考研数学三(线性代数)模拟试卷108(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷108 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（ ）
A．A+B是对称矩阵
B．AB是对称矩阵
C．A*+B*是对称矩阵
D．A一2B是对称矩阵
正确答案：B
解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。所以应选B。
知识模块：线性代数
2．
A．P1P3A
B．P2P3A
C．AP3P2
D．AP1P3
正确答案：B
解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3，A正是后者，所以应选B。 知识模块：线性代数
3． 设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（ ）
A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
正确答案：A
解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。若向量组α1，α2，…，αs线性相关，则r（B）＜s，从而r（AB）≤r（B）＜s，向量组Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关，故应选A。 知识模块：线性代数
4． 非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则（ ）
A．无法确定方程组是否有解
B．方程组有无穷多解
C．方程组有唯一解
D．方程组无解
正确答案：B
解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B。 知识模块：线性代数
5． 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（ ）
A．不存在
B．仅含一个非零解向量
C．含有两个线性无关的解向量
D．含有三个线性无关的解向量
正确答案：B
解析：由A*≠O可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n一1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r（A）≥n一1。又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r（A）＜n，从而r（A）=n一1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B。 知识模块：线性代数
6． 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（ ）
A．λ1≠0
B．λ2≠0
C．λ1=0
D．λ2=0
正确答案：B
解析：令k1α1+k2A（α1+α2）=0，则（k1+k2λ1）α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，
k2=0，此时α1，A（α1+α2）线性无关；反过来，若α1，A（α1+α2）线性无关，则必然有λ2≠0（否则，α1与A（α1+α2）=λ1α1线性相关），故应选B。 知识模块：线性代数
7． 设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）
A．若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量
B．若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量
C．若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量
D．若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量
正确答案：D
解析：如果α是2A的特征向量，即（2A）α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。由于（λE—A）x=0与（λE—AT）x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。所以应选D。 知识模块：线性代数
8． 已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值A=5的特征向量，那么矩阵P不能是（ ）
A．（α1，—α2，α3）
B．（α1，α2+α3，α2一2α3）
C．（α1，α3，α2）
D．（α1+α2，α1一α2，α3）
正确答案：D
解析：若P—1AP=Λ=，P=（α1，α2，α3），则有AP=PΛ，即（Aα1，Aα2，Aα3）=（λ1α1，λ2α2，λ3α3），可见αi是矩阵A属于特征值λi（i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。 知识模块：线性代数
9． 二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（2x1+3x2+x3）2一5（x2+x3）2的规范形为（ ）
A．y12+y22+4y32
B．y22一y32
C．y12一y22一y32
D．y12一y22+y32
正确答案：B
解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得f（x1，x2，x3）=5x1x2+5x2x2一4x3x2+14x1x2+4x1x3—4x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵A的特征根为12，一6，0。因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，所以选B。 知识模块：线性代数
10． 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）
A．xT（A+B）x
B．xTA—1x
C．xTB—1x
D．xTABx
正确答案：D
解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设Apj=λjpj，则A—1pj=pj，A—1的n个特征值（j=1，2，…，n）必都大于零，这说明A—1为正定阵，xTA—1x为正定二定型。同理，xTB—1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT（A+B）x=xTAx+xTBx＞0， 这说明xT（A+B）x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。 知识模块：线性代数
填空题
11． 行列式=________。
正确答案：一2（x3+y3）
解析：将后两列加到第一列上=一2（x3+y3）。 知识模块：线性代数
12． 设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。
正确答案：18
解析：由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（一1）X（一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。 知识模块：线性代数
13． 如果A=（B+E），且B2=E，则A2=________。
正确答案：A
解析：已知A=（B+E）且B2=E，则即A2=A。 知识模块：线性代数
14．
正确答案：
解析：|A|=1，|B|=（2—1）（3—1）（3—2）=2，所以A，B均可逆，则也可逆。由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2—1=1，同理可得|B*|=|B|3—1=4，且 知识模块：线性代数
