考研数学三(线性代数)模拟试卷19(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷19 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(3α2，-α3，2α1)，则P-1AP等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：显然3α2，-α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P-1AP=，选
C． 知识模块：线性代数
2． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选
D． 知识模块：线性代数
3． 设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )．
A．若A2=E，则一1一定是矩阵A的特征值
B．若r(E+A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值
C．若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值
D．若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值
正确答案：A
解析：若r(E+A)＜n，则｜E+A｜=0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA=E，令AX=λE(其中X≠0)，则XTAT=λXT，于是XTATAX=
λ2XTX，即(λ2一1)XTX=0，而XTX＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选A． 知识模块：线性代数
4． 与矩阵A=相似的矩阵为( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选
D． 知识模块：线性代数
5． 设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等
B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵
C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为
D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等
正确答案：D
解析： 知识模块：线性代数
6． 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
A．存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B
B．存在正交矩阵Q，使得QTAQ=B
C．A，B与同一个对角矩阵相似
D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B
正确答案：D
解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选
D． 知识模块：线性代数
填空题
7． 设A=，｜A｜＞0且A*的特征值为一1，一2，2，则a11+a22+a33=________．
正确答案：-2
解析：因为｜A*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A-1=，一1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为一2，一1，1，于是a11+a22+a33=一2—1+1=一2． 知识模块：线性代数
8． 设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=一，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P= ．
正确答案：
解析：P-1(A-1+2E)P-1A-1P+2E，而-1A-1P= 知识模块：线性代数
9． 设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1，α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足________．
正确答案：λ2λ3≠0
解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)一0，即 (x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ22x3)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ22x2+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以≠0→λ2λ3≠0． 知识模块：线性代数
10． 若α1，α2，α3是三维线性无关的列向量，A是三阶方阵，且Aα1=α1+α2，Aα=α2+α3，Aα3=α3+α1，则｜A｜= ．
正确答案：2
解析：令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆，
知识模块：线性代数
11． 设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，一a，1)T是方程组AX=0的解，α=(a，1，1一a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=________．
正确答案：1
解析：因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1=0，λ2=一1为矩阵A的特征值，α1=(a，一a，1)T，α2=(a，1，1一a)T是它们对应的特征向量，所以有α1Tα2=a2一a+1一a=0，解得a=1． 知识模块：线性代数
12． 设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．
正确答案：4
解析：由｜λE一A｜==(λ+1)(λ一1)2=0得λ1=一1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E—A)=1，解得a=4． 知识模块：线性代数
13． 设A=有三个线性无关的特征向量，则a=________．
正确答案：0
解析：由｜λE一A｜=0得A的特征值为λ1=一2，λ1=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E—A)=1，解得a=0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14． 设A为n阶非零矩阵，且A2=A，r(A)=r．求｜5E+A｜．
正确答案：因为A2=A→A(E—A)=O→r(A)+r(E—A)=n→A可以对角化． 由A2=A，得｜A｜．｜E—A｜=0，所以矩阵A的特征值为λ=0，1． 因为r(A)=r，所以λ=1为r重特征值，λ=0为n一r重特征值， 所以5E+A的特征值为λ一6(r重)，λ=5(n一r重)，故｜5E+A｜=5n-r×6r． 涉及知识点：线性代数
15． 设A=相似于对角阵．求：(1)a及可逆阵P，使得P-1AP=A，其中A为对角阵； (2)A100．
正确答案：(1)｜λE一A｜=0→λ1=λ2=1，λ3=一1．因为A相似于对角阵，所以r(E—A)=1→a=一2→A=(E—A)X=0基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(一E—A)X=0基础解系为ξ3=(1，2，一1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP=diag(1，1，一1)．(2)P-1A100P=E→A100=PP-1=E． 涉及知识点：线性代数
16． 设A=有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
正确答案：因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=2的线性无关的特征向量有两个，故r(2E—A)=1， 涉及知识点：线性代数
17． 设A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．
正确答案：因为A为上三角矩阵，所以A的特征值为λ=λ=1，λ=λ=一1．因为A有四个线性无关的特征向量，即A可以对角化，所以有所以P-1A2010P=E，从而A2010=E． 涉及知识点：线性代数
18． 设A=，方程组AX=β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．
正确答案：(1)因为方程组AX=β有解但不唯一，所以｜A｜=0，从而a=一2或a=1． 涉及知识点：线性代数
19． 设矩阵A=， (1)若A有一个特征值为3，求a； (2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．
正确答案：(1)｜λE一A｜=(λ2一1)[λ2-(a+2)λ+2a一1]，将λ=3代入上式得a=2，于是A=(2)由｜λE一A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E—A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，一1，1)T；当λ=9时，由(9E—A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1， 涉及知识点：线性代数
20． 设矩阵A=为A*对应的特征向量．(1)求a，b及a对应的A*的特征值；(2)判断A可否对角化．
正确答案：(1)显然α也是矩阵A的特征向量，令Aα=λ1α，则有 涉及知识点：线性代数
21． 设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且的列向量，且 Aξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1一ξ2一2ξ3，Aξ3=2ξ1一2ξ2一ξ3． (1)求矩阵A的全部特征值； (2)求｜A*+2E｜．
正确答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=
