考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (14年)行列式 【 】
A．(ad－bc)2
B．－(ad－bc)2
C．a2d2－b2c2
D．b2c2－a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于 D＝ ＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数
2． (89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有 【 】
A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜
B．AB＝BA
C．｜AB｜＝｜BA｜
D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
3． (94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则 【 】
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r＝r1．
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)． 知识模块：线性代数
4． (96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则
【 】
A．(A*)*＝｜A｜n-1A
B．(A*)*＝｜A｜n+1A
C．(A*)*＝｜A｜n-2A
D．(A*)*＝｜A｜n+2A
正确答案：C
解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确． 知识模块：线性代数
5． (97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则 【 】
A．AB＝BA．
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝
B．
C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝
B．
D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝
B．
正确答案：D
解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝
B．于是知D正确． 知识模块：线性代数
6． (98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为 【 】
A．1
B．
C．－1
D．
正确答案：B
解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而 因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A的左上角的n－1阶子式等于， 可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确． 知识模块：线性代数
7． (01年) 其中A可逆，则B-1等于 【 】
A．A-1P1P2
B．P1A-1P2
C．P1P2A-1
D．P2A-1P1
正确答案：C
解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1． 知识模块：线性代数
8． (03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有 【 】
A．a＝b或a＋2b＝0．
B．a＝b或a＋2b≠0．
C．a≠b且a＋2b＝0．
D．a≠b且a＋2b≠0．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
9． (04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有 【 】
A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．
B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．
C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．
D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．
正确答案：D
解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成
B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确． 知识模块：线性代数
10． (05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为 【 】
A．
B．3
C．
D．
正确答案：A
解析：由题设条件A*＝AT，即 其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有 再从AT＝A*两端取行列式，得 ｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有 知识模块：线性代数
11． (06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则 【 】
A．C＝p-1AP．
B．C＝PAP-1．
C．C＝PTAP．
D．C＝PAPT．
正确答案：B
解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵 则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于 所以，C＝PAQ＝PAP-1，
只有选项B正确． 知识模块：线性代数
填空题
12． (88年)＝_______．
正确答案：－3
解析：把行列式的各行都加到第1行，得 知识模块：线性代数
13． (16年)行列式＝_______．
正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4
解析：按第1列展开，得行列式为 知识模块：线性代数
14． (88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．
正确答案：
解析：利用初等行变换法： 故A-1＝A． 知识模块：线性代数
15． (91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．
正确答案：
解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设 其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即 由分块矩阵的乘法，得 AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得 X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得 知识模块：线性代数
16． (92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C＝，则｜C｜＝_______．
正确答案：(－1)mnab
解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有 知识模块：线性代数
17． (93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．