15． 已知n阶矩阵则r（A2一A）=________。
正确答案：1
解析：因为A2一A=A（A—E），且矩阵可逆，所以r（A2一A）=r（A—E），而r（A—E）=1，所以r（A2一A）=1。 知识模块：线性代数
16． 向量组α1=（1，一2，0，3）T，α2=（2，一5，一3，6）T，α3=（0，1，3，0）T，α4=（2，一1，4，7）T的一个极大线性无关组是________。
正确答案：α1，α2，α4
解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（α1，α2，α3，α4）因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。 知识模块：线性代数
17． 方程组有非零解，则k=________。
正确答案：一1
解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12（k+1）=0，因此得k=一1。 知识模块：线性代数
18． 设n阶矩阵A的秩为n一2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为________。
正确答案：α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数
解析：α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n一r（A）=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数。 知识模块：线性代数
19． 已知α=（1，3，2）T，β=（1，一1，一2）T，A=E一αβT，则A的最大的特征值为________。
正确答案：7
解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr（αβT），其中tr（αβT）=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。 知识模块：线性代数
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10.doc
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答案见麦多课文库 [考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )
（A）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
（B）(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
（C）(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
（D）(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
2 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )
（A）P-1α。
（B）PTα。
（C）Pα。
（D）(P-1)Tα。
3 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )
（A）λ1=0。
（B）λ2=0。
（C）λ1≠0。
答案见麦多课文库 （D）λ2≠0。
4 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )
（A）λE一A=λE—B。
（B）A与B有相同的特征值和特征向量。
（C）A与B都相似于一个对角矩阵。
（D）对任意常数t，tE—A与tE一B相似。
5 矩阵相似的充分必要条件为( )
（A）a=0，b=2。
（B）a=0，b为任意常数。
（C）a=2，b=0。
（D）a=2，b为任意常数。
6 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )
（A）AT与BT相似。
（B）A-1与B-1相似。
（C）A+AT与B+BT相似。
（D）A+A-1与B+B-1相似。
答案见麦多课文库 7 设矩阵A=，则( )
（A）A与C相似，B与C相似。
（B）A与C相似，B与C不相似。
（C）A与C不相似，B与C相似。
近年考研数学三线性代数部分题目整合
1线性代数-考研题
第一章 行列式
一．选择题
1． （95）若
21321,,,,ββααα
都是四维列向量，且四阶行列式m=|,,,|
1321βααα
，n=|,,,|
3221αβαα
，
则四阶行列式|)(,,,|
21321ββααα
+
等于（ ）
（A）nm+
． （B）)(nm+−
． （C）mn−
． （D）nm−
．
二．填空题：
1． （96
）五阶行列式=
−−−−−−−−−
=
aaaaaaaaa
D
110001100011000110001
．
2． （97）设n
阶矩阵
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
=
0111110111110111110111110
LLLLLLLLLLL
A
，则=||A
．
3． （99）设随机变量)2;,,2,1,(≥=nnjiX
ijL
独立同分布，2)(=
ijXE
，则行列式
nnnnnn
XXXXXXXXX
Y
LLLLLLL
212222111211
=
的数学期望=)(YE
．
4． （01
）设行列式
2235007022220403
−−=D
，则第四行各元素余子式之和的值为 ．
5． （05）设
321,,ααα
均为三维列向量，记三阶矩阵
),,(
321ααα
=A
，)93,42,(
321321321ααααααααα
++++++=B
．
如果1||=A
，那么=||B
．
6． （06）已知
21,αα
为2维列向量，矩阵),2(
2121αααα
−+=A
，),(
21αα
=B
．若行列式6||=A
，则
=||B
．
第二章 矩阵 2一．选择题：
1． （96）设n
阶矩阵A
非奇异)2(≥n
，*A
是矩阵A
的伴随矩阵，则（ ）
（A）AAAn1
||*)*(−
=
． （B）AAAn1
||*)*(+
=
．
（C）AAAn2
||*)*(−
=
． （D）AAAn2
||*)*(+
=
．
2． （97）设BA,
为同阶可逆矩阵，则（ ）
（A）BAAB=
． （B）存在可逆矩阵P
，使BAPP=−1
．
（C）存在可逆矩阵C
，使BACCT
考研数学三(线性代数)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 行列式 【 】
A．(ad—bc)2
B．—(ad—bc)2
C．a2d2—b2C2
D．b2c2—a2d2
正确答案：B
解析： 解1 按第1列展开，得所求行列式D等于 =—ad(ad—bc)+bc(ad—bc)= —(ad—bc)2 解2 先互换D的2、3两行，得 再通过相邻列的互换将第1列移至第3列，得 本题主要考查计算行列式的展开法则，具体的计算方法可有多种．解2的第2步利用了分块对角行列式的计算方法． 知识模块：线性代数
2． 设对方阵A施行初等初换得到方程
B．且∣A∣≠0，则 【 】
A．必有∣B∣=∣A∣．
B．必有∣B∣≠∣A∣．
C．必有∣B∣≠0．
D．∣B∣=0或∣B∣≠0依赖于所作初等变换．
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
填空题
3． 设4阶矩阵A=[α1 β1 β2 β3]，B=[a2 β1 β2 β3]，其中α1，α2，β1，β2，β3均为4维列向量，且已知行列式∣A∣=4，∣B∣=1，则行列式∣A+B∣=_______．
正确答案：∣A+B∣=∣α1+α2 2β1 2β2 2β3∣=8(∣α1 β1 β2 β3∣+∣α2 β1 β2 β3∣)=8(∣A∣+∣B∣)=8(4+1)=40 涉及知识点：线性代数
4． 设矩阵，I为3阶单位矩阵，则(A一2I)-1=_______．
正确答案： 涉及知识点：线性代数
