(0)p p a a a-=≠是解题的关键．8．（2022a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1aC ．1a <D ．1a【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a 的取值范围． 【解答】解：由题意得：10a -，1a ∴，故选：B ．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数．9．（2022x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2xC ．2x <D ．2x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【解答】解：根据题意，得20x -，解得2x ． 故选：B ．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2022•内蒙古）实数a 1|1|a +-的化简结果是( )A ．1B ．2C ．2aD ．12a -【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】根据数轴得：01a <<，得到0a >，10a -<||a =和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：01a <<， 0a ∴>，10a -<，∴原式||11a a =++-11a a =++-2=．故选：B ．【点评】||a =是解题的关键．11．（2022( )A ．B ．3C ．D ．2【考点】二次根式的性质与化简【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为【解答】=， 故选：A ．【点评】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．12．（2022•永州）下列各式正确的是( )A B ．020=C ．321a a -=D ．2(2)4--=【考点】有理数的减法；合并同类项；零指数幂；二次根式的性质与化简【分析】根据二次根式的性质与化简判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据合并同类项判断C 选项；根据有理数的减法判断D 选项． 【解答】解：A 选项，原式2=，故该选项不符合题意；B 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式a =，故该选项不符合题意；D 选项，原式224=+=，故该选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 13．（2022•河南）下列运算正确的是( )A ．2B ．22(1)1a a +=+C ．235()a a =D ．2322a a a ⋅=【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的性质与化简 【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 、=A 不符合题意；B 、22(1)21a a a +=++，故B 不符合题意；C 、236()a a =，故C 不符合题意；D 、2322a a a ⋅=，故D 符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（2022•河北）下列正确的是( )A 23=+B 23⨯C 23=D 0.7【考点】二次根式的性质与化简【分析】根据=A 选项；根据0,0)a b =判断B 选项；根据||a 判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D 选项．【解答】解：A 、原式=B 、原式23=⨯，故该选项符合题意；C 、原式29=，故该选项不符合题意；D 、20.70.49=，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】0,0)a b =是解题的关键． 15．（2022•苏州）下列运算正确的是( )A 7=-B ．2693÷= C ．222a b ab += D ．235a b ab ⋅=【考点】有理数的除法；合并同类项；单项式乘单项式；二次根式的性质与化简【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解答】解：7=，故此选项不合题意； 2.693B ÷=，故此选项，符合题意； .22C a b +，无法合并，故此选项不合题意； .236D a b ab ⋅=，故此选项不合题意；故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 16．（2022•呼和浩特）下列运算正确的是( )A 2=±B ．222()m n m n +=+C ．1211x x x-=--D ．2229332y x xy x y-÷=-【考点】二次根式的性质与化简；分式的混合运算；二次根式的乘除法；完全平方公式 【分析】利用二次根式的乘法的法则，完全平方公式，分式的减法的法则，分式的除法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A 2，故A 不符合题意； B 、222()2m n m mn n +=++，故B 不符合题意；C 、21221xx x x x--=--，故C 不符合题意； D 、2229332y x xy x y-÷=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的乘法，完全平方公式，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．（2022•宁夏）下列运算正确的是( )A ．220--=BC ．3362x x x +=D ．326()x x -=【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．【解答】解：A ．224--=-，故此选项不合题意；BC ．3332x x x +=，故此选项不合题意；D ．326()x x -=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（2022•鞍山）下列运算正确的是( )A =B ．3412a a a ⋅=C ．222()a b a b -=-D ．2336(2)8ab a b -=-【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方 【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A =A 不符合题意；B 、347a a a ⋅=，故B 不符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，故C 不符合题意；D 、2336(2)8ab a b -=-，故D 符合题意；故选：D ．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．19．（2022•鄂尔多斯）下列运算正确的是( ) A ．32235523a b a b a b += B ．2363(2)6a b a b -=-C ．2124-=-D =【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法；负整数指数幂 【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：32232a b a b +不能合并，因为不是同类项，A 选项错误；2363(2)8a b a b -=-，B 选项也错误； 2124-=，C 选项也错误；=D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．20．（2022•广州）下列运算正确的是( )A 2=B ．11(0)a a a a a+-=≠C D ．235a a a ⋅=【考点】分式的加减法；二次根式的加减法；同底数幂的乘法；立方根【分析】直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．【解答】解：A 2=-，故此选项不合题意；B ．111a a a+-=，故此选项不合题意；C =D ．235a a a ⋅=，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．（2022•广安）下列运算中，正确的是( ) A ．224325a a a += B ．933a a a ÷=C =D ．236(3)27x x -=-【考点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方 【分析】A ．应用合并同类项法则进行计算即可得出答案；B ．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为222325a a a +=，所以A 选项运算不正确，故A 选项不符合题意；B ．因为93936a a a a -÷==，所以B 选项运算不正确，故B 选项不符合题意；C C 选项运算不正确，故C选项不符合题意；D ．因为236(3)27x x -=-，所以D 选项运算正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握二次根式的加减，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法法则进行求解是解决本题的关键．22．（2022•梧州）下列计算错误的是( )A ．358a a a ⋅=B ．2363()a b a b =C ．D ．222()a b a b +=+【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；二次根式的加减法 【分析】A ．应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；B ．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；C ．应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；D ．应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：A ．因为35358a a a a +⋅==，所以A 选项计算正确，故A 选项不符合题意；B ．因为2363()a b a b =，所以B 选项计算正确，故B 选项不符合题意；C ．因为，所以C 选项计算正确，故C 选项不符合题意；D ．因为222()2a b a ab b +=++，所以D 选项计算不正确，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 23．（2022•雅安）下列计算正确的是( )A ．236=B ．328()55-=-C ．224(2)2a a -=D =【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可． 【解答】解：239=，故A 选项错误； 328()5125-=-，故B 选项错误； 224(2)4a a -=，故C 选项错误；，故D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．24．（2022•云南）下列运算正确的是( )A =B ．030=C ．33(2)8a a -=-D ．632a a a ÷=【考点】二次根式的加减法；零指数幂；同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据二次根式的加减法判断A 选项；根据零指数幂判断B 选项；根据积的乘方判断C 选项；根据同底数幂的除法判断D 选项．【解答】解：AB 选项，原式1=，故该选项不符合题意；C 选项，原式38a =-，故该选项符合题意；D 选项，原式3a =，故该选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握01(0)a a =≠是解题的关键．。
2023年中考数学一轮复习满分突破专题04 整式的乘除-【题型方法解密】
专题04 整式的乘除【热考题型】【知识要点】 知识点一 幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
n m n m a a a +=·（其中m 、n 为正整数） 【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
例：a ·a 2＝a1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即p n m p n m a a a a ++=··（m ，n ，p 都是正整数） 考查题型一 同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （ ） A ．aB ．3aC ．2a 2D ．a 3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A ．810B ．1210C ．1610D ．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（ ） A ．0.11 B ．1.1 C ．11 D ．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnn m a a =)((其中m ，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式及应用(含解析)
