考研数学三(线性代数)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷120 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B，A＋B，A－1＋B－1皆为可逆矩阵，则(A－1＋B－1)－1等于( )．
A．A＋B
B．A－1＋B－1
C．A(A＋B)－1B
D．(A＋B)－1
正确答案：C
解析：A(A＋B)－1B(A－1＋B－1)＝[(A＋B)A－1]－1(BA－1＋E)＝(BA－1＋E)－1(BA－1＋E)＝E，选(C)． 知识模块：线性代数
2． 设则m，n可取( )．
A．m＝3，n＝2
B．m＝3，n＝5
C．m＝2，n＝3
D．m＝2，n＝2
正确答案：B
解析：P1mAP2n＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1＝＝E13，且Eij2＝E，P1mAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，选(B)． 知识模块：线性代数
3． 设A＝(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，则( )．
A．m＞n
B．m＝n
C．存在m阶可逆阵P，使得AP＝
D．若AB＝O，则B＝O
正确答案：D
解析：因为对任意不全为零的常数k1，k2，…，km，有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，所以向量组α1，α2，…，αm线性无关，即方程组AX＝0只有零解，故若AB＝O，则B＝O，选(D)． 知识模块：线性代数
4． 设α1，α2，…，αM与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)＝r(β1，β2，…，βs)＝r，则( )．
A．两个向量组等价
B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)＝r．
C．若向量组α1，α1…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价
D．两向量组构成的矩阵等价
正确答案：C
解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs线性表示，则α1，α2，…，αr，也可由β1，β2，…，βαr，线性表示，若β1，β2，…，βr，不可由α1，α2，…，αr，线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)． 知识模块：线性代数
5． 设A为m×n阶矩阵，则方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．
A．r(A)＝m
B．r(A)＝n
C．A为可逆矩阵
D．r(A)＝n且b可由A的列向量组线性表示
正确答案：D
解析：方程组AX＝b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)＝n，选(D)． 知识模块：线性代数
6． 设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．
A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等
B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵
C．若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为
D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等
正确答案：D
解析：(A)不对，如A＝，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如A＝，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP＝，于是r(A)＝，故选(D)． 知识模块：线性代数
填空题
7． 设A为n阶矩阵，且｜A｜＝a≠0，则｜(kA)*｜＝______．
正确答案：kn(n－1)an－1
解析：因为(kA)*＝kn－1A*，且｜A*｜＝｜A｜n－1，所以｜(kA)*｜＝｜
kn－1A*｜＝kn(n－1)｜A｜n－1＝kn(n－1)an－1． 知识模块：线性代数
8． 设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝______．
正确答案：1
解析：BA＝Or(A)＋r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)＝1． 知识模块：线性代数
9． 设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝，λ3＝其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(2α3,－3α1，－α2)，则P－1(A－1＋2E)P＝______．
正确答案：
解析：P－1(A－1＋2E)P－1A－1P＋2E，而P－1A－1P＝，所以P－1(A－1＋2E)P＝ 知识模块：线性代数
10． 设A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝______．
正确答案：0
解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E－A)＝1，解得a＝0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11． 设A＝(aij)n×m是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．
正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAakn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0． 涉及知识点：线性代数
12． 设A＝E－ααT ，其中α为n维非零列向量．证明：(1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
正确答案：(1)令αTα＝k，则A2＝(E－αTα)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要条件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要条件是α为单位向量．(2)当α是单位向量时，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数
13． 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．
正确答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜
＝｜A｜n－1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)＝n；当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1；当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A*＝O，故r(A*)＝0． 涉及知识点：线性代数
14． 设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(I)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
正确答案：因为向量组(I)的秩为3，所以α1，α2，α3线性无关，又因为向量组(Ⅱ)的秩也为3，所以向量α4可由向量组α1，α2，α3线性表示．因为向量组(Ⅲ)的秩为4，所以α1，α2，α3，α5线性无关，即向量α5不可由向量组α1，α2，α3线性表示，故向量α5－α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α5－α4线性无关，于是向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4． 涉及知识点：线性代数
15． 设A为n阶矩阵，若Ak＋1≠0，而Akα＝0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
正确答案：令l0α＋l1Aα＋…＋lk－1Ak－10(*)(*)两边同时左乘Ak－1得l0Ak－1＝0，因为Ak－1≠0，所以l0＝0；(*)两边同时左乘Ak－2得l1Ak－1α＝0，因为Ak－1α≠0，所以l1＝0，依次类推可得l2＝…＝lk－1＝0，所以α，Aα，…，Ak－1α线性无关． 涉及知识点：线性代数
16． a，b取何值时，方程组有解?