5．
正确答案：，可利用分块对角矩阵求逆的方法． 涉及知识点：线性代数
6． 已知α=(1，2，3)，，矩阵A=αTβ，n为正整数，则An=_______．
考研数学三(解答题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）专项练习试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 证明：D=
正确答案： 涉及知识点：线性代数
2． 设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
3． 设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f”(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有 ｜f’(c)｜≤2a+b．
正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有
f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f”(ξ)(x一c)2， (*)其中ξ=c+θ(x一c)，0f”(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f”(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得 f(1)一f(0)=f，(c)+[f”(ξ2)(1一c)2一f”(ξ1)c2]． 从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f”(ξ1)c2一f”(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．
解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开． 知识模块：微积分
4． 设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．
正确答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即 2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=． 涉及知识点：一元函数积分学
考研数学三(线性代数)模拟试卷93(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷93 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求的x3的系数．
正确答案：在完全展开式的24项中除了对角线元素乘积这一项外，其他23项x的次数都不超过2，因此(x一3)(x一8)(x+1)x中x3的系数一10就是所求．
解析：一般地，(x一a1)(x一a2)(x一a3)(x一a4)展开式中，x3的系数为一(a1+a2+a3+a4)． 知识模块：线性代数
2． 证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．
正确答案：设4个根为x1，x2，x3，x4．因为｜xE—A｜是x的4次多项式，并且x4的系数为1，所以｜xE—A｜=(x一x1)(x一x1)(x一x3)(x一x4)．
解析：由例1．1的方法的启示，考察x3的系数．从右侧看为一(x1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为｜xE—A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x一a11)(x一a22)(x一a33)(x一a44)这一项包含x3，并且系数为一(a11+a22+a33+a44)．于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44. 知识模块：线性代数
3． 设A与B分别是m，n阶矩阵，证明
正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列邻换(共进行了n次)，再把右部分的第2列依次和左部分的各列邻换，……，最后把右部分的第m列依次和左部分的各列邻换．一共进行了mn次邻换．于是 涉及知识点：线性代数
4． 设4阶矩阵A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．
正确答案：A+B=(α+β，2γ1，2γ2，2γ3)，(注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加)｜A+B｜=｜α+β，2γ1，2γ2，2γ3｜=8｜α+β，γ1，γ2，γ3｜(用性质③，二，三，四列都提出2)=8(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=8(2+3)=40． 涉及知识点：线性代数
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (99年)设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 【 】
A．λE－A＝λE－
B．
B．A与B有相同的特征值和特征向量．
C．A和B都相似于一个对角矩阵．
D．对任意常数t，tE－A与tE－B相似
正确答案：D
解析：由已知条件，存在可逆矩阵P，使得 P-1AP＝B 所以P-1(tE－A)P＝tE－P-1AP＝tE－B 这说明tE－A与tE－B相似，故D正确． 知识模块：线性代数
2． (02年)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是
【 】
A．P-1α
B．PTα
C．Pα
D．(P-1)Tα
正确答案：B
解析：由条件有AT＝A，Aα＝λα，故有 (P-1AP)T(PTα)＝PTA(PT)-1PTα＝PTAα＝PTλα＝λ(PTα) 因为PTa≠0(否则PTα＝0，两端左乘(PT)-1，得α＝0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确． 知识模块：线性代数
3． (05年)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是 【 】
A．λ1＝0
B．λ2＝0
C．λ1≠0
D．λ2≠0
正确答案：D
解析：由条件知α1，α2线性无关．向量组α1，A(α1＋α2)，即向量组α1，λ1α1＋λ2α2，显然等价于向量组α1，λ2α2，当λ2＝0时，α1，λ
2α2线性相关，当λ2≠0时，α1，λ2α2线性无关，故向量组α1，A(α1＋α2)线性无关向量组α1，λ2α2线性无关≠0，只有选项D正确． 知识模块：线性代数
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知y=y(x)由方程．
正确答案：方程两边对自变量x求导，得 涉及知识点：微积分
2． 设，求n及a的值．
正确答案：由此可知n=2，a=-2e2． 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B
正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3， 因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因 式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E． 且由已求结果｜A｜=2，知 涉及知识点：矩阵
4． 求A的特征值．
正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3． 涉及知识点：线性代数
5． 已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?