正确答案：0
解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18． (87年)设矩阵A、B满足关系式AB＝A＋2B，其中A＝，求矩阵
B．
正确答案：由题设等式得(A－2E)B＝A，其中E是单位矩阵．矩阵A－2E＝可逆，用(A－2E)-1左乘上式两端，得 涉及知识点：线性代数
19． (88年)设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式｜A｜＝，求行列式｜(3A)-1－2A*｜的值．
正确答案：因为(3A)-1＝A-1，A*＝｜A｜A-1＝A-1，所以 涉及知识点：线性代数
20． (89年)已知X＝AX＋B，其中 求矩阵X．
正确答案：由题设等式X＝AX＋B，得(E－A)X＝B，由于矩阵 可逆，故得 涉及知识点：线性代数
21． (90年)已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝O，试证明矩阵E－A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．
正确答案：由Ak＝0，有 (E－A)(E＋A＋…＋Ak-1)＝E＋A＋…＋Ak-1－A－…－Ak-1－Ak＝E－Ak＝E，由逆矩阵的定义即知E－A可逆，且有 (E－A)-1＝E＋A＋…＋Ak-1 涉及知识点：线性代数
22． (97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．
正确答案：(1)因为AA*＝A*A＝｜A｜I，故 (2)由(1)可得 ｜PQ｜＝｜A｜2(b－αTA-1α) 而｜PQ｜＝｜P｜.｜Q｜，且由P的定义知｜P｜＝｜A｜≠0，故由上式得 ｜P｜＝｜A｜(b－αTA-1α) 由此可知｜Q｜≠0b－αTA-1α≠0，即矩阵Q可逆αTA-1α≠b． 涉及知识点：线性代数
23． (15年)设矩阵A＝，且A3＝O． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X－XA2－AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
正确答案：(Ⅰ)由A3＝O两端取行列式，得｜A｜3＝0，从而得｜A｜＝0，而｜A｜＝a3，所以a＝0． (Ⅱ)由已知的X－XA2－AX＋AXA2＝E，得
X(E－A2)－AX(E－A2)＝E 即(E－A)X(E－A2)＝E 由(Ⅰ)知 由于E－A，E－A2均可逆，所以 X＝(E－A)-1(E－A2)-1 ＝ 涉及知识点：线性代数
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10.doc
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答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )
（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
2 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )
（A）P-1α。
（B）PTα。
（C）Pα。
（D）(P-1)Tα。
3 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
（A）λ1=0。
（B）λ2=0。
（C）λ1≠0。
答案见麦多课文库 （D）λ2≠0。
4 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
（A）λE一A=λE—B。
（B）A与B有相同的特征值和特征向量。
（C）A与B都相似于一个对角矩阵。
（D）对任意常数t，tE—A与tE一B相似。
5 矩阵相似的充分必要条件为( )
（A）a=0，b=2。
（B）a=0，b为任意常数。
（C）a=2，b=0。
（D）a=2，b为任意常数。
6 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )
（A）AT与BT相似。
（B）A-1与B-1相似。
（C）A+AT与B+BT相似。
（D）A+A-1与B+B-1相似。
答案见麦多课文库 7 设矩阵A=，则( )
（A）A与C相似，B与C相似。
（B）A与C相似，B与C不相似。
（C）A与C不相似，B与C相似。
考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 行列式 【 】
A．(ad—bc)2
B．—(ad—bc)2
C．a2d2—b2C2
D．b2c2—a2d2
正确答案：B
解析： 解1 按第1列展开，得所求行列式D等于 =—ad(ad—bc)+bc(ad—bc)= —(ad—bc)2 解2 先互换D的2、3两行，得 再通过相邻列的互换将第1列移至第3列，得 本题主要考查计算行列式的展开法则，具体的计算方法可有多种．解2的第2步利用了分块对角行列式的计算方法． 知识模块：线性代数
2． 设对方阵A施行初等初换得到方程
B．且∣A∣≠0，则 【 】
A．必有∣B∣=∣A∣．
B．必有∣B∣≠∣A∣．
C．必有∣B∣≠0．
D．∣B∣=0或∣B∣≠0依赖于所作初等变换．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
填空题
3． 设4阶矩阵A=[α1 β1 β2 β3]，B=[a2 β1 β2 β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，则行列式∣A+B∣=_______．
正确答案：∣A+B∣=∣α1+α2 2β1 2β2 2β3∣=8(∣α1 β1 β2 β3∣+∣α2 β1 β2 β3∣)=8(∣A∣+∣B∣)=8(4+1)=40 涉及知识点：线性代数
4． 设矩阵，I为3阶单位矩阵，则(A一2I)-1=_______．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
5．
正确答案：，可利用分块对角矩阵求逆的方法． 涉及知识点：线性代数
6． 已知α=(1，2，3)，，矩阵A=αTβ，n为正整数，则An=_______．
考研数学三(填空题)专项练习试卷31(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷31 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=________．
正确答案：2
解析：=|2A一1|=23|A一1|=2． 知识模块：线性代数
2． 设f(x)连续，且F(x)==__________
正确答案：a2f(a)
解析： 知识模块：微积分
3． 已知A2－2A+E=O，则(A+E)－1=_________．
正确答案：(3E－A)
解析：A2－2A+E=O，(A+E)(A－3E)=－4E，(A+E)－1=(3E－A)． 知识模块：线性代数
4． 设A是3阶矩阵，已知｜A+E｜=0，｜A+2E｜=0，｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜=_________．
正确答案：6
解析：由｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，知A有特征值λ=－1，－2，－3，A+4E有特征值λ=3，2，1，故｜A+4E｜=6． 知识模块：线性代数
5． 设
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
6． 函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．
正确答案：一2n(n一1)!