2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式及应用（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．【题型1：分式方程及其解法】【典例1】（2023•凉山州）解方程：＝．【答案】x＝2．【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，去括号得：x2﹣x＝2，移项得：x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x＝2或x＝﹣1，将x＝2代入原方程，原方程左右相等，∴x＝2是原方程的解．将x＝﹣1代入，使分母为0，∴x＝﹣1是原方程的增根，∴原方程的解为：x＝21．（2023•山西）解方程：．【答案】x＝．【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），∴原方程可化为：2+2x﹣2＝3．∴x＝．检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．∴原方程的解为x＝．2．（2023•陕西）解方程：．【答案】x＝﹣．【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，移项，合并同类项得：﹣15x＝25，解得：x＝﹣，经检验，x＝﹣是分式方程的解，故原方程的解为：x＝﹣．3．（2022•眉山）解方程：＝．【答案】x＝4．【解答】解：＝，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．4．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．【答案】x＝7．【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括号得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移项，合并同类项得：x＝7．检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【题型2：分式方程的应用】【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，由题意得：，解得：x＝90，当x＝90时，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，由题意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？【答案】200个摆件．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得，解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）116个．【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整数a最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6种购买方案；（3）m＝5．【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：＝，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，根据题意得：，解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．4．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）10元；（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，根据题意，得，解得x＝10或x＝﹣12（舍去），经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，解得m≤300，w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，∵2＞0，∴w随着m增大而增大，当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．【题型3：与分式方程的解有关的问题】【典例3】（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故选：C1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＞﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2【答案】D【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移项，合并同类项得：x＝m+1，∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故选：D．2．（2023•淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【答案】B【解答】解：将x＝1代入方程，得：﹣＝3，解得：m＝2．故选：B．3．（2023•巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），由题意得：x＝2是该整式方程的解，∴2+m﹣1＝0，解得：m＝﹣1，故答案为：﹣1．1．（2023秋•乐亭县期中）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3xC．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，故选：B．2．（2023秋•株洲期中）分式方程的解是（）A．x＝﹣9B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），去括号得：7x+21＝4x﹣6，移项，合并同类项得：3x＝﹣27，系数化为1得：x＝﹣9，经检验，x＝﹣9是分式方程的解，故选：A．3．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程无解，则n＝（）A．﹣1B．0C．1D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同类项、系数化为1，得，由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：＝+240，故选：A．5．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4B．5C．6D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．6．（2024•辽宁模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（）A．x B．x﹣1C．x（x+1）D．x（x﹣1）【答案】D【解答】解：将两边同时乘以x（x﹣1）即可得到一个一元一次方程，故选：D．7．（2022秋•五常市期末）若关于x的方程无解，则m的值为0或4．【答案】0或4．【解答】解：，2（2x+1）＝mx，4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2，∵方程无解，可分为以下两种情况：①分式方程没有意义时，x＝0或﹣，此时m＝0，②整式不成立时，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案为：0或4．8．（2023秋•新田县期中）甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要10分钟可以注满全池．【答案】10．【解答】解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟．根据题意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝，则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．故答案为：10．9．（2023秋•岱岳区期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．10．（2023秋•平南县期中）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？【答案】（1）50元；（2）1700元．【解答】解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据题意得：，解得：x＝50，经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；（2）70×（）﹣3000×2＝1700（元），答：该商店两次购进吉祥物的总利润为1700元．11．（2023秋•南县期中）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，根据题意得：＝3×，解得：x＝80，经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．答：第一批头盔进货单价为80元．12．（2023秋•兴宾区期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．（1）求原计划每天制作多少件冰墩墩？（2）该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了20%，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天制作500件冰墩墩；（2）完成任务后，该公司原计划支付的工资总额为1000×＝1000×30＝30000（元）；该公司实际支付的工资总额为1000×（1+20%）×＝1200×20＝24000（元）．∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），∴公司实际支付的工资比原计划少了，少了6000元．答：该公司实际比原计划少支付工资6000元．1．（2023秋•大渡口区校级期中）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，且只有3个整数解，∴﹣3＜≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣3，﹣1．∵﹣3﹣1＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣4．2．（2023秋•祁阳县期中）a为何值时，关于x的方程+＝无解？【答案】见试题解答内容【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），整理得：（a﹣1）x＝﹣10，（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，当x＝2时，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；当x＝﹣2时，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，即当a＝1，﹣4或6时原方程无解．（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．3．（2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，由题意得：﹣＝3，解得：x＝5，经检验：x＝5是分式方程的解，20x＝20×5＝100，答：一台零件检测机每小时检测零件100个；（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由题意得：（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，解得：a≥2.5，∵a为正整数，∴a的最小值为3，答：该厂至少再调配3台检测机才能完成任务．4．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？【答案】（1）乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）乙队至少施工18天才能完成该项工程．【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝30，检验得：x＝30是原方程的根，答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥18，答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．5.（2023•兴庆区校级模拟）宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元．已知乙种枸杞每千克进价比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同．（1）求甲、乙两种枸杞每千克的进价．（2）该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为88元．