B． 由｜λE一A｜=｜λE-B｜=(λ+5)(λ一1)2=0，得A的特征值为一5，1，1． (2)因为｜A｜=一5，所以A*的特征值为1，一5，一5，故A*+2E的特征值为3，一3，一3． 从而｜A2+2E｜=27． 涉及知识点：线性代数
22． 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2一4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．
正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2一4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6． 又因为｜A*｜=36=｜A｜3-1，所以｜A｜=6． 由，得λ1=3，λ2=2，λ3=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为1，． 因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化． 涉及知识点：线性代数
23． 设A=(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
24． 设二维非零向量a不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (14年)行列式 【 】
A．(ad－bc)2
B．－(ad－bc)2
C．a2d2－b2c2
D．b2c2－a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于 D＝ ＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数
2． (89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有 【 】
A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜
B．AB＝BA
C．｜AB｜＝｜BA｜
D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
3． (94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则 【 】
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r＝r1．
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)． 知识模块：线性代数
4． (96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则
【 】
A．(A*)*＝｜A｜n-1A
B．(A*)*＝｜A｜n+1A
C．(A*)*＝｜A｜n-2A
D．(A*)*＝｜A｜n+2A
正确答案：C
解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确． 知识模块：线性代数
5． (97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则 【 】
A．AB＝BA．
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝
B．
C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝
考研数学三线性代数(向量)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（向量）模拟试卷4 (题后含答案及解析)
题型有：1.jpg />其中l1≠0。
正确答案：由(I)可知，当l≠0时，系数l1，…，lm全不为零，所以将其代入(1)式得+k2α2+…+kmαm=0，即αm=0。又因为任意m一1个向量都线性无关，所以+km=0，即 涉及知识点：向量
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：
6． η*，ξ1，…，ξn-r线性无关；
正确答案：假设η*，ξ1，…，ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn-r使得c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0， (1)用矩阵A左乘上式两边，得 0=A(c0η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r)=c0η*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r=c0b，其中b≠0，则c0=0，于是(1)式变为 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，…,ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，与假设矛盾。所以η*，ξ1，…,ξn-r线性无关。 涉及知识点：向量
7． η*，η*+ξ1，…，η*+ξn-r线性无关。
正确答案：假设η*，η*+ξ1，η*+ξn-r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1,…，cn-r使 c0η*+c1(η*+ξ1)+…+cn-r(η*+ξn-r)=0，即 (c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r=0。 (2)用矩阵A左乘上式两边，得0=A[(c0+c1+…+cn-r)η*+c1ξ1+…+cn-rξn-r]=(c0+c1…+cn-r)Aη*+c1Aξ1+…+cn-rAξn-r =(c0+c1…+cn-r)b，因为b≠0，故c0+c1+…+cn-r=0，代入(2)式，有 c1ξ1+…+cn-rξn-r=0，ξ1，ξn-r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1,…,ξn-r线性无关，因此c1=c2=…=cn-r=0，则c0=0，与假设矛盾。
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷20 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足( )
A．a<0，b<0。
B．a>0，b>0。
C．a≤0，b>0。
D．a≥0，b<0。
正确答案：D
解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由 =0．可知x→∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b则当x→0时f(x)是x的
A．等价无穷小
B．二阶无穷小
C．三阶无穷小
D．四阶无穷小．
正确答案：C
解析：由题设[*]可知[*] 又有当x→0时[*]从而 [*] 由于[*]故可知[*]即当x→0时f(x)是x的三阶无穷小．应选
C． 知识模块：函数、极限、连续
3． 设则x=0是f(x)的( )．
A．连续点
B．第一类间断点
C．第二类间断点
D．不能判断连续性的点
正确答案：B
解析：当x＞0时，当x=0时，当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0—0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)． 知识模块：函数、极限、连续
4． 曲线y＝ 【 】
A．没有渐近线．
B．仅有水平渐近线．
C．仅有铅直渐近线．
D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．
正确答案：D 涉及知识点：微积分
5． 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜X}=α，则X等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜x}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图2—3及图2—4所示图形．如图2—4所示，根据标准正态分布的上α分位数的定义，可知，故选项C正确． 知识模块：概率论与数理统计
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷39.doc
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答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷39
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设矩阵，则A与B
（A）合同，且相似
（B）合同，但不相似
（C）不合同，但相似
（D）既不合同，也不相似
2 设，则在实数域上与A合同的矩阵为
二、填空题
3 若二次型f(x1，x2，x3)一2x12+x22+x23+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是________。
4 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2的秩为________。
5 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________。
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
答案见麦多课文库 5 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α1+α3，Aα3=2α2+3α3
6 求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
7 求矩阵A的特征值；
8 求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
9 问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2一2x1x3+4x2x3为正定二次型?