正确答案：(1)s≠1时，r(A)＝＝4，唯一解为x1＝，x4＝0；(2)a＝1，b≠－1时，r(A)≠，因此方程组无解；(3)a＝1，b＝－1时，通解为X＝k1(1，－2，1，0)T＋k2(1，－2，0，1)T＋(－1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)． 涉及知识点：线性代数
17． 证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．
正确答案：令A＝，方程组(I)可写为AX＝b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为ATY＝0及若方程组(I)有解，则r(A)＝r(AB)，从而r(AT)＝r又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则r(AT)＝r，从而r(A)＝r(Ab)，故方程组(I)有解． 涉及知识点：线性代数
18． 证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．
正确答案：令r(B)＝r，BX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，因为BX＝0的解一定是ABX＝0的解，所以ABX＝0的基础解系所含的线性无
关的解向量的个数不少于BX＝0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n－r(AB)≥n－r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB)T]＝r(AB)＝r(BTA*)≤r(A*)＝r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B))． 涉及知识点：线性代数
19． 当a,b取何值时，方程组无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解．
正确答案：(1)当a≠－1且a≠6时，方程组有唯一解；(2)当a＝6时，当a＝－1，b≠36时，方程组无解；当a＝－1，b＝36时，方程组有无数个解， 涉及知识点：线性代数
20． 设A＝方程组AX＝B有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角阵；(3)求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．
正确答案：(1)因为方程组AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，从而a＝－2或a＝1．当a＝－2时，＝2＜3，方程组有无穷多解；当a＝1时，，方程组无解，故a＝－2．(2)由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0对应的线性无关的特征向量为ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3对应的线性无关的特征向量为ξ2＝由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3对应的线性无关的特征向量为ξ3＝． 涉及知识点：线性代数
21． 设A＝的一个特征值为λ1＝2，其对应的特征向量为ξ1＝(1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．
正确答案：(1)由Aξ1＝2ξ1，得(2)由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝－1．由(2E－A)X＝0，得由(－E－A)X＝0，得α3＝显然A可对角化，令P＝． 涉及知识点：线性代数
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (14年)行列式 【 】
A．(ad－bc)2
B．－(ad－bc)2
C．a2d2－b2c2
D．b2c2－a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于 D＝ ＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数
2． (89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有 【 】
A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜
B．AB＝BA
C．｜AB｜＝｜BA｜
D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
3． (94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则 【 】
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r＝r1．
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)． 知识模块：线性代数
4． (96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则
【 】
A．(A*)*＝｜A｜n-1A
B．(A*)*＝｜A｜n+1A
C．(A*)*＝｜A｜n-2A
D．(A*)*＝｜A｜n+2A
正确答案：C
解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确． 知识模块：线性代数
5． (97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则 【 】
A．AB＝BA．
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝
B．
C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝
最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)
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线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12 B.-6
C.6 D.12
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)kk倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B是由A的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)kk倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】
（2008,4）1．设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为（ ）
A．-15 B．-6
C．6 D．15
答案：C。
2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3
=( )
A.-180 B.-120 精品文档
精品文档 C.120 D.180
【答案】A
【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有：
441424344433313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 00022 3 2 3303(002)6(1) =630180. 210AAAAAAA
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷20 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足( )
A．a<0，b<0。