销售过程中发现甲种枸杞销量不好，商场决定：甲种枸杞销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于2460元，问甲种枸杞按原销售单价至少销售多少千克？【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）20件．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则，（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．6．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．7．（2022春•大观区校级期末）已知，关于x的分式方程＝1．（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．【答案】（1）x＝；（2）或b＝5；（3）b可取3、29、55、185这四个数．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程中，得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，10x＝﹣2，x＝，检验：把x＝代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．答：分式方程的解是x＝．（2）把a＝1代入分式方程得，方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，（11﹣2b）x＝3b﹣10，①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；②当11﹣2b≠0时，，时，分式方程无解，即，b不存在；x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．综上所述，或b＝5时，分式方程无解．（3）把a＝3b代入分式方程中，得：方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），整理得：（10+b）x＝18b﹣15，∴，∵，且b为正整数，x为整数，∴10+b必为195的因数，10+b≥11，∵195＝3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，但1、3、5小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．对应地，b只可以取3、29、55、185，所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．8．（2022春•宁波期末）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3，∴x1＝1，x2＝3．再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4），∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．应用上面的结论解答下列问题：（1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值．（3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值．【答案】（1）﹣2：﹣3（2）﹣（3）﹣【解答】解：（1）x+＝﹣5可化为x+＝（﹣2）+（﹣3），∴x1＝﹣2，x2＝﹣3．（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∴+＝＝＝＝﹣．（3）原方程变为x﹣2﹣＝﹣k﹣3，∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3）∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3，∴＝＝﹣．1．（2023•海南）分式方程＝1的解是（）A．x＝6B．x＝﹣6C．x＝5D．x＝﹣5【答案】A【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，移项，得﹣x＝﹣5﹣1，合并同类项，得﹣x＝﹣6，系数化为1，得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，∴方程的解是x＝6．故选：A．2．（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（）A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3xC．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x【答案】B【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故选：B．3．（2023•淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：，故选：D．5．（2023•日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜C．m＞﹣且m≠0D．m＜且m≠【答案】D【解答】解：﹣2＝，去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，整理得，2x﹣4x+4＝3m，解得，x＝，∵分式方程的解为正数，∴4﹣3m＞0且，∴m＜且m≠．故选：D．6．（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为13．【答案】13．【解答】解：解不等式组，得：，∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案为：13．7．（2023•广西）解分式方程：．【答案】见试题解答内容【解答】解：，方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，移项解得：x＝﹣1．将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，∴x＝﹣1是原分式方程的解．8．（2023•连云港）解方程＝﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，移项得：2x﹣3x+3x＝5﹣3+6，合并同类项得：2x＝8，把x的系数化为1得：x＝4，检验：把x＝4代入最简公分母x﹣2＝4﹣2＝2≠0，故原分式方程的解为：x＝4．9．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）本次购买最少花费2250元．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：＝+3，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100﹣m，解得m≤50，设本次购买花费w元，∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），答：本次购买最少花费2250元．。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)：分式与分式方程(共56题)(原卷版)
专题04分式与分式方程（56题）1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）方程213x 的解是（）A ．1x B ．=1x C ．5x D ．5x 2．（2023·河北·统考中考真题）化简233y x x的结果是（）A ．6xyB ．5xyC ．25x y D ．26x y 3．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．623a a aB ．325aaC ．22()()a ba b a b a b D ．01134．（2023·贵州·统考中考真题）化简11a a a结果正确的是（）A ．1B ．aC ．1aD ．1a5．（2023·山东东营·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x 千克，依题意所列方程正确的是（）A ．960060000.41.5x x B ．960060000.41.5x x C ．600096000.41.5x xD ．600096000.41.5x x6．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程3122a x x 的解为负数，则a 的取值范围是（）A ．1a 且2aB ．0a 且2aC ．2a 且3a D ．1a 且3a 7．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（）A ．1201201 1.5x xB ．1201201 1.5x xC ．1201201.51x xD ．1201201.51x x19．（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a 的值为．b 的值为．x 结果代数式2n31x 7b 21x xa120．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x 的方程1122x m x x x的解为非负数，则m 的取值范围是．21．（2023·福建·统考中考真题）已知121a b，且a b ，则ab a a b 的值为．22．（2023·四川成都·统考中考真题）若23320ab b ，则代数式22221ab ba b a a b，的值为．三、解答题23．（2023·四川乐山·统考中考真题）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？24．（2023·吉林长春·统考中考真题）随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．26．（2023·湖南常德·统考中考真题）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？27．（2023·贵州·统考中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x 件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．28．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．例先化简，再求值：211a a aM ，其中100a ．解：原式2111a a a a a……29．（2023·重庆·统考中考真题）计算：(1) 263x x x ；(2)2293n m n m m．30．（2023·四川宜宾·统考中考真题）计算(1)计算：012tan 45312．(2)化简：211224x x x x．31．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）先化简，再求值：22111a a a ，其中2a ．37．（2023·浙江温州·统考中考真题）计算：(1) 2311843．(2)22311a a a．38．（2023·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值：524223m m m m，其中16tan 45m ．39．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）计算： 113tan 452023232274；（2）先化简，再求值：2221211x x x x x x，化简后，从23x 的范围内选择一个你喜欢的整数作为x 的值代入求值．40．（2023·山东临沂·统考中考真题）（1）解不等式1522xx ，并在数轴上表示解集．（2）下面是某同学计算211a a a 的解题过程：解：211a a a 22(1)11a a a a ①22(1)1a a a②2211a a a a③111a a ④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．41．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？42．（2023·黑龙江·统考中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．43．（2023·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．44．（2023·辽宁营口·统考中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？45．（2023·山东烟台·统考中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．(1)求两种图书的单价分别为多少元？(2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？46．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．50．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a 个月，乙队完成另一部分工程用了b 个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a ，b 为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？51．（2023·湖北恩施·统考中考真题）先化简，再求值：22142x x x，其中52x ．52．（2023·宁夏·统考中考真题）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A 型和B 型两种玩具，已知用520元购进A 型玩具的数量比用175元购进B 型玩具的数量多30个，且A 型玩具单价是B 型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：520175301.6x x ，解得5x ，经检验5x 是原方程的解．乙：5201751.630x x ，解得65x ，经检验65x 是原方程的解．则甲所列方程中的x 表示_______，乙所列方程中的x 表示_______；(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A 型玩具多少个？。