解析：将ln(1+t)按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=一2x代入第n项可得比较系数可得y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数为y(n)(0)=一2n(n一1)!(n=1，2，3，…) 知识模块：一元函数微分学
7． 设fˊ(ex)=1+x，则f(x)=_________．
正确答案：xlnx+C，其中C为任意常数
解析：设u=ex，则x=lnu，由fˊ(ex)=1+x，得fˊ(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+1nu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+
C． 知识模块：一元函数积分学
8． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为 知识模块：微积分
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知y=y(x)由方程．
正确答案：方程两边对自变量x求导，得 涉及知识点：微积分
2． 设，求n及a的值．
正确答案：由此可知n=2，a=-2e2． 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B
正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3， 因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因 式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E． 且由已求结果｜A｜=2，知 涉及知识点：矩阵
4． 求A的特征值．
正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3． 涉及知识点：线性代数
5． 已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?
正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得 ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0， 因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．
解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题． 知识模块：微积分
考研数学三(线性代数)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22一y32，其中P=(e1，e3，e3)。若Q一(e1，-e3，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为
A．2y12一y22+y32
B．2y12+y22一y32
C．2y12一y22一y32
D．2y12+y22+y32
正确答案：A
解析：本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求n阶实对称矩阵的n个两两正交的单位特征向量。设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e1，e2，e3是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有Ae1=2e1，Ae2=2e2，Ae3=2e3从而有AQ=A(e1，一e3，e2)=(Ae1，一Ae3，Ae2)=(2e1，一(一e3)，e2)矩阵Q的列向量e1，一e3，e2仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q-1=QT，上式两端左乘Q-1，得从而知，在正交变换x=Py下的标准形为f=2y12一y22+y32。于是选(A)。 知识模块：线性代数
2． 二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22一4x32一4x1x2—2x2x3的标准形是
A．2y12一y22一3y32
B．一2y12一y22一3y32
C．2y12+y22
D．2y12+y22+3y32
正确答案：A
解析：f即不正定(因f(0，0，1)=一4＜0)，也不负定(因f(1，0，0)=2＞0)，故(B)、(D)都不对；又f的秩=矩阵的秩=3，故(C)不对，只有(A)正确。或用配方法：f=2(1-a2)2一x22一4x32一22a2=2(1-a2)2一(1+a2)2一3x32一2y12一y22一3y32，其中所作满秩线性变换为 知识模块：线性代数
考研数学三(线性代数)模拟试卷78(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷78 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是则自由变量不能取成
A．x4，x5．
B．x2，x3．
C．x2，x4．
D．x1，x3．
正确答案：A
解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定．如果选择x4,x5，对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选(A)． 知识模块：线性代数
2． 设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是
A．如m＜n，则Ax=b有无穷多解．
B．如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．
C．如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．
D．Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．
正确答案：C
解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．关于(D)，Ax=b有唯一解 r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明． 知识模块：线性代数
3． 已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是
A．η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．
B．η1，η2，η3+η4，η3一η4．
C．η1，η2,η3，η4的一个等价向量组．
D．η1，η2,η3，η4的一个等秩的向量组．
正确答案：B
解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确．η1，η2,η3，η4，η1+η2与η1，η2,η3，η4等价．但前者线性相关，故(C)不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确．选(B)． 知识模块：
考研数学三(线性代数)模拟试卷145(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷145 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设4阶方阵A的行列式|A|=0，则A中( )
A．必有一列元素全为0．
B．必有两列元素对应成比例．
C．必有一列向量是其余列向量的线性组合．
D．任一列向量是其余列向量的线性组合．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
2． 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则( )
A．当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．
B．当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．
C．当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．
D．当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．
正确答案：D
解析：由条件知秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ)，而秩(Ⅱ)≤s，故秩(Ⅰ)≤s，当r＞s时，有秩(Ⅰ)≤s＜r，故(Ⅰ)必线性相关． 知识模块：线性代数
3． 设A，B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是( )
A．秩(A)=秩(B)．
B．|A|=|B|．
C．A与B有相同的特征多项式．
D．A、B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn，且λ1，λ2，…，λn两两不同．
正确答案：D
解析：在选项D的条件下，存在适当的可逆矩阵P、Q，使P－1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)=Q－1BQ，QP－1APQ－1=B，(PQ－1)－1A(PQ－1)=B，因PQ－1可逆，知A与B相似． 知识模块：线性代数
填空题
4． 方程f(z)==0的全部根是_______．
正确答案：1，2，3．
解析：利用范德蒙行列式得f(z)=(2－1)(3－1)(x－1)(3－2)(x－2)(x－3)． 知
识模块：线性代数
5． 设矩阵A=，I为3阶单位矩阵，则(A－2I)－1=_______．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
1989考研数学三真题和详解
1989考研数学三真题和详解
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是__
_ .