B．a>0，b>0。
C．a≤0，b>0。
D．a≥0，b<0。
正确答案：D
解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由 =0．可知x→∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b则当x→0时f(x)是x的
A．等价无穷小
B．二阶无穷小
C．三阶无穷小
D．四阶无穷小．
正确答案：C
解析：由题设[*]可知[*] 又有当x→0时[*]从而 [*] 由于[*]故可知[*]即当x→0时f(x)是x的三阶无穷小．应选
C． 知识模块：函数、极限、连续
3． 设则x=0是f(x)的( )．
A．连续点
B．第一类间断点
C．第二类间断点
D．不能判断连续性的点
正确答案：B
解析：当x＞0时，当x=0时，当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0—0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)． 知识模块：函数、极限、连续
4． 曲线y＝ 【 】
A．没有渐近线．
B．仅有水平渐近线．
C．仅有铅直渐近线．
D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．
正确答案：D 涉及知识点：微积分
5． 设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜X}=α，则X等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜x}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图2—3及图2—4所示图形．如图2—4所示，根据标准正态分布的上α分位数的定义，可知，故选项C正确． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 行列式 【 】
A．(ad—bc)2
B．—(ad—bc)2
C．a2d2—b2C2
D．b2c2—a2d2
正确答案：B
解析： 解1 按第1列展开，得所求行列式D等于 =—ad(ad—bc)+bc(ad—bc)= —(ad—bc)2 解2 先互换D的2、3两行，得 再通过相邻列的互换将第1列移至第3列，得 本题主要考查计算行列式的展开法则，具体的计算方法可有多种．解2的第2步利用了分块对角行列式的计算方法． 知识模块：线性代数
2． 设对方阵A施行初等初换得到方程
B．且∣A∣≠0，则 【 】
A．必有∣B∣=∣A∣．
B．必有∣B∣≠∣A∣．
C．必有∣B∣≠0．
D．∣B∣=0或∣B∣≠0依赖于所作初等变换．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
填空题
3． 设4阶矩阵A=[α1 β1 β2 β3]，B=[a2 β1 β2 β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，则行列式∣A+B∣=_______．
正确答案：∣A+B∣=∣α1+α2 2β1 2β2 2β3∣=8(∣α1 β1 β2 β3∣+∣α2 β1 β2 β3∣)=8(∣A∣+∣B∣)=8(4+1)=40 涉及知识点：线性代数
4． 设矩阵，I为3阶单位矩阵，则(A一2I)-1=_______．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
5．
正确答案：，可利用分块对角矩阵求逆的方法． 涉及知识点：线性代数
6． 已知α=(1，2，3)，，矩阵A=αTβ，n为正整数，则An=_______．
考研数学三(解答题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 证明：D=
正确答案： 涉及知识点：线性代数
2． 设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
3． 设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有 ｜f’(c)｜≤2a+b．
正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有
f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f”(ξ)(x一c)2， (*)其中ξ=c+θ(x一c)，0f”(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f”(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得 f(1)一f(0)=f，(c)+[f”(ξ2)(1一c)2一f”(ξ1)c2]． 从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f”(ξ1)c2一f”(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．
解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开． 知识模块：微积分
4． 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．
正确答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即 2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=． 涉及知识点：一元函数积分学
考研数学三(线性代数)模拟试卷62(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷62 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．
A．α1，α2，α3线性无关
B．α1，α2，α3线性相关
C．α1，α2，α4线性无关
D．α1，α2，α4线性相关
正确答案：B
解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)． 知识模块：线性代数
2． 设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．
A．β4不能由β1，β2，β3线性表示
B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一
C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一
D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定
正确答案：C
解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一线性表示，选(C)． 知识模块：线性代数
3． 设A=(α1，α2，…，αm)，其中α1，α2，…，αm是n维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k2，…，km，皆有k1αm+k2α2+…+kmαm≠0，则( )．
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是
( )
A．第一类间断点
B．第二类间断点
C．既有第一类间断点也有第二类间断点
D．结论不确定
正确答案：A
解析：不妨设f(x)单调增加，且｜f(x)｜≤M，对任一点x0∈(a，b)，当x→x0－时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当x→x0+时，f(x)随着x减小而减小且有下界，故存在，故x0只能是第一类间断点． 知识模块：函数、极限、连续
2． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．