2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题4分式与分式方程(34题)含详解
专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=+D ．60601202x x -=-4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程512x =+的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程11x 2=-的解为．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程322x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式11x -有意义的x 的取值范围是．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：31211a aa a +-=++．18．（2024·江苏常州·中考真题）计算：111x x x +=++．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +++的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+⎝⎭，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：221412x x x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：22391369x x x x -⎛⎫+÷ --+⎝⎭，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：2121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a aa a -+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：22224xx x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a-⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22422324x xx x x -⎛⎫+-÷+⎪+-⎝⎭，其中72x =-．专题04分式与分式方程（34题）一、单选题1．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程1513126x x-=---时，去分母变形正确的是（）A ．2625x -+=-B ．6225x --=-C ．2615x --=D ．6215x -+=【答案】A【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．【详解】解：方程两边同乘26x -，得()()152626263126x x x x x---⨯=-⨯---，整理可得：2625x -+=-故选：A ．2．（2024·四川雅安·中考真题）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．4【答案】C【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．根据零指数幂的运算性质进行计算即可．【详解】解：原式0(2)1=-=．故选：C ．3．（2024·四川巴中·中考真题）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行0.5h ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km ，求慢车的速度？设慢车的速度为km /h x ，则可列方程为（）A ．60601202x x -=+B ．60601202x x -=-C ．60601202x x -=D ．60601202x x -=【答案】A【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度是()20km /h x +，再根据题意列出方程即可．【详解】解：设慢车的速度为km /h x ，则快车的速度为()20km /h x +，根据题意可得：60601202x x -=+．故选：A ．4．（2024·四川雅安·中考真题）已知()2110a b a b+=+≠．则a ab a b +=+（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、填空题5．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式619x -有意义，则x 需满足的条件是．6．（2024·辽宁·中考真题）方程12x =的解为．7．（2024·重庆·中考真题）计算：011(3)()2π--+＝．8．（2024·重庆·中考真题）计算：023-+=．【答案】3【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2024·安徽·中考真题）若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是．【答案】4x ≠【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．【详解】解： 分式有意义的条件是分母不能等于0，∴40x -≠∴4x ≠．故答案为：4x ≠．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件．10．（2024·青海·中考真题）若式子13x -有意义，则实数x 的取值范围是．11．（2024·四川甘孜·中考真题）分式方程1x 2=-的解为．【答案】x 3=【分析】首先去掉分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．12．（2024·内蒙古通辽·中考真题）分式方程2x x=-的解为．13．（2024·重庆·中考真题）若关于x 的不等式组()1321x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭．15．（2024·江苏盐城·中考真题）使分式1x -有意义的x 的取值范围是．【答案】x ≠1【详解】根据题意得：x -1≠0，即x ≠1.故答案为：x ≠1．16．（2024·山东滨州·中考真题）若分式11x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．17．（2024·四川自贡·中考真题）计算：11a a +-=++．【答案】118．（2024·江苏常州·中考真题）计算：11x x +=．19．（2024·四川内江·中考真题）已知实数a ，b 满足1ab =，那么221111a b +的值为．三、解答题20．（2024·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：7411a a a a ++⎛⎫+÷⎪+，其中4a =．21．（2024·四川资阳·中考真题）先化简，再求值：212x x x+-⎛⎫-÷ ⎪+，其中3x =．22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：21369x x x -⎛⎫+÷ ，其中2x =-．23．（2024·黑龙江大庆·中考真题）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【答案】该市谷时电价0.3元/度【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为x 元/度，则峰时电价()0.2x +元/度，根据题意列出分式方24．（2024·四川遂宁·中考真题）先化简：21121x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．25．（2024·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：22x x -，其中x =26．（2024·青海·中考真题）先化简，再求值：11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2x y =-．27．（2024·四川·中考真题）化简：11x x x x ⎛⎫-÷ ⎪．28．（2024·四川雅安·中考真题）（1()111525-⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221211a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪-，其中2a =．29．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？30．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？31．（2024·江苏常州·中考真题）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m 0.8m ⨯，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m 、b m 、c m 、d m ．若装裱后AB 与AD 的比是16:10，且a b =，c d =，2c a =，求四周边衬的宽度．【答案】上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出,AB AD 的长，列出分式方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得： 1.2 1.22 1.24AB c d c a =++=+=+，0.80.82AD a b a =++=+，∵AB 与AD 的比是16:10，∴1.24160.8210a a +=+，解得：0.1a =，经检验0.1a =是原方程的解．∴上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m 0.1m 0.2m 0.2m 、、、．32．（2024·四川达州·中考真题）先化简：2224x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，33．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪．34．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）先化简，再求值：22324x x x -⎛⎫+-÷+ ⎪，其中2x =-．。
2023中考数学一轮复习资料(全国通用)：分式的运算(练透)(教师版)
【答案】2
【分析】
本题考查了分式的化简，多项式的因式分解．化简代数式是解决本题的关键．
【分析】
先化简代数式，再整体代入求值．
【详解】
解：
=
=
=x2﹣3x
因为x2﹣3x﹣2=0，所以x2﹣3x=2
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得， ．故选C．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
5．（2022·北京九年级专题练习）化简 的结果为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同分母的分式减法法则进行化简即可得到结果．
【答案】
【分析】
根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得： ，
故答案为： ．
13．（2022·北京平谷·九年级一模）化简： _______________.
【答案】
【分析】
利用分式的通分原则计算即可
【详解】
解：
=
= ，
故答案为： ．
14．（2020·贵州贵阳市·）关于x的分式方程 有增根，则m的值为__________．
【答案】4．
【解析】
去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=4，
2023中考数学一轮复习资料(全国通用)：实数与二次根式的运算(练透)(教师版)