(2) 幂级数01nnxn的收敛域是__ _ .
(3) 齐次线性方程组
1231231230,0,0xxxxxxxxx 只有零解,则应满足的条件是__ _ .
(4) 设随机变量X的分布函数为
00sin0212,x,FxAx,x,,x, 则A=__________,6PX .
(5) 设随机变量X的数学期望()EX,方差2()DX,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}PX__ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设232xxfx,则当0x时
( )
(A) fx与x是等价无穷小量 (B)
fx与x是同阶但非等价无穷小量
(C) fx是比x较高阶的无穷小量 (D)
fx是比x较低阶的无穷小量
(2) 在下列等式中,正确的结果是
( )
(A) fxdxfx (B)
dfxfx
(C) dfxdxfxdx (D)
dfxdxfx
(3) 设A为n阶方阵且0A,则
( )
(A) A中必有两行(列)的元素对应成比例
考研数学三(填空题)专项练习试卷23(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
2． 设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0，则=________。
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
3． 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n一1，则线性方程组AX=0的通解为________。
正确答案：k(1，1，…，1)T(k为任意常数)。因基础解系含n—r(A)=n一(n一1)=1个向量，故Ax=0的任一非零解都可作为Ax=0的基础解系，由条件知ξ=(1，1，…，1)T是Ax=0的非零解，故Ax=0的通解为x=kξ。 涉及知识点：线性代数
4． 已知则f’（x）=________。
正确答案：
解析：当x＜0时，f’（x）=cosx;当x＞0时，f’（x）=1； 知识模块：微积分
5．
正确答案：
解析：先考查φ（x）的可导性并进行求导。φ（x）在x=0处的左导数为 知识模块：微积分
6． 设A为n阶矩阵，且|A|=0，Aki≠0，则AX=0的通解为________．
正确答案：C(Akk1，Akk2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．
解析：因为|A|=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)=n一1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=|A|E=0，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Akk1，Akk2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)． 知识模块：线性代数
7． 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=________。
正确答案：
解析：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求满足一定条件的概率P{g(X，Y)≤z0}，一般可转化为二重积分P{g(X，Y)≤z0}=f(x，y)dxdy进行计算。根据题设可得，如图3—3—1所示， 知识模块：概率论与数理统计
2012年考研数学三真题及答案
2012年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)曲线𝑦=𝑥2+𝑥𝑥2−1渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C。
【解析】
由𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥2+𝑥𝑥2−1=1=𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝑥2+𝑥𝑥2−1,
得𝑦=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑥2+𝑥𝑥2−1=∞得𝑥=1是曲线的一条垂直渐近线；
由𝑙𝑖𝑚𝑥→−1𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→−1𝑥2+𝑥𝑥2−1=12得𝑥=−1不是曲线的渐近线；
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2)设函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛),其中𝑛为正整数，则𝑓′(0)=
(A)(−1)𝑛−1(𝑛−1)! (B) (−1)𝑛(𝑛−1)!
(C)(−1)𝑛−1(𝑛)! (D) (−1)𝑛(𝑛)!
【答案】A
【解析】
【方法1】 令g(𝑥)=(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛),则
𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)g(𝑥)
𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥g(𝑥)+(𝑒𝑥−1)g′(𝑥)
𝑓′(0)=g(0)=(−1)(−2)⋯(−(𝑛−1))
=(−1)𝑛−1(𝑛−1)!
故应选A.
【方法2】
由于𝑓(0)=0,由导数定义知
𝑓′(0)=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑒𝑥−1)(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛)𝑥