10 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵。
11 设二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2一2βx2x3+2x1x3经正交交换X=PY化成f=y22+2y32，其中X=(x1，x2，x3)T和Y=(y1，y2，y3)T是3维列向量，P是3阶正交矩阵，试求常数α，β。
12 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。 (1)写出二次型f的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是
( )
A．第一类间断点
B．第二类间断点
C．既有第一类间断点也有第二类间断点
D．结论不确定
正确答案：A
解析：不妨设f(x)单调增加，且｜f(x)｜≤M，对任一点x0∈(a，b)，当x→x0－时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当x→x0+时，f(x)随着x减小而减小且有下界，故存在，故x0只能是第一类间断点． 知识模块：函数、极限、连续
2． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．
A．当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数
B．当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数
C．当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数
D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数
正确答案：A
解析：解一 由题设有当f(x)为奇函数时，为偶函数，而C也为偶函数，故F(x)必为偶函数．仅(A)入选． 解二 直接证明(A)正确．f(x)的全体原函数可表示为于是故F(x)为偶函数．选项(A)成立． 知识模块：微积分
3． 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( )
A．A1，A2，A3相互独立
B．A2，A3，A4相互独立
C．A1，A2，A3两两独立
D．A2，A3，A4两两独立
正确答案：C
解析：显然P(A1)=P(A2)=，且A1与A2相互独立。由于 A3=A1A2，A4=A1A2，所以 P(A3)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P(A2)=；P(A4)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=。从而P(A1A2)=，P(A1A3)=P(A1；P(A2A3)=P(A2)=；P(A2A4)=P(A1A2)=，P(A3A4)=0。故诜项C正确。 知识模块：概率论与数理统计
考研数学三(线性代数)模拟试卷93(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷93 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求的x3的系数．
正确答案：在完全展开式的24项中除了对角线元素乘积这一项外，其他23项x的次数都不超过2，因此(x一3)(x一8)(x+1)x中x3的系数一10就是所求．
解析：一般地，(x一a1)(x一a2)(x一a3)(x一a4)展开式中，x3的系数为一(a1+a2+a3+a4)． 知识模块：线性代数
2． 证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．
正确答案：设4个根为x1，x2，x3，x4．因为｜xE—A｜是x的4次多项式，并且x4的系数为1，所以｜xE—A｜=(x一x1)(x一x1)(x一x3)(x一x4)．
解析：由例1．1的方法的启示，考察x3的系数．从右侧看为一(x1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为｜xE—A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x一a11)(x一a22)(x一a33)(x一a44)这一项包含x3，并且系数为一(a11+a22+a33+a44)．于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44. 知识模块：线性代数
3． 设A与B分别是m，n阶矩阵，证明
正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列邻换(共进行了n次)，再把右部分的第2列依次和左部分的各列邻换，……，最后把右部分的第m列依次和左部分的各列邻换．一共进行了mn次邻换．于是 涉及知识点：线性代数
4． 设4阶矩阵A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．
正确答案：A+B=(α+β，2γ1，2γ2，2γ3)，(注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加)｜A+B｜=｜α+β，2γ1，2γ2，2γ3｜=8｜α+β，γ1，γ2，γ3｜(用性质③，二，三，四列都提出2)=8(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=8(2+3)=40． 涉及知识点：线性代数
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (99年)设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 【 】
A．λE－A＝λE－
B．
B．A与B有相同的特征值和特征向量．
C．A和B都相似于一个对角矩阵．
D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似
正确答案：D
解析：由已知条件，存在可逆矩阵P，使得 P-1AP＝B 所以P-1(tE－A)P＝tE－P-1AP＝tE－B 这说明tE－A与tE－B相似，故D正确． 知识模块：线性代数
2． (02年)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是
【 】
A．P-1α
B．PTα
C．Pα
D．(P-1)Tα
正确答案：B
解析：由条件有AT＝A，Aα＝λα，故有 (P-1AP)T(PTα)＝PTA(PT)-1PTα＝PTAα＝PTλα＝λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα＝0，两端左乘(PT)-1，得α＝0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确． 知识模块：线性代数
3． (05年)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是 【 】
A．λ1＝0
B．λ2＝0
C．λ1≠0
D．λ2≠0
正确答案：D
解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1＋α2)，即向量组α1，λ1α1＋λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2＝0时，α1，λ