专题04 实数与二次根式的运算一、单选题1．（2022·广东广州·铁一中学九年级二模）下列计算正确的是（ ）A ．122-=-B 3=±C =D ．()2224ab a b = 【答案】D【分析】直接利用负整数指数幂、算术平方根、二次根式加法、幂的乘方、积的乘方的运算法则计算判断即可；【详解】解：A 、1122-=，故本选项计算不正确，不合题意；B 3=，故本选项计算不正确，不合题意；CD 、()2224ab a b =，故本选项计算正确，符合题意；故选择：D ．2．（2022· ）A ．B ．CD 【答案】B【分析】根据相反数的定义即可求解．【详解】的相反数是，故选：B ．3．（2022·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（ ）A ．-2B C ．12 D ．0【答案】B【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴102>>-，2故选：B．4．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列实数中，最大的数是（）A．πB C．﹣2 D．3【答案】A【分析】根据实数的大小关系，直接求得答案，即可．【详解】解：∵π＞32，∴最大的数是：π．故选A．5．（2022·长沙市南雅中学九年级期中）下列计算错误的是（）A．(π﹣3.14)0＝0 B=C．(x2)3＝x6D．a6÷a2＝a4【答案】A【分析】根据0指数幂的性质、二次根式加减法则、整式运算逐项计算即可．【详解】解：A：（π﹣3.14）0＝1，故A选项错误，符合题意；B=B选项正确，不符合题意；C：（x2）3＝x6，故C选项正确，不符合题意；D：a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D选项正确，不符合题意．故选：A．6．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）下列各运算中，正确的运算是（）A B．（2a）3＝8a3C．a8÷a4＝a2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．【详解】解：A、A错误；B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．7．（2022·）A B．0 C D【答案】B【分析】先分母有理化，然后合并即可．【详解】0．故选：B．8．（2022·河南九年级期中）下列运算正确的是（）A B21 3C2D3a2【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C、D进行判断．【详解】解：A A选项错误；B B选项错误；C2，所以C选项错误；D、原式＝3a2，所以D选项正确．故选：D．9．（2022·广西南宁十四中）下列属于最简二次根式的是（）A B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【详解】A. =B.=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；3D. =被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B10．（2022·沙坪坝·的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算即可得解．【详解】2，22<<，4205∴45<<，∴223<<，∴的值应在2和3之间．故选：B．二、填空题11．（2022·莆田第二十五中学九年级月考）估计_____．【答案】2和3之间【分析】，可得23<<，即可求解．【详解】解：===∵23<<，∴2和3之间．故答案为：2和3之间．12．（2022·x应满足的条件是_______________．【答案】x≥2 3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，3x-2≥0，解得x≥23，故答案为：x≥23．13．（2022·沙坪坝·()1 0120213-⎛⎫--=⎪⎝⎭π__________．【答案】4-【分析】直接利用立方根的意义以及零指数幂法则、负整数指数幂法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【详解】解：原式213=-+-4=-．故答案为：4-．14．（2022·()03π-=________．1【分析】根据二次根式的运算及零次幂可直接进行求解．【详解】解：原式=11=；1．15．（2022·112-⎛⎫=⎪⎝⎭____________．【答案】2【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算．【详解】解：原式2=2=．故答案为2．三、解答题16．（2022·山东九年级期中）已知x、y是实数，若3y=，求x y的立方根．【答案】12【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x ＝2，从而求出y ＝﹣3，然后根据立方根的定义，即可求解．【详解】解：由题意可得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩， 解得：x ＝2，故y ＝﹣3，则x y ＝2﹣3＝18，故x y 12．17．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级二模）计算：201332-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式=143++=18．（2022·四川广安中学）计算：（1；（2．【答案】（1）（2）6【分析】（1）先进行开方运算和去括号，再合并同类二次根式即可；（2）先计算开方运算、利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；【详解】解：（1）原式==（2）原式25(3)(73)=+----734=+-6=．19．（2022·西城·北京四中）计算：021)|1+-．【答案】4-【分析】根据零指数幂法则，二次根式的基本性质，完全平方公式以及绝对值的意义先化简每个式子，再合并同类二次根式即可求得答案．【详解】解：原式1311=--4=-20．（2022·深圳市罗湖区翠园初级中学）先化简，再求值：2112()2244m m m m m +÷+--+，其中m【答案】22m m -+，7 【分析】先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．【详解】解：原式=[2(2)(2)m m m -+-+2(2)(2)m m m ++-]÷22(2)m m - =2(2)(2)m m m +-×2(2)2m m- =22m m -+，当m原式7=，21．（2022·福建九年级模拟预测）计算：032)-+--【答案】2【分析】直接利用去绝对值符号、零指数次幂、求立方根的运算法则计算可得．【详解】解：032)-+=312+-=222．（2022·福建三明一中九年级开学考试）计算（1）2112-⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）222()()()b a b a b a b ++---【答案】（1）4；（2）2ab【分析】（1）原式利用负指数幂，立方根和算术平方根的法则化简，再计算加减法； （2）原式利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果．【详解】解：（1）2112-⎛⎫- ⎪⎝⎭=4213+--=422+-=4；（2）222()()()b a b a b a b ++---=2222222b a b a b ab +---+=2ab23．（2022·如皋市实验初中九年级期末）（1）计算1011(3)2π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求代数式的值22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中2x =【答案】（12；（2）()212x -，15【分析】 （1）先计算负指数幂，绝对值符号化简，零指数幂，立方根，再合并同类项即可；（2）先因式分解找出最简公分母通分，合并同时把除法转化为乘方，约分化简为最简分式，再赋值，代入计算即可．【详解】解:（1）1011(3)2π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=2112--2；（2）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭， =()()()()()22221422x x x x x x x x x x ⎡⎤+---⋅⎢⎥---⎢⎥⎣⎦， =()2442x x x x x -⋅--， =()212x -，当2x =原式=()215221=．。
专题04 分式与分式方程-2022年中考数学真题分项汇编(全国通用)(第2期)(解析版)
专题04 分式与分式方程一．选择题1．（2022·广西玉林）若x 是非负整数，则表示22242(2)x x x x --++的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )A ．①B ．②C ．③D ．①或②【答案】B【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解． 【详解】解：22242(2)x x x x --++ =()()222224(2)2x x x x x +--++ =()2222442x x x x +-++ =()222(2)x x ++=1；故选B ．【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．2．（2022·黑龙江绥化）有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ） A ．1212304x x += B ．1515244x x += C ．3030242x x += D ．1212302x x+= 【答案】A【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案．【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ，∵粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∵1212304x x+=．故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．3．（2022·山东威海）试卷上一个正确的式子（11a b a b ++-）÷★＝2a b +被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )A ．a a b -B ．a b a -C ．a a b +D ．224a a b - 【答案】A【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可． 【详解】解：11a b a b ⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭∵=2a b + ()()a b a b a b a b -++÷+-∵=2a b+ ∵=()()22a a b a b a b ÷+-+ =a a b-，故选A ． 【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．4．（2022·黑龙江）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠ 【答案】C【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到40m ->且410m --≠，即可求解．【详解】方程两边同时乘以(1)x -，得231x m x -+=-，解得4x m =-，关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数， 0x ∴>，且10x -≠，即40m ->且410m --≠，4m ∴>且5m ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（2022·广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+ 【答案】D【分析】设边衬的宽度为x 米，则整幅图画宽为(1.4+2x )米, 整幅图画长为(2.4+2x )米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．【详解】解：设边衬的宽度为x 米，根据题意，得1.4282.4213x x +=+，故选：D ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．6．（2022·海南）分式方程2101x -=-的解是（ ） A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =- 【答案】C【分析】按照解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：2101x -=- 2-（x -1）=02-x +1=0-x =-3x =3检验，当x =3时，x -1≠0，故x =3是原分式方程的解．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,以及检验，特别是检验是解分式方程的关键．7．（2022·内蒙古通辽）若关于x 的分式方程：121222k x x --=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠【答案】B【分析】先解方程，含有k 的代数式表示x ，在根据x 的取值范围确定k 的取值范围．