正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得 ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0， 因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．
解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题． 知识模块：微积分
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷81(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷81 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 有16件产品，12个一等品，4个二等品．从中任取3个，至少有1个是一等品的概率为______．
正确答案：
解析：设A＝{抽取3个产品，其中至少有1个是一等品}，则P(A)＝1－． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设则a=___________．b=_________．
正确答案：
解析：利用洛必达法则可得 知识模块：微积分
3． 设f(χ)连续，且f(χ)＝1，则＝_______．
正确答案：6 涉及知识点：微积分
4． ＝______．(其中a为常数)．
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
5． 设f(x)连续，则=________
正确答案：f(x)
解析： 知识模块：微积分
6． f（x）=则∫14f（x一2）dx=________。
正确答案：
解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，t=—1；当x=4时，t=2。于是 知识模块：微积分
7． 设位于曲线y=（e≤x＜+∞）下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为________。
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
8． 设fˊ(ex)=1+x，则f(x)=_________．
正确答案：xlnx+C，其中C为任意常数
解析：设u=ex，则x=lnu，由fˊ(ex)=1+x，得fˊ(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+1nu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+
C． 知识模块：一元函数积分学
9． 已知极坐标系下的累次积分I=dθ∫0acosθf（rcosθ，rsinθ）rdr，其中a＞0为常数，则I在直角坐标系下可表示为________。
正确答案：
解析：先将I表示成I=f（x，y）dσ，用D的极坐标表示因此可知区域D:（x—）2+y2≤（）2。如图1—4—10所示：如果按照先y后x的积分次序，则有 知识模块：微积分
考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷2(题后含
考研数学三线性代数（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )
A．[α1，-α2，α3]．
B．[α1，α2+α3，α2-2α3]．
C．[α1，α3，α2]．
D．[α1+α2，α1-α2，α3]．
正确答案：D
解析：若P-1AP=A=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PA．即(Aα1，Aα2，Aα3)=(a1α1，a2α2，a3α3)可见αi是矩阵A属于特征值ai(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关． 若α是属于特征值A的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确． 若α，β是属于特征值λ的特征向量，则2α+3β，…仍是属于特征值λ的特征向量．本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确． 对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确．故选项C正确． 由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α，α1-α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误．所以应选
D． 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
2． 设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是( )
A．λ-1｜A｜
B．λ-1｜A｜
C．λ｜A｜
D．λ｜An｜
正确答案：B
解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则由特征值与特征向量的定义有 Ax=λx． 上式两边左乘A*，并考虑到 A*A=｜A｜E， 得
考研数学三(线性代数)模拟试卷44(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）模拟试卷44 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设72阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则必有【 】
A．ACB=E
B．CBA=E
C．BAC=E
D．BCA=E
正确答案：应选D由题设条件A(BC)=E，知A与BC互为逆矩阵，=>BCA=E． 涉及知识点：线性代数
2． 设则必有【 】
A．AP1P2=B
B．AP2P1=B
C．P1P2A=B
D．P2P1A=B
正确答案：应选C 注意依次对A施行下列两种初等行变换，即得矩阵B：先将A的第1行加到第3行，再将所得矩阵的1、2两行互换，两次初等行变换所对应的初等方阵依次为P2、P1，故有B=P1P2A． 涉及知识点：线性代数
3． 设A、B、A+B、A-1+B-1均为n阶可逆阵。则(A-1+B-1)-1=【 】
A．A-1+B-1
B．A+B
C．A(A+B)-1B
D．(A+B)-1
正确答案：应选C 由(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，或
A(A+B)-1B=[B-1(A+B)A-1]-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1即知只有(C)正确． 涉及知识点：线性代数
填空题
4． 设a=(1，0，一1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，a为常数，则∣aE一An∣= _______．
正确答案：An=(aaT)(aaT)…(aaT)=a(aTa)…(aTa)aT=a2n-1aT=∣aE—An∣=a2(a一2n)． 涉及知识点：线性代数
5． 设a为3维列向量，aT是a的转置，若，则aTa=_______．