A．当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数
B．当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数
C．当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数
D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必为单调增函数
正确答案：A
解析：解一 由题设有当f(x)为奇函数时，为偶函数，而C也为偶函数，故F(x)必为偶函数．仅(A)入选． 解二 直接证明(A)正确．f(x)的全体原函数可表示为于是故F(x)为偶函数．选项(A)成立． 知识模块：微积分
3． 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件( )
A．A1，A2，A3相互独立
B．A2，A3，A4相互独立
C．A1，A2，A3两两独立
D．A2，A3，A4两两独立
正确答案：C
解析：显然P(A1)=P(A2)=，且A1与A2相互独立。由于 A3=A1A2，A4=A1A2，所以 P(A3)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P(A2)=；P(A4)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=。从而P(A1A2)=，P(A1A3)=P(A1；P(A2A3)=P(A2)=；P(A2A4)=P(A1A2)=，P(A3A4)=0。故诜项C正确。 知识模块：概率论与数理统计
考研数学三(线性代数)模拟试卷93(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷93 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求的x3的系数．
正确答案：在完全展开式的24项中除了对角线元素乘积这一项外，其他23项x的次数都不超过2，因此(x一3)(x一8)(x+1)x中x3的系数一10就是所求．
解析：一般地，(x一a1)(x一a2)(x一a3)(x一a4)展开式中，x3的系数为一(a1+a2+a3+a4)． 知识模块：线性代数
2． 证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．
正确答案：设4个根为x1，x2，x3，x4．因为｜xE—A｜是x的4次多项式，并且x4的系数为1，所以｜xE—A｜=(x一x1)(x一x1)(x一x3)(x一x4)．
解析：由例1．1的方法的启示，考察x3的系数．从右侧看为一(x1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为｜xE—A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x一a11)(x一a22)(x一a33)(x一a44)这一项包含x3，并且系数为一(a11+a22+a33+a44)．于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44. 知识模块：线性代数
3． 设A与B分别是m，n阶矩阵，证明
正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列邻换(共进行了n次)，再把右部分的第2列依次和左部分的各列邻换，……，最后把右部分的第m列依次和左部分的各列邻换．一共进行了mn次邻换．于是 涉及知识点：线性代数
4． 设4阶矩阵A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．
正确答案：A+B=(α+β，2γ1，2γ2，2γ3)，(注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加)｜A+B｜=｜α+β，2γ1，2γ2，2γ3｜=8｜α+β，γ1，γ2，γ3｜(用性质③，二，三，四列都提出2)=8(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=8(2+3)=40． 涉及知识点：线性代数
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (99年)设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 【 】
A．λE－A＝λE－
B．
B．A与B有相同的特征值和特征向量．
C．A和B都相似于一个对角矩阵．
D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似
正确答案：D
解析：由已知条件，存在可逆矩阵P，使得 P-1AP＝B 所以P-1(tE－A)P＝tE－P-1AP＝tE－B 这说明tE－A与tE－B相似，故D正确． 知识模块：线性代数
2． (02年)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是
【 】
A．P-1α
B．PTα
C．Pα
D．(P-1)Tα
正确答案：B
解析：由条件有AT＝A，Aα＝λα，故有 (P-1AP)T(PTα)＝PTA(PT)-1PTα＝PTAα＝PTλα＝λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα＝0，两端左乘(PT)-1，得α＝0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确． 知识模块：线性代数
3． (05年)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是 【 】
A．λ1＝0
B．λ2＝0
C．λ1≠0
D．λ2≠0
正确答案：D
解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1＋α2)，即向量组α1，λ1α1＋λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2＝0时，α1，λ
2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1＋α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关≠0，只有选项D正确． 知识模块：线性代数
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知y=y(x)由方程．
正确答案：方程两边对自变量x求导，得 涉及知识点：微积分
2． 设，求n及a的值．
正确答案：由此可知n=2，a=-2e2． 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B
正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3， 因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因 式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E． 且由已求结果｜A｜=2，知 涉及知识点：矩阵
4． 求A的特征值．
正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3． 涉及知识点：线性代数
5． 已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?
正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得 ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0， 因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．
解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题． 知识模块：微积分