【详解】解：∵121222k x x--=--， ∵()22121x k --+=-，解得：2x k =-，∵解为正数，∵20k ->，∵2k ＜，∵分母不能为0，∵2x ≠，∵22k -≠，解得0k ≠，综上所述：2k ＜且0k ≠，故选：B ．【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．8．（2022·贵州铜仁）下列计算错误的是（ ）A ．|2|2-=B ．231-⋅=a a aC ．2111a a a -=+-D ．()323a a = 【答案】D【分析】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．【详解】解：A 、|2|2-=，计算正确，不符合题意；B 、2311aa a a --=⋅=，计算正确，不符合题意； C 、()()2111111a a a a a a +--==+--，计算正确，不符合题意； D 、()326a a =，计算错误，符合题意；故选D ． 【点睛】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键．9．（2022·广西贵港）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm ．已知91nm 10m -=，则28nm 用科学记数法表示是（ ）A ．92810m -⨯B ．92.810m -⨯C ．82.810m -⨯D ．102.810m -⨯【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：∵91nm 10m -=，∵28nm=2.8×10-8m ．故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10．（2022·山东潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x 万吨，下列算法正确的是（ ）A ．4271100%14.0%4271x -⨯=- B ．4271100%14.0%4271x -⨯=- C ．4271100%14.0%x x -⨯=- D ．4271100%14.0%x x-⨯=- 【答案】D【分析】根据题意列式即可．【详解】解：设2021年3月原油进口量为x 万吨，则2022年3月原油进口量比2021年3月增加(4271-x )万吨， 依题意得：4271100%14.0%x x-⨯=-，故选：D ． 【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系．11．（2022·辽宁营口）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =- 【答案】C 【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可． 【详解】解：322x x =-， 去分母，得3(2)2x x -=， 去括号，得362x x -=，移项，得326x x -=，所以6x =．经检验，6x =是原方程的解．故选：C ．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．12．（2022·湖北恩施）一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h ，则符合题意的方程是（ ）A ．144963030v v =+-B ．1449630v v =-C ．144963030v v =-+D ．1449630v v=+ 【答案】A【分析】先分别根据“顺流速度=静水速度+江水速度”、“逆流速度=静水速度-江水速度”求出顺流速度和逆流速度，再根据“沿江顺流航行144km 与逆流航行96km 所用时间相等”建立方程即可得．【详解】解：由题意得：轮船的顺流速度为(30)km/h v +，逆流速度为(30)km/h v -， 则可列方程为144963030v v=+-， 故选：A ．【点睛】本题考查了列分式方程，正确求出顺流速度和逆流速度是解题关键．13．（2022·山东临沂）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（ ）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+ C ．0.7550.98x ⨯= D ．0.7550.985x ⨯=- 【答案】B【分析】利用酒精的总质量不变列方程即可．【详解】设需要加水kg x ， 由题意得0.9850.755x⨯=+， 故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．14．（2022·黑龙江哈尔滨）方程233x x =-的解为（ ） A ．3x =B ．9x =-C ．9x =D ．3x =-【答案】C【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：233x x =- 去分母得：23(3)x x =-，去括号得：239x x =-，移项、合并同类项得：9x -=-，解得：x =9，经检验：x =9是原分式方程的解，故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．15．（2022·江苏无锡）方程213x x =-的解是（ ）． A ．3x =-B ．1x =-C ．3x =D ．1x = 【答案】A【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母(3)x x -，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．【详解】解：方程两边都乘(3)x x -，得23x x =-解这个方程，得3x =-检验：将3x =-代入原方程，得 左边13=-，右边13=-，左边=右边． 所以，3x =-是原方程的根．故选：A ．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．16．（2022·山东青岛）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为355113，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）A ．7310-⨯B ．60.310-⨯C ．6310-⨯D ．7310⨯【答案】A 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a ×10-n ，在本题中a 应为3，10的指数为-7．【详解】解：0.00000037310故选A【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．17．（2022·黑龙江牡丹江）函数y x 的取值范围是【 】 A ．x≥1且x≠3B ．x≥1C ．x≠3D ．x ＞1且x≠3 【答案】A【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0x 10x 1{{x 1x 30x 3-≥≥⇒⇒≥-≠≠且x 3≠．故选A ．考点：函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件．二．填空题18．（2022·湖南）有一组数据：13123a =⨯⨯，25234a =⨯⨯，37345a =⨯⨯，⋯，21(1)(2)n n a n n n +=++．记123n n S a a a a =+++⋯+，则12S =__． 【答案】201182【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：13111311123222212a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 2551113123424222222a ===⨯+-⨯⨯⨯+； 3771113134560232232a ===⨯+-⨯⨯⨯+； ⋯，()()2111131122122n n a n n n n n n +==⨯+-⨯++++，当12n =时， 原式11111113111122312231323414⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅-⨯++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201182=， 故答案为：201182． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．19．（2022·黑龙江牡丹江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务 ．设乙车间每天生产x 个，可列方程为___________ ． 【答案】40050010x x =+ 【分析】设乙车间每天生产x 个，根据甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务可列出方程．【详解】解：设乙车间每天生产x 个，则40050010x x =+． 故答案为：40050010x x =+． 【点睛】本题考查理解题意的能力，关键设出生产个数，以时间作为等量关系列分式方程．20．（2022·湖南长沙）分式方程253x x =+的解是_____________ . 【答案】x =2【详解】解：两边同乘x （x +3），得2（x +3）=5x ，解得x =2，经检验x =2是原方程的根；故答案为：x =2．【点睛】考点：解分式方程．21．（2022·黑龙江哈尔滨）在函数53x y x =+中，自变量x 的取值范围是___________． 【答案】35x ≠- 【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式530x +≠，计算出自变量x 的范围即可．【详解】根据题意得：530x +≠∵53x ≠- ∵35x ≠- 故答案为：35x ≠-【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．22．（2022·四川广元）石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，这个数用科学记数法表示为_____．【答案】3.4×10-10【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．【详解】100.00000000034 3.410-=⨯故答案为：103.410-⨯．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a ×10-n ，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数决定．23．（2022·湖南郴州）若23a b b -=，则a b=________． 【答案】53 【分析】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：23a b b -= ()32a b b ∴-=，332,a b b ∴-= 35,a b ∴=53a b ∴=； 故答案为：53． 【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．24．（2022·山东青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x 米/分，那么x 满足的分式方程为__________．【答案】300030003(125%)x x-=+ 【分析】根据比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，可得比赛时小亮平均速度为(1+25%)x 米/分，根据比赛时所用时间比训练前少用3分钟列出方程．【详解】解：∵比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，小亮训练前的平均速度为x 米/分， ∵比赛时小亮平均速度为(1+25%)x 米/分， 根据题意可得300030003(125%)x x -=+， 故答案为：300030003(125%)x x-=+． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（2022·北京）方程215x x=+的解为___________． 【答案】x =5【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解：215x x =+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，26．（2022·内蒙古包头）计算：222a b ab a b a b-+=--___________． 【答案】-a b ##b a -+【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．【详解】解：原式=2222()a b ab a b a b a b a b+--==---, 故答案为：-a b ．【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．27．（2022·山东威海）按照如图所示的程序计算，若输出y 的值是2，则输入x 的值是 _____．【答案】1【分析】根据程序分析即可求解．【详解】解：∵输出y 的值是2，∵上一步计算为121x=+或221x =- 解得1x =（经检验，1x =是原方程的解），或32x =当10x =>符合程序判断条件，302x =>不符合程序判断条件 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．