2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1＋α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关≠0，只有选项D正确． 知识模块：线性代数
考研数学三(线性代数)模拟试卷78(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷78 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是则自由变量不能取成
A．x4，x5．
B．x2，x3．
C．x2，x4．
D．x1，x3．
正确答案：A
解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定．如果选择x4,x5，对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选(A)． 知识模块：线性代数
2． 设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是
A．如m＜n，则Ax=b有无穷多解．
B．如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．
C．如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．
D．Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．
正确答案：C
解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故(B)不正确．关于(D)，Ax=b有唯一解 r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=n→r(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明． 知识模块：线性代数
3． 已知η1，η2,η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是
A．η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．
B．η1，η2，η3+η4，η3一η4．
C．η1，η2,η3，η4的一个等价向量组．
D．η1，η2,η3，η4的一个等秩的向量组．
正确答案：B
解析：向量组(A)线性相关，(A)不正确．η1，η2,η3，η4，η1+η2与η1，η2,η3，η4等价．但前者线性相关，故(C)不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确．选(B)． 知识模块：
考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题后含
考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
A．[α1，-α2，α3]．
B．[α1，α2+α3，α2-2α3]．
C．[α1，α3，α2]．
D．[α1+α2，α1-α2，α3]．
正确答案：D
解析：若P-1AP=A=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA．即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关． 若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确． 若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确． 对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确． 由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选
D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
2． 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )
A．λ-1｜A｜
B．λ-1｜A｜
C．λ｜A｜
D．λ｜An｜
正确答案：B
解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=λx． 上式两边左乘A*，并考虑到 A*A=｜A｜E， 得
考研数学三(线性代数)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷135 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则
A．α必可由β，γ，δ线性表示．
B．β必不可由α，γ，δ线性表示．
C．δ必可由α，β，γ线性表示．
D．δ必不可由α，β，γ线性表示．
正确答案：C
解析：故应选
C． 知识模块：线性代数
2． 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是
A．α1，α2，…，αs均不是零向量．
B．α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．
C．α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．
D．α1，α2，…，αs中任一个向量均不能由其余s一1个向量线性表出．
正确答案：D
解析：A，B均是线性无关的必要条件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，虽α1，α2，α3均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但α1+α2—α3=0，α1，α2，α3线性相关． C是线性无关的充分条件．由α1，α2，…，αs，αs+1线性无关→α1，α2，…，αs线性无关，但由α1，α2，…，αs线性无关α1，α2，…，αs，αs+1线性无关． D是线性相关的意义．故应选
D． 知识模块：线性代数
3． 设α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列说法正确的是
A．若α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，则α1+α3，α2+α4也线性相关．
B．若α1，α2，α3线性无关，则α1+α4，α2+α4，α3+α4线性无关．
C．若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．
D．若α1，α2，α3，α4中任意三个向量均线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．
正确答案：C
解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(0，3)，则α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，但α1+α2=(1，2)，α2+α4=(2，3)线性无关．故A不正确． 对于(B)，取α4=一α1，即知(B)不对． 对于(D)，可考察向