28．（2022·黑龙江齐齐哈尔）若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是______________．【答案】m >0且m ≠1【分析】先解分式方程得到解为1x m =+，根据解大于1得到关于m 的不等式再求出m 的取值范围，然后再验算分母不为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以()()22x x +-得到：22(2)2x x x m ，整理得到：1x m =+，∵分式方程的解大于1，∵11m +>，解得：0m >，又分式方程的分母不为0，∵12m 且12m ，解得：1m ≠且3m ≠-， ∵m 的取值范围是m >0且m ≠1．【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件． 29．（2022·广西）当x =______时，分式22x x +的值为零． 【答案】0【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x =0，x +2≠0求解即可．【详解】解：由题意，得2x =0，且x +2≠0，解得：x =0，故答案为：0．【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．30．（2022·湖南永州）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 【答案】()1x x +【分析】根据解分式方程的方法中确定公分母的方法求解即可． 【详解】解：分式方程2101x x -=+的两个分母分别为x ，(x +1)， ∴最简公分母为：x (x +1)，故答案为：x (x +1)．【点睛】题目主要考查解分式方程中确定公分母的方法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键． 31．（2022·湖南岳阳）分式方程321x x =+的解为x =______． 【答案】2【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解． 【详解】解：321x x =+， 322=+x x ，2x =，经检验2x =是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．32．（2022·四川内江）对于非零实数a ，b ，规定a ∵b ＝11a b-，若（2x ﹣1）∵2＝1，则x 的值为 _____． 【答案】56【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：由题意得：11212x --＝1， 等式两边同时乘以2(21)x -得，2212(21)x x -+=-， 解得：56x ＝， 经检验，x ＝56是原方程的根， ∵x ＝56， 故答案为：56． 【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．三．解答题33．（2022·黑龙江牡丹江）先化简，再求值：23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．【答案】28x +，10．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()()()()2322422x x x x x x x x +---⋅-+ =()()()()()242222x x x x x x x +-+⋅-+=2(x +4)=2x +8当x =-2，0，2时，分式无意义当x =1时，原式=10．【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．34．（2022·湖南）先化简2121(1)1221a a a a a ---÷+--+，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 【答案】31a -，32【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a 的值，代入计算即可．【详解】解：原式()2221121a a a a a --=⋅+---2111a a =+-- 31a =-； 因为1a =，2时分式无意义，所以3a =，当3a =时，原式32=． 【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．35．（2022·辽宁营口）先化简，再求值：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中11|2|2a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【答案】22a a -+，15． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：25244111a a a a a a +++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭ 22(1)52(2)11a a a a a +--+=÷++ 22411(2)a a a a -+=⋅++ 2(2)(2)11(2)a a a a a +-+=⋅++ =22a a -+，当11|2|23223a -⎛⎫-- =+⎪-⎭=⎝时， 原式=3232-+=15． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．36．（2022·黑龙江哈尔滨）先化简，再求代数式21321211x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭的值，其中2cos451x =︒+．【答案】11x -，2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求出x ，继而代入计算可得． 【详解】解：原式22131(1)(1)2x x x x x ⎡⎤---=-⋅⎢⎥--⎣⎦ 2(1)(3)1(1)2x x x x ----=⋅- 221(1)2x x -=⋅- 11x =-∵211x ==∵原式===．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则以及特殊角三角函数值．37．（2022·内蒙古赤峰）先化简，再求值：221111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中114cos 452a -⎛⎫= ⎪⎝⎭︒． 【答案】33a -；3【分析】由分式的加减乘除运算法则进行化简，然后求出a 的值，再代入计算，即可得到答案． 【详解】解：221111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭ =1211(1)(1)a a a a a a ++-÷+-+ =3(1)(1)1a a a aa -+⨯+ =33a -；∵114cos 452422a -︒=-⎛⎫= ⎪⎭=⎝， 把2a =代入，得原式=3233⨯-=．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．38．（2022·黑龙江大庆）先化简，再求值：222a ab a b b ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭．其中2,0a b b =≠． 【答案】a a b +，23【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将2a b =代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】222a ab a b b ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭=222a ab a b bb b ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ =222a ab a b b b--÷ =()()()a a b b b a b a b -+- =a a b+ 当2,0a b b =≠时，原式=222233b b b b b ==+． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则和计算方法．39．（2022·四川雅安）（1）计算：2+|﹣4|﹣（12）﹣1；（2）化简：（1+2a a -）÷22444a a a --+，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a 值代入求值． 【答案】（1）5；（2）2,2a 当0a =时，分式的值为1．【分析】（1）先计算二次根式的乘方运算，求解绝对值，负整数指数幂的运算，再合并即可；（2）先计算括号内的分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再结合分式有意义的条件可得0,a = 从而可得分式的值．【详解】解（1）2+|﹣4|﹣（12）﹣1 3425=（2）（1+2a a -）÷22444a a a --+ 222222a a aaa a2222a a a 22a =+ 2a ≠且2,a ≠-当0a =时，原式2 1.2 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算，分式的化简求值，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解本题的关键．40．（2022·湖北鄂州）先化简，再求值：21a a +﹣11a +，其中a ＝3． 【答案】1a -，2 【分析】先根据同分母分式的减法计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】解：2111a a a -++ 2=11a a -+ ()()11=1a a a +-+ 1a =-，当3a =时，原式312=-=．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知同分母分式的减法计算法则是解题的关键．41．（2022·福建）先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a =．【答案】11a -，2． 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a 的值代入化简之后的式子即可求出答案． 【详解】解：原式()()111a a a aa+-+=÷ ()()111a a a a a +=⋅+- 11a =-．当1a 时，原式2=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．42．（2022·贵州黔东南）（1）计算：()03π12 1.572-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）先化简，再求值：2221111202220221x x x x x x ++-⎛⎫÷-+ ⎪---⎝⎭，其中cos60x =︒．【答案】（1）（2）2-【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．【详解】（1）30(1)|2( 1.57)2π--+-31221(1)=++--1221=-++-=；（2）222111(1)202220221x x x x x x ++-÷-+--- 2(1)2022112022(1)(1)1x x x x x x x +-+-=⋅--+-- 111x x x x +=--- 11x =-∵1cos 602x ︒==， ∵原式=12112==--．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．43．（2022·湖南永州）先化简，再求值：2121x x x xx -+⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中1x =． 【答案】1x -【分析】先将括号内的分式进行合并，将分式的分子分母进行因式分解，并约分即可，再代入求值即可． 【详解】解：原式2121x x x x-+-=÷ ()()111x x x x x +-=⋅+ 1x =-当1x =时，原式11=-【点睛】本题考查分式的混合运算，因式分解，能够熟练掌握运算顺序是解决本题的关键．44．（2022·广西梧州）解方程：24133x x -=-- 【答案】5x =【分析】先方程两边同时乘以(3)x -，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以(3)x -得到：324x -+=，解出：5x =，当5x =时分式方程的分母不为0，∵分式方程的解为：5x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．45．（2022·广西玉林）解方程：1122x x x x -=--． 【答案】1x =-【分析】两边同时乘以公分母()1x -，先去分母化为整式方程，计算出x ，然后检验分母不为0，即可求解． 【详解】1122x x x x -=--，()112x x =-， 解得1x =-，经检验1x =-是原方程的解，故原方程的解为：1x =-【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．46．（2022·广东）先化简，再求值：211a a a -+-，其中5a =． 【答案】21a +，11【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项可；【详解】解：原式=()()111211a a a a a a a +-+=++=+-， a =5代入得：原式=2×5+1=11；【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式是解题关键．47．（2022·内蒙古通辽）先化简，再求值：242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，请从不等式组104513a a +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩ 的整数解中选择一个合适的数求值．【答案】22a a +，3【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a 的值并代入原式即可求出答案． 【详解】解：242a a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭ 2242a a a a -=⋅- ()()2222a a a a a +-=⋅- 22a a =+，104513a a +>⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 解不等式①得：1a >-解不等式②得：2a ≤，∵12a -<≤，∵a 为整数，∵a 取0，1，2，∵0,20a a ≠-≠，∵a =1，当a =1时，原式21213=+⨯=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．48．（2022·山东聊城）先化简，再求值：244422a a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-⎝⎭，其中112sin 452a -⎛⎫=︒+ ⎪⎝⎭．【答案】2a a -1 【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：()()()222244422222a a a a a a a a a a a a +---⎛⎫÷--=⨯- ⎪--⎝⎭- 22222a a a a a +=-=---，∵112sin 452222a -⎛⎫=︒+== ⎪⎝⎭，代入得：原式1=；故答案为：2a a -1． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．49．（2022·山东潍坊）（12103时，小亮的计算过程如下：解：2103= 41627316+-+=- 2=-小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①224-=；②10(1)1-=-；③66-=-；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：22213369x x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪-++⎝⎭，其中x 是方程2230x x --=的根． 【答案】（1）⑤(-2)-2=14，⑥(-2)0=1；28；（2）13x +，12． 【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=13x +，然后利用因式分解法解方程x 2-2x -3=0得到x 1=3，x 2=-1，则利用分式有意义的条件把x =-1代入计算即可．【详解】（1）其他错误，有：⑤(-2)-2=14，⑥(-2)0=1， 正确的计算过程：2103= 41627111--++=-+ =28；（2）22213369x x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪-++⎝⎭ 223(3)(3)(3)x x x x x x x -+-=⋅-+ 23(3)(3)(3)x x x x x x +-=⋅-+ =13x +， ∵x 2-2x -3=0，∵（x -3）（x +1）=0，x -3=0或x +1=0，∵x 1=3，x 2=-1，∵x =3分式没有意义，∵x 的值为-1，当x =-1时，原式=113-+=12． 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．50．（2022·辽宁锦州）先化简，再求值：2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭，其中|1x =+．【答案】11x -，2 【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x 的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x 的值代入原式．【详解】解：原式=2233111211x x x x x x --⎛⎫÷-+ ⎪-++-⎝⎭=23(1)11()(1)(1)311x x x x x x x x -+-⨯-++---- =111x x x x +--- =11x -|1x =+1∴原式【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的混合运算法则和用公式法进行因式分解是解题的关键．注意最后求值的结果要分母有理化．51．（2022·四川广安）先化简：2242(2)244x x x x x x -++÷--+，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代人求值． 【答案】x ；1或者3【分析】根据分式的混合运算法则即可进行化简，再根据分式有意义的条件确定x 可以选定的值，代入化简后的式子即可求解． 【详解】2242(2)244x x x x x x -++÷--+ 224(2)(2)44222[]x x x x x x x x+--+⨯=+--- 2244(2)2(2)x x x x x +--=-⨯-222x x x x=-⨯- x =根据题意有：0x ≠，20x -≠，故0x ≠，2x ≠，即在0、1、2、3中，当x =1时，原式=x =1；当x =3时，原式=x =3．【点睛】本题主要考查了运用分式的混合运算法则将分式的化简并求值、分式有意义的条件等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．52．（2022·广西贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．(1)绳子和实心球的单价各是多少元？(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？【答案】(1)绳子的单价为7元，实心球的单价为30元(2)购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个【分析】（1）设绳子的单价为x 元，则实心球的单价为(23)x +元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列出分式方程，解分式方程即可解题；（2）根据“总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍”列出一元一次方程即可解题．(1)解：设绳子的单价为x 元，则实心球的单价为(23)x +元， 根据题意，得：8436023x x =+， 解分式方程，得：7x =，经检验可知7x =是所列方程的解，且满足实际意义，∵2330x +=，答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．(2)设购买实心球的数量为m 个，则购买绳子的数量为3m 条，根据题意，得：7330510m m ⨯+=，解得10m =∵330m =答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个．【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键． 53．（2022·辽宁）2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A 、B 两款物理实验套装，其中A 款套装单价是B 款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A 款套装数量比用7500元购买的B 款套装数量多5套．求A 、B 两款套装的单价分别是多少元．【答案】A 款套装的单价是180元、B 款套装的单价是150元．【分析】设B 款套装的单价是x 元，则A 款套装的单价是1.2x 元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设B 款套装的单价是x 元，则A 款套装的单价是1.2x 元， 由题意得：9900750051.2x x=+， 解得：x =150，经检验，x =150是原方程的解，且符合题意，∵1.2x =180．答：A 款套装的单价是180元、B 款套装的单价是150元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．54．（2022·贵州贵阳）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设小货车货运量x 吨，则大货车货运量()4x +，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．【详解】解：设小货车货运量x 吨，则大货车货运量()4x +，根据题意，得，80604x x=+， 解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．。
专题04 二次根式(原卷版)-备战2024年中考数学真题题源解密(全国通用)
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a （a≥0）是一个非负数；判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．1.≥0； a≥0（双重非负性）．2.2()a a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．3.＝|a|＝（算术平方根的意义）1.二次根式的化简：（1）利用二次根式的基本性质进行化简；（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b ＞0）2.化简二次根式的步骤：（1）把被开方数分解因式；（2）利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1.积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）3.商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）规律方法总结：在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．1.分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．1.同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有意义，则若代数式有意义，则实数若代数式在实数范围内有意义，则实数计算等于（ ）．化简的结果为下列何者（ ）3．．．在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝考向三二次根式的乘除法．（2023•衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有•＝．该运算法则成立的条件是（ ）．×＝．﹣＝﹣÷＝﹣计算：＝ ．＝计算：（﹣++（）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）．．．．+2＝2．+＝．÷＝．+＝计算的结果是2 ．．．．．﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式÷里面的计算：÷×2﹣6．若，，则＝（ ）．．＝++，则的值是 ．＜的正整数解的个数有（ ）（精确到个位，参考数据：≈4.581．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（ ）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．3．（2023•上海）下列运算正确的是（ ）A．a5÷a2＝a3B．a3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a4．（2020•荆州）若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）A．B．﹣1C．D．（多选）5．（2021•潍坊）下列运算正确的是（ ）A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝C．＝D．＝26．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A．与B．与C．与D．与7．（2023•西宁）下列运算正确的是（ ）A．B．．．＝+12要使二次根式有意义，则为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知为正整数，若是大于计算：×的结果为计算：＝ 计算：﹣＝ （）﹣）（+）（﹣）则计算：．+，+2，+3的正方形面积分别记为+）+）+）+）•a3+2n的正